专项1.1 平行线和三线八角

1．（仪征市校级月考）如图，直线AD、BE被直线BF和AC所截，下列说法正确的是（　　）

A．∠3与∠4是同旁内角 B．∠2与∠5是同位角

C．∠6与∠1是内错角 D．∠2与∠6是同旁内角

【答案】D

【解答】解：A、∠3与∠4是内错角，错误；

B、∠2与∠5不是同位角，错误；

C、∠1与∠6不是同旁内角，错误；

D、∠2与∠6是同旁内角，正确；

故选：D．

2．（江西月考）如图，∠ABD的同旁内角共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【解答】解：∠ABD与∠ADB是直线AB、AD，被直线BD所截而成的同旁内角，

∠ABD与∠AEB是直线AB、AC，被直线BD所截而成的同旁内角，

∠ABD与∠BAE是直线AC、BD，被直线AB所截而成的同旁内角，

∠ABD与∠BAD是直线AD、BD，被直线AB所截而成的同旁内角，

故选：D．

3．（宛城区校级期末）如图，直线a、b被直线c所截，则下列式子：①∠1＝∠8；②∠1＝∠2；③∠3＝∠6；④∠5+∠8＝180°，能说明a∥b的条件的是（　　）

A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④

【答案】D

【解答】解：①同位角∠1＝∠2；

②内错角∠3＝∠6；

③对顶角∠1＝∠7，又∠1＝∠8，故同位角∠7＝∠8；

④∠5+∠8＝180°，邻补角∠5+∠7＝180°，故同位角∠7＝∠8；

四个条件都可以判定a∥b．

故选：D．

4．（东平县期末）在同一平面内，直线a、b、c中，若a⊥b，b∥c，则a、c的位置关系是　　．

【答案】c⊥a

【解答】解：∵c∥b，a⊥b，

∴c⊥a．

故答案为c⊥a

5．（满洲里市期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是　　（只填序号）．

【答案】①②③

【解答】解：∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①符合题意；

∠2与∠B是直线CD、直线BC，被直线AB所截的一对同位角，因此②符合题意；

∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③符合题意，

∠A与∠ACB是直线AB、直线BC，被直线AC所截的一对同旁内角，因此④不符合题意，

故答案为：①②③．

6．（宁波期中）图中与∠1构成同位角的个数有　　个．

【答案】3

【解答】解：如图，由同位角的定义知，能与∠1构成同位角的角有∠2、∠3、∠4，共3个，

故答案为：3．

7．（麻城市校级月考）如图，∠1和∠3是直线　　和　　被直线　　所截而成的　内错　角；图中与∠2是同旁内角的角有　　个．

【答案】AB、AC、DE、内错，3．

【解答】解：∠1和∠3是直线AB和AC被直线DE所截而成的内错角；图中与∠2 是同旁内角的角有∠6、∠5、∠7，共3个，

故答案为：AB、AC、DE、内错，3．

8．（青岛期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为　　．

【答案】30或120

【解答】解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，

（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，

①DE在MN上方时，

∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，

∴AP∥DF，

∴∠FDM＝∠MPA，

∵MN∥GH，

∴∠MPA＝∠HAC，

∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，

∴t＝30，

②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，

∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，

∴AP∥DF，

∴∠FDP＝∠MPA，

∵MN∥GH，

∴∠MPA＝∠HAC，

∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，

∴t＝210（不符合题意，舍去），

（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，

①DF在MN上方时，BC∥DF，如图，

根据题意得：∠FDN＝180°﹣2t°，

∵DF∥BC，AC⊥BC，

∴CI⊥DF，

∴∠FDN+∠MIC＝90°，

即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，

∴t＝120，

∴2t＝240°＞180°，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去；

②DF在MN下方时，如图，

根据题意可知：∠FDN＝2t°﹣180°，

∵DF∥BC，

∴∠MIC＝∠NDF，

∴∠NDF＝∠AQI＝t+30°﹣90°＝t﹣60°，

即2t°﹣180°＝t°﹣60°，

∴t＝120，

综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．

故答案为：30或120．

9．（锦江区校级期中）图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，记∠ABM＝α（0°＜α＜90°）．如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR₁，如图3，将纸条展开后再折叠，使BM与BR₁重合，得折痕BR₂，将纸条展开后继续折叠，使BM与BR₂重合，得折痕BR₃…依此类推，第n次折叠后，∠AR_nN＝　　（用含a和n的代数式表示）

【答案】180°﹣

【解答】解：由折叠的性质折叠n次可得∠R_nB_nR_n+1＝ ＝

在四边形内有四边形的内角和为360°知：∠BR_nN＝360 ＝180

∴∠AR_nN＝∠BR_nN﹣∠R_n﹣1R_nB＝180°﹣ ﹣ ＝180°﹣ ．

故答案为：180°﹣ ．

10．（田东县期末）一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题：

（1）找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来；

（2）找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来；

（3）找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数．（不包括直角尺自身所成的角）

【解答】解：此题答案不唯一，只要答案正确即可得分．

（1）如：DE∥CB，DF∥CB，FE∥CB．

（2）如：ED⊥AC，FD⊥AC，FD⊥AD．

（3）如：钝角：∠GFD＝135°，∠CGB＝∠FGE＝105°．

直角有：∠ADE＝90°．

如：锐角∠GCB＝30°，∠AFD＝45°，∠CGF＝75°．

11．（内乡县期末）如图所示，在∠AOB内有一点P．

（1）过P画l₁∥OA；

（2）过P画l₂∥OB；

（3）用量角器量一量l₁与l₂相交的角与∠O的大小有怎样关系？

【解答】解：（1）（2）如图所示，

（3）l₁与l₂夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l₁和l₂的夹角与∠O相等或互补．

12．（浦东新区期末）（1）补全下面图形，使之成为长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的直观图；

（2）写出既与棱AB异面又与棱DD₁平行的棱：　　；

（3）长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的长、宽、高的比是3：2：1，它的所有棱长和是24厘米，那么这个长方体的体积是　　立方厘米．

【解答】解：（1）画出图形如图：

（2）既与棱AB异面又与棱DD₁平行的棱是CC₁；

（3）24÷4＝6（厘米），

6× ＝3（厘米）；

6× ＝2（厘米）；

6× ＝1（厘米）．

3×2×1＝6（立方厘米）．

所以长方体的体积是6立方厘米．

故答案为：CC₁，6．

13. 如图所示，同位角一共有　　对，分别是　　；内错角一共

有　　对，分别是　　；同旁内角一共有　　对，分别是　　．

【解答】解：同位角一共有6对，分别是∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8，∠7和∠9，∠4和∠9；内错角一共有4对，分别是∠1和∠7，∠4和∠6，∠5和∠9，∠2和∠9；同旁内角一共有4对，分别是∠1和∠6，∠1和∠9，∠4和∠7，∠6和∠9．

故答案为：6，∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8，∠7和∠9，∠4和∠9；4，∠1和∠7，∠4和∠6，∠5和∠9，∠2和∠9；4，∠1和∠6，∠1和∠9，∠4和∠7，∠6和∠9．

14．（金牛区期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起．

（1）若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为　　；

（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；

（3）猜想∠ACB与∠DCE之间存在什么数量关系？并说明理由；

（4）当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在AD与BC平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90°

∴∠ACE＝45°

∵∠BCE＝90°

∴∠ACB＝90°+45°＝135°

故答案为：135°；

（2）∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°

∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°

∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°；

（3）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°

理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE

又∵∠ACB＝∠ACE+90°

∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE

即∠ACB+∠DCE＝180°；

（4）30°；

理由：∵∠ACD＝∠ECB＝90°，

∴∠ACE＝∠DCB＝30°，

∴∠D＝∠DCB＝30°，

∴CB∥AD．