第13讲分式方程(核心考点讲与练)

一．分式方程的定义

分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．

二．分式方程的解

求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．

注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．

三．解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．

所以解分式方程时，一定要检验．

四．换元法解分式方程

1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．

2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．

五．分式方程的增根

（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．

（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．

（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．

六．由实际问题抽象出分式方程

由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．

（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．

（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．

七．分式方程的应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．

2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间

等等．

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．

一．分式方程的定义（共2小题）

1．（罗湖区期末）有下列方程：① ；② ；③ ；④ ．属于分式方程的有（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

【分析】根据分式方程的定义对各小题分析判断即可得解．

【解答】解：①2x+ ＝10是整式方程，

②x﹣ ＝2是分式方程，

③ ﹣3＝0是分式方程，

④ + ＝0是整式方程，

所以，属于分式方程的有②③．

故选：B．

【点评】本题考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．

2．（惠民县期末）观察分析下列方程：①x+ ＝3；②x+ ＝5；③x+ ＝7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n个方程是　x+ ＝n+（n+1）　．

【分析】方程中的分式的分子变化规律为：n（n+1），方程的右边的变化规律为n+（n+1）．

【解答】解：∵第1个方程为x+ ＝1+2，

第2个方程为x+ ＝2+3，

第3个方程为x+ ＝3+4，

…

∴第n个方程为x+ ＝n+（n+1）．

故答案是：x+ ＝n+（n+1）．

【点评】本题考查了分式的定义．该题属于寻找规律的题目，对于此类题型，应观察哪部分没有发生变化，哪部分发生了变化，变化的规律是什么．

二．分式方程的解（共2小题）

3．（如皋市期末）已知关于x的方程 的解是正数，那么m的取值范围为（　　）

A．m＞﹣6且m≠3 B．m＜6 C．m＞﹣6且m≠﹣3 D．m＜6且m≠﹣2

【分析】先解分式方程得x＝6+m，再由题意可得6+m＞0，6+m≠3，求出m的范围即可．

【解答】解： ，

方程两边同时乘x﹣3，得x﹣2（x﹣3）＝﹣m，

去括号得，x﹣2x+6＝﹣m，

解得x＝6+m，

∵方程的解是正数，

∴6+m＞0，

∴m＞﹣6，

∵6+m≠3，

∴m≠﹣3，

故选：C．

【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏增根的情况是解题的关键．

4．（启东市期末）若关于x的方程 ﹣ ＝0无解，则m的值是　3　．

【分析】先解方程得x＝m+1，再由方程无解，可得x＝4，由此可求m的值．

【解答】解： ﹣ ＝0，

方程两边同时乘x﹣4，得m+1﹣x＝0，

解得x＝m+1，

∵方程无解，

∴x＝4，

∴m＝3，

故答案为：3．

【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解增根与无解的关系是解题的关键．

三．解分式方程（共5小题）

5．（通州区期末）把分式方程 ﹣ ＝1化为整式方程正确的是（　　）

A．1﹣（1﹣x）＝1 B．1+（1﹣x）＝1

C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（1﹣x）＝x﹣2

【分析】分式方程变形后，两边乘以最简公分母（x﹣2）化简得到结果，即可作出判断．

【解答】解：方程变形得： + ＝1，

去分母得：1+（1﹣x）＝x﹣2，

故选：D．

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．

6．（高邮市期末）解分式方程：

（1） ；

（2） ．

【分析】（1）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1、检验解决此题．

（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1、检验解决此题．

【解答】解：（1） ，

方程两边同乘x﹣7，得x﹣6﹣1＝8（x﹣7）．

去括号，得x﹣7＝8x﹣56．

移项，得x﹣8x＝﹣56+7．

合并同类项，得﹣7x＝﹣49．

x的系数化为1，得x＝7．

检验：当x＝7时，x﹣7＝0．

∴x＝7是这个分式方程的增根．

∴这个分式方程无解．

（2） ，

方程两边同乘（x+2）（x﹣1），得x（x﹣1）＝2（x+2）+（x+2）（x﹣1）．

去括号，得x²﹣x＝2x+4+x²﹣x+2x﹣2．

移项，得x²﹣x﹣2x﹣x²+x﹣2x＝4﹣2．

合并同类项，得﹣4x＝2．

x的系数化为1，得x＝ ．

检验：当x＝﹣ 时，（x+2）（x﹣1）≠0．

∴这个分式方程的解为x＝ ．

【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．

7．（溧阳市期末）解下列分式方程：

（1） + ＝1；

（2） ﹣1＝ ．

【分析】（1）（2）首先将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，注意求出的整式方程的解要进行检验．

【解答】解：（1）∵ + ＝1，

∴ ﹣ ＝1，

方程两边同时乘（x﹣1），可得：1﹣2＝x﹣1，

解得x＝0，x﹣1≠0，

∴原分式方程的解为x＝0．

（2）∵ ﹣1＝ ，

∴ ﹣1＝ ，

方程两边同时乘（x+2）（x﹣2），可得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝8，

整理得：2x﹣4＝0，

解得x＝2，

检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，

∴原分式方程无解．

【点评】此题主要考查了解分式方程，解答此题的关键是要明确解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．

8．（虎林市校级期末）已知关于x的方程 ．

（1）已知m＝4，求方程的解；

（2）若该方程无解，试求m的值．

【分析】（1）把m＝4代入方程，方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得出2（x+2）﹣4x＝x﹣1，求出方程的解，再进行检验即可；

（2）先方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得出2（x+2）﹣mx＝x﹣1，整理后得出（1﹣m）x＝﹣5，再求出所有情况即可．

【解答】解：（1）把m＝4代入方程 得： ﹣ ＝ ，

方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得：2（x+2）﹣4x＝x﹣1，

解方程得：x＝ ，

检验：当x＝ 时，（x﹣1）（x+2）≠0，

所以x＝ 是原方程的解，

即原方程的解是x＝ ；

（2） ，

方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得：2（x+2）﹣mx＝x﹣1①，

整理得：（1﹣m）x＝﹣5②，

有三种情况：

第一种情况：当x﹣1＝0时，方程无解，即此时x＝1，

把x＝1代入①得：6﹣m＝1﹣1，

解得：m＝6；

第二种情况：当x+2＝0时，方程无解，即此时x＝﹣2，

把x＝﹣2代入①得：2m＝﹣2﹣1，

解得：m＝﹣ ；

第三种情况：∵（1﹣m）x＝﹣5②，

∴当1﹣m＝0时，方程无解，

即此时m＝1；

所以m＝6或﹣ 或1．

【点评】本题考查了解分式方程和分式方程的解，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．

9．（丛台区校级期末）阅读材料：一般情形下等式 ＝1不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如：x＝2，y＝2时， ＝1成立，我们称（2，2）是使 ＝1成立的“神奇数对”．请完成下列问题：

（1）数对（ ，4），（1，1）中，使 ＝1成立的“神奇数对”是　（ ，4）　；

（2）若（5﹣t，5+t）是使 ＝1成立的“神奇数对”，求t的值；

（3）若（m，n）是使 ＝1成立的“神奇数对”，且a＝b+m，b＝c+n，求代数式（a﹣c）²﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值．

【分析】（1）按照题中定义将数对（ ，4），（1，1）分别验算即可；

（2）根据题意得关于t的分式方程，解方程即可；

（3）根据已知条件，先将m和n用含a，b，c的式子表示出来，再根据题意得出关于m和n的等式，然后可得关于a，b，c的等式，从而可对所给的代数式配方，求得最值．

【解答】解：（1）∵ + ＝ + ＝1

∴（ ，4）是使 ＝1成立的“神奇数对”．

∵ + ＝2≠1

∴（1，1）不是使 ＝1成立的“神奇数对”．

故答案为：（ ，4）；

（2）若（5﹣t，5+t）是使 ＝1成立的“神奇数对”，

则： + ＝1

∴5+t+5﹣t＝25﹣t²

∴t＝±

经检验，t＝± 是原方程的解

∴t的值为± ；

（3）∵a＝b+m，b＝c+n

∴m＝a﹣b，n＝b﹣c

由题意得： + ＝1

+ ＝1

∴b﹣c+a﹣b＝（a﹣b）（b﹣c）

∴a﹣c＝（a﹣b）（b﹣c）

∴（a﹣c）²﹣12（a﹣b）（b﹣c）

＝（a﹣c）²﹣12（a﹣c）

＝（a﹣c﹣6）²﹣36

∵（a﹣c﹣6）²≥0

∴（a﹣c﹣6）²﹣36≥﹣36

∴代数式（a﹣c）²﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值为﹣36．

【点评】本题考查了分式方程在新定义习题和整式的化简求值中的应用，正确按照定义列式，是解题的关键．

四．换元法解分式方程（共4小题）

10．（奉化区校级期末）用换元法解分式方程 +1＝0时，如果设 ＝y，那么原方程可以变形为整式方程（　　）

A．y²﹣3y﹣1＝0 B．y²+3y﹣1＝0 C．y²﹣y﹣1＝0 D．y²+y﹣1＝0

【分析】根据换元法，把 换成y，然后整理即可得解．

【解答】解：∵ ＝y，

∴原方程化为y﹣ +1＝0．

整理得：y²+y﹣1＝0．

故选：D．

【点评】本题考查了换元法解分式方程，换元法是解分式方程常用的方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．

11．（浙江自主招生）方程 的实数根是　 　

【分析】先将原方程变形为 + ＝ ，再设 ＝y，转化成整式方程求解即可．

【解答】解：∵ ，∴ + ＝ ，

设 ＝y，则y+ ＝ ，解得y₁＝3，y₂＝ ，

∴当y₁＝3时， ＝3，无解舍去；

当y₂＝ 时， ＝ ，x＝ ，

故答案为 ．

【点评】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧

12．（玄武区校级期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．

例如解方程组 ，设m＝ ，n＝ ，则原方程组可化为 ，

解之得 ，即 所以原方程组的解为 ．

运用以上知识解决下列问题：

（1）求值： ＝　 　．

（2）方程组 的解为　 　．

（3）分解因式：（x²+4x+3）（x²+4x+5）+1＝　（x+2）⁴　．

（4）解方程组 ．

（5）已知关于x、y的方程组 的解是 ，求关于x、y的方程组 的解．

【分析】（1）设 ，代入原式化简即可得出结论；

（2）设 ，将原方程组变形，求得a，b，进而求出原方程组的解；

（3）设x²+4x+3＝m，展开后因式分解，再将m代入即可得出结论；

（4）将原方程组变形为 ，设2^x＝m，3^y＝n，解关于m，n的方程组，进而求得x．y的值；

（5）将关于x、y的方程组 ，变为 ，利用关于x、y的方程组 的解是 ，可得： ，解这个方程组可得原方程组的解．

【解答】解：（1）设 ，

原式＝（1+a）（a+ ）﹣（1+a+ ）a＝a+ +a²+ a﹣a﹣a²﹣ a＝ ．

故答案为： ．

（2）设 ，原方程组变为：

．

解得： ．

∴ ．

解得： ．

经检验， 是原方程组的解．

故答案为： ．

（3）设x²+4x+3＝m，

原式＝m（m+2）+1＝m²+2m+1＝（m+1）²＝（x²+4x+3+1）²＝[（x+2）²]²＝（x+2）⁴．

故答案为：（x+2）⁴．

（4）原方程组变形为： ，

设2^x＝m，3^y＝n，则 ．

解得： ．

∴ ．

∴ ．

（5）将关于x、y的方程组 整理得：

．

∵关于x、y的方程组 的解是 ，

∴ ．

即： ．

解这个方程组得：

， ．

∴原方程组的解为：

， ．

【点评】本题主要考查了换元法解分式方程和分式方程组，因式分解，解二元一次方程组，有理数的混合运算，分式方程的解．利用换元法可使问题简单化，恰当的换元是解题的关键．

五．分式方程的增根（共2小题）

13．（莱芜区期末）关于x的分式方程 +5＝ 有增根，则m的值为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．1

【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．

【解答】解：7x+5（x﹣1）＝2m﹣1

x＝

由题意可知：x＝ 代入x﹣1＝0，

﹣1＝0

解得：m＝4

故选：B．

【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．

14．（新邵县期末）若关于x的方程 有增根，则m等于　﹣2　．

【分析】方程两边都乘以最简公分母（x﹣5），把分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，则最简公分母等于0求出x的值，再代入进行计算即可得解．

【解答】解：方程两边都乘以（x﹣5）得，

2＝x﹣5﹣m，

∵方程有增根，

∴x﹣5＝0，

解得x＝5，

∴2＝5﹣5﹣m，

解得m＝﹣2．

故答案为：﹣2．

【点评】本题考查了分式方程的增根问题，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

六．由实际问题抽象出分式方程（共3小题）

15．（黄石期末）小明和小强为端午节做粽子，小强比小明每小时少做2个，已知小明做100个粽子的时间与小强做90个所用的时间相等，小明、小强每小时各做粽子多少个？假设小明每小时做x个，则可列方程得（　　）

A． B．

C． D．

【分析】假设小明每小时做x个，则小强每小时做（x﹣2）个，根据题意可得：小明做100个粽子的时间与小强做90个所用的时间相等，据此列方程．

【解答】解：假设小明每小时做x个，则小强每小时做（x﹣2）个，

由题意得， ．

故选：C．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．

七．分式方程的应用（共4小题）

16．（通州区期末）某校八年级学生去距学校15km的课外实践基地活动，一部分学生骑自行车先走，过了45min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的4倍，求骑车学生的速度．

【分析】设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为4xkm/h，利用时间＝路程÷速度，结合乘车学生比骑车学生少用45min，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出骑车学生的速度．

【解答】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为4xkm/h，

依题意得： ﹣ ＝ ，

解得：x＝15，

经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意．

答：骑车学生的速度为15km/h．

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

17．（泰兴市期末）甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款30000元．乙公司比甲公司人均多捐20元．给出如下两个信息：

①甲公司的人数比乙公司的人数多20%；

②甲、乙两公司的人数之比为6：5；

请从以上两个信息中选择一个作为条件，求甲、乙两公司的人数各有多少人？

你选择的条件是　①（或②）　（填序号），并根据你选择的条件给出求解过程．

【分析】选择①，设乙公司有x人，则甲公司有（1+20%）x人，根据乙公司比甲公司人均多捐20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出乙公司的人数，再将其代入（1+20%）x中即可求出甲公司的人数；

选择②，设乙公司有5y人，则甲公司有6y人，根据乙公司比甲公司人均多捐20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出y的值，再将其分别代入5y，6y中即可求出两公司的人数．

【解答】解：选择①，设乙公司有x人，则甲公司有（1+20%）x人，

依题意得： ﹣ ＝20，

解得：x＝250，

经检验，x＝250是原方程的解，且符合题意，

∴（1+20%）x＝（1+20%）×250＝300．

答：甲公司有300人，乙公司有250人．

选择②，设乙公司有5y人，则甲公司有6y人，

依题意得： ﹣ ＝20，

解得：y＝50，

经检验，y＝50是原方程的解，且符合题意，

∴5y＝5×50＝250，6y＝6×50＝300．

答：甲公司有300人，乙公司有250人．

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

18．（高邮市期末）为了给抗疫工作提供保障，某工厂每天生产防护服的效率比原先提高了20%，现在生产2400套防护服所用的时间比原先生产2200套防护服所用的时间少1天．问原先每天生产多少套防护服？

【分析】设原先每天生产x套防护服，由题意：某工厂每天生产防护服的效率比原先提高了20%，现在生产2400套防护服所用的时间比原先生产2200套防护服所用的时间少1天．列出分式方程，解方程即可．

【解答】解：设原先每天生产x套防护服，

由题意得： ﹣ ＝1，

解得：x＝200，

经检验：x＝200是原方程的解，且符合题意，

答：原先每天生产200套防护服．

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

19．（苏州期末）第十一届江苏书展在苏州国际博览中心设有400个展台，并在全省多地线上、线下同步举行．本届书展设置了“读经典、学四史、童心向党和百年辉煌”等活动．为保障书展的准备工作比原计划提前2天完成，每天准备展台的个数需比原计划增加25%．

（1）求原计划每天准备展台的个数，

（2）为满足读者购书需求，某厂装订A，B两种图书共6000本，其中A种图书数量不多于B种图书数量的 ，装订一本A种图书成本为10元，装订一本B种图书成本为15元．设装订A种图书x（本），问x为何值时，两种图书装订总成本y（元）最低，最低装订总成本为多少元？

【分析】（1）设原计划每天准备展台的个数为x个，由题意：设有400个展台，为保障书展的准备工作比原计划提前2天完成，每天准备展台的个数需比原计划增加25%．列出分式方程，解方程即可；

（2）设装订A种图书x（本），则装订B种图书（6000﹣x）（本），由题意：A种图书数量不多于B种图书数量的 ，列出一元一次不等式，解得：x≤2400，再设装订总成本为w元，求出w关于x的一次函数，然后由一次函数的性质求解即可．

【解答】解：（1）设原计划每天准备展台的个数为x个，

由题意得： ﹣ ＝2，

解得：x＝40，

经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，

答：原计划每天准备展台的个数为40个；

（2）设装订A种图书x（本），则装订B种图书（6000﹣x）（本），

由题意得：x≤ （6000﹣x），

解得：x≤2400，

设装订总成本为w元，

由题意得：w＝10x+15（6000﹣x）＝﹣5x+90000，

∵﹣5＜0，

∴w随x的增大而减小，

∴当x＝2400时，w最小＝﹣5×2400+90000＝78000（元），

答：最低装订总成本为78000元．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

题组A 基础过关练

一．选择题（共6小题）

1．（罗湖区期末）有下列方程：① ；② ；③ ；④ ．属于分式方程的有（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

【分析】根据分式方程的定义对各小题分析判断即可得解．

【解答】解：①2x+ ＝10是整式方程，

②x﹣ ＝2是分式方程，

③ ﹣3＝0是分式方程，

④ + ＝0是整式方程，

所以，属于分式方程的有②③．

故选：B．

【点评】本题考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．

2．（镇江期末）2020年初，受疫情影响，医用防护服生产车间有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变．原来生产车间每天生产防护服800套，现在每天生产防护服650套．求原来生产车间的工人有多少人？在这个问题中，设原来生产车间的工人有x人．则根据题意可得方程为（　　）

A． B．

C． D．

【分析】设原来生产车间的工人有x人，则复产后车间的工人有（x﹣7）人，利用每人每小时完成的工作量＝ ，结合每人每小时完成的工作量不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【解答】解：设原来生产车间的工人有x人，则复产后车间的工人有（x﹣7）人，

依题意得： ＝ ．

故选：C．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

3．（盐城期末）5G网络引领时代发展．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输100兆数据，5G网络比4G网络快9秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，根据题意，可列方程为（　　）

A． B．

C． D．

【分析】设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，则5G网络峰值速率为每秒10x兆数据，利用时间＝需传输的数据量÷数据传输速率，结合“在峰值速率下传输100兆数据，5G网络比4G网络快9秒”，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【解答】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，则5G网络峰值速率为每秒10x兆数据，

依题意得： ﹣ ＝9．

故选：B．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

4．（建邺区校级期末）若关于x的分式方程 ＝ +1有增根，则这个增根是（　　）

A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣1

【分析】由分式方程有增根，确定最简公分母为0，从而求解．

【解答】解：∵原分式方程有增根，

∴x﹣1＝0，

解得：x＝1，

故选：B．

【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

5．（偃师市期末）若关于x的分式方程 的解为非负数，则m的取值范围是（　　）

A．m≤5 B．m＜5且m≠3 C．m≠3 D．m≤5且m≠3

【分析】解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据x＝2时分式方程的增根，求出此时m的值，即可得到答案．

【解答】解：去分母得，3＝x﹣2+m，

解得，x＝5﹣m，

∵分式方程的解为非负数，

∴5﹣m≥0，

∴m≤5，

又∵x≠2，

∴5﹣m≠2，m≠3，

∴m的取值范围是m≤5且m≠3，

故选：D．

【点评】本题主要考查了分式的方程的解，解出分式方程，根据解是非负数判断范围是解题的关键．

6．（修水县期末）关于x的分式方程 + ＝4的解为正实数，则实数m的取值范围是（　　）

A．m＞﹣4 B．m＜4 C．m＜4且m≠1 D．m＜4且m≠2

【分析】先解分式方程求得x＝ ，根据分式方程的解为正实数列出关于m的不等式（注意隐含的条件x≠2），解之可得．

【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：x+m﹣3m＝4（x﹣2），

解得x＝ ，

∵分式方程的解为正实数，

∴ ＞0且 ≠2，

解得m＜4且m≠1，

故选：C．

【点评】本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．

二．填空题（共4小题）

7．（淮安）方程 ＝1的解是　x＝1　．

【分析】方程两边都乘以x+1得出2＝x+1，求出方程的解，再进检验即可．

【解答】解： ＝1，

方程两边都乘以x+1，得2＝x+1，

解得：x＝1，

检验：当x＝1时，x+1≠0，所以x＝1是原方程的解，

即原方程的解是x＝1，

故答案为：x＝1．

【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．

8．（滨州）解方程 时，若设 ，则方程可化为　2y﹣ ＝2　．

【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，关键是明确方程各部分与y的关系，再用y代替即可．

【解答】解：因为 ，所以原方程可变形为2y﹣ ＝2．

故答案为：2y﹣ ＝2．

【点评】用换元法解分式方程是常用方法之一，要注意总结能用换元法解的方程的特点．

9．（江都区月考）若关于x的分式方程 ＝ +1的解为非负数，则a的取值范围　a≥1且a≠2　．

【分析】先解分式方程，根据分式方程解的情况得不等式，确定字母的取值范围即可．

【解答】解： ＝ +1，

方程的两边都乘（x﹣1），得a＝2+x﹣1，

∴x＝a﹣1．

∵分式方程的解为非负数，

∴a﹣1≥0且a﹣1≠1．

∴a≥1且a≠2．

故答案为：a≥1且a≠2．

【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式，掌握分式方程、一元一次不等式的解法是解决本题的关键．

三．解答题（共5小题）

10．（赞皇县期末）2021年4月8日世界园艺博览会在扬州拉开了帷幕，世园会以“绿色城市，健康生活”为主题，吸引了大批游客游览，世园会成人一日票分为平日票和指定日票，其中平日票比指定日票便宜30元/张．某一售票点在5月份售出平日票4万元，指定日票2.6万元，且售出的平日票数量是指定日票的2倍，这一售票点售出的平日票和指定日票各多少张？

【分析】设这一售票点售出指定日票x张，则售出平日票2x张，利用单价＝总价÷数量，结合平日票比指定日票便宜30元/张，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出售出指定日票的数量，再将其代入2x中即可求出售出平日票的数量．

【解答】解：设这一售票点售出指定日票x张，则售出平日票2x张，

依题意得： ﹣ ＝30，

解得：x＝200，

经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，

∴2x＝2×200＝400．

答：这一售票点售出售出平日票400张，指定日票200张．

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

11．（如皋市期末）为庆祝建党100周年，学校组织初二学生乘车前往距学校132千米的某革命根据地参观学习．二班因事耽搁，比一班晚半小时出发，为了赶上一班，平均车速是一班平均车速的1.2倍，结果和一班同时到达．求一班的平均车速是多少千米/时？

【分析】设一班的平均车速是x千米/时，则二班的平均车速是1.2x千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合二班比一班少用半小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出一班的平均车速．

【解答】解：设一班的平均车速是x千米/时，则二班的平均车速是1.2x千米/时，

依题意得： ﹣ ＝ ，

解得：x＝44，

经检验，x＝44是原方程的解，且符合题意．

答：一班的平均车速是44千米/时．

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

12．（溧阳市期末）解下列分式方程：

（1） + ＝1；

（2） ﹣1＝ ．

【分析】（1）（2）首先将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，注意求出的整式方程的解要进行检验．

【解答】解：（1）∵ + ＝1，

∴ ﹣ ＝1，

方程两边同时乘（x﹣1），可得：1﹣2＝x﹣1，

解得x＝0，x﹣1≠0，

∴原分式方程的解为x＝0．

（2）∵ ﹣1＝ ，

∴ ﹣1＝ ，

方程两边同时乘（x+2）（x﹣2），可得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝8，

整理得：2x﹣4＝0，

解得x＝2，

检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，

∴原分式方程无解．

【点评】此题主要考查了解分式方程，解答此题的关键是要明确解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．

13．（苏州）用换元法解方程

【分析】先设 ，则原方程可化得y²﹣5y+6＝0，求得y的值，代入求出x的值即可．

【解答】解：设 ，则原方程可化得y²﹣5y+6＝0，

解这个方程得y₁＝2，y₂＝3．

当y＝2时， ，去分母得x＝2x+4，∴x₁＝﹣4

当y＝3时， ，去分母得x＝3x+6，∴x₂＝﹣3

经检验，x₁＝﹣4，x₂＝﹣3都是原方程的解．

∴原方程的解是x₁＝﹣4，x₂＝﹣3．

题组B 能力提升练

一．填空题（共4小题）

1．（沭阳县期末）关于x的方程 ＝2的解是非负数，则a的取值范围是　a≥﹣3且a≠﹣ 　．

【分析】先求出方程的解，根据解是非负数列出不等式，即可解答．

【解答】解：在方程两边同乘x﹣4得：3a+1＝2（x﹣4），

解得：x＝ ，

∵方程的解是非负数，

∴ ≥0，且 ≠4，

解得：a≥﹣3且a≠﹣ ．

故答案为：a≥﹣3且a≠﹣ ．

【点评】本题考查了分式方程的解、一元一次不等式，解决本题的关键是根据方程的解是非负数得出不等式．

2．（南京期末）若关于x的分式方程 ＝ 有增根，则实数m的值是　5　．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x﹣1＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．

【解答】解：去分母得：3x+2＝m，

由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，

把x＝1代入整式方程得：3+2＝m，

解得：m＝5，

故答案为：5．

【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

3．（无锡月考）为参加无锡2021马拉松比赛，小林与小雨两名同学，在学校运动场400米环形跑道上进行训练，两人各自以恒定的速度沿逆时针方向跑步，小雨每秒钟比小林少跑3米，小林每圈花费的时间比小雨少30秒，则小林跑步的速度为每秒　8　米．

【分析】设小林跑步的速度为x米/秒，由路程÷速度＝时间，结合小林每圈花费的时间比小雨少30秒，列出分式方程，解方程即可．

【解答】解：设小林跑步的速度为x米/秒，则小雨跑步的速度为（x﹣3）米/秒，

依题意，得： ﹣ ＝30，

解得：x＝8，

经检验，x＝8为原分式方程的解，且符合题意，

即小林跑步的速度为每秒8米，

故答案为：8．

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

二．解答题（共9小题）

4．（海安市期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．

例如，分式 与 互为“3阶分式”．

（1）分式 与　 　互为“5阶分式”；

（2）设正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“2阶分式”；

（3）若分式 与 互为“1阶分式”（其中a，b为正数），求ab的值．

【分析】（1）根据题意两个分式相加等于5，建立等式计算即可；

（2）根据题意得出xy＝1，可以用 表示y，代入 + ，求证计算结果为2即可；

（3）列出等式 + ＝1，再根据分式的运算法则计算并探索．

【解答】解：（1）设另外一个分式为M，

则 +M＝5，

解得M＝

故答案为 ．

（2）证明：由题意得xy＝1，则y＝ ，

把y＝ 代入 + 得：

原式＝ + ＝ + ＝2

∴ 与 互为“2阶分式”．

（3）∵ 与 互为“1阶分式”

∴ + ＝1

+ ＝1

＝1

即2ab＝4a²b²

又∵a，b为正数，

∴ab＝

答：ab的值为 ．

【点评】本题是一道新定义型题目，主要考查分式的相关计算，有一定难度，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．另外，做计算题时一定要仔细认真，莫要“因小失大”．

5．（邗江区校级月考）（换元法）解方程：（x²﹣3x）²﹣2（x²﹣3x）﹣8＝0

解：设x²﹣3x＝y则原方程可化为y²﹣2y﹣8＝0

解得：y₁＝﹣2，y₂＝4

当y＝﹣2时，x²﹣3x＝﹣2，解得x₁＝2，x₂＝1

当y＝4时，x²﹣3x＝4，解得x₁＝4，x₂＝﹣1

∴原方程的根是x₁＝2，x₂＝1，x₃＝4，x₄＝﹣1，

根据以上材料，请解方程：

（1）（2x²﹣3x）²+5（2x²﹣3x）+4＝0．

（2）x²﹣3x+5+ ＝0

【分析】（1）设2x²﹣3x＝y，则原方程可化为y²+5y+4＝0，解得y的值，即可得到原方程的根；

（2）设x²﹣3x＝y，则原方程可化为y+5+ ＝0，解得y的值，检验后即可得到原方程的根．

【解答】解：（1）设2x²﹣3x＝y，则原方程可化为y²+5y+4＝0

解得：y₁＝﹣1，y₂＝﹣4

当y＝﹣1时，2x²﹣3x＝﹣1，解得x₁＝ ，x₂＝1

当y＝﹣4时，2x²﹣3x＝﹣4，方程无解

∴原方程的根是x₁＝ ，x₂＝1；

（2）设x²﹣3x＝y，则原方程可化为y+5+ ＝0

去分母，可得y²+5y+6＝0

解得y₁＝﹣2，y₂＝﹣3

当y＝﹣2时，x²﹣3x＝﹣2，解得x₁＝2，x₂＝1

当y＝﹣3时，x²﹣3x＝﹣3，方程无解

经检验：x₁＝2，x₂＝1都是原方程的解

∴原方程的根是x₁＝2，x₂＝1．

【点评】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程以及分式方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．

6．（河东区期末）某药店用4000元购进若干包一次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，则该药店购进的第一批医用口罩有多少包？

【分析】设购进的第一批医用口罩有x包，根据“每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元”列出方程并解答．

【解答】解：设购进的第一批医用口罩有x包，则

＝ ﹣0.5．

解得：x＝2000．

经检验x＝2000是原方程的根并符合实际意义．

答：购进的第一批医用口罩有2000包．

【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

7．（秦都区期末）某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．

（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？

（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？

【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为360平方米区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作 天，根据总费用＝700×甲队工作时间+500×乙队工作时间结合这次的绿化总费用不超过14500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．

【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，

依题意，得： ﹣ ＝3，

解得：x＝40，

经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，

∴1.5x＝60．

答：甲工程队每天能完成绿化的面积是60平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米．

（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作 天，

依题意，得：700m+500× ≤14500，

解得：m≥10．

所以m最小值是10．

答：至少应安排甲队工作10天．

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

8．（江都区期末）动车的开通为江都市民的出行带来更多方便，从江都到南京，路程120公里，某趟动车的平均速度比普通列车快50%，所需时间比普通列车少20分钟，求该动车的平均速度．

（1）根据题意填空：

①若小慧设　普通列车的平均速度　为x公里/小时，列出尚不完整的方程： ＝ +（　 　）；

②若小聪设　该动车所需时间　为y小时，列出尚不完整的方程： ＝1.5× ；

（2）请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程．

【分析】（1）①若小慧设普通列车的平均速度为x公里/小时，则该动车的平均速度为1.5x公里/小时，根据所需时间比普通列车少20分钟，即可列出关于x的分式方程，此题得解；

②若小聪设该动车所需时间为y小时，则普通列车所需时间为（y+ ）小时，根据动车的平均速度比普通列车快50%，即可列出关于y的分式方程，此题得解；

（2）选择小慧的设法，设普通列车的平均速度为x公里/小时，则该动车的平均速度为1.5x公里/小时，根据所需时间比普通列车少20分钟，即可列出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出x的值，再将其代入1.5x中即可求出该动车的平均速度．

【解答】解：（1）①若小慧设普通列车的平均速度为x公里/小时，则该动车的平均速度为1.5x公里/小时，

根据题意得： ＝ + ．

故答案为：普通列车的平均速度； ．

②若小聪设该动车所需时间为y小时，则普通列车所需时间为（y+ ）小时，

根据题意得： ＝1.5× ．

故答案为：该动车所需时间．

（2）选择小慧的设法．

设普通列车的平均速度为x公里/小时，则该动车的平均速度为1.5x公里/小时，

根据题意得： ＝ + ，

解得：x＝120，

经检验，x＝120是原方程的解，

∴1.5x＝180．

答：该动车的平均速度为180公里/小时．

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．