第一章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1.[2022·嘉兴 母题·教材P4习题T1]计算a2·a＝( )
A.a B.3a C.2a2 D.a3
2.[2023·娄底]下列运算正确的是( )
A.a2·a4＝a8 B.a2＋3a＝4a2
C.(a＋2)(a－2)＝a2－2 D.(－2a2b)3＝－8a6b3
3.[2023·遂宁]纳米是表示微小距离的单位，1纳米＝0.000 001毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小.中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径0.5纳米.0.5纳米相当于0.000 000 5毫米，数据0.000 000 5用科学记数法可以表示为( )
A.0.5×10－6 B.0.5×10－7 C.5×10－6 D.5×10－7
4.[2023·清华附中期中]在下列各式中，能运用平方差公式计算的是( )
A.(a－b)(b－a) B.(a－1)(－a＋1)
C.(2a－b)(a＋2b) D.(－a－b)(－b＋a)
5.若(x2＋px＋q)(x－3)展开后不含x的一次项，则p与q的关系是( )
A.q＝3p B.p＝3q C.p＋3q＝0 D.q＋3p＝0
6.若a＝－0.32，b＝(－3)－2，c＝
，d＝
，则( )
A.a＜b＜c＜d B.a＜b＜d＜c C.a＜d＜c＜b D.c＜a＜d＜b
7.[2023·北京四中月考]如图，边长为(m＋3)的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，若剪拼成的长方形一边长为3，则另一边长为( )
A.m＋3 B.m＋6 C.2m＋3 D.2m＋6
8.(母题：教材P27习题T2)一个正方形的边长增加了2 cm，面积相应增加了32 cm2，则原正方形的边长为( )
A.6 cm B.5 cm C.8 cm D.7 cm
9.已知A＝－4x2，B是多项式，在计算B＋A时，小马虎同学把B＋A看成了B·A，结果得32x5－16x4，则B＋A的结果为( )
A.－8x3＋4x2 B.－8x3＋8x2 C.－8x3 D.x2－3x＋1
10.(母题：教材P36复习题T19)若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
二、填空题(每题3分，共24分)
11.(母题：教材P15习题T1)计算：2x3·3x2y＝ .
12.[2022·益阳]已知m，n同时满足2m＋n＝3与2m－n＝1，则4m2－n2的值是 .
13.计算：82 024×(－0.125)2 023＝ .
14.[2023·南京外国语学校期中]若(x＋3)x＋6＝1，则x＝ .
15.若a＋3b－2＝0，则3a·27b＝ .
16.已知x2－x－1＝0，则代数式－x3＋2x2＋2 023的值为 .
17.如果
＝63，那么a＋b的值为 .
18.[2023·大庆新考向·传承数学文化]1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”.观察“杨辉三角”与右侧的等式，根据规律，(a＋b)7展开的多项式中各项系数之和为 .
1
1 1 (a＋b)1＝a＋b
1 2 1 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
1 3 3 1 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
1 4 6 4 1 (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
… …
三、解答题(21，25题每题12分，24题10分，其余每题8分，共66分)
19.[2023·南京外国语学校期中]计算与化简：
(1)
－(－3)2＋(π－2)0； (2)x6÷x3·x2＋x3·(－2x)2；
(3)m(2n－m)＋(m＋n)(2m＋n)； (4)(a－b)3·(b－a)3＋[2(a－b)2]4÷(b－a)2.
20.(母题：教材P34复习题T7变式)先化简，再求值：
(1)[2023·南充](a－2)(a＋2)－(a＋2)2，其中a＝－
；
(2)[(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)]÷2b，其中a＝－1，b＝2.
21.(1)已知a＋b＝7，ab＝12.求下列各式的值：
①a2－ab＋b2； ②(a－b)2.
(2)已知a＝275，b＝450，c＝826，d＝1615，比较a，b，c，d的大小.
22.张老师在黑板上布置了一道题，乐乐和笑笑展开了下面的讨论：
根据上述情境，你认为谁说得对？为什么？
23.[新考法阅读类比法]阅读材料：
31的末位数字是3，32的末位数字是9，33的末位数字是7，34的末位数字是1，35的末位数字是3……观察规律，34n＋1＝(34)n×3，因为34的末位数字是1，所以(34)n的末位数字是1，所以34n＋1的末位数字是3，同理可知，34n＋2的末位数字是9，34n＋3的末位数字是7.
解答下列问题：
(1)32 023的末位数字是 ，142 024的末位数字是 ；
(2)求22 024的末位数字.
24.[新考法数形结合法]甲、乙两个长方形的长、宽如图所示(m为正整数)，其面积分别为S1，S2.
(1)填空：S1－S2＝ (用含m的代数式表示).
(2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为S3.
①求S3(用含m的代数式表示)；
②试探究：S3与2(S1＋S2)的差是不是常数？若是常数，求出这个常数；若不是常数，请说明理由.
25.[2023·淮北一中月考]阅读材料：
已知m2＋2m＋n2－6n＋10＝0，求m，n的值.
解：等式可变形为(m2＋2m＋1)＋(n2－6n＋9)＝0，
即(m＋1)2＋(n－3)2＝0.
因为(m＋1)2≥0，(n－3)2≥0，
所以m＋1＝0，n－3＝0.
所以m＝－1，n＝3.
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”.
请你利用配方法，解决下列问题：
(1)已知a，b分别是长方形ABCD的长、宽，且满足a2＋b2－8a－6b＋25＝0，则长方形ABCD的面积是 ；
(2)求代数式a2＋4b2＋4ab－4a－8b＋7的最小值，并求出此时a，b满足的数量关系；
(3)请比较多项式x2＋3x－4与2x2＋2x－3的大小，并说明理由.
第一章综合素质评价
一、1.D 2.D 3.D
4.D 点拨：运用平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2时，关键要找相同项和相反项.
5.A 点拨：(x2＋px＋q)(x－3)＝x3－3x2＋px2－3px＋qx－3q＝x3＋(－3＋p)x2＋(－3p＋q)x－3q.
因为(x2＋px＋q)(x－3)展开后不含x的一次项，
所以－3p＋q＝0，
所以q＝3p.
故选A.
6.B 7.C 8.D 9.C
10.C 点拨：A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(28－1)(28＋1)＋1＝216－1＋1＝216.
因为216的末位数字是6，所以A的末位数字是6.
二、11.6x5y 12.3
13.－8 点拨：原式＝82
023×(－0.125)2
023×8＝82
023×
×8＝(－
×8)2
023×8＝－8.故答案为－8.
14.－6或－2或－4 点拨：当x＋6＝0，即x＝－6时，
(x＋3)x＋6＝(－3)0＝1，符合题意；
当x＋3＝1，即x＝－2时，
(x＋3)x＋6＝14＝1，符合题意；
当x＋3＝－1，即x＝－4时，
(x＋3)x＋6＝(－1)2＝1，符合题意.
综上所述，x＝－6或x＝－2或x＝－4.
故答案为－6或－2或－4.
15.9
16. 2 024 点拨：由题意，得x2－x＝1，所以－x3＋2x2＋2 023＝－x(x2－x)＋x2＋2 023＝－x＋x2＋2 023＝2 024.故答案为2 024.
17.±4 点拨：因为(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝(2a＋2b)2－1＝63，所以2a＋2b＝±8.所以a＋b＝±4.故答案为±4.
18.128 点拨：根据题意，得(a＋b)5展开后系数为1，5，10，10，5，1，
系数和为1＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝25，
(a＋b)6展开后系数为1，6，15，20，15，6，1，
系数和为1＋6＋15＋20＋15＋6＋1＝64＝26，
(a＋b)7展开后系数为1，7，21，35，35，21，7，1，
系数和为1＋7＋21＋35＋35＋21＋7＋1＝128＝27，
故答案为128.
三、19.解：(1)原式＝－3－9＋1
＝－11.
(2)原式＝x3·x2＋x3·4x2
＝5x5.
(3)原式＝2mn－m2＋2m2＋mn＋2mn＋n2
＝5mn＋m2＋n2.
(4)原式＝(a－b)3·[－(a－b)]3＋24·(a－b)2×4÷(a－b)2
＝－(a－b)6＋16(a－b)6
＝15(a－b)6.
20.解：(1)原式＝a2－4－a2－4a－4＝－4a－8.
当a＝－
时，原式＝－4×
－8＝－2.
(2)原式＝[4a2＋4ab＋b2－(4a2－b2)]÷2b
＝(4a2＋4ab＋b2－4a2＋b2)÷2b
＝(4ab＋2b2)÷2b
＝2a＋b.
当a＝－1，b＝2时，
原式＝2×(－1)＋2＝0.
21.解：(1)①a2－ab＋b2＝(a＋b)2－3ab＝72－3×12＝13.
②(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝72－4×12＝1.
(2)因为a＝275，b＝450＝(22)50＝2100，
c＝826＝(23)26＝278，d＝1615＝(24)15＝260，
100＞78＞75＞60，
所以b＞c＞a＞d.
22.解：笑笑说得对.
理由：原式＝4x2－y2＋2xy－8x2－y2＋4xy＋2y2－6xy＝－4x2.
因为该代数式的化简结果不含y，所以只要知道x的值就可以求解.所以笑笑说得对.
23.解：(1)7；6
(2)21的末位数字是2，22的末位数字是4，23的末位数字是8，24的末位数字是6，25的末位数字是2……所以24n＋1的末位数字是2，24n＋2的末位数字是4，24n＋3的末位数字是8，24n＋4的末位数字是6，22 024＝24×505＋4，所以22 024的末位数字是6.
24.解：(1)2m－1
(2)①设正方形的边长为a，
则4a＝2(m＋1＋m＋7)＋2(m＋2＋m＋4)，
所以4a＝4m＋16＋4m＋12.
所以4a＝8m＋28.
所以a＝2m＋7.
所以S3＝(2m＋7)2＝4m2＋28m＋49.
②S3与2(S1＋S2)的差是常数，常数是19，求解如下：
2(S1＋S2)＝2[(m＋1)(m＋7)＋(m＋2)(m＋4)]＝2(m2＋8m＋7＋m2＋6m＋8)＝2(2m2＋14m＋15)＝4m2＋28m＋30，
S3－2(S1＋S2)＝4m2＋28m＋49－(4m2＋28m＋30)＝4m2＋28m＋49－4m2－28m－30＝19.
25.解：(1)12 点拨：a2＋b2－8a－6b＋25＝0，
等式可变形为(a2－8a＋16)＋(b2－6b＋9)＝0，
即(a－4)2＋(b－3)2＝0.
因为(a－4)2≥0，(b－3)2≥0，
所以a－4＝0，b－3＝0.
所以a＝4，b＝3.
所以长方形ABCD的面积为3×4＝12.
故答案为12.
(2)原式＝(a2＋4ab＋4b2)－(4a＋8b)＋7
＝(a＋2b)2－4(a＋2b)＋4＋3
＝(a＋2b－2)2＋3.
因为(a＋2b－2)2≥0，
所以当a＋2b－2＝0时，代数式a2＋4b2＋4ab－4a－8b＋7有最小值，最小值为3.
(3)2x2＋2x－3＞x2＋3x－4.理由如下：
因为2x2＋2x－3－(x2＋3x－4)
＝2x2＋2x－3－x2－3x＋4
＝x2－x＋1
＝
＋
＞0，