专项3.3 平方差公式综合高分必刷

1．（青白江区校级月考）如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余下部分又剪开拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为2，其面积是（　　）

A．2m+4 B．4m+4 C．m+4 D．2m+2

【答案】B

【解答】解：依题意得剩余部分为

（m+2）²﹣m²＝m²+4m+4﹣m²＝4m+4，

而拼成的矩形一边长为2，

∴另一边长是（4m+4）÷2＝2m+2．

∴面积为2（2m+2）＝4m+4．

故选：B．

2．（建始县校级模拟）计算（2m﹣3n）（﹣2m﹣3n）的结果是（　　）

A．﹣4m²+9n² B．﹣4m²﹣9n² C．4m²﹣9n² D．4m²+9n²

【答案】A

【解答】解：（2m﹣3n）（﹣2m﹣3n）＝（﹣3n）²﹣（2m）²＝﹣4m²+9n²，

故选：A．

3．（任城区校级月考）已知a+b＝6，则a²﹣b²+12b的值为（　　）

A．6 B．12 C．24 D．36

【答案】D

【解答】解：∵a+b＝6，

∴a²﹣b²+12b

＝（a+b）（a﹣b）+12b

＝6（a﹣b）+12b

＝6a﹣6b+12b

＝6a+6b

＝6（a+b）

＝6×6

＝36，

故选：D．

4．（电白区月考）式子（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2¹⁰²⁴+1）+1化简的结果为（　　）

A．2¹⁰²⁴ B．2¹⁰²⁴+1 C．2²⁰⁴⁸ D．2²⁰⁴⁸+1

【答案】C

【解答】解：设S＝（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2¹⁰²⁴+1）

∴（2﹣1）S＝（2﹣1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2¹⁰²⁴+1）

＝（2²﹣1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2¹⁰²⁴+1）

＝（2⁴﹣1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2¹⁰²⁴+1）

＝（2¹⁰²⁴﹣1）（2¹⁰²⁴+1）

＝2²⁰⁴⁸﹣1，

∴（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2¹⁰²⁴+1）+1

＝S+1

＝2²⁰⁴⁸﹣1+1

＝2²⁰⁴⁸．

故选：C．

5．（如东县期中）已知实数m，n满足m²+n²＝2+mn，则（2m﹣3n）²+（m+2n）（m﹣2n）的最小值为（　　）

A．24 B． C． D．﹣4

【答案】D

【解答】解：∵m²+n²＝2+mn，

∴（2m﹣3n）²+（m+2n）（m﹣2n）

＝4m²+9n²﹣12mn+m²﹣4n²

＝5m²+5n²﹣12mn

＝5（mn+2）﹣12mn

＝10﹣7mn，

∵m²+n²＝2+mn，

∴（m+n）²＝2+3mn≥0（当m+n＝0时，取等号），

∴mn≥﹣ ，

∴（m﹣n）²＝2﹣mn≥0（当m﹣n＝0时，取等号），

∴mn≤2，

∴﹣ ≤mn≤2，

∴﹣14≤﹣7mn≤ ，

∴﹣4≤10﹣7mn≤ ，

即（2m﹣3n）²+（m+2n）（m﹣2n）的最小值为﹣4，

故选：D．

6．（相城区期末）若a²﹣2a﹣1＝0，那么代数式（a+2）（a﹣2）﹣2a的值为（　　）

A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3

【答案】B

【解答】解：（a+2）（a﹣2）﹣2a

＝a²﹣4﹣2a

＝a²﹣2a﹣4，

∵a²﹣2a﹣1＝0，

∴a²﹣2a＝1，

∴原式＝1﹣4＝﹣3．

故选：B．

7．（南召县期中）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（　　）

A．205 B．250 C．502 D．520

【答案】D

【解答】解：根据平方差公式得：

（2n+1）²﹣（2n﹣1）²＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．

所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数

205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．

故选：D．

8．（梁平区期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝3²﹣1²，16＝5²﹣3²，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）

A．255024 B．255054 C．255064 D．250554

【答案】A

【解答】解：设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数），

（2n+1）²﹣（2n﹣1）²＝8n，

根据题意得：8n≤2017，

∴n≤252 ，

∴n最大为252，此时2n+1＝505，2n﹣1＝503，

∴3²﹣1²+5²﹣3²+...+503²﹣501²+505²﹣503²

＝505²﹣1²

＝255024．

故选：A．

9．（东莞市期末）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为　　．

【答案】2m+4

【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x，

则4x＝（m+4）²﹣m²＝（m+4+m）（m+4﹣m），

解得x＝2m+4．

故答案为：2m+4．

10．（同心县校级期末）如图两幅图中，阴影部分的面积相等，则该图可验证的一个初中数学公式为　　．

【答案】a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）

【解答】解：第一个图的阴影部分的面积是：a²﹣b²，

第二个图形阴影部分的面积是：（a+b）（a﹣b），

则a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）．

故答案是：a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）．

11．（市北区期中）数学兴趣小组发现：

（x﹣1）（x+1）＝x²﹣1

（x﹣1）（x²+x+1）＝x³﹣1

（x﹣1）（x³+x²+x+1）＝x⁴﹣1

利用你发现的规律：求：7²⁰²¹+7²⁰²⁰+7²⁰¹⁹+…+7+1＝　　．

【答案】

【解答】解：7²⁰²¹+7²⁰²⁰+7²⁰¹⁹+…+7+1

＝ ×（7﹣1）（7²⁰²¹+7²⁰²⁰+7²⁰¹⁹+…+7+1）

＝ ×（7²⁰²²﹣1）

＝ ．

故答案为： ．

12．（碑林区校级期末）计算：2022²﹣2024×2020＝　　．

【答案】4

【解答】解：原式＝2022²﹣（2022+2）（2022﹣2）

＝2022²﹣（2022²﹣2²）

＝2022²﹣2022²+4

＝4．

故答案为：4．

13．（李沧区期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如3＝2²﹣1²，7＝4²﹣3²，16＝5²﹣3²，3，7，16就是三个智慧数．在正整数中，从1开始，第2022个智慧数是　　．

【答案】2699

【解答】解：设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数．则（k+1）²﹣k²＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．

设两个数分别为k+1，k﹣1，其中k≥1，且k为整数．则（k+1）²﹣（k﹣1）²＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，k＝2时，4k＝8，

∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．

∴4k（k≥2且k为整数）均为智慧数；

除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下：

∵假设4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2＝m²﹣n²，

∴4k+2＝2（2k+1）＝（m+n）（m﹣n）①，

∵m+n和m﹣n这两个数的奇偶性相同，

∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．

∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，

又∵（2022﹣1）÷3＝673••••••2，

∴第2022个智慧数在1+673+1＝675（组），并且是第三个数，即675×4﹣1＝2699，是个奇数，

∴2k+1＝2699，解得k＝1349，k+1＝1350，

即第2022个智慧数是2699，1349和1350是它的智慧分解．

故答案为：2699．

14．（闵行区期中）如图，正方形ABCD与正方形CEFG的面积之差是6，求阴影部分的面积．

【解答】解：设正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a和b，由题意得：

b²﹣a²＝6．

由图形可得：

S_阴＝ a（b﹣a）+（ b²﹣ ab）

＝ ab﹣ a²+ b²﹣ ab

＝ （b²﹣a²）

＝ ×6

＝3．

故阴影部分的面积为3．

15．（西安期末）探究活动：

（1）将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成图②一个长方形，则长表示为　　，宽为　．

（2）则图2中阴影部分周长表示为　　．

知识应用：运用你得到的公式解决以下问题

（3）计算：已知a＝5m﹣3n，b＝3m+5n，则图2中阴影部分周长是多少？

【解答】解：（1）由题意可得：

图2长方形的长为：a+b，宽为：a﹣b，

故答案为：a+b，a﹣b；

（2）图2中阴影部分周长表示为：2（a+b+a﹣b）＝4a，

故答案为：4a；

（3）∵a＝5m﹣3n，b＝3m+5n．

∴阴影部分周长是4a＝4（5m﹣3n）＝20m﹣12n．

16．（天桥区期末）如图，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．

（1）设图1阴影部分的面积为S₁，图2中阴影部分的面积为S₂，请直接用含a，b的式子表示S₁＝　　，S₂＝　　，写出上述过程中所揭示的乘法公式　　；

（2）直接应用，利用这个公式计算：

①（﹣ x﹣y）（y﹣ x）；

②102×98．

（3）拓展应用，试利用这个公式求下面代数式的结果．

（3+1）×（3²+1）×（3⁴+1）×（3⁸+1）×（3¹⁶+1）×…×（3¹⁰²⁴+1）+1．

【解答】解：（1）S₁＝a²﹣b²，S₂＝（a+b）（a﹣b），

∵S₁＝S₂，

∴a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）．

（2）①（﹣ x﹣y）（y﹣ x）＝（﹣ x）²﹣y²＝ x²﹣y²；

②102×98＝（100+2）×（100﹣2）＝9996．

（3）（3+1）×（3²+1）×（3⁴+1）×（3⁸+1）×（3¹⁶+1）......×（3¹⁰²⁴+1）+1，

＝（3﹣1）×[（3+1）×（3²+1）×（3⁴+1）×（3⁸+1）×（3¹⁶+1）......×（3¹⁰²⁴+1）]÷（3﹣1）+1，

＝（3²﹣1）×（3²+1）×（3⁴+1）×（3⁸+1）×（3¹⁶+1）......×（3¹⁰²⁴+1）÷2+1，

＝[（3¹⁰²⁴）²﹣1²]÷2+1，

＝（3²⁰⁴⁸﹣1）÷2+1，

_＝

17．（大连期末）乘法公式的探究及应用．

（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是　　；如图2，阴影部分的面积是　　；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式　；

（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：

①103×97；

②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．

【解答】解：（1）由拼图可知，图形1的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），图形2的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a²﹣b²，

由图形1，图形2的面积相等可得，（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b²，

故答案为：（a+b）（a﹣b），a²﹣b²，（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b²；

（2）①103×97＝（100+3）（100﹣3）

＝100²﹣3²

＝10000﹣9

＝9991；

②原式＝（2x+y﹣3）[2x﹣（y﹣3）]

＝（2x）²﹣（y﹣3）²

＝4x²﹣（y²﹣6y+9）

＝4x²﹣y²+6y﹣9．

18．（奉化区校级期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：

（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是　　．

（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？

（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．

【解答】解：（1）图1的面积为a²﹣b²，图2的面积为 （2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），因此有a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b），

故答案为：a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）；

（2）拼图前的面积为a²+2ab+b²，拼图后的面积为（a+b）²，因此可得a²+2ab+b²＝（a+b）²，即完全平方公式；

（3）拼图前的面积为2a²+3ab+b²，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形，拼图如图所示：

19.（宝安区期末）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）．

（1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的公式是：　＝　．

（2）小明在计算（2+1）（2²+1）（2⁴+1）时利用了（1）中的公式：

（2+1）（2²﹣1）（2⁴+1）

＝（2﹣1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）

＝　．

（请你将以上过程补充完整．）

（3）利用以上的结论和方法、计算： +（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）．

【解答】解：（1）图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a²﹣b²，图②是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），

由图①、图②面积相等可得：（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b²，

故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b²；

（2）原式＝（2﹣1）•（2+1）（2²+1）（2⁴+1）

＝（2²﹣1）（2²+1）（2⁴+1）

＝（2⁴﹣1）（2⁴+1）

＝2⁸﹣1，

故答案为：2⁸﹣1；

（3）原式＝ + （3﹣1）（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）

＝ + （3²﹣1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）

＝ + （3⁴﹣1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）

＝ + （3⁸﹣1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）

＝ + （3¹⁶﹣1）（3¹⁶+1）

＝ + （3³²﹣1）

＝ + ﹣

＝ ．