专项3.2 完全平方公式综合高分必刷

1．（东城区校级期末）（a+b）ⁿ（n为非负整数）当n＝0，1，2，3，…时的展开情况如下所示：

（a+b）⁰＝1

（a+b）¹＝a+b

（a+b）²＝a²+2ab+b²

（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³

（a+b）⁴＝a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

（a+b）⁵＝a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：

这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（a+b）ⁿ展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为（a+b）⁹展开式中所有项系数的和应该是（　　）

A．128 B．256 C．512 D．1024

【答案】C

【解答】解：当n＝0时展开式所有系数的和为1＝2⁰．

当n＝1时展开式所有系数的和为2＝2¹．

当n＝2时展开式所有系数的和为2²．

当n＝3时展开式所有系数的和为8＝2³．

当n＝4时展开式所有系数的和为16＝2⁴．

当n＝5时展开式所有系数的和为32＝2⁵．

……

∴当n＝9时展开式所有系数的和为2⁹＝512．

故选：C．

2．（滨州三模）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了（a+b）ⁿ（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系规律（按a的次数由大到小的顺序）．

请根据规律，写出（x+1）²⁰²²的展开式中含x²⁰²¹项的系数是　　．

【答案】2022

【解答】解：∵（a+b）¹展开式中的第二项系数为1，

（a+b）²展开式中的第二项系数为2，

（a+b）³展开式中的第二项系数为3，

（a+b）⁴展开式中的第二项系数为4，

∴（a+b）ⁿ展开式中的第二项系数为n，

由图中规律可知：

含x²⁰²¹的项是（x+1）²⁰²²的展开式中的第二项，

∴（x+1）²⁰²²的展开式中的第二项系数为2022，

故答案为：2022．

3．（钦州期末）已知（a+b）²＝5，（a﹣b）²＝3，求下列式子的值：

（1）a²+b²；

（2）6ab．

【解答】解：（1）∵（a+b）²＝5，（a﹣b）²＝3，

∴a²+2ab+b²＝5，a²﹣2ab+b²＝3，

∴2（a²+b²）＝8，

解得：a²+b²＝4；

（2）∵a²+b²＝4，

∴4+2ab＝5，

解得：ab＝ ，

∴6ab＝3．

4．（和平区校级月考）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）ⁿ（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．

例如：（a+b）⁰＝1，它只有一项，系数为1；

（a+b）¹＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；

（a+b）²＝a²+2ab+b²，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；

根据以上规律，解答下列问题：

（1）（a+b）⁵展开式共有　　项，系数和为　　．

（2）求（2a﹣1）⁵的展开式；

（3）利用表中规律计算：2⁵﹣5×2⁴+10×2³﹣10×2²+5×2﹣1（不用表中规律计算不给分）；

（4）设（x+1）¹⁷＝a₁₇x¹⁷+a₁₆x¹⁶+…+a₁x+a₀，则a₁+a₂+a₃+…+a₁₆+a₁₇的值为　．

【解答】解：（1）根据图表中的规律，

可得：（a+b）⁵展开式共有 6项，系数和为 1+5+10+10+5+1＝32，

故答案为：6，32；

（2）（2a﹣1）⁵

＝2⁵a⁵+5×2⁴a⁴（﹣1）+10×2³a³（﹣1）²+10×2²a²（﹣1）³+5×2a（﹣1）⁴+（﹣1）⁵

＝32a⁵﹣80a⁴+80a³﹣40a²+10a﹣1；

（3）根据图表中数据的规律可以发现：

2⁵﹣5×2⁴+10×2³﹣10×2²+5×2﹣1＝（2﹣1）⁵，

∴2⁵﹣5×2⁴+10×2³﹣10×2²+5×2﹣1＝1；

（4）∵（x+1）¹⁷＝a₁₇x¹⁷+a₁₆x¹⁶+…+a₁x+a₀，

∴当x＝1时，

（1+1）¹⁷＝a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₆+a₁₇，

当x＝0时，

（0+1）¹⁷＝a₀＝1，

∴2¹⁷＝1+a₁+a₂+a₃+…+a₁₆+a₁₇，

∴a₁+a₂+a₃+…+a₁₆+a₁₇的值为2¹⁷﹣1．

故答案为：2¹⁷﹣1．

5．（黄石期末）已知（x+y）²＝25，（x﹣y）²＝1，求x²+y²与xy的值．

【解答】解：∵（x+y）²＝x²+2xy+y²＝25①，（x﹣y）²＝x²﹣2xy+y²＝1②，

∴①+②得：2（x²+y²）＝26，即x²+y²＝13；

①﹣②得：4xy＝24，即xy＝6．

6．（兰考县期末）已知（x+y）²＝1，（x﹣y）²＝49，求x²+y²与xy的值．

【解答】解：∵（x+y）²＝x²+y²+2xy＝1①，（x﹣y）²＝x²+y²﹣2xy＝49②，

∴①+②得：2（x²+y²）＝50，即x²+y²＝25；

①﹣②得：4xy＝﹣48，即xy＝﹣12．

7．（盐池县期末）回答下列问题

（1）填空：x²+ ＝（x+ ）²﹣　　＝（x﹣ ）²+　　

（2）若a+ ＝5，则a²+ ＝　　；

（3）若a²﹣3a+1＝0，求a²+ 的值．

【解答】解：（1）2、2．

（2）23．

（3）∵a＝0时方程不成立，

∴a≠0，

∵a²﹣3a+1＝0

两边同除a得：a﹣3+ ＝0，

移项得：a+ ＝3，

∴a²+ ＝（a+ ）²﹣2＝7．

8．（于都县模拟）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）ⁿ（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）²＝a²+2ab+b²展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³展开式中的系数等等．

（1）根据上面的规律，写出（a+b）⁵的展开式．

（2）利用上面的规律计算：2⁵﹣5×2⁴+10×2³﹣10×2²+5×2﹣1．

【解答】解：（1）如图，

则（a+b）⁵＝a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵；

（2）2⁵﹣5×2⁴+10×2³﹣10×2²+5×2﹣1．

＝2⁵+5×2⁴×（﹣1）+10×2³×（﹣1）²+10×2²×（﹣1）³+5×2×（﹣1）⁴+（﹣1）⁵．

＝（2﹣1）⁵，

＝1．

9.（南昌县期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．

（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于　　；

（2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积：方法①　；方法②　；

（3）观察图2，直接写出（m+n）²，（m﹣n）²，mn这三个代数式之间的等量关系；

（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）²的值．

【解答】解：（1）由拼图可知，图②中阴影部分的边长为m﹣n，

故答案为：m﹣n；

（2）阴影部分是边长为m﹣n的正方形，因此面积为（m﹣n）²，

阴影部分的面积可以看作从边长为m+n的正方形面积中减去4个长为m，宽n的长方形面积，即（m+n）²﹣4mn，

故答案为：（m﹣n）²，（m+n）²﹣4mn；

（3）由（2）中两种方法所表示的图形的面积相等，可得，

（m﹣n）²＝（m+n）²﹣4mn；

（4）∵a+b＝8，ab＝5，

∴（a﹣b）²＝（a+b）²﹣4ab

＝64﹣20

＝44

10.（双流区校级期中）著x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）²+（x﹣9）²的值．

解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，

∴（9﹣x）²+（x﹣4）²＝a²+b²＝（a+b）²﹣2ab＝5²﹣2×4＝17．

请仿照上面的方法求解下面问题：

（1）若x满足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）²+（x﹣2）²的值；

（2）（n﹣2021）²+（n﹣2022）²＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）；

（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝2，CF＝6，长方形EMFD的面积是192，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．

【解答】解：（1）设7﹣x＝a，x﹣4＝b，

则（7﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝7﹣x+x﹣4＝3，

∴（7﹣x）²+（x﹣2）²＝a²+b²＝（a+b）²﹣2ab＝3²﹣2×2＝5；

（2）设n﹣2021＝a，n﹣2022＝b，

则（n﹣2021）²+（n﹣2022）²＝a²+b²＝11，a﹣b＝（n﹣2021）﹣（n﹣2022）＝1，

（n﹣2021）（2022﹣n）＝﹣（n﹣2021）（n﹣2022）

＝﹣ab

＝ （a﹣b）²﹣（a²+b²）]

＝

＝﹣5；

（3）根据题意可得，

MF＝x﹣2，FD＝x﹣6，（x﹣2）（x﹣6）＝192，

设x﹣2＝a，x﹣6＝b，

则（x﹣2）（x﹣6）＝ab＝192，

a﹣b＝（x﹣2）﹣（x﹣6）＝4，

S_阴＝（x﹣2）²﹣（x﹣6）²

＝a²﹣b²

＝（a+b）（a﹣b）

＝ （a﹣b）

＝ ×4

＝28×4

＝112．

阴影部分的面积为112．

11．（新泰市期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；

（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）²，（a﹣b）²，ab之间的等量关系；

（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S₁+S₂＝24，运用你由（2）所得到的等量关系，求图中阴影部分面积．

【解答】解：（1）根据题意可得，

阴影部分的正方形的周长为4（a﹣b）；

（2）根据题意可得，

（a+b）²＝（a﹣b）²+4ab；

（3）设AC＝a，BC＝b，

则a+b＝8，a²+b²＝24，

根据题意可得，

S_阴＝ ab＝ [（a+b）²﹣（a²+b²）]＝ ×（8²﹣24）＝10．

12．（上蔡县校级月考）（1）试用两种不同的方法表示图1中阴影部分的面积，从中你有什么发现，请用等式表示出来；

（2）利用你发现的结论，解决下列问题：

①如图2，两个正方形的边长分别为a，b，且a+b＝ab＝9，求图2中阴影部分的面积．

②已知4a²+b²＝57，ab＝6，求2a+b的值；

③若（20﹣x）（x﹣30）＝10，则（20﹣x）²+（x﹣30）²的值是　　．

【解答】解：（1）根据题意可得，

方法一：S_阴＝a²+b²，

方法二：S_阴＝（a+b）²﹣2ab＝a²+b²；

（2）①根据题意可得，

S_阴＝a²+b²﹣ （a+b）b﹣ a²

＝ （a²﹣ab+b²），

∵a+b＝ab＝9，

∴a²+b²＝（a+b）²﹣2ab＝9²﹣2×9＝63，

∴S_阴＝ ×（63﹣9）＝27；

②（2a+b）²＝4a²+b²+4ab＝57+4×6＝81，

∴2a+b＝±9；

③设20﹣x＝a，x﹣30＝b，

则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝﹣10；

∴（20﹣x）²+（x﹣30）²＝a²+b²＝（a+b）²﹣2ab＝（﹣10）²﹣2×10＝80．

故答案为：80．

13．（顺德区校级期中）如图所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路．

（1）为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下：方法①：　　.方法②：　　.请你从小明的两种求面积的方法中，直接写出含有字母a，b代数式的等式是：　．

（2）根据（1）中的等式，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，a²+b²＝20，求ab的值；②已知：（x﹣2020）²+（x﹣2022）²＝12，求（x﹣2021）²的值．

【解答】解：（1）方法①，通过平移两条路，草坪可看作边长为（a﹣b）米的正方形，因此面积为（a﹣b）²（平方米），方法②，从大正方形面积里减去两条路的面积，即（a²﹣ab﹣ab+b²）平方米，也就是（a²﹣2ab+b²）平方米，所以有（a﹣b）²＝a²﹣2ab+b²，

故答案为：（a﹣b）²，a²﹣2ab+b²，（a﹣b）²＝a²﹣2ab+b²；

（2）①∵a﹣b＝5，

∴a²﹣2ab+b²＝25，

又∵a²+b²＝20，

∴ab＝﹣ ；

②设x﹣2020＝m，x﹣2022＝n，则m﹣n＝2，m²+n²＝（x﹣2020）²+（x﹣2022）²＝12，

∴m²﹣2mn+n²＝4，即12﹣2mn＝4，

∴mn＝4，

∴（m+n）²＝（m﹣n）²+4mn

＝4+16

＝20，

∴（x﹣2021）²

＝（ ）²

＝

＝

＝5，

答：（x﹣2021）²的值为5．

14．（高青县期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）²＝a²+2ab+b²，请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式；

（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；

（3）若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，利用得到的结论求a²+b²+c²的值．

【解答】解：（1）图2整体是边长为a+b+c的正方形，因此面积为（a+b+c）²，图2也可以看作9个部分的面积和，即a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，

因此有（a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac；

（2）（a+b+c）²＝（a+b+c）（a+b+c）

＝a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²

＝a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，

即：（a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，

（3）把a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，代入（a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，得

100＝a²+b²+c²+2×35，

∴a²+b²+c²＝100﹣70＝30，

答：a²+b²+c²的值为30．