【324453】2024春七年级数学下册 培优专项2.1 二元一次方程组的解法（3大技巧）（含解析）（

专项2.1 二元一次方程组的解法（3大技巧）

1.（普陀区校级期末）已知 ，那么x﹣y的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．0 D．2

【答案】B

【解答】解：方程组

（1）﹣（2）得：x﹣y＝﹣1．

故选：B．

2．（遵义期末）已知方程组 的解是 ，则方程组 的解是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解答】解：根据题意得：

，

解得 ，

故选：A．

3.（岳西县期末）若方程组 的解为 ，则方程组 的解为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解答】解：∵方程组 的解为 ，

∴方程组 的解 ，

∴ ，

故选：B．

4.（奉化区校级期末）关于a，b的二元一次方程组 的解是 ，则关于x，y的二元一次方程组 的解是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解答】解：∵关于a，b的二元一次方程组 的解是 ，

∴关于x，y的二元一次方程组 满足 ，即

解得 ．

故关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，

故选：D．

5.（奉化区校级期末）关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，则关于m，n的二元一次方程组 的解为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，

把关于m，n的二元一次方程组 看作关于（m﹣n）和（m+n）的二元一次方程组，

∴ ，

∴关于m，n的二元一次方程组 为 ．

故选：C．

6．（宿城区校级月考）若方程组 的解是 ，则方程组 的解为　　．

【答案】

【解答】解：由题意得：

，

解得： ，

故答案为： ．

7.（西安期末）若x、y满足方程组 ，则x+y的值是　　．

【答案】2

【解答】解： ，

①+②得：

4x+4y＝8，

∴x+y＝2，

∴x+y的值是2，

故答案为：2．

8.（泌阳县期末）善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：

解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，

即2（2x+5y）+y＝5，③

把方程①代入③，得2×3+y＝5．∴y＝﹣1．

把y＝﹣1代入①，得x＝4．

∴原方程组的解为 ．

请你解决以下问题：

（1）模仿小军的“整体代换法”解方程组：

（2）已知x，y满足方程组 ，求x²+4y²的值．

【答案】（1） （2）x²+4y²＝17

【解答】解：（1）由②得：3（3x﹣2y）+2y＝19③，

把①代入③得：15+2y＝19，

解得：y＝2，

把y＝2代入①得：x＝3，

则方程组的解为 ；

（2）由①得：3（x²+4y²）﹣2xy＝47③，

由②得：2（x²+4y²）+xy＝36④，

③+④×2得：7（x²+4y²）＝119，

解得：x²+4y²＝17．

9.（公安县期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：

解方程组 时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单：

①﹣②得2x+2y＝2，所以x+y＝1③．

③×35﹣①得3x＝﹣3．

解得x＝﹣1，从而y＝2．

所以原方程组的解是 ．

（1）请你运用上述方法解方程组： ．

（2）猜测关于x、y的方程组 （a≠b）的解是什么？并用方程组的解加以验证．

（3）请你用类似方法解方程组： ．

【答案】（1） （2） （3）

【解答】解：（1）②﹣①得3x+3y＝3，即x+y＝1③，

③×2018﹣①得2x＝﹣2，

解得x＝﹣1，

将x＝﹣1代入③得y＝2，

∴原方程组的解为 ；

（2）方程组的解为 ，

检验：把 代入①得，左边＝﹣a+2a+2n＝a+2n＝右边；

把 代入②得，左边＝﹣b+2b+2n＝b+2n＝右边，

∴ 是原方程组的解；

（3）①+②得2020x+2020y＝4040，即x+y＝2③，

③×1007﹣①得﹣2x＝﹣5，

解得x＝2.5，

将x＝2.5代入③得y＝﹣0.5，

∴原方程组的解为 ．

10.（娄底月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：

解方程组 时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入法，加减法来解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：

②﹣①得3x+3y＝3，∴x+y＝1③，

③×14得14x+14y＝14④，

①﹣④得y＝2，从而得x＝﹣1，

∴原方程组的解是 ．

（1）请你运用上述方法解方程组 ；

（2）请你直接写出方程组 的解是　　．

（3）猜测关于x，y的方程组 的解是什么，并用方程组的解加以验证（m≠n≠0）．

【答案】（1） （2） （3） 是原方程组的解

【解答】解： ，

②﹣①得：3x+3y＝3，

∴x+y＝1③，

③×2015得：2015x+2015y＝2015④，

①﹣④得：y＝2，

把y＝2代入③得：x+2＝1，

解得：x＝﹣1，

所以原方程组的解是： ．

（2） ，

②﹣①得，9000x+9000y＝9000，

∴x+y＝1③，

③×998得，998x+998y＝998④，

①﹣④得，y＝2，

将y＝2代入③得，x＝﹣1，

所以原方程组的解是： ．

，

当x＝﹣1，y＝2时，第一个方程：左边＝﹣m+（m+1）×2＝﹣m+2m+2＝m+2＝右边；

第二个方程：左边＝﹣n+（n+1）×2＝﹣n+2n+2＝n+2＝右边，

∴ 是原方程组的解．

11.（西湖区校级月考）请阅读下列材料，解答问题：

材料：解方程组 ，若设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可变形为 ，用加减消元法解得 ，所以 ，再解这个方程组得 ．由此可以看出，在上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫换元法．

问题：请你用上述方法解方程组 ．

【答案】

【解答】解：设x+y＝m，x﹣y＝n，

则原方程组可变形为 ，

用加减消元法解得： ，

∴ ，

解得： ，

∴原方程组的解为 ．

12.（扶沟县期末）解方程组 若设（x+y）＝A，（x﹣y）＝B，则原方程组可变形为 ，解方程组得 ，所以 解方程组得 ，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法，请用这种方法解方程组 ．

【答案】

【解答】解：设x+y＝A，x﹣y＝B，

方程组变形得： ，

整理得： ，

①×3+②×2得：13A＝156，即A＝12，

把A＝12代入②得：B＝0，

∴ ，

解得： ．

13.（安陆市期末）【阅读材料】

小明同学遇到下列问题：

解方程组 ，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看作一个数，把（2x﹣3y）看作一个数，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：

令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，

这时原方程组化为 ，解得 ，

把 代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．

得 解得 ．

所以，原方程组的解为

【解决问题】

请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：

（1）解方程组 ；

（2）已知方程组 的解是 ，求方程组 的解．

【答案】（1） （2）

【解答】解：（1）令m＝ ，n＝ ，

原方程组可化为 ，

解得： ，

∴ ，

解得

∴原方程组的解为 ；

（2）令e＝x+1，f＝﹣y，

原方程组可化为 ，

依题意，得 ，

∴ ，

解得 ．

14．（盐湖区期末）阅读材料：善思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代入”的解法：

解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5 ③

把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1

把y＝﹣1代入①得，x＝4，

所以方程组的解为 ．

请你模仿小军的“整体代入”法解方程组 ．

【答案】

【解答】解：

将方程②变形：3（3x﹣2y）+2y＝19．

将方程①代入③，得3×5+2y＝19．y＝2

把y＝2代入①得x＝3

∴方程组的解为 ．

15．（沙坪坝区校级月考）先阅读，再解方程组．

解方程组 ．

解：设m＝x+y，n＝x﹣y，则原方程组化为 ．解得 ，即 ．

∴原方程组的解为 ．

这种解方程组的方法叫做“换元法”．

（1）已知方程组 的解是 ，求方程组 的解．

（2）用换元法解方程组 （其中|x|≠|y|）．

【答案】（1） （2）

【解答】解：（1）把方程组 变形为 ，

∵方程组 的解是 ，

∴ ，解得 ，

∴方程组 的解为 ；

（2）设m＝ ，n＝ ，则原方程组化为 ，解得 ，

即x+y＝ ，x﹣y＝1，

解方程组 ，解得 ，

所以原方程组的解为 ．

16．（古丈县期末）在课辅活动中，老师布置了一道这样的题：探究方程组： 的不同解法．同学们发现：虽然这个方程组中x，y的系数及常数项的数值较大，但我们也是可以用教材上学过的常规的代入消元法、加减消元法来解出来的，但老师应该出题还有深意：此类题是不是还有更好的消元方法呢？

小明带着这个问题和同学们进行了激烈的讨论，并查找了一些课外辅导资料，他们发现采用下面的解法来消元更简单：

①﹣②得2x+2y＝2，所以x+y＝1③．

③×35﹣①得3x＝﹣3．

解得x＝﹣1，从而y＝2．

所以原方程组的解是 ．

请你认真观察方程组的特点，也尝试运用小明他们发现的上述方法解这个方程组： ．

【答案】

【解答】解：②﹣①得3x+3y＝3，

即x+y＝1③，

③×2018，得：2018x+2018y＝2018④，

④﹣①得2x＝﹣2，

解得x＝﹣1，

将x＝﹣1代入③，得：﹣1+y＝1，

解得y＝2，

_{∴原方程组的解为} ．