第五章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1.[2023·连云港母题·教材P117习题T3]在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形，下列汉字中，是轴对称图形的是( )
2.[2022·孝感]下列图形中，对称轴条数最多的是( )
A.等边三角形 B.长方形 C.正方形 D.圆
3.(母题：教材P118图5－5)如图，已知△ABC和△A'B'C'关于直线l成轴对称，且∠A＝45°，∠C'＝35°，则∠B的度数是( )
A.100° B.120° C.45° D.35°
(第3题) (第4题) (第5题) (第6题)
4.[新情境社会热点]近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在( )
A.AB，BC两边垂直平分线的交点处 B.AB，BC两边高线的交点处
C.AB，BC两边中线的交点处 D.∠B，∠C两内角的平分线的交点处
5.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
6.小明和哥哥并排站在镜子前，小明看到镜子中哥哥的球衣号码如图所示，那么哥哥球衣上的号码实际是( )
A.25 B.52 C.55 D.22
7.(母题：教材P133复习题T9)如图，将长方形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD按箭头方向向下对折，然后剪下一个小三角形.将纸片打开，则打开后的图形是( )
8.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为( )
A.48° B.36° C.30° D.24°
(第8题) (第9题) (第10题)
9.[2023·天津耀华中学期末]如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是边BC上一动点，则DP长的最小值为( )
A.1 B.6 C.3 D.12
10.[新考法化动为静法]如图，在等边三角形ABC中，边BC上的中线AD＝8，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB＋EF的最小值，则这个最小值是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
二、填空题(每题3分，共24分)
11.在字母A，B，C，D，E，F，G，H，I，J中，不是轴对称图形的有 个.
12.如图，将长方形纸片ABCD沿EF翻折，点C，D的对应点分别是点G，H.若∠DEF＝50°，则∠BFG的度数是 .
(第12题) (第13题) (第14题) (第15题)
13.如图是一个经过改造的台球桌面示意图(该图由相同的小正方形组成)，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反弹)，那么该球最后将落入 号球袋.
14.如图，等腰三角形ABC一腰AC上的高BD与底边BC的夹角为37°，则∠A＝ .
15.[新考法对称法]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E，F为AD上的两点.若△ABC的面积为12，则图中阴影部分的面积是 .
16.[2023·沈阳]如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
①以点E为圆心，任意长为半径作弧交射线EB于点M，交射线EF于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于
MN的长为半径作弧，两弧在∠BEF内交于点P；
③作射线EP交直线CD于点G.
若∠EGF＝29°，则∠BEF＝ 度.
(第16题) (第17题) (第18题)
17.如图，△ABC是等腰直角三角形，AD是其底边BC上的高，E是AD上的一点，以CE为边向上作等边三角形CEF，连接BF.则∠CBF的度数为 .
18.如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有 种.
三、解答题(19题8分，20，21题每题10分，24题14分，其余每题12分，共66分)
19.[2023·陕西]如图.已知锐角三角形ABC，∠B＝48°，请用尺规作图：在△ABC内部求作一点P，使PB＝PC，且∠PBC＝24°.(保留作图痕迹，不写作法)
20.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE.求∠CDE的度数.
21.如图，在等边三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，作BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E，F.小明说：“E，F是BC的三等分点.”你同意他的说法吗？请说明理由.
22.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，直线AD交EF于点O.直线AD是线段EF的垂直平分线吗？请说明理由.
2
3.(母题：教材P132复习题T6)如图，在四边形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，垂足为O.
(1)四边形ABCD是不是轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？
(2)请直接写出图中有哪些相等的线段.
(3)作出点O到∠BAD两边的垂线段，并说明它们的大小关系.
24.[2023·天津一中月考]如图，已知△ABC≌△CDA，将△ABC沿AC所在的直线折叠至△AB'C的位置，点B的对应点为B'，连接BB'.
(
1)直接填空：B'B与AC的位置关系是 ；
(2)P，Q分别是线段AC，BC上的两个动点(不与点A，B，C重合)，
已知△BB'C的面积为36，BC＝8，求PB＋PQ的最小值；
(3)试探索：△ABC的内角满足什么条件时，△AB'E是直角三角形？
第五章综合素质评价
一、1.C 2.D 3.A 4.A 5.C 6.A
7.D 8.A
9.C 点拨：过点D作DP⊥BC于点P，如图所示，由垂线段最短可知此时DP的值最小.
在
△ABD中，∠A＝90°，
所以∠ABD＋∠ADB＝90°.
因为BD⊥CD，所以∠C＋∠CBD＝90°.
又因为∠ADB＝∠C，
所以∠ABD＝∠CBD，
即BD平分∠ABC.
所以DP＝AD＝3.
所以DP的最小值为3.故选C.
1
0.D 点拨：如图，连接CE.
因为等边三角形ABC中，AD是边BC上的中线，
所以AD垂直平分BC，
所以EB＝EC.
当C，E，F三点共线时，CE＋EF最小，即EB＋EF最小，此时EF＋BE＝EF＋EC＝CF，
因为等边三角形ABC中，F是边AB的中点，
所以CF是等边三角形ABC中边AB上的高.
在△ABD和△CBF中，
所以△ABD≌△CBF(AAS).
所以AD＝CF＝8.
所以EF＋BE的最小值为8.故选D.
二、11.3
12.80° 点拨：根据平行线和折叠的性质可得∠EFB＝∠DEF＝50°，∠EFG＝∠EFC＝180°－∠DEF＝130°，则∠BFG＝∠EFG－∠EFB＝80°.
13.1 点拨：如图，该球最后将落入1号球袋.
14.74° 点拨：先根据高的定义得出∠BDC的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出∠C的度数，然后根据等腰三角形的性质求出∠A的度数即可.
15.6
16.58 点拨：由作图得EG平分∠BEF，
所以∠BEF＝2∠BEG.
因为AB∥CD，
所以∠BEG＝∠EGF＝29°.
所以∠BEF＝2∠BEG＝58°.故答案为58.
17.30° 点拨：如图，连接BE并延长交CF于点H，
因
为△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
所以AD是BC的垂直平分线.
所以EB＝EC.
所以∠EBC＝∠ECB.
因为△EFC是等边三角形，
所以∠FEC＝60°，EF＝EC.
所以EF＝EB.
所以∠FBE＝∠EFB.
因为∠FEH＝180°－∠BEF＝∠FBE＋∠EFB，
∠CEH＝180°－∠BEC＝∠EBC＋∠ECB，
所以∠FEC＝∠FEH＋∠CEH＝∠FBE＋∠EFB＋∠EBC＋∠ECB＝2∠FBE＋2∠EBC＝2∠FBC.
所以∠FBC＝
∠FEC＝30°.故答案为30°.
18.5
三、19.解：如图，点P即为所求.
20.解：因为AB＝AC，AD⊥BC，
所以AD平分∠BAC.
所以∠CAD＝∠BAD＝40°.
因为AD＝AE，
所以∠ADE＝∠AED＝
(180°－∠CAD)＝70°.
因为AD⊥BC，
所以∠ADC＝90°.
所
以∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝90°－70°＝20°.
21.解：同意.理由如下：
如图，连接OE，OF.
由题易知，BE＝OE，CF＝OF，∠OBC＝∠OCB＝30°，
所以∠BOE＝∠OBC＝30°，∠COF＝∠OCB＝30°，∠BOC＝＝180°－∠OBC－∠OCB＝120°.
易得∠EOF＝60°，∠OEF＝60°，∠OFE＝60°.
所以△OEF是等边三角形.
所以OE＝OF＝EF.
所以EF＝BE＝CF.
所以E，F是BC的三等分点.
22.解：直线AD是线段EF的垂直平分线.理由如下：
因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
所以∠DEA＝∠DFA＝90°，∠EAD＝∠FAD.
又因为AD＝AD，
所以△ADE≌△ADF(AAS).
所以AE＝AF.
因为∠EAD＝∠FAD，所以AO⊥EF且O为EF中点.
所以直线AD是线段EF的垂直平分线.
23.解：(1)四边形ABCD是轴对称图形，它有两条对称轴：AC所在直线和BD所在直线.
(2)相等的线段有：AB＝BC＝CD＝AD，AO＝OC，OB＝OD.
(
3)如图，分别过点O作OE⊥AD于点E，OF⊥AB于点F.
易知AO平分∠BAD，
所以OE＝OF.
24.解：(1)B'B⊥AC
(
2)如图①所示，在B'C上取点M，使得CQ＝CM，连接PM，
易求得PM＝PQ，
所以PB＋PQ＝PB＋PM，
要使PB＋PQ的值最小，则PB＋PM的值最小即可，
所
以当B，P，M三点共线，且BM⊥B'C时，PB＋PM取最小值，此时PB＋PM＝BM，如图②所示，
由对称的性质，得B'C＝BC＝8，
因为取得最小值时，BM⊥B'C，
所以S△BB'C＝
B'C·BM.
即36＝
×8·BM，解得BM＝9.
所以PB＋PQ的最小值为9.
由翻折变换的性质可知，∠BCA＝∠B'CA＝45°，
所以∠BCB'＝90°.
因为△ABC≌△CDA，
所以∠BCA＝∠DAC.
所以AD∥BC.
所以∠AEB'＝∠BCB'＝90°；
②由翻折的性质可知，当∠ABC＝90°时，∠AB'E＝90°.
③当∠B'AE＝90°时，因为∠CAD＝∠ACB，
所以∠BAC＝∠B'AC＝∠B'AE＋∠CAD＝90°＋∠ACB，
所以90°＋∠ACB＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
所以2∠ACB＋∠ABC＝90°.
所以当2∠ACB＋∠ABC＝90°时，∠B'AE＝90°.
综上所述，当∠ACB＝45°或∠ABC＝90°或2∠ACB＋∠ABC＝90°时，△AB'E是直角三角形.