专项2.3 二元一次方程组应用（九大类型）

【类型一：数字问题】

1．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．设十位上的数字为x，个位上的数字为y，列方程组为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解答】解：设十位上的数字为x，个位上的数字为y，

根据题意得： ．

故选：A．

2．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大9，则原来的两位数是 　　．

【答案】34

【解答】解：设原来的两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y，

依题意得： ，

解得： ，

∴10x+y＝10×3+4＝34．

故答案为：34．

3．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10．求原来的两位数．

【解答】解：设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，两位数可表示为10y+x，根据题意得：

，

解得： ，

则原两位数为26．

答：原来的两位数为26．

4．小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”

那么，你能回答以下问题吗？

（1）他们取出的两张卡片上的数字分别是几？

（2）第一次，他们拼出的两位数是多少？

（3）第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！

【解答】解：（1）设他们取出的两个数字分别为x、y．

第一次拼成的两位数为10x+y，第二次拼成的两位数为10y+x．

根据题意得：

，

由②，得：y﹣x＝1③，

①+③得：y＝5．

则x＝4，

所以他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．

（2）根据（1）得：

十位数字是4，个位数字是5，

所以第一次他们拼成的两位数为45．

（3）根据（1）得，

x，y的位置调换，所以十位数字是5，个位数字是，

所以第二次拼成的两位数是54

【类型二：年龄问题】

5．小明与哥哥的年龄和是24岁，小明对哥哥说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是24岁，”如果现在小明的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，下列方程组正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解答】解：设现在弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，由题意得

．

故选：D．

6.一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底

是　 　岁．

【答案】70

【解答】解：设小民爷爷是x岁，小民是y岁，

依题意得： ，

解得： ．

故答案为：70．

7．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：

根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．

【解答】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，

依题意，得： ，

解得： ．

答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．

【类型三：鸡兔同笼问题】

8．小明同学仿照我国古代经典的“鸡兔同笼”问题给小石同学出了一道题目：“今有鸡兔同笼，上有十二头，下有四十足，问鸡兔各几何？”．若小石同学设笼中有鸡x只，兔y只，则根据题意可列方程组为 　 　．

【答案】

【解答】解：根据题意可列方程组为： ．

故答案为： ．

9．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱48文．甲、乙两人原来各有多少钱？

【解答】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，

由题意可得， ，

解得： ，

答：甲原有36文钱，乙原有24文钱

【类型四：牛羊值金问题】

10．《九章算术》卷八方程第七题原文为：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五直金八两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：现有5只牛、2只羊，共价值10两．2只牛、5只羊，共价值8两．那么每只牛、羊各价值多少？设每只牛、羊价值分别为x，y，则可列方程组为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解答】解：∵5只牛、2只羊，共价值10两，

∴5x+2y＝10；

∵2只牛、5只羊，共价值8两，

∴2x+5y＝8．

∴可列方程组为 ．

故选：C．

【类型五：几何问题】

11．如图，10块形状、大小相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意可列方程组为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解答】解：根据图示可得： ．

故选：A．

12．如图，将长方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠BAD比∠BAE大18°．设∠BAE和∠BAD的度数分别为x，y，那么x，y所适合的一个方程组是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解答】解：设∠BAE和∠BAD的度数分别为x°和y°，

依题意可列方程组： ．

故选：B．

13．用一根长80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10cm．设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，列出关于x、y的二元一次方程组，下列正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解答】解：设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，由题意可得，

，

故选：B．

14．如图，把六个形状、大小完全相同的小矩形放入大矩形中，则下列方程组正确的是（单位：cm）（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解答】解：如图：小长方形的长为xcm，宽为ycm，

依题意得： ，

故选：A．

【类型六：球赛积分问题】

15．某市举办中学生足球赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得3分，负一场扣1分，菁英中学队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解答】解：依题意得： ．

故选：C．

16．“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分，那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为 　 　．

【答案】

【解答】解：∵该足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，

∴x+y+2＝9；

∵胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，该足球队在第一轮比赛中共得17分，

∴3x+y＝17．

∴所列方程组为 ．

故答案为： ．

【类型七：盈不足问题】

17.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长为x尺，绳子长为y尺，则可列方程组为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解答】解：由题意可得， ，

故选：C．

18．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9需要步行：若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人各多少？设有x辆车，y个人，根据题意，列方程组是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解答】解：根据题意得：

．

故选：B．

19．今年6月，重庆实验外国语学校打算租用A、B两种型号大巴车共13辆用于高考送考，若全年级师生有544人，42座A型大巴车能全部坐满，45座B型大巴车有一辆还余23个座位；设乘坐A型大巴车x人，乘坐B型大巴车y人，根据题意可列出方程（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解答】解：设乘坐A型大巴车x人，乘坐B型大巴车y人，

根据题意得： ，

故选：D．

【类型八：销售问题】

20．根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500克）和小瓶装（250克）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22500000克，这些消毒液应该分装大，小瓶两种产品各多少瓶？设这些消毒液应该分装大瓶x瓶，小瓶y瓶．依题意可列方程组为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解答】解：∵该消毒液的大瓶装（500克）和小瓶装（250克）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5，

∴5x＝2y；

∵该厂每天生产这种消毒液22500000克，

∴500x+250y＝22500000．

∴依题意可列方程组 ．

故选：D．

21．天虹商场现销售某品牌运动套装，上衣和裤子一套售价500元．若将上衣价格下调5%，将裤子价格上调8%，则这样一套运动套装的售价提高0.2%．设上衣和裤子在调价前单价分别为x元和y元，则可列方程组为（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解答】解：根据题意可列方程组为 ，

故选：C．

22．某汽车专卖店销售A、B两种型号的新能源汽车，上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额96万元，本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．

（1）求每辆A型车和B型车的售价各是多少？

（2）随着汽车限购限号政策的推行，预计下周起A，B两种型号的汽车价格在原有的基础上均有上涨，若A型汽车价格上涨m%，B型汽车价格上涨3m%，则同时购买一台A型车和一台B型车的费用比涨价前多12%，求m的值．

【解答】解：（1）设每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则

，

解得 ．

答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；

（2）根据题意，得：18×m%+26×3m%＝（18+26）×12%，

解得：m＝5.5，

答：m的值为5.5．

【类型九：方案问题】

23．在上海新冠疫情防控期间，从仓储中心向市区转运居民必需物资，已知2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货13吨，1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货14吨．某仓储中心现有45吨物资，计划租用A型车a辆B型车b辆（一种或两种车型均可），一次运完，且恰好每辆车都载满货物．

（1）求1辆A型车和1辆B型车载满货物一次可分别运货多少吨？

（2）若A型车每辆需租金110元/次，B型车每辆需租金150元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．

【解答】解：（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，

依题意得： ，

解得： ．

答：1辆A型车载满货物一次可运货4吨，1辆B型车载满货物一次可运货5吨．

（2）依题意得：4a+5b＝45，

∴b＝9﹣ a，

又∵a，b均为自然数，

∴ 或 或 ，

∴共有3种租车方案，

方案1：租用9辆B型车，所需租车费为150×9＝1350（元）；

方案2：租用5辆A型车，5辆B型车，所需租车费为110×5+150×5＝1300（元）；

方案3：租用10辆A型车，1辆B型车，所需租车费为110×10+150×1＝1250（元）．

∵1350＞1300＞1250，

∴最省钱的租车方案为：租用10辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1250元．

24．某校组织七年级师生进行秋游，学校联系旅游公司提供车辆，该公司现有50座与35座两种车型，如果用35座的车，会有5人没座；如果全部换乘50座的车，则可少用2辆车，而且多出15个座位．

（1）问该校一共有多少名师生参加了这次活动？

（2）若35座车的日租金为250元/辆，50座车的日租金为320元/辆，在几种租车方案中，有哪种方案能使得座位刚好？用这种方案学校要出多少日租金？

【解答】解：（1）设参加互动师生共x人，

由题意得： +2，

即：10x﹣7x＝105+50+700，

解得：x＝285．

所以，参与本次师生互动的人共有285人．

（2）假设租了35座汽车y辆，其余人乘坐50座客车，则所花租金等于：

（285﹣35y）÷50×320+250y＝（285﹣35y）× +250y＝1724+26y，

若要使租金最少，即要使（1724+26y）值最小，

∴当y＝1时，租金为1750元时为最低．

故租了35座汽车1辆，50座客车5辆最合算．

25．某运输公司有A、B两种货车，4辆A货车与2辆B货车一次可以运货110吨，6辆A货车与4辆B货车一次可以运货180吨．

（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？

（2）目前有190吨货物需要运输该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费600元，每辆B货车一次运货花费500元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．

【解答】解：（1）设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨，

依题意得： ，

解得： ．

∴1辆A货车一次可以运货20吨，1辆B货车一次可以运货15吨．

（2）设安排m辆A货车，n辆B货车，

依题意得：20m+15n＝190，

∴n＝ ．

又∵m，n均为正整数，

∴ 或 或 ，

∴共有3种运输方案，

方案1：安排2辆A货车，10辆B货车；

方案2：安排5辆A货车，6辆B货车；

方案3：安排8辆A货车，2辆B货车．

选择方案1所需总运费为600×2+500×10＝6200（元）；

选择方案2所需总运费为600×5+500×6＝6000（元）；

选择方案3所需总运费为600×8+500×2＝5800（元）．

∵6200＞6000＞5800，

∴运输方案3费用最少．

答：（1）1辆A货车一次可以运货20吨，1辆B货车一次可以运货15吨；（2）共有3种运输方案，方案1：安排2辆A货车，10辆B货车；方案2：安排5辆A货车，6辆B货车；方案3：安排8辆A货车，2辆B货车，运输方案3费用最少