专项1.3 平行线经典模型必刷

1.（朝阳区校级期末）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，则∠ABC＝　　度．

【答案】135

【解答】解：如图，过点B作BF∥CD，

∵CD∥AE，

∴CD∥BF∥AE，

∴∠1+∠BCD＝180°，∠2+∠BAE＝180°，

∵∠BCD＝135°，∠BAE＝90°，

∴∠1＝45°，∠2＝90°，

∴∠ABC＝∠1+∠2＝135°．

故答案为：135．

2．（博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（　　）

A．360° B．300° C．270° D．180°

【答案】A

【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，

∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，

∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．

故选：A．

3.（大渡口区校级期末）如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠α＝（　　）

A．70° B．75° C．80° D．85°

【答案】D

【解答】解：如图，作EF∥AB，

∵AB∥EF，AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF，

∵∠ABE＝125°，∠C＝30°，

∴∠BEF＝55°，∠CEF＝30°，

∴∠BEC＝55°+30°＝85°．

故选：D．

4.（东昌府区校级期末）如图，已知AB∥EF，∠C＝90°，则α、β与γ的关系是　　．

【答案】α+β﹣γ＝90°

【解答】解：过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，

∵AB∥EF，

∴AB∥CM∥DN∥EF，

∴∠BCM＝α，∠DCM＝∠CDN，∠EDN＝γ，

∵β＝∠CDN+∠EDN＝∠CDN+γ①，∠BCD＝α+∠CDN＝90°②，

由①②得：α+β﹣γ＝90°．

故答案为：α+β﹣γ＝90°．

5．（肃州区校级期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都是凹面镜．如图，从光源P点照射到凹面镜上的光线PA、PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝36°，∠DBP＝58°，则∠APB的度数为　　．

【答案】94°

【解答】解：∵AC∥EF，∠CAP＝36°，

∴∠APE＝∠CAP＝36°，

∵BD∥EF，∠DBP＝58°，

∴∠BPE＝∠DBP＝58°，

∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝94°．

故答案为：94°．

6．如图，AB∥CD，点E在AD上，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠AEC的度数是　　．

【答案】110°

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠ADC＝∠A＝50°，

∵∠C＝60°，

∴∠AEC＝∠C+∠ADC＝60°+50°＝110°．

故答案为：110°．

7．（泰山区期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两角，并使∠1＝115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度数是　　．

【答案】155°

【解答】解：过点B作BE∥AD，

∵AD∥CF

∴AD∥BE∥CF，

∴∠1+∠ABE＝180°，∠2+∠CBE＝180°；

∴∠1+∠2+∠ABC＝360°，

∵∠1＝115°，∠ABC＝90°，

∴∠2的度数为155°．

故答案为：155°．

8.（九江期末）如图．BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，求∠C的度数．

【解答】解：过点C作CF∥BA，如图，

∵CF∥BA，

∴∠BCF＝∠B＝30°，

∵BA∥DE，CF∥BA，

∴CF∥DE．

∵∠D＝40°，

∴∠FCD＝∠D＝40°，

∴∠BCD＝∠BCF+∠FCD＝70°．

9.（兴城市期末）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东52°方向，C岛在B岛的北偏西43°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．

【解答】解：过C作CF∥AD，

∵BE∥AD

∴∠ACF＝∠A＝52°，

∵CF∥BE

∴∠BCF＝∠B＝43°，

∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝52°+43°＝95°，

∴从C岛看A，B的视角∠ACB为95°．

10.（天府新区月考）已知直线AB∥CD．直线EF分别与AB、CD交于点G、H，直线MS经过点G，与CD交于点P，且∠BGM＝2∠EGM．

（1）如图1所示，当∠EGM＝25°时，

①求∠GPH的度数；

②在直线MS上取一点O，使得∠GHO＝10°，求∠GOH的度数．

（2）如图2所示，在射线GA上任取一点I，连接HI，∠IGP的角平分线GQ和∠IHC的角平分线HQ交于点Q，请写出∠GQH、∠QGH、∠GIH间的数量关系，并说明理由．

【解答】解：（1）①∠BGM＝2∠EGM，∠EGM＝25°，

∴∠BGM＝2×25°＝50°，

∵AB∥CD，

∴∠GPH＝∠BGM＝50°；

②如图1，过点O作ON∥AB，

则∠MON＝∠BOM＝50°，

∵∠BGE＝∠BGM+∠EGM＝50°+25°＝75°，AB∥CD，

∴∠EHD＝∠BGE＝75°，

∴∠DHO＝∠EHD+∠GHO＝75°+10°＝85°，

∵AB∥CD，ON∥AB，

∴ON∥CD，

∴∠NOH＝180°﹣∠DHO＝180°﹣85°＝95°，

∴∠GOH＝∠MON+∠NOH＝50°+95°＝145°；

（2）2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．理由如下：

如图2，过点Q作QN∥AB，

则∠GQN＝∠AGQ，

∵∠BGM＝2∠EGM，∠BGM＝∠AGP，∠EGM＝∠FGP，

∴∠AGS＝2∠FGS，

∵GQ平分∠AGP，

∴∠AGQ＝∠QGP＝ ∠AGP＝ ∠QGH，

∵AB∥CD，

∴∠GIH＝∠IHC，

∵HQ平分∠IHC，

∴∠QHC＝ ∠IHC＝ ∠GIH，

∵QN∥AB，AB∥CD，

∴QN∥CD，

∴∠NQH＝∠QHC，

∴∠GQH＝∠AGQ+∠QHC＝ ∠QGH+ ∠GIH，

∴2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．

11.（黔江区期末）（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；

（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；

（3）如图3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝α，∠ABC＝β，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．

【解答】解：（1）成立，

理由：如图1中，作EF//AB，则有EF//CD，

∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，

∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE；

（2）如图2，过点E作EH//AB，

∵AB//CD，∠FAD＝60°，

∴∠FAD＝∠ADC＝60°，

∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，

∴ ，

∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，

∴ ，

∵AB//CD，

∴AB//CD//EH，

∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，

∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．

（3）如图3，过点E作EG//AB，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝β，∠ADC＝∠FAD＝α，

∴ ， ，

∵AB//CD，

∴AB//CD//EG，

∴ ， ，

∴ ．

12.（平顶山期末）（1）如图1，AB∥CD，∠ABE＝45°，∠CDE＝21°，直接写出∠BED的度数．

（2）如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．

（3）如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD＝60°，∠BFD＝95°，直接写出∠BED的度数．

【解答】解：（1）如图，过点E作EM∥AB，

∵AB∥CD，

∴EM∥AB∥CD，

∴∠ABE＝∠MEB，∠CDE＝∠MED，

∵∠ABE＝45°，∠CDE＝21°，

∴∠MEB＝45°，∠MED＝21°，

∴∠BED＝∠MEB+∠MED＝66°；

（2）∠BED＝2∠F，理由如下：

过点E作EG∥AB，延长DE交BF于点H，

∵AB∥CD，

∴EG∥AB∥CD，

∴∠5＝∠1+∠2，∠6＝∠3+∠4，

∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，

∴∠2＝∠1，∠3＝∠4，

∴∠BED＝2（∠2+∠3），

∵∠F+∠3＝∠BHD，∠BHD+∠2＝∠BED，

∴∠2+∠3+∠F＝∠BED，

∴∠BED＝ ∠BED+∠F，

∴∠BED＝2∠F；

（3）如图，延长DE交BF于点M，

则有∠BED＝∠EBM+∠BMD＝∠EBM+∠BFD+∠MDF，

∠BED＝∠EBG+∠BMD＝∠EDG+BGD+∠EBG，

∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，

∴∠EBG＝2∠EBM，∠EDG＝2∠MDF，

∴∠BED＝2∠EBM+2∠MDF+∠BGD，

∴∠EBM+∠BFD+∠MDF＝2∠EBM+2∠MDF+∠BGD，

∴∠EBM+∠MDF+95°＝2（∠EBM+∠MDF）+60°，

∴∠EBM+∠MDF＝35°，

∴∠BED＝∠EBM+∠MDF+95°＝35°+95°＝130°．

13.（驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．

请写出具体求解过程．

问题迁移：

（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．

【解答】解：过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，

∴∠APC＝45°+55°＝100°；

（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：

如图3，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；

（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；

理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；

当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．

理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．

14.（鹿邑县月考）如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F．

（1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数；

（2）如图2，若∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系，并证明你的结论．

【解答】解：（1）如图1，过点E作EN∥AB，

∵EN∥AB，

∴∠ABE+∠BEN＝180°，

∵AB∥CD，AB∥NE，

∴NE∥CD，

∴∠CDE+∠NED＝180°，

∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，

∵∠E＝70°，

∴∠ABE+∠CDE＝290°，

∵∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F，

∴∠ABF+∠CDF＝ （∠ABE+∠CDE）＝145°，

过点F作FG∥AB，

∵FG∥AB，

∴∠ABF＝∠BFG，

∵AB∥CD，FG∥AB，

∴FG∥CD，

∴∠CDF＝∠GFD，

∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝145°；

（2）结论：∠E+6∠M＝360°，

证明：∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，

由（1）得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，

∴6x+6y+∠E＝360°，

∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，

∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，

∴∠M＝x+y，

∴∠E+6∠M＝360°．

15.（铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．

【解答】解：方法一：延长AB交直线DE于点G，

∵AG∥CD，

∴∠CDE＝∠AGE＝60°，

∵AF∥DE，

∴∠BAF＝∠AGE＝60°；

方法二：过点B作BM∥AF，过点C作CN∥ED，

∴∠BAF＝∠3，∠CDE＝∠4＝60°，

∵AF∥DE，

∴BM∥CN，

∴∠1＝∠2，

∵AB∥CD，

∴∠ABC＝∠BCD，

∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2，

∴∠3＝∠4，

∴∠BAF＝∠CDE＝60°．

∴∠BAF的度数为60°．

16.（江津区期末）已知AB∥CD，P为平面内一点，连接CP、AP．

（1）如图1，当∠PCD＝40°，∠PAB＝86°时，求∠P；

（2）如图2，在第（1）的条件下，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，求∠AQC；

（3）如图3，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，且CP∥AQ，请直接写出∠PCQ与∠PAB的数量关系．

【解答】解：（1）如图：设CD与AP相交于点E，

∵AB∥CD，

∴∠1＝∠A，

∵∠1是△CEP的一个外角，

∴∠1＝∠C+∠P，

∴∠A＝∠C+∠P，

∵∠PCD＝40°，∠PAB＝86°，

∴∠P＝∠PAB﹣∠PCD＝46°，

∴∠P的度数为46°；

（2）∵CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，

∴∠QCD＝ ∠PCD，∠QAB＝ ∠PAB，

由（1）得：

∠PAB＝∠PCD+∠P，∠QAB＝∠QCD+∠AQC，

∴∠AQC＝∠QAB﹣∠QCD

＝ ∠PAB﹣ ∠PCD，

＝ （∠PAB﹣∠PCD）

＝ ∠P

＝ ×46°

＝23°，

∴∠AQC的度数为23°；

（3）∵CP∥AQ，

∴∠PCQ＝∠AQC，

∵CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，

∴∠QCD＝∠PCQ，∠QAB＝ ∠PAB，

由（2）得：

∠AQC＝∠QAB﹣∠QCD

∴∠PCQ＝ ∠PAB﹣∠PCQ，

∴2∠PCQ＝ ∠PAB，

∴∠PCQ＝ ∠PAB．

17.（南京模拟）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；

（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；

（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．

【解答】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，

∴∠1＝∠AEP＝40°．（两直线平行，内错角相等）

∵AB∥CD，（已知）

∴PM∥CD，（平行于同一条直线的两直线平行）

∴∠2+∠PFD＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）

∵∠PFD＝130°，

∴∠2＝180°﹣130°＝50°．

∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．

即∠EPF＝90°．

（2）∠PFC＝∠PEA+∠P．

理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，

∴∠PEA＝∠NPE，

∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，

∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，

∵PN∥CD，

∴∠FPN＝∠PFC，

∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；

（3）如图，过点G作AB的平行线GH．

∵GH∥AB，AB∥CD，

∴GH∥AB∥CD，

∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，

又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，

∴∠HGE＝∠AEG＝ ，∠HGF＝∠CFG＝ ，

由（1）可知，∠CFP＝∠P+∠AEP，

∴∠HGF＝ （∠P+∠AEP）＝ （α+∠AEP），

_∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝ （α+∠AEP）＝ + ∠AEP﹣∠HGE＝

18．（潍坊期中）已知AB∥DC，∠ABC的平分线交DC于点E，∠ADC＝90°．

（1）如图1，试说明：∠EBC＝∠BEC；

（2）如图2，点F在BE的反向延长线上，连接DF交AB于点G，若∠EBC﹣∠F＝45°，试说明：DF平分∠ADC；

（3）如图3，在线段BE上有一点P，满足∠BCP＝3∠PCE，过点D作DM∥BE，交AB于点M．若在直线BE上取一点H，使∠PCH＝∠ADM，求 的值．

【解答】（1）证明：由角平分线性质可知，

∠ABE＝∠EBC，

∵AB∥DC，

∠ABE＝∠BEC，

∴∠EBC＝∠BEC．

（2）证明：由（1）可知，

∠EBC＝∠BEC，

由外角性质可知，

∠FEC＝∠F+∠FDC

又∵∠EBC﹣∠F＝45°，

∴∠FEC＝∠F+45°，

∴∠FDC＝45°，

又∵∠ADC＝90°，

∴∠ADF＝∠FDC＝45°，

∴DF平分∠ADC．

（3）解：如图，∠PCH＝∠ADM，∠PCH′＝∠ADM，

①当H在PB之间时，

设∠PCE＝α，则∠BCP＝3α，∠BCD＝4α，

∵CB＝CE，

∴∠CBE＝ ，

又∵∠CBE＝∠MDC

∴∠ADM＝90°﹣ ＝2α，

∴∠BCH＝α，∠ECH＝3α，

∴ ＝ ＝ ．

同理，当H点位于H′时，∠DCH′＝α，

＝ ＝5，

∴ 的值为 或5．