专项2.1
二元一次方程组的解法（3大技巧）
1.（普陀区校级期末）已知
，那么x﹣y的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【答案】B
【解答】解：方程组
（1）﹣（2）得：x﹣y＝﹣1．
故选：B．
2．（遵义期末）已知方程组
的解是
，则方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：根据题意得：
，
解得
，
故选：A．
3.（岳西县期末）若方程组
的解为
，则方程组
的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：∵方程组
的解为
，
∴方程组
的解
，
∴
，
故选：B．
4.（奉化区校级期末）关于a，b的二元一次方程组
的解是
，则关于x，y的二元一次方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：∵关于a，b的二元一次方程组
的解是
，
∴关于x，y的二元一次方程组
满足
，即
解得
．
故关于x，y的二元一次方程组
的解是
，
故选：D．
5.（奉化区校级期末）关于x、y的二元一次方程组
的解为
，则关于m，n的二元一次方程组
的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组
的解为
，
把关于m，n的二元一次方程组
看作关于（m﹣n）和（m+n）的二元一次方程组，
∴
，
∴关于m，n的二元一次方程组
为
．
故选：C．
6．（宿城区校级月考）若方程组
的解是
，则方程组
的解为 ．
【答案】
【解答】解：由题意得：
，
解得：
，
故答案为：
．
7.（西安期末）若x、y满足方程组
，则x+y的值是 ．
【答案】2
【解答】解：
，
①+②得：
4x+4y＝8，
∴x+y＝2，
∴x+y的值是2，
故答案为：2．
8.（泌阳县期末）善于思考的小军在解方程组
时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，
即2（2x+5y）+y＝5，③
把方程①代入③，得2×3+y＝5．∴y＝﹣1．
把y＝﹣1代入①，得x＝4．
∴原方程组的解为
．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换法”解方程组：
（2）已知x，y满足方程组
，求x2+4y2的值．
【答案】（1）
（2）x2+4y2＝17
【解答】解：（1）由②得：3（3x﹣2y）+2y＝19③，
把①代入③得：15+2y＝19，
解得：y＝2，
把y＝2代入①得：x＝3，
则方程组的解为
；
（2）由①得：3（x2+4y2）﹣2xy＝47③，
由②得：2（x2+4y2）+xy＝36④，
③+④×2得：7（x2+4y2）＝119，
解得：x2+4y2＝17．
9.（公安县期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组
时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单：
①﹣②得2x+2y＝2，所以x+y＝1③．
③×35﹣①得3x＝﹣3．
解得x＝﹣1，从而y＝2．
所以原方程组的解是
．
（1）请你运用上述方法解方程组：
．
（2）猜测关于x、y的方程组
（a≠b）的解是什么？并用方程组的解加以验证．
（3）请你用类似方法解方程组：
．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解答】解：（1）②﹣①得3x+3y＝3，即x+y＝1③，
③×2018﹣①得2x＝﹣2，
解得x＝﹣1，
将x＝﹣1代入③得y＝2，
∴原方程组的解为
；
（2）方程组的解为
，
检验：把
代入①得，左边＝﹣a+2a+2n＝a+2n＝右边；
把
代入②得，左边＝﹣b+2b+2n＝b+2n＝右边，
∴
是原方程组的解；
（3）①+②得2020x+2020y＝4040，即x+y＝2③，
③×1007﹣①得﹣2x＝﹣5，
解得x＝2.5，
将x＝2.5代入③得y＝﹣0.5，
∴原方程组的解为
．
10.（娄底月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组
时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入法，加减法来解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得3x+3y＝3，∴x+y＝1③，
③×14得14x+14y＝14④，
①﹣④得y＝2，从而得x＝﹣1，
∴原方程组的解是
．
（1）请你运用上述方法解方程组
；
（2）请你直接写出方程组
的解是 ．
（3）猜测关于x，y的方程组
的解是什么，并用方程组的解加以验证（m≠n≠0）．
【答案】（1）
（2）
（3）
是原方程组的解
【解答】解：
，
②﹣①得：3x+3y＝3，
∴x+y＝1③，
③×2015得：2015x+2015y＝2015④，
①﹣④得：y＝2，
把y＝2代入③得：x+2＝1，
解得：x＝﹣1，
所以原方程组的解是：
．
（2）
，
②﹣①得，9000x+9000y＝9000，
∴x+y＝1③，
③×998得，998x+998y＝998④，
①﹣④得，y＝2，
将y＝2代入③得，x＝﹣1，
所以原方程组的解是：
．
，
当x＝﹣1，y＝2时，第一个方程：左边＝﹣m+（m+1）×2＝﹣m+2m+2＝m+2＝右边；
第二个方程：左边＝﹣n+（n+1）×2＝﹣n+2n+2＝n+2＝右边，
∴
是原方程组的解．
11.（西湖区校级月考）请阅读下列材料，解答问题：
材料：解方程组
，若设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可变形为
，用加减消元法解得
，所以
，再解这个方程组得
．由此可以看出，在上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫换元法．
问题：请你用上述方法解方程组
．
【答案】
【解答】解：设x+y＝m，x﹣y＝n，
则原方程组可变形为
，
用加减消元法解得：
，
∴
，
解得：
，
∴原方程组的解为
．
12.（扶沟县期末）解方程组
若设（x+y）＝A，（x﹣y）＝B，则原方程组可变形为
，解方程组得
，所以
解方程组得
，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法，请用这种方法解方程组
．
【答案】
【解答】解：设x+y＝A，x﹣y＝B，
方程组变形得：
，
整理得：
，
①×3+②×2得：13A＝156，即A＝12，
把A＝12代入②得：B＝0，
∴
，
解得：
．
13.（安陆市期末）【阅读材料】
小明同学遇到下列问题：
解方程组
，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看作一个数，把（2x﹣3y）看作一个数，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，
这时原方程组化为
，解得
，
把
代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．
得
解得
．
所以，原方程组的解为
【解决问题】
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
（1）解方程组
；
（2）已知方程组
的解是
，求方程组
的解．
【答案】（1）
（2）
【解答】解：（1）令m＝
，n＝
，
原方程组可化为
，
解得：
，
∴
，
解得
∴原方程组的解为
；
（2）令e＝x+1，f＝﹣y，
原方程组可化为
，
依题意，得
，
∴
，
解得
．
14．（盐湖区期末）阅读材料：善思考的小军在解方程组
时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5 ③
把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1
把y＝﹣1代入①得，x＝4，
所以方程组的解为
．
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组
．
【答案】
【解答】解：
将方程②变形：3（3x﹣2y）+2y＝19．
将方程①代入③，得3×5+2y＝19．y＝2
把y＝2代入①得x＝3
∴方程组的解为
．
15．（沙坪坝区校级月考）先阅读，再解方程组．
解方程组
．
解：设m＝x+y，n＝x﹣y，则原方程组化为
．解得
，即
．
∴原方程组的解为
．
这种解方程组的方法叫做“换元法”．
（1）已知方程组
的解是
，求方程组
的解．
（2）用换元法解方程组
（其中|x|≠|y|）．
【答案】（1）
（2）
【解答】解：（1）把方程组
变形为
，
∵方程组
的解是
，
∴
，解得
，
∴方程组
的解为
；
（2）设m＝
，n＝
，则原方程组化为
，解得
，
即x+y＝
，x﹣y＝1，
解方程组
，解得
，
所以原方程组的解为
．
16．（古丈县期末）在课辅活动中，老师布置了一道这样的题：探究方程组：
的不同解法．同学们发现：虽然这个方程组中x，y的系数及常数项的数值较大，但我们也是可以用教材上学过的常规的代入消元法、加减消元法来解出来的，但老师应该出题还有深意：此类题是不是还有更好的消元方法呢？
小明带着这个问题和同学们进行了激烈的讨论，并查找了一些课外辅导资料，他们发现采用下面的解法来消元更简单：
①﹣②得2x+2y＝2，所以x+y＝1③．
③×35﹣①得3x＝﹣3．
解得x＝﹣1，从而y＝2．
所以原方程组的解是
．
请你认真观察方程组的特点，也尝试运用小明他们发现的上述方法解这个方程组：
．
【答案】
【解答】解：②﹣①得3x+3y＝3，
即x+y＝1③，
③×2018，得：2018x+2018y＝2018④，
④﹣①得2x＝﹣2，
解得x＝﹣1，
将x＝﹣1代入③，得：﹣1+y＝1，
解得y＝2，
∴原方程组的解为
．