专题02整式乘法、二元一次方程组、分式方程中含参数问题
【考点一整式乘法中含参数问题】
1．（全国·七年级专题练习）若
的结果中不含
项，则
____________．
【答案】0
【解析】
【分析】
先利用单项式乘以多项式的法则计算，根据结果中不含x4项即可确定出a的值．
【详解】
解：
，
由结果中不含x4项，得到-5a=0，即a=0，
故答案为：0．
【点睛】
此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．
2．（江苏·七年级专题练习）若
恒成立，则
______．
【答案】-4
【解析】
【分析】
去括号先根据合并同类项法则化简，根据已知找对应的单项式的系数相同即可得到答案．
【详解】
解：
，
恒成立，
，
，
，
，
，
，
所以
．
故答案为：-4．
【点睛】
本主要考查整式的乘法和合并同类项法则，明确化简前后单项式的系数相同是解决问题的关键．
3．（江苏·泰州市第二中学附属初中七年级期中）若（x+2m）（x﹣4）去括号后不含x的一次项，则m的值为__．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据去括号后不含x的一次项，可知去括号、合并同类项后，含x的一次项的系数为0，据此即可求得m的值．
【详解】
解：(x+2m)(x﹣4)
=x2+(2m-4)x-8m
（x+2m）（x﹣4）去括号后不含x的一次项
2m-4=0
解得m=2
故答案为：2
【点睛】
本题考查了单项式乘以单项式后的多项式中不含某项问题，熟练掌握和运用不含某项求参数的方法是解决本题的关键．
4．（贵州黔东南·八年级期末）多项式
的乘积不含x的一次项，则a的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先利用多项式乘多项式的计算方法进行乘法运算，再根据乘积中不含x的一次项，使含x的一次项的系数之和等于0即可．
【详解】
解：
）
=
=
，
∵乘积中不含x的一次项，
∴3-2a=0，
解得：a=
，
故答案为：
．
【点睛】
此题主要考查了多项式的乘法，关键是掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
5．（重庆一中七年级期中）若多项式
与
的和不含二次项，则常数m的值是______．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】
先把两多项式的二次项相加，令x的二次项为0即可求出m的值．
【详解】
解：∵多项式
与
相加后不含x的二次项，
∴8x2+4mx2＝（4m+8）x2，
∴4m+8＝0，
解得m＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】
本题考查的是整式的加减，根据题意把两多项式的二次项相加得到关于m的方程是解答此题的关键．
6．（山东青岛·期中）如果整式
运算后不含
项，则
__________．
【答案】5
【解析】
【分析】
利用多项式与多项式的乘法运算展开后合并同类项，令
项的系数等于0即可求解．
【详解】
解：
∵整式
运算后不含
项，
∴
，
解得
．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了多项式乘积展开后不含某项求字母的值，解题的关键是正确地进行多项式与多项式的乘法运算．
7．（山东·东平县实验中学阶段练习）要使（﹣6x3）（x2+ax+5）+3x4的结果中不含x4项，则a的值为_______
【答案】
【解析】
【分析】
根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，可得多项式，根据四次项的系数为零，可得答案．
【详解】
解：原式=
=
，
∵（﹣6x3）（x2+ax+5）+3x4的结果中不含x4项，得
，
解得
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．
8．（江苏连云港·七年级期中）若
展开后不含
，
项，则
的值是__________．
【答案】-3
【解析】
【分析】
把首先利用多项式乘多项式法则进而得出原式的展开式的x2项和x3项，组成方程组得出p，q的值，进而即可求解．
【详解】
解：∵
=
，
∵开后不含
，
项，
∴q-2=0，3+2p=0，解得：q=2，p=
，
∴
=-3．
【点睛】
此题主要考查了多项式乘多项式，正确展开多项式是解题关键．
9．（陕西·武功县教育局教育教学研究室七年级期末）若计算（x+m）（4x-3）-5x所得的结果中不含x的一次项，则常数m的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】
直接利用多项式乘法结合一次项次数为零进而得出答案．
【详解】
解：（x+m）（4x-3）-5x
=4x2-3x+4mx-3m-5x
=4x2+（4m-8）x-3m，
∵（x+m）（4x-3）-5x所得的结果中不含x的一次项，
∴4m-8=0，
解得：m=2．
故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
10．（全国·八年级阶段练习）已知（x2+mx+n）与（x﹣2）的乘积中，不含x的一次项和x的二次项，则m﹣n的值为 ___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据多项式与多项式相乘法的法则进行计算得
，再根据题意
与
的乘积中，不含x的一次项和x的二次项，令
，求出m，n的值进行解答即可得．
【详解】
解：
=
=
因为
与
的乘积中，不含x的一次项和x的二次项，
∴
，
解得
∴
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了整式的乘法，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则．
【考点二二元一次方程中含参数问题】
1．（云南·云大附中七年级期中）若
是二元一次方程，则
的值______．
【答案】
【解析】
【分析】
由二元一次方程的定义可求得m、n的值，进而得到答案．
【详解】
解：由二元一次方程的定义，有
解得
∴
【点睛】
本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
2．（广东·东莞市竹溪中学七年级期中）已知方程
是关于x、y的二元一次方程，则a+b的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二元一次方程的定义得出关于a和b的方程即可：含有两个未知数的方程叫做二元一次方程．
【详解】
解：∵方程
是关于x、y的二元一次方程，
∴
，则
故答案为：
【点睛】
本题考查了二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义是解题的关键．
3．（上海市民办桃李园实验学校期中）若
是关于x,y的二元一次方程，则
的值是________.
【答案】15
【解析】
【分析】
根据二元一次方程的定义求得m和n的值，再代入计算即可．
【详解】
∵
是关于x，y的二元一次方程，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
故答案是：15．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
4．（湖北·咸宁市第三初级中学七年级期中）若
是关于x、y的二元一次方程，则m＝______，n＝______．
【答案】 -2 2
【解析】
【分析】
根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，进行求解即可
【详解】
解∶∵方程
是关于
的二元一次方程，
∴
，
∴m=-2，n=2，
故答案为：-2；2．
【点睛】
本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题关键．二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．
5．（湖南·湘潭市第十六中学七年级期中）若方程：
是关于
、
的二元一次方程，则
______，
_____．
【答案】 -1 1
【解析】
【分析】
根据二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程，求出m，n的值即可得出答案．
【详解】
解：依题意可得2m+3=1，5n-4=1
解得m=-1，n=1，
故答案为：-1，1．
【点睛】
此题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是根据二元一次方程的概念得出m，n的值．
6．（江苏·七年级专题练习）如果
是二元一次方程，则
____，
_____．
【答案】 3 0
【解析】
【分析】
根据二元一次方程的定义可知
，
，据此可解出a、b.
【详解】
解：依题意，得：
，
解得：
.
故答案为：3，0.
【点睛】
此题考查的是对二元一次方程的定义理解，根据未知数的次数为1，可以列出方程组求解．
7．（吉林·长春市第二实验中学七年级阶段练习）若方程
是二元一次方程，则
的值为______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据二元一次方程的定义解出m，n，即可得到结果；
【详解】
解：由题意得：m−1=1，3n+1=1，
解得：
，
∴
，
故答案为：0
【点睛】
本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数且未知数的次数都是1次的整式方程就是二元一次方程，明确二元一次方程的定义是解题的关键．
8．（浙江省衢州市衢江区实验中学七年级开学考试）方程(k2－4)x2+(2k－4)x+(k+3)y+3k＝0中，若此方程为关于x，y的二元一次方程，则k值为_____ ．
【答案】－2
【解析】
【分析】
根据二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程，可得答案．
【详解】
根据题意，得
二次项系数：
解得k＝
一次项系数：
且
解得k
2且k
－3
∴k＝－2
故答案为：－2．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的定义，利用二次项的系数为零、一次项的系数均不为零得出方程是解题的关键．
9．（江苏·七年级专题练习）若方程
是关于x，y的二元一次方程，则nm＝__．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据方程未知数系数不为0和未知数次数为1列出方程或不等式求解即可．
【详解】
解：∵方程
是关于x，y的二元一次方程，
∴
，
，
，
解得，
，
，
，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的定义，解题关键是根据二元一次方程的定义列出方程求出字母的值．
10．（全国·七年级课时练习）若
是关于x和y的二元一次方程，则
________，
________．
【答案】
3
【解析】
【分析】
根据二元一次方程的定义，原方程是二元一次方程，故x，y的指数都为1,因此a−2=1,2b+5=1从而可以解出a，b的值．
【详解】
解：∵
是关于x和y的二元一次方程，
∴a−2=1,2b+5=1
∴a=3，b=-2
故答案为：3，-2．
【点睛】
本题考查二元一次方程的定义，是基础题，根据定义，两个未知数的指数都是1，从而将此题转化为解两个一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．
【考点三二元一次方程组中含参数问题】
1．（吉林·长春市第二实验中学七年级阶段练习）已知
是方程
的解，则
的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
把x与y的值代入方程计算即可求出m的值．
【详解】
解：把x=1，y=2代入方程得：3m-2=1，
解得：m=1，
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是知道方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
2．（上海同济大学附属存志学校期末）若关于x，y方程组
无解，则m＝__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据第二个方程得到
，代入
中，得到
，当
时即可得解；
【详解】
由
得
，
代入
得
，
整理得：
，
当
时，即
时，
无解，
∴当
时，原方程组无解．
故答案是
．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确理解无解的情况是解题的关键．
3．（重庆市巴川中学校七年级期中）若方程组
的解满足x﹣2y＝﹣1，则k的值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】
首先解关于x的方程组，求得x，y的值，然后代入方程x﹣2y＝﹣1，得到一个关于k的方程，即可解答．
【详解】
解：由方程组
得：
，
∵关于x，y的二元一次方程组
的解满足x−2y=-1，
∴k+1-2k=-1，
解得：k=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是解二元一次方程组．
4．（四川攀枝花·七年级期中）若方程组
的解是正整数，则正整数
=______．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用加减消元法解方程组，再由x为正整数计算m的值即可；
【详解】
解：
，
①+②得：（m+3）x=8，
∵x，m都为正整数，
∴m=1，
∴x=2，y=3，
故答案为：1；
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，正整数的概念，掌握加减消元法的步骤是解题关键．
5．（广西桂林·七年级期中）满足方程组
的x，y互为相反数，则m
=_________．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用x，y互为相反数，可知x=-y，将其代入方程组，并进行求解即可．
【详解】
解：由题意得x=-y，将其代入方程组得：
，
即
，
∴3m=m+2，
解得：m=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查的是二元一次方程组的求解，理解题意，将未知数代入求解是解题的关键．
6．（全国·八年级单元测试）已知关于x、y的方程组
有整数解，即x、y都是整数，m是正整数，则m的值是__．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据加减消元法，先表示出x、y的值，进而根据题干要求出满足条件的m的值即可．
【详解】
解方程组
，得
，
∵x，y均为整数，m为正整数，
∴m+3应为10与15的公因数，
即m+3=5
∴m＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，其中涉及到参数的求解，充分利用题干条件找到参数和方程组的解之间的联系是解决本题的关键．
7．（山东·日照市新营中学七年级期中）已知方程组
，甲得正确的解
，丙乙比较粗心，把c给看错了，解的
，则
__________．
【答案】5
【解析】
【分析】
由题意可得
，3a＋6b＝3③，然后解方程组即可求得答案．
【详解】
解：∵方程组
，甲得正确的解
，
∴
，
∵丙乙比较粗心，把c给看错了，解得
，
∴3a＋6b＝3③，
联立①③得：a＝3，b＝−1，c＝3．
∴a＋b＋c＝5．
故答案为：5．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解法．注意根据题意得到新方程组是关键．
8．（四川省珙县巡场中学校七年级期中）若关于x、y的二元一次方程组
的解也是二元一次方程
的解，则k的值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
先解方程组，用含
的代数式表示
、
，再把
、
的值代入二元一次方程中，求出
．
【详解】
解：
，
②，得
，解得
，
把
代入，得
，解得
，
二元一次方程组
的解也是二元一次方程
的解，
．
即
，
．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，掌握解二元一次方程组的方法是解决本题的关键．
9．（浙江丽水·七年级期末）已知关于
，
的二元一次方程组
（
，
为实数）．
（1）若
，则
的值是__________；
（2）若
，
同时满足
，
，则
的值是__________．
【答案】 1 8
【解析】
【分析】
（1）用加减消元法求出x=a，再将已知条件代入即可求a是值；
（2）由（1）得x=a，y=b-6，将此解代入方程ax+by+4=0，2x+5y-ay=0，得到关于a+b的二元一次方程组，再求解a+b即可．
【详解】
（1）
，
①+②，得
x=a，
∵x=2a-1，
∴a=1，
故答案为1；
（2）由（1）知，x=a，
∴y=b-6，
∵x，y同时满足ax+by+4=0，2x+5y-ay=0，
∴
，
整理得
，
③-④×2，得
a2+b2+2ab-16a-16b+64=0，
∴（a+b）2-16（a+b）+64=0，
∴a+b=8，
故答案为8．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，掌握加减消元法解方程组的方法，在求a+b时，通过观察，将方程组适当变形为关于a+b的二元一次方程是解题的关键．
10．（江苏·苏州草桥中学七年级期末）若关于x、y的二元一次方程组
的解为
，则关于x、y的二元一次方程组
的解为________．
【答案】
【解析】
【分析】
把
代入
，结合所求的方程组即可得到关于
，
的方程，求解即可．
【详解】
解：把
代入
得：
又∵
∴
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程的解，结合两个方程组得到关于
，
的方程是解题的关键．
【考点四分式方程中含参数问题】
1．（四川成都·二模）己知关于x的分式方程
的解为
，则a的值为（ ）
A．4 B．3 C．0 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将x=4回代到方程中即可求出a值．
【详解】
将x=4代入方程，
得：
，
解得a=-3，
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，通过已知分式方程的解求未知数的知识．解题的关键是将x的值回代到原方程．
2．（四川眉山·二模）若关于x的分式方程
无解，则a的值为（ ）
A．
B．
C．1或
D．
或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可．
【详解】
解：
分式方程两边同乘以（3-x）得：
要使原分式方程无解，则有以下两种情况：
当
时，即
，整式方程无解，原分式方程无解．
当
时，则
，即
，原分式方程无解产生增根．
解得
综上所述可得：
或
时，原分式方程无解．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了分式方程无解求参数的值，熟知分式方程无解的两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解是解决本题的关键．
3．（河南周口·八年级期末）若关于x的分式方程
无解，则k的值为（ ）
A．
B．
C．
或2 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分两种情况，整式方程无解，分式方程产生增根．
【详解】
解：
，
去分母得：kx+2k-1=2（x-1），
整理得：（2-k）x=2k+1，
∵关于x的分式方程
无解，
∴分两种情况：
当2-k=0时，k=2；
当x-1=0时，x=1，
把x=1代入kx+2k-1=2（x-1）中可得：
k+2k-1=0，
∴k=
，
综上所述：k的值为：2或
，
故选：C．
【点睛】
此题考查了分式方程无解问题，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．
4．（山东淄博·一模）关于x的分式方程
，下列说法正确的是（ ）
A．方程的解是x＝m－6 B．当m＜6时，方程的解是负数
C．当m＞6时，方程的解是正数 D．以上说法均不正确
【答案】C
【解析】
【分析】
先去分母求得分式方程的解，然后将分式方程的解代入最简公分母进行讨论即可．
【详解】
解：
，
去分母得：
，
解得：
，
∵当
，即
时，方程产生增根，
∴当
时，方程的解是x＝m－6，故A错误；
当m＜6时，
，
∵当
时，方程产生增根，
∴
，即
，
∴当m＜6且
时，方程的解是负数，故B错误；
当m＞6时，
，
∵当
时，方程产生增根，
∴
，即
，
∴当m＞6时，方程的解是正数，故C正确；D错误；
故选：C
【点睛】
本题主要考查的是解分式方程，根据最简公分母是否为0进行讨论是解题的关键．
5．（四川·泸州市第二十八初级中学校一模）已知关于x的方程
无解，则实数m的取值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分式方程无解的情况有两种：一是去分母之后得到的整式方程无解；二是去分母后得到的整式方程有解，但这个解又使分式方程的最简公分母为0，此时分式方程也无解．根据这两种情况分析解答即可．
【详解】
解：原方程两边同乘以
，得：
，
整理得：
，
当
时，
，
当
时，这个整式方程无解，即当
时，原分式方程无解，
当
时，2是原分式方程的增根，原方程无解，此时
无解，
当
时，
是原分式方程的增根，原方程无解，此时
的解为：
，
∴当
或
时，原分式方程无解，
故选：D．
【点睛】
本题考查分式方程无解的条件，解题的关键是正确理解分式方程无解的情况有两种：一是去分母之后得到的整式方程无解；二是去分母后得到的整式方程有解，但这个解又使分式方程的最简公分母为0，此时分式方程也无解．
6．（山东济宁·八年级期末）若关于x的分式方程
无解，则实数m=__________________．
【答案】7
【解析】
【分析】
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【详解】
解：方程去分母得：7+3（x﹣1）＝m，
去括号，得
，
合并同类项，得3x+4＝m，
当方程的解为分式方程的增根，x＝1时，原方程无解，
∴
，
∴m的值为7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
7．（湖南常德·一模）若关于
的分式方程
的解为负数，则
的取值范围是______．
【答案】
且
【解析】
【分析】
先求出该分式方程的解，再根据解为负数和最简公分母不为0求解即可．
【详解】
解：分式方程两边同时乘
，得
．
解得
．
∵该分式方程的解为负数，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
且
．
故答案为：
且
．
【点睛】
本题考查根据分式方程解的情况求参数范围，熟练掌握该知识点是解题关键．
8．（四川南充·二模）已知关于x的分式方程
的解是非负数，则m的取值范围是_______．
【答案】
且
【解析】
【分析】
首先去分母，将分式方程表示为整式方程，用
表示出方程的解，然后根据方程的解为非负数求出
的取值范围即可．
【详解】
，
去分母得：
，
，
为非负数，
，得
，
，
，得
，
故答案为：
且
．
【点睛】
本题考查分式方程的解以及分式有意义的条件，根据题意求解即可．
9．（四川广元·一模）若关于x的分式方程
有增根，则实数m的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】
先将分式方程化为整式方程，可得m=-2x+5，再由分式方程有增根，可得x=2，即可求解．
【详解】
解：方程两边同乘以x-2，
可得m=x-1-3（x-2），
解得m=-2x+5，
∵分式方程
有增根，
∴x-2=0，解得x=2，
∴m=-2×2+5
∴m=1．
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查了分式方程的增根问题，熟练掌握当分式方程的最简公分母等于0时，产生增根是解题的关键．
10．（湖南长沙·八年级期末）若关于x的分式方程
的解为正数，则m的取值范围是______．
【答案】
且
【解析】
【分析】
先把分式方程化为整式方程，求出x，然后根据分式方程的解为正数，结合分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】
解：
去分母，得：
，
去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
，
解得
．
∵关于x的分式方程
的解为正数，
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
．
∴
，
解得：
且
．
故答案为：
且
．
【点睛】
本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．