第5章分式（基础30题专练）

一．选择题（共15小题）

1．（樊城区期末）已知要使分式 有意义，则x的取值应满足（　　）

A．x≠2 B．x≠﹣3 C．x＝﹣3 D．x＝2

【分析】根据分式有意义的条件即可得出答案．

【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0，

∴x≠2，

故选：A．

【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是：分母≠0是解题的关键．

2．（邓州市期中）代数式中 ， ， ， +b， ，分式有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据如果A、B（B不为0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子 就叫做分式，可得答案．

【解答】解；代数式 ， +b的分母中含有字母，是分式，

故选：B．

【点评】本题考查了分式的定义．分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是 的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．

3．（兰溪市模拟）若分式 的值为零，则x为（　　）

A．x＝2 B．x＝﹣3 C．x＝﹣2 D．x＝2或x＝﹣3

【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列方程和不等式，解方程得到答案．

【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且x+3≠0，

解得：x＝2，

故选：A．

【点评】本题考查的是分式为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．

4．（浦江县期末）已知b﹣ a²＝0，则 的值为（　　）

A．a²+1 B．b²+1 C．a+1 D．b+1

【分析】由已知可得2b＝a²，再将所求式子中的a²用b替换即可．

【解答】解：∵b﹣ a²＝0，

∴2b＝a²，

∴ ＝ ＝ ＝a+1，

故选：C．

【点评】本题考查分式的值，从已知中求出a²＝2b，再将所求式子中的a²进行替换是解题的关键．

5．（大安市期末）某河两地相距s千米，船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，船往返一次所用的时间为（　　）小时

A． B． C． + D． +

【分析】先分别表示出船顺流航行的速度和船逆流航行的速度，再根据时间＝ 列出式子，求出船顺流航行的时间和船逆流航行的时间，即可得出答案．

【解答】解：∵船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，

∴船顺流航行的速度是：（a+b）千米/时，船逆流航行的速度是：（a﹣b）千米/时，

∵两地相距s千米，

∴船顺流航行的时间是 小时，船逆流航行的时间是 小时，

∴船往返一次所用的时间为 + 小时；

故选：D．

【点评】此题考查了列代数式，关键是求出船顺流航行的时间和船逆流航行的时间，掌握时间＝ ．

6．（孝昌县期末）下列各式与 相等的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．

【解答】解： ＝ ＝ ，

故选：B．

【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．

7．（广州模拟）下列分式中，最简分式是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据最简分式的定义计算判断．

【解答】解：A、 ＝ ，所以A选项不符合；

B、 ＝ ，所以B选项不符合；

C、 ＝ ＝ ，所以C选项不符合；

D、 为最简分式，所以D选项符合．

故选：D．

【点评】本题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．

8．从分数组 中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是（　　）

A． B． C． D．

【分析】先求出这几个分数的和，看比1大多少，再看大的数是哪两个分数的和，这两个分数即为删去的数．

【解答】解：由 ，而 ，故删去 后，可使剩下的数之和为1．

故选：C．

【点评】本题考查了分数的通分和有理数的加法，是基础知识要熟练掌握．

9．（奉化区校级期末）分式 与 的最简公分母是（　　）

A．ab B．2a²b² C．a²b² D．2a³b³

【分析】常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．

【解答】解：分式 与 的最简公分母是2a²b²，

故选：B．

【点评】本题考查了最简公分母，熟练运用分解因式是解题的关键．

10．（瑞安市开学）下列计算正确的是（　　）

A．y⁶÷y²＝y³ B． + ＝

C．（m+1）²＝m²+1 D．（﹣2m）³＝﹣6m³

【分析】A．应用同底数幂除法法则进行计算即可得出额；

B．应用分式加减法则进行计算即可得出答案；

C．应用完全平方公式进行计算即可得出答案；

D．应用积的乘方法则进行计算即可得出答案．

【解答】解：A．因为y⁶÷y²＝y^6﹣2＝y⁴，所以A选项计算错误，故A选项不符合题意；

B．因为 ＝ ＝ ，所以B选项计算正确，故B选项符合题意；

C．因为（m+1）²＝m²+2m+1，所以C选项计算错误，故C选项不符合题意；

D．因为（﹣2m）³＝（﹣2）³m³＝﹣8m³，所以D选项计算错误，故D选项不符合题意．

故选：B．

【点评】本题主要考查了分式的加减、幂的乘方与积的乘方、同底数幂除法及完全平方公式，熟练掌握分式的加减、幂的乘方与积的乘方、同底数幂除法及完全平方公式进行计算是解决本题的关键．

11．（江干区校级月考）下列各式变形中，正确的是（　　）

A．2a+3a＝5a² B．（﹣2a²）³＝﹣8a⁵

C． D．﹣（a﹣b+c）＝﹣a+b﹣c

【分析】根据整式的加减法，幂的乘方与积的乘方，完全平方式，进行计算逐一判断即可解答．

【解答】解：A、2a+3a＝5a，故A不符合题意；

B、（﹣2a²）3＝﹣8a⁶，故B不符合题意；

C、（a+ ）²＝a²+2+ ，故C不符合题意；

D、﹣（a﹣b+c）＝﹣a+b﹣c，故D符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了整式的加减，分式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，完全平方式，准确熟练地进行计算是解题的关键．

12．下列方程：① ；② ；③ ；④ ．其中分式方程有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据分式方程的定义对各小题进行逐一分析即可．

【解答】解：①分母中含有未知数，故是分式方程；

②分母中不含有未知数，故是整式方程；

③分母中含有未知数，故是分式方程；

④分母中含有未知数，故是分式方程．

故选：C．

【点评】本题考查的是分式方程的定义，即分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

13．（义乌市期末）若关于x的方程 无解，则m的值为（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．﹣2

【分析】先去分母得到整式方程x﹣1＝m﹣（x﹣3），整理得m﹣2x＝﹣4，由于x的方程 无解，则x﹣3＝0，即x＝3，然后把x＝3代入m﹣2x＝﹣4进行计算即可得到m的值．

【解答】解：去分母得x﹣1＝m﹣（x﹣3），

整理得m﹣2x＝﹣4，

∵x的方程 无解，

∴x﹣3＝0，即x＝3，

∴m﹣2×3＝﹣4，

∴m＝2．

故选：C．

【点评】本题考查了分式方程的解：使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分式方程的解，若分式方程化为整式方程，而整式方程的解不满足分式方程，则分式方程无解．

14．（杭州模拟）若实数x满足 ，则 的值为（　　）

A．3 B．0 C．3或0 D．±3

【分析】本题需先对方程进行变形，再用换元法即可求出 的值．

【解答】解：由题意可得

，

故 （其中0不符合题意，舍去）

故选：A．

【点评】本题主要考查了如何用换元法解分式方程，在解题时要能够对分式方程进行变形，并要换元法解出方程是本题的关键．

15．（台州期末）学校用24000元和15000元分别购买了相同本数的科普类图书和文学类图书．已知科普类图书平均每本价格比文学类图书的平均每本价格多9元．设文学类图书的平均每本价格为x元，则下列列出的方程中正确的是（　　）

A． ＝ B． ＝

C． ＝ +9 D． ＝

【分析】由两种图书单价间的关系可得出科普类图书平均每本价格为（x+9）元，利用数量＝总价÷单价，结合学校用24000元和15000元分别购买了相同本数的科普类图书和文学类图书，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【解答】解：∵科普类图书平均每本价格比文学类图书的平均每本价格多9元．文学类图书的平均每本价格为x元，

∴科普类图书平均每本价格为（x+9）元，

依题意得： ＝ ．

故选：D．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

二．填空题（共7小题）

16．（宝山区期末）化简： ＝　 　．

【分析】先把分子分母因式分解，然后约去公因式（x+4）即可．

【解答】解：原式＝

＝ ．

故答案为 ．

【点评】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．

17．（洪洞县三模）化简： ＝　 　．

【分析】本题将除法转化为乘法，分子分母因式分解约分即可．

【解答】解：原式＝

＝ ，

故答案为 ．

【点评】本题考查了分式的乘除，关键是掌握因式分解约分的技巧．

18．（温州期末）计算： • ＝　 　．

【分析】根据分式的乘法法则求出答案即可．

【解答】解： •

＝

＝ ，

故答案为： ．

【点评】本题考查了分式的乘法法则，能熟记分式的乘除法法则是解此题的关键．

19．（长兴县月考）商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c＝a+k（b﹣a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得 ，据此可得，最佳利好系数k的值等于　 　．

【分析】将c＝a+k（b﹣a）代入a，b，c的关系中化简得到关于k的一元二次方程，求解即可．

【解答】解：∵c＝a+k（b﹣a）， ，

∴ ＝ ，

∴ ＝ ，

∴ ＝ ，

∴3k²+k﹣1＝0，

解得：k＝ 或k＝ ，

∵0≤k≤1，

∴k＝ ，

故答案为： ．

【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是将c代入a，b，c的关系式中化简得到关于k的方程．

20．（西湖区校级期末）已知ab＝1，则① + ＝　1　；② + ＝　1　．

【分析】①先通分，然后根据同分母分式相加，即可化简题目中的式子，然后将ab的值代入即可解答本题；

②先通分，然后根据同分母分式相加，即可化简题目中的式子，然后将ab的值代入即可解答本题．

【解答】解：① +

＝

＝ ，

当ab＝1时，原式＝ ＝ ＝1，

故答案为：1；

② +

＝

＝ ，

当ab＝1时，原式＝ ＝ ＝ ＝1，

故答案为：1．

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

21．（兰溪市月考）对于实数a，b定义一种新运算“@”为a@b＝ ，这里等式右边是实数运算．例如1@3＝ ＝ ＝﹣ ，则方程（﹣3）@x＝ ﹣2的解是　x＝10　．

【分析】根据题意列分式方程，再去分母转化为整式方程求解，最后检验即可．

【解答】解：根据题意得：（﹣3）@x＝ ，

又∵（﹣3）@x＝ ，

∴ ，

去分母得：1＝﹣1﹣2（9﹣x），

解得：x＝10．

检验：当x＝10时，9﹣x≠0，

∴x＝10是原分式方程的解．

故答案为：x＝10．

【点评】本题考查解分式方程，解题关键是熟知解分式方程的步骤，注意解分式方程一定要检验．

22．（丽水期末）若关于x的方程 有增根，则m的值是　﹣3　．

【分析】先化简方程得到（m+2）x＝﹣1，再由方程的增根是x＝0或x＝1，可得 ＝1，求出m即可．

【解答】解：方程 两边同时乘以x（x﹣1），得

mx+1+2x＝0，

整理得，（m+2）x＝﹣1，

∵方程有增根，

∴x＝0或x＝1是方程的增根，

∴ ＝1或 ＝0，

∴m＝﹣3，

故答案为﹣3．

【点评】本题考查分式方程的增根，会解分式方程，理解分式方程增根的概念，能够准确确定分式方程的增根是解题的关键．

三．解答题（共8小题）

23．（拱墅区模拟）先化简，可求值： ，其中x＝ ，y＝ ﹣1．

【分析】将括号内通分，除化为乘，分子分母分解因式，约分化简后将x、y的值代入即可．

【解答】解：原式＝ •

＝x﹣y，

当x＝ ，y＝ ﹣1时，

原式＝ ﹣（ ﹣1）

＝ ﹣ +1

＝1．

【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式通分、约分，将所求分式化简．

24．（椒江区期末）某校庆为祝建国70周年举行“爱国读书日”活动，计划用500元购买某种爱国主义读书，现书店打八折，用500元购买的爱国主义读本比原计划多了5本，求该爱国主义读本原价多少元？

【分析】设爱国主义读本原价x元，根据题意列出方程即可求出答案．

【解答】解：设爱国主义读本原价x元，

＝ +5，

解得：x＝25，

经检验，x＝25是分式方程的解，

答：爱国主义读本原价25元

【点评】本题考查分式方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．

25．（临海市开学）先化简再求值：（x﹣1+ ）÷ ，若x²＝4，求化简后代数式的值．

【分析】先算括号里，然后再进行分式的乘除混合运算，最后把x的值代入化简后的式子进行计算即可．

【解答】解：（x﹣1+ ）÷

＝ •

＝ •

＝x+2，

∵x²＝4，

∴x＝±2，

由题意得：x≠﹣2，

当x＝2时，原式＝2+2＝4．

【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．

26．（临海市期末）先化简 ﹣ ，再从0，1两个数字中选取一个合适的数作为x代入求值．

【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ，

当x＝1时，原式没有意义；

当x＝0时，原式＝﹣2．

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

27．（浦江县校级月考）化简 ，并在﹣1、0、1这三个数中取一个你喜欢的数代入求值．

【分析】先把除法转化为乘法，同时将分式的分子和分母分解因式，然后约分即可，再从﹣1、0、1这三个数中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．

【解答】解：

＝

＝﹣ ，

∵x﹣1≠0，x≠0，

∴x≠1或0，

∴x＝﹣1，

当x＝﹣1时，原式＝﹣ ＝﹣3．

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式除法的运算法则和因式分解的方法．

28．（椒江区校级开学）先化简，再求值 ﹣ ，其中x＝﹣1．

【分析】先将原分式的分母分解因式，然后相加，再化简即可，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．

【解答】解： ﹣

＝

＝

＝

＝ ，

当x＝﹣1时，原式＝ ＝﹣1．

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的减法的运算法则．

29．（西湖区校级月考）化简： + ．

方方的解答如下：

原式＝

＝

＝

＝

方方的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．

【分析】根据分式的加法法则进行计算即可得出答案．

【解答】解：方方的解答不正确，

正确解答如下：

+

＝ ﹣

＝

＝ ．

【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加法法则是解决问题的关键．

30．（台州期末）某公司生产一种工件，通过自动化技术改造，既增加了每周的产量，又提高了产品的优等率．

（1）技术改造的前后两周，该公司生产的这种产品的优等率分别为80%和98%，这两周生产的产品的平均优等率会是 ＝89%吗？设出必要的字母表示相关的量，通过计算说明理由．

（2）如果技术改造前一周的产量为500件，产品优等率为80%；技术改造后一周的产品的优等率提高到了98%．这样，这两周生产的产品的平均优等率达到90%．问：技术改造后一周的产量比技术改造前一周增加了多少件？

【分析】（1）这两周生产的产品的平均优等率不是89%，设技术改造前一周的产量为a件，技术改造后一周的产量为b件，则b＞a＞0，技术改造的前后两周生产的产品平均优等率为 ，利用做差法可得出 ＞89%，即这两周生产的产品的平均优等率不是89%；

（2）设技术改造后一周的产量比技术改造前一周增加了x件，利用这两周生产的产品的平均优等率＝这两周生产的优等产品数量÷这两周生产的产品数量×100%，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【解答】解：（1）这两周生产的产品的平均优等率不是89%，理由如下：

设技术改造前一周的产量为a件，技术改造后一周的产量为b件，则b＞a＞0，技术改造的前后两周生产的产品平均优等率为 ．

∵ ﹣89%＝ ＝ ＞0，

∴ ＞89%，

即这两周生产的产品的平均优等率不是89%．

（2）设技术改造后一周的产量比技术改造前一周增加了x件，

依题意得： ×100%＝90%，

解得：x＝125，

经检验，x＝125是原方程的解，且符合题意．

答：技术改造后一周的产量比技术改造前一周增加了125件．

【点评】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含a，b的代数式表示出技术改造的前后两周生产的产品平均优等率；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．