【324433】2024春七年级数学下册 第二章 相交线与平行线综合素质评价（新版）北师大版

第二章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1.[2023·临沂]在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过点P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是(　　)

A.相交　　　　B.相交且垂直　　　　C.平行　　　　　　D.不能确定

2.[2023·北师大附属实验中学期中]如图，已知∠1＝70°，要使CD∥BE，则∠B的度数为(　　)

A.70°　　　　　B.100°　　　　　　　C.110°　　　　　　D.120°

(第2题)　　　(第3题)　　　(第4题)

3.[2022·济南]如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED.若∠1＝65°，则∠2的度数为(　　)

A.45°　　　　　B.50°　　　　　　　　C.57.5°　　　　　D.65°

4.如图，A是直线m外一定点，B，C是直线m上的两定点，P是直线m上一动点.已知AB＝6 cm，BC＝10 cm，当动点P移动到点C处时，PA恰好垂直于AB，且此时PA＝8 cm，则当动点P在直线m上移动时，线段PA的最小值是(　　)

A.4.5 cm　　　　B.6 cm　　　　　　　C.4.8 cm　　　　　D.2.4 cm

5.如图，给出下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2＋∠4＝180°.其中能判定直线l₁∥l₂的有(　　)　

A.1个　　　　　B.2个　　　　　　　C.3个　　　　　　D.4个

(第5题)　　(第6题)　　(第7题)　　(第8题)

6.[2023·荆州]如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，则图中∠G的度数是(　　)

A. 80° 　　　　　B.76°　　　　　　　　C.66°　　　　　　D.56°

7.如图，将长方形ABCD沿线段OG折叠，点B，C的对应点分别为B'，C'.若∠OGC'＝100°，则∠AOB'的度数为(　　)

A.20°　　　　　B.30°　　　　　　　　C.40°　　　　　　D.50°

8.如图，将一副三角尺叠放在一起，使两个直角顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB相交于点E，则∠DEO的度数为(　　)

A.85°　　　　　B.70°　　　　　　　　C.75°　　　　　　D.60°

9.如图，AB∥EF，∠C＝90°，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是(　　)

A.∠β＝∠α＋∠γ　　　　　　　　　　B.∠α＋∠β＋∠γ＝180°

C.∠α＋∠β－∠γ＝90°　　　　　　　　D.∠β＋∠γ－∠α＝90°

10.如图，AB与HN相交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG＋∠EFM＝90°；④3∠EHG－∠EFM＝180°.其中正确的是(　　)

A.①②③　　　B.②④　　　　　　　C.①②④　　　　　D.①④

(第9题)　　(第10题)　　(第12题)　　　　(第13题)

二、填空题(每题3分，共24分)

11.[2022·玉林]已知∠α＝60°，则∠α的余角的度数是　　　　.

12.[2023·烟台]一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝102°，则∠2的度数为　　　　.

13.(母题：教材P43习题T3)如图，某工程队计划把河水引到水池A中，他们先过点A作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是　　　　　　　　　　　.

14.同一平面内的三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a　　　　c.

15.[2022·阜新]一副三角尺按如图所示的方式摆放，直线AB∥CD，则∠α的度数是　　　　.

(第15题)　　　(第16题)　　　(第17题)　　　(第18题)

16.[情景题生活应用]为响应国家新能源建设，某市公交站亭安装了太阳能电池板.当地某一季节的太阳光(平行光线)与水平线最大夹角为64°，如图，电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线互相垂直，此时电池板CD与水平线夹角为46°，要使AB∥CD，需要将电池板CD逆时针旋转m度(0＜m＜90)，则m＝　　　　.

17.如图，某煤气公司安装煤气管道，他们从点A处铺设到点B处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿与AB平行的DE方向继续铺设.已知∠ABC＝135°，∠BCD＝65°，则∠CDE＝　　　　.

18.如图，AB∥CD，∠CDE＝119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF＝130°，则∠EFG＝　　　　.

三、解答题(19～21题每题8分，25题12分，其余每题10分，共66分)

19.(母题：教材P56随堂练习T1)用尺规作一个角等于已知角.(不写作法，保留作图痕迹)

已知：∠AOB，求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB.

(第19题)

20.完成下列推理过程：

如 图，∠A＝∠F，∠C＝∠D，试说明：∠BMN与∠CNM互补.

解：因为∠A＝∠F(已知)，

所以　　　　∥　　　　(　　　　　　　　　　　　　　).

所以∠D＝∠　　　　(　　　　　　　　　　　　　　).

又因为∠C＝∠D(已知)，

所以∠C＝∠　　　　(　　　　　　　　).

所以　　　　∥　　　　(　　　　　　　　　　　　　　).

所以∠BMN与∠CNM互补(　　　　　　　　　　　　　　).

21.如图，AB∥DF，AC⊥BC于点C，BC与DF交于点E，若∠CAB＝20°，求∠BEF的大小.

22.[2023·厦门一中期中]如图，已知AB∥CD，直线AE交CD于点C，∠A与∠D互补，判断直线AE与DF的位置关系，并说明理由.

23.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，P为BC上一动点(点P与点B，C不重合)，设∠CDP＝∠α，∠CPD＝∠β，试说明：不论点P在BC上怎样运动，总有∠α＋∠β＝∠B.

24.[新趋势 学科综合]如图所示的是一个潜望镜模型示意图，AB，CD代表镜子摆放的位置，并且AB∥CD，EF是进入潜望镜的光线，MN是离开潜望镜的光线，光线经过镜子反射时，满足∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：MN∥EF.

25.[新考法 特殊到一般思想]如图①，E，F分别是直线AB，CD上的点，点M在AB与CD之间，且AB∥CD.

(1)若∠EMF＝80°，则∠AEM＋∠CFM＝　　　　.

(2)如图②，在图①的基础上，作射线EN，FN交于点N，使∠AEN＝ ∠AEM，∠CFN＝ ∠CFM，设∠EMF＝α，猜想∠ENF的度数(用含α的式子表示)，并说明理由.

(3)如图③，在图①的基础上，分别作射线EP，FP交于点P，作射线EQ，FQ交于点Q.若∠AEP＝ ∠AEM，∠CFP＝ ∠CFM，∠BEQ＝ ∠BEM，∠DFQ＝ ∠DFM，∠P与∠Q之间有什么数量关系，并说明理由.

第二章综合素质评价

一、1.C

2.C　点拨：由“对顶角相等”可得∠1的对顶角等于70°，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可求解.

3.B

4.C　点拨：连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，如图.

因 为AC⊥AB，AH⊥BC，

所以 AH·BC＝ AC·AB.

所以AH＝ ＝4.8(cm).

所以当动点P运动到点H时，线段PA的值最小，最小值为4.8 cm.

5.C

6 .C　点拨：如图，延长AB交EG于点M，延长CD交FG于点N，过点G作GK∥AB，

∵AB∥CD，

∴GK∥CD.

∴∠KGM＝∠EMB，∠KGN＝∠DNF.

∴∠KGM＋∠KGN＝∠EMB＋∠DNF.

∴∠EGF＝∠EMB＋∠DNF.

∵∠ABE＝80°，∴∠EBM＝100°.

又∵∠E＝47°，

∴∠EMB＝180°－100°－47°＝33°.

同理∠DNF＝33°，

∴∠EGF＝∠EMB＋∠DNF＝33°＋33°＝66°.故选C.

7.A　8.C　9.C

1 0.D　点拨：因为∠FMA＝∠FGC，所以AB∥CD.所以①正确；过点F作FP∥AB，过点H作HQ∥AB，如图.

因为AB∥CD，

所以FP∥AB∥HQ∥CD，

设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y，

所以∠EHG＝∠EHQ＋∠GHQ＝∠AEH＋∠HGC＝∠NEB＋∠HGC＝x＋y，∠EFM＝180°－∠FEM－∠FME＝∠BEF－∠FME＝∠BEF－∠AMG＝∠BEF－(180°－∠FGC)＝x＋2x－(180°－2y－y)＝3x＋3y－180°，

所以2∠EFM＝6x＋6y－360°，

所以∠EHG≠2∠EFM，所以②错误；

所以∠EHG＋∠EFM＝x＋y＋3x＋3y－180°＝4x＋4y－180°≠90°，

所以③错误；

所以3∠EHG－∠EFM＝3(x＋y)－(3x＋3y－180°)＝180°，

所以④正确.

综上所述，正确的是①④.故选D.

二、11.30°

12. 78°　点拨：如图，

由 题意，得AB∥CD，

∴∠2＝∠BCD.

∵∠1＝102°，

∴∠BCD＝78°.

∴∠2＝78°.

13.垂线段最短　14.∥

15.15°

16.20　点拨：因为电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线互相垂直，所以AB与水平线的夹角为90°－64°＝26°.要使AB∥CD，需要CD与水平线的夹角为26°，所以需将电池板CD逆时针旋转46°－26°＝20°.

17.110°　点拨：如图，过点C作CF∥AB.

因 为AB∥DE，

所以DE∥CF.

所以∠CDE＝∠FCD.

因为AB∥CF，∠ABC＝135°，

所以∠BCF＝180°－∠ABC＝45°.

又因为∠FCD＝∠BCD＋∠BCF，∠BCD＝65°，

所以∠FCD＝110°.

所以∠CDE＝110°.

18.9.5°　点拨：过点F向左作FH∥BA，则AB∥CD∥HF.

所以∠BED＝∠CDE，∠AGF＋∠GFH＝180°，∠BEF＝∠EFH.

所以∠GFH＝180°－∠AGF＝50°.

因为EF平分∠BED，

所以∠BEF＝ ∠BED＝ ∠CDE＝59.5°.

所以∠EFH＝59.5°.

所以∠EFG＝∠EFH－∠GFH＝9.5°.

三、19.解：如图，∠A'O'B'就是所求作的角.

20.DF；AC；内错角相等，两直线平行；DBA；两直线平行，内错角相等；DBA；等量代换；BD；CE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补

21.解：因为AC⊥BC，

所以∠C＝90°.

因为∠CAB＝20°，

所以∠ABC＝180°－∠CAB－∠C＝180°－20°－90°＝70°.

因为AB∥DF，所以∠DEB＝∠ABC＝70°.

因为∠DEB＋∠BEF＝180°，所以∠BEF＝110°.

22.解：AE∥DF，理由如下：

因为AB∥CD，所以∠A＝∠DCE.

因为∠A与∠D互补，

所以∠DCE＋∠D＝180°.所以AE∥DF.

23.解：过点P作PE∥CD交AD于点E，则∠DPE＝∠α.

因为AB∥CD，所以PE∥AB.

所以∠CPE＝∠B，

即∠DPE＋∠β＝∠α＋∠β＝∠B.

所以不论点P在BC上怎样运动，总有∠α＋∠β＝∠B.

24.证明：因为AB∥CD，

所以∠2＝∠3.

又因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，

所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4.

因为∠1＋∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠4＋∠6＝180°，

所以∠5＝∠6.

所以MN∥EF.

25.【解】(1)80°

(2)∠ENF＝ α，理由如下：

如 图，过点M作MG∥AB，

易知，∠EMF＝∠AEM＋∠CFM.

过点N作NH∥AB，

因为AB∥CD，

所以AB∥CD∥NH.

所以∠AEN＝∠ENH，∠HNF＝∠CFN.

所以∠ENF＝∠ENH＋∠HNF＝∠AEN＋∠CFN.

因为∠AEN＝ ∠AEM，∠CFN＝ ∠CFM，

所以∠ENF＝ ∠AEM＋ ∠CFM＝ (∠AEM＋∠CFM)＝ ∠EMF.

因为∠EMF＝α，所以∠ENF＝ α.

(3)n∠Q＋m∠P＝360°，理由如下：

易知，∠P＝ ∠M，∠Q＝∠BEQ＋∠DFQ，∠BEM＋∠DFM＋∠M＝360°，

因为∠BEQ＝ ∠BEM，∠DFQ＝ ∠DFM，

所以∠Q＝ ∠BEM＋ ∠DFM＝ (∠BEM＋∠DFM)＝ (360°－∠M).

所以∠M＝360°－n∠Q.

因为∠M＝m∠P，

所以360°－n∠Q＝m∠P，即n∠Q＋m∠P＝360°.