专项3.1 幂运算（四大类型）

1．（淮安）计算a²•a³的结果是（　　）

A．a² B．a³ C．a⁵ D．a⁶

【答案】C

【解答】解：a²•a³＝a⁵．

故选：C．

2．（思明区校级期中）（ ）²⁰²⁰×（﹣3）²⁰²¹的计算结果是（　　）

A．3 B．﹣3 C． D．﹣

【答案】B

【解答】解：（ ）²⁰²⁰×（﹣3）²⁰²¹

＝（ ）²⁰²⁰×（﹣3）²⁰²⁰×（﹣3）

＝（﹣ ）²⁰²⁰×（﹣3）

＝（﹣1）²⁰²⁰×（﹣3）

＝1×（﹣3）

＝﹣3．

故选：B．

3．（蒸湘区校级期末）已知3^m＝12，3ⁿ＝4，则3^m﹣n的值为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8

【答案】A

【解答】解：∵3^m＝12，3ⁿ＝4，

∴3^m﹣n＝3^m÷3ⁿ＝12÷4＝3．

故选：A．

4．（茌平区期末）如果x^m＝3，xⁿ＝ ，那么x^2m﹣n的值为（　　）

A．36 B．24 C． D．

【答案】A

【解答】解：∵x^m＝3，xⁿ＝ ，

∴x^2m﹣n

＝x^2m÷xⁿ

＝（x^m）²÷xⁿ

＝3²÷

＝9×4

＝36，

故选：A．

5．（包头）若2⁴×2²＝2^m，则m的值为（　　）

A．8 B．6 C．5 D．2

【答案】B

【解答】解：∵2⁴×2²＝2⁴⁺²＝2⁶＝2^m，

∴m＝6，

故选：B．

6．（长安区期中）若3ⁿ+3ⁿ+3ⁿ＝3⁶，则n＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解答】解：∵3ⁿ+3ⁿ+3ⁿ＝3×3ⁿ＝3¹⁺ⁿ＝3⁶，

∴1+n＝6，

解得n＝5．

故选：D．

7．（顺德区校级期中）已知m、n是正整数，且a^m＝3，aⁿ＝2，则a^m+n的值为（　　）

A．5 B．1 C．6 D．

【答案】C

【解答】解：∵m、n是正整数，且a^m＝3，aⁿ＝2，

∴a^m+n＝a^m•aⁿ＝3×2＝6．

故选：C．

8．（巴南区期末）若2^a＝3，2^b＝5，2^c＝15，则（　　）

A．a+b＝c B．a+b+1＝c C．2a+b＝c D．2a+2b＝c

【答案】A

【解答】解：∵2^a×2^b＝2^a+b＝3×5＝15＝2^c，

∴a+b＝c，

故选：A．

9．（铁西区期末）下列结论：①a（b+c）＝ab+ac；②a（b﹣c）＝ab﹣ac；③a⁵÷a²×a＝a³；④（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）．其中一定成立的是（　　）

A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④

【答案】B

【解答】解：①a（b+c）＝ab+ac，原结论成立；

②a（b﹣c）＝ab﹣ac，原结论成立；

③a⁵÷a²×a＝a³×a＝a⁴，原结论不成立；

④（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0），原结论成立．

所以一定成立的是①②④．

故选：B．

10．（苏州期末）若a^m＝3，aⁿ＝5，则a^m+n的值是（　　）

A． B． C．8 D．15

【答案】D

【解答】解：因为a^m＝3，aⁿ＝5，

所以a^m•aⁿ＝3×5，

所以a^m+ⁿ＝15，

故选：D．

11．（三元区校级月考）下列各项中，两个幂是同底数幂的是（　　）

A．x²与a² B．（﹣a）⁵与a³

C．（x﹣y）²与（y﹣x）² D．﹣x²与x³

【答案】D

【解答】解：A、x²与a²底数不相同，不是同底数幂，故本选项不合题意；

B、（﹣a）⁵＝﹣a⁵，与a³底数不相同，不是同底数幂，故本选项不合题意；

C、（x﹣y）²与（y﹣x）²底数不相同，不是同底数幂，故本选项不合题意；

D、﹣x²与x³是同底数幂，故本选项符合题意；

故选：D．

12．（嘉定区校级月考）计算﹣（﹣m²）•（﹣m）³•（﹣m），正确的是（　　）

A．﹣m³ B．m⁵ C．m⁶ D．﹣m⁶

【答案】C

【解答】解：﹣（﹣m²）•（﹣m）³•（﹣m）

＝﹣（﹣m²）•（﹣m³）•（﹣m）

＝m²⁺³⁺¹

＝m⁶．

故选：C．

13．（富平县期末）对于数3⁰、3^﹣1、﹣|﹣3|、（ ）^﹣1大小比较中，下列正确的是（　　）

A．3⁰＜3^﹣1＜﹣|﹣3|＜（ ）^﹣1 B．﹣|﹣3|＜3^﹣1＜3⁰＜（ ）^﹣1

C．3^﹣1＜﹣|﹣3|＜3⁰＜（ ）^﹣1 D．（ ）^﹣1＜3⁰＜3^﹣1＜﹣|﹣3|

【答案】B

【解答】解：∵3⁰＝1，3^﹣1＝ ，﹣|﹣3|＝﹣3，（ ）^﹣1＝3，

∴﹣3＜ 1＜3，

∴﹣|﹣3|＜3^﹣1＜3⁰＜（ ）^﹣1，

故选：B．

14．（洪江市期末）定义一种新运算： ，例如 ．若 ，则k＝　　．

【答案】-2

【解答】解：由题意得，

（﹣x^﹣2）dx＝k^﹣1﹣2^﹣1＝ ﹣ ＝﹣1，

即 ﹣ ＝﹣1，

解得k＝﹣2，

故答案为：﹣2．

15．（宛城区校级月考）我们知道，同底数幂乘法法则为：a^m•aⁿ＝a^m+n（其中a≠0，m、n为正整数）类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：g（m+n）＝g（m）•g（n），若g（1）＝﹣3，那么g（2020）•g（2021）＝　　．

【答案】﹣3⁴⁰⁴¹

【解答】解：g（2020）•g（2021）

＝g^（2020+2021）

＝g^（4041）

＝g^（1+1+1...+1）

＝[g^（1）]^（4041）；

∵g（1）＝﹣3，

∴原式＝﹣3⁴⁰⁴¹，

故答案为：﹣3⁴⁰⁴¹．

16．（东源县校级期末）已知x^a＝3，x^b＝9，则x^a+b＝　　．

【答案】27

【解答】解：∵x^a＝3，x^b＝9，

∴x^a+b＝x^a•x^b＝3×9＝27．

故答案为：27．

17．（冷水滩区校级月考）对于任意大于0的实数x、y，满足：log₂（x•y）＝log₂x+log₂y，若log₂2＝1，则log₂16＝　　．

【答案】4

【解答】解：log₂16＝log₂（2×2×2×2）＝log₂2+log₂2+log₂2+log₂2＝1+1+1+1＝4．

故答案为：4．

18．（九台区期中）若 ， ，则3^x+y＝　　．

【答案】

【解答】解：因为3^x＝ ，3^y＝ ，

所以3^x+y＝3^x×3^y＝ × ＝ ．

故答案为： ．

19．（中山市校级模拟）计算：（ ）²⁰¹⁹×（ ）²⁰²⁰＝　．

【答案】 　

【解答】解：（ ）²⁰¹⁹×（ ）²⁰²⁰＝ ＝ ．

故答案为： ．

20．（龙岗区校级月考）已知2^a＝3，2^b＝5，2^c＝30，那么a、b、c之间满足的等量关系是　　．

【答案】a+b+1＝c

【解答】解：∵2^a＝3，2^b＝5，2^c＝30，

∴2^a•2^b×2＝3×5×2＝30＝2^c，

∴a+b+1＝c．

故答案为：a+b+1＝c．

21．（甘孜州期末）已知a^m+1•a^2m﹣1＝a⁹​，则m＝​　　．

【答案】3

【解答】解：∵a^m+1•a^2m﹣1＝a⁹​，

∴a^m+1+2m﹣1＝a⁹​，

∴m+1+2m﹣1＝9，

解得：m＝3．

故答案为：3．

22．（三元区校级月考）（x﹣y）³⋅（x﹣y）²⋅（x﹣y）⁴＝　．

【答案】（x﹣y）⁹　

【解答】解：（x﹣y）³⋅（x﹣y）²⋅（x﹣y）⁴

＝（x﹣y）³⁺²⁺⁴

＝（x﹣y）⁹，

故答案为：（x﹣y）⁹．

23．（长沙期末）已知3^3x+1＝81，则x＝　　．

【答案】1

【解答】解：∵3^3x+1＝81，

∴3^3x+1＝3⁴，

∴3x+1＝4，

x＝1，

故答案为：1．

24．（榆树市月考）已知x^m＝6，xⁿ＝3，则x^m﹣2n的值为　　．

【答案】

【解答】解：x^m﹣2n

＝x^m÷x²ⁿ

＝x^m÷（xⁿ）²，

∵x^m＝6，xⁿ＝3，

∴x^m﹣2n＝6÷3²＝ ，

故答案为： ．

25．（青山区期中）计算：若a^m＝8，aⁿ＝2，则a^2m﹣3n的值是　　．

【答案】8

【解答】解：∵a^m＝8，aⁿ＝2，

∴a^2m﹣3n＝（a^m）²÷（aⁿ）³

＝8²÷2³

＝64÷8

＝8．

故答案为：8．

26．（东方校级月考）已知2^x＝3，2^y＝5，求2^x+y+3的值．

【解答】解：∵2^x＝3，2^y＝5，

∴2^x+y+3＝2^x•2^y•2³＝3×5×8＝120．

27．（永春县期中）（1）若2^x＝3，2^y＝5，则2^x+y＝　　．

（2）已知a^x＝5，a^x+y＝25，求a^x+a^y的值．

（2）已知x^2a+b•x^3a﹣b•x^a＝x¹²，求﹣a¹⁰⁰+2¹⁰¹的值．

【解答】解：（1）∵2^x＝3，2^y＝5，

∴2^x+y＝2^x•2^y＝3×5＝15．

故答案为：15．

（2）∵a^x＝5，

∴a^x+y＝a^x•a^y＝5a^y＝25．

∴a^y＝5．

∴a^x+a^y＝5+5＝10．

（3）∵x^2a+b•x^3a﹣b•x^a＝x¹²，

∴x^6a＝x¹²．

∴6a＝12．

∴a＝2．

∴﹣a¹⁰⁰+2¹⁰¹＝﹣2¹⁰⁰+2¹⁰¹＝﹣2¹⁰⁰+2×2¹⁰⁰＝2¹⁰⁰．

28．（沛县校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a^c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为2³＝8，所以（2，8）＝3．

（1）根据上述规定，填空：

（5，125）＝　　，（﹣3，1）＝　　，（﹣2，﹣ ）＝　　．

（2）令（4，6）＝a，（4，7）＝b，（4，42）＝c，试说明下列等式成立的理由：（4，6）+（4，7）＝（4，42）

【答案】3，0，﹣5．

【解答】解：（1）∵如果a^c＝b，那么（a，b）＝c，5³＝125，（﹣3）⁰＝1，（﹣2）^﹣5＝ ，

∴（5，125）＝3，（﹣3，1）＝0，（﹣2，﹣ ）＝﹣5．

故答案为：3，0，﹣5．

（2）由题意得：4^a＝6，4^b＝7，4^c＝42．

∵42＝6×7，

∴4^c＝4^a×4^b＝4^a+b，

∴a+b＝c．

∴（4，6）+（4，7）＝（4，42）．

29．（郫都区校级月考）定义新运算：a☆b＝10^a×10^b．

（1）试求：12☆3和4☆8的值；

（2）判断（a☆b）☆c是否与a☆（b☆c）相等？验证你的结论．

【解答】解：（1）∵a☆b＝10^a×10^b，

∴12☆3＝10¹²×10³＝10¹⁵，

4☆8＝10⁴×10⁸＝10¹²；

（2）（a☆b）☆c与a☆（b☆c）不相等；

理由：∵（a☆b）☆c＝（10^a×10^b）☆c＝10^a+b☆c＝ ×10^c＝ ，

a☆（b☆c）＝a☆（10^b×10^c）＝a☆10^b+c＝10^a× ＝

∴（a☆b）☆c≠a☆（b☆c）．

30．（即墨区期末）阅读下列材料并解决后面的问题

材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣﹣1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为aⁿ，如2³＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log₂8，即log₂8＝3一般地若aⁿ＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log_ab，即log_ab＝n．如3⁴＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log₃81，即log₃81＝4．

（1）计算下列各对数的值：log₂4＝　　，log₂16＝　　，log₂64＝　　

（2）通过观察（1）中三数log₂4、log₂16、log₂64之间满足的关系式是　　；

（3）拓展延伸：下面这个一般性的结论成立吗？我们来证明

log_aM+log_aN＝log_aMN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）

证明：设log_aM＝m，log_aN＝n，

由对数的定义得：a^m＝M，aⁿ＝N，

∴a^m•aⁿ＝a^m+n＝M•N，

∴log_aMN＝m+n，

又∵log_aM＝m，log_aN＝n，

∴log_aM+log_aN＝log_aMN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）

（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？

log_aM﹣log_aN＝log_a （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）

（5）计算：log₃4+log₃9﹣log₃12的值为　　．

【解答】解：（1）log₂4＝log₂2²＝2，log₂16＝log₂2⁴＝4，log₂64＝log₂2⁶＝6；

故答案为：2，4，6；

（2）通过观察（1）中三数log₂4、log₂16、log₂64之间满足的关系式是：log₂4+log₂16＝log₂64；

（4）证明：设log_aM＝m，log_aN＝n，

由对数的定义得：a^m＝M，aⁿ＝N，

∴a^m÷aⁿ＝a^m﹣n＝ ，

∴log_a ＝m﹣n，

又∵log_aM＝m，log_aN＝n，

∴log_aM﹣log_aN＝log_a （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）

（5）log₃4+log₃9﹣log₃12，

＝log₃ ，

＝log₃3，

＝1，

故答案为：1．