第四章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1.[2023·衡阳母题·P86习题T1]下列长度的各组线段能组成一个三角形的是(　　)

A.1 cm，2 cm，3 cm　　　　　　　　　B.3 cm，8 cm，5 cm

C.4 cm，5 cm，10 cm　　　　　　　　D.4 cm，5 cm，6 cm

2.(母题：教材P95习题T1)下列图形中不是全等图形的是(　　)

　　　 　　　 　　　

A　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　D

3.[2023·人大附中期中]如图，△ABC≌△ADE，且点D在边BC上，∠EAC＝38°，则∠B的度数为(　　)

A.70°　　　　　B.71°　　　　　　　　C.72°　　　　　　D.76°

　　　 　　　

(第3题)　　　　　　　(第4题)　　　　　　　　　(第5题)

4.如图，△ABC≌△CDA，那么下列结论错误的是(　　)

A.∠1＝∠2　　B.AB＝CD　　　　　　C.∠D＝∠B　　　D.AC＝BC

5.[2023·深圳]如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝120°，DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝(　　)

A.70°　　　　　B.65°　　　　　　　　C.60°　　　　　　D.50°

6.如图，在正五边形ABCDE中，∠CAD的度数为(　　)

A.72°　　　　　B.45°　　　　　　　　C.36°　　　　　　D.35°

　　　 　　　

(第6题)　　　(第7题)　　　　(第8题)

7.[新考法 建模思想]如图，为测量池塘两端A，B之间的距离，小康在池塘外一块平地上选取了一点O，连接AO，BO，并分别延长AO，BO到点C，D，使得AO＝DO，BO＝CO，连接CD，测得CD的长为165米，则池塘两端A，B之间的距离为(　　)

A.160米　　　B.165米　　　　　　　C.170米　　　　　D.175米

8.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线分别为BE，CD，BE与CD相交于点F，∠A＝60°，则∠BFC＝(　　)

A.118°　　　　B.119°　　　　　　　C.120°　　　　　　D.121°

9.在△ABC中，AB＝BC，边AB上的中线CD将△ABC的周长分为15和6两部分，则△ABC的三边长分别为(　　)

A.10，10，1 B.4，4，13 C.8，8，5 D.9，9，3

10.如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，D是AC的中点，以AD为斜边作等腰直角三角形AED，连接BE，EC.下列结论：①△ABE≌△DCE；②BE＝EC；③BE⊥EC.

其中正确的有(　　)

A.0个　　　　　B.1个　　　　　　　C.2个　　　　　　D.3个

　　 　　 　　

(第10题)　　(第12题)　　　(第13题)　　　　(第14题)

二、填空题(每题3分，共24分)

11.三角形的稳定性在日常生活中有着广泛的应用，请你写出一个现实生活中这样的例子　　　　　　　.

12.(母题：教材P102习题T4)如图，由于受第12号台风“梅花”的影响，学校的某块三角形玻璃摔成三片，派小明同学到玻璃店再配一块同样大小的玻璃，最省事的方法是带玻璃片　　　　去.(填序号)

13.[新考法构造法]如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1＋∠2＝　　　　°.

14.(母题：教材P112复习题T13)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图所示.要说明∠A'O'B'＝∠AOB，需要判定△C'O'D'≌△COD，则这两个三角形全等的依据是　　　　　　.(写出全等依据的简写)

15.[2023·北京四中月考]已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a²－16b²－c²＋6ab＋10bc＝0，则a，b，c满足的关系式是　　　　.

16.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE是边AC上的高，AD，BE相交于点F.若BF＝AC，CD＝3，BD＝8，则线段AF的长为　　　　.

　　 　　

(第16题)　　(第17题)　　　(第18题)

17.[2022·荆门]如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG∶GD＝BG∶GE＝CG∶GF＝2∶1.已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为　　　　.

18.[新考法动点研究法]如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE＝90°，且AC＝5 cm，CE＝6 cm，点P以2 cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3 cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动(即沿E→C→E→C→…运动)，当点P到达终点时，P，Q同时停止运动.过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N.设运动时间为t s，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为　　　　.

三、解答题(19题7分，20，21题每题8分，25题13分，其余每题10分，共66分)

19.[2022·吉林]如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，试说明：BD＝CD.

20.如图，在△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是边BC上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数.

2 1.[新考法 逆向思维法]如图，在△ABC中，D是CB延长线上的点，AC＝b，AB＝c，BC＝a，∠1＝30°，∠ABC＝100°.

(1)你会化简｜a－b－c｜－｜a＋c－b｜吗？请说明理由.

(2)当∠DBE为多少度时，BE∥AC？请说明理由.

(3)当∠ABE∶∠2＝3∶5时，直线BE与AC平行吗？为什么？

2 2.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长.

(1)请利用题意补全图形.

(2)请说明理由.

2 3.如图，△ABD≌△ACD，∠BAC＝90°.

(1)求∠B的大小；

(2)判断AD与BC的位置关系，并说明理由.

2 4.[2023·重庆一中月考]如图，已知M是AB的中点，DC是过点M的一条直线，且∠ACM＝∠BDM，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F.

(1)试说明：△AME≌△BMF；

(2)猜想MF与CD之间的数量关系，并说明理由.

25.如图①，在△AOC中，∠AOC＝90°，CD平分∠ACO交AO于点D，B是CO延长线上一点，连接BD并延长交AC于点E，且∠CAO＝∠CBD.

(1)试说明：AC＝BC；

(2)试说明：DO＝DE；

(3)如图②，若点F在CE上，点G在OC上，且满足∠GDF＝ ∠EDO，猜想EF，FG，OG之间的数量关系，并说明理由.

第四章综合素质评价

一、1.D　2.B

3.B　点拨：根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，即可得出∠EAC＝∠DAB，∠ABD＝∠ADB，结合三角形内角和定理可得结果.

4.D　5.A　6.C

7.B　点拨：利用“边角边”判定两个三角形全等，利用全等三角形的性质，得AB＝DC.

8.C　点拨：因为∠A＝60°，

所以∠ABC＋∠ACB＝120°.

因为BE，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，

所以∠CBE＝ ∠ABC，∠BCD＝ ∠BCA.

所以∠CBE＋∠BCD＝ (∠ABC＋∠BCA)＝60°.

所以∠BFC＝180°－60°＝120°.

9.A　点拨：设AB＝BC＝2x，AC＝y(0＜y＜4x)，

因为CD是边AB上的中线，

所以AD＝BD＝ AB＝x.

所以BC＋BD＝2x＋x＝3x，AD＋AC＝x＋y.

所以当3x∶(x＋y)＝15∶6时，y＝ x，

当3x∶(x＋y)＝6∶15时，y＝ x＞4x，不合题意.

所以y＝ x.所以AC＝ x.

所以2x＋2x＋ x＝15＋6，解得x＝5.

所以AB＝BC＝10，AC＝1.

故选A.

10.D　点拨：因为AC＝2AB，D是AC的中点，

所以CD＝ AC＝AB.

因为△AED是等腰直角三角形，

所以AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝45°.

所以∠BAE＝90°＋45°＝135°，∠CDE＝180°－45°＝135°.

所以∠BAE＝∠CDE.

在△ABE和△DCE中，

所以△ABE≌△DCE(SAS)，故①正确.

所以∠AEB＝∠DEC，BE＝EC，故②正确.

又因为∠AEB＋∠BED＝90°，

所以∠DEC＋∠BED＝90°.

所以BE⊥EC，故③正确.故选D.

二、11.三角形房架(答案不唯一)

12.③

13.135　点拨：如图，连接AD，BD，易知∠ADB＝90°，AD＝BD＝BC，所以∠DAB＝∠DBA＝45°，

在 △DFB和△BEC中，

所以△DFB≌△BEC(SAS).

所以∠DBF＝∠2.

因为∠DBA＝45°，

所以∠1＋∠2＝∠1＋∠DBF＝180°－45°＝135°.

14.SSS

15.a＋c＝2b　点拨：因为a²－16b²－c²＋6ab＋10bc＝0，

所以(a²＋6ab＋9b²)－(c²－10bc＋25b²)＝0.

所以(a＋3b)²－(c－5b)²＝0.

所以(a＋3b＋c－5b)(a＋3b－c＋5b)＝0.

所以(a＋c－2b)(a＋8b－c)＝0.

因为a＋b＞c，

所以a＋8b－c＞0.

所以a＋c－2b＝0，

所以a＋c＝2b.

16.5　点拨：由题意知∠ADC＝∠BDF＝∠BEC＝90°，

易得∠DAC＝∠DBF.

又因为AC＝BF，

所以△ADC≌△BDF(AAS).

所以AD＝BD＝8，DF＝DC＝3.

所以AF＝AD－DF＝8－3＝5.故答案为5.

17.18

18.1或 或 　点拨：当点P在AC上，点Q在CE上时，如图，因为以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，

所以PC＝CQ，

即 5－2t＝6－3t，

解得t＝1；

当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，

因为以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，

所以PC＝CQ，

即5－2t＝3t－6，解得t＝ ；

当点P在CE上，点Q第二次从点E出发时，

因为以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，

所以PC＝CQ，

即2t－5＝18－3t，解得t＝ .

综上所述，t的值为1或 或 .

三、19.解：在△ABD和△ACD中，

所以△ABD≌△ACD(SAS).

所以BD＝CD.

20.解：因为∠B＋∠ACB＋∠BAC＝180°，∠B＝34°，

∠ACB＝104°，

所以∠BAC＝180°－34°－104°＝42°.

因为AE是∠BAC的平分线，

所以∠BAE＝ ∠BAC＝21°.

所以易得∠AED＝∠B＋∠BAE＝34°＋21°＝55°.

因为AD是边BC上的高，所以∠ADB＝90°，

所以∠DAE＝90°－∠AED＝90°－55°＝35°.

21.解：(1)会.理由：因为a－b＜c，a＋c＞b，

所以a－b－c＜0，a＋c－b＞0.

所以｜a－b－c｜－｜a＋c－b｜

＝－(a－b－c)－(a＋c－b)

＝－a＋b＋c－a－c＋b

＝2b－2a.

(2)当∠DBE＝50°时，BE∥AC.

理由：因为∠ABC＝100°，

所以∠EBA＝180°－∠ABC－∠DBE＝180°－100°－50°＝30°.

因为∠1＝30°，所以∠EBA＝∠1.

所以BE∥AC.

(3)当∠ABE∶∠2＝3∶5时，直线BE与AC平行.

理由：在△ABC中，∠ABC＝100°，∠1＝30°，

所以∠2＝180°－∠ABC－∠1＝180°－100°－30°＝50°.

因为∠ABE∶∠2＝3∶5，

所以∠ABE＝30°＝∠1.

所以BE∥AC.

22.解：(1)补全图形，如图所示.

(2)因为AB⊥BF，DE⊥BF，

所以∠B＝∠EDC＝90°.

在△ABC和△EDC中，

所以△ABC≌△EDC(ASA).

所以AB＝ED.

23.解：(1)因为△ABD≌△ACD，

所以∠B＝∠C.

因为∠BAC＝90°，

所以∠B＝∠C＝45°.

(2)AD⊥BC.理由如下：

因为△ABD≌△ACD，

所以∠BDA＝∠CDA.

因为∠BDA＋∠CDA＝180°，

所以∠BDA＝∠CDA＝90°.

所以AD⊥BC.

24.解：(1)因为M是AB的中点，

所以AM＝BM.

因为AE⊥CD，BF⊥CD，

所以∠AEM＝∠BFM＝90°.

在△AME和△BMF中，

所以△AME≌△BMF(AAS).

(2)猜想：2MF＝CD.

理由：由(1)可知∠AEM＝∠BFM＝90°，△AME≌△BMF，

所以EM＝FM，AE＝BF.

在△ACE和△BDF中，

所以△ACE≌△BDF(AAS).

所以CE＝DF.

所以CD＝EF.

因为EM＝FM，

所以2MF＝CD.

25.解：(1)因为CD平分∠ACO，

所以∠BCD＝∠ACD.

在△CBD和△CAD中，

所以△CBD≌△CAD(AAS).

所以AC＝BC.

(2)因为△CBD≌△CAD，

所以BD＝AD.

在△ADE和△BDO中，

所以△ADE≌△BDO(ASA).

所以DO＝DE.

(3)FG＝EF＋OG，理由如下：

在 OB上截取OH＝EF，连接DH，如图所示.

因为△ADE≌△BDO，

所以∠AED＝∠BOD＝90°.

在△DOH和△DEF中，

所以△DOH≌△DEF(SAS)，

所以∠ODH＝∠EDF，DH＝DF.

所以∠EDO＝∠FDH.

因为∠GDF＝ ∠EDO，

所以∠GDF＝ ∠FDH.

因为∠GDF＋∠HDG＝∠FDH，

所以∠HDG＝∠GDF＝ ∠FDH.

在△HDG和△FDG中，

所以△HDG≌△FDG(SAS).

所以FG＝HG.

因为HG＝OG＋OH，

所以FG＝OG＋OH.

所以FG＝EF＋OG.