第5章分式

（满分100分，完卷时间90分钟）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．

一、仔细选一选（本题共10题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出正确的选项。注意可以用多种不同的方法来选取正确的答案）

1．关于分式 ，有下列说法：①当x＝﹣1，m＝2时，分式有意义；②当x＝3时，分式的值一定为0；③当x＝1，m＝3时，分式没有意义；④当x＝3且m≠3时，分式的值为0，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据分式的值为0以及分式有意义的条件即可求出答案．

【解答】解：①当x＝﹣1，m＝2时，

∴x²﹣4x+m≠0，所以分式有意义，①正确

②当x＝3时，

x²﹣4x+m有可能为0，故分式可能无意义，故②错误；

③当x＝1，m＝3时，

x²﹣4x+m＝0，故③正确；

④当x＝3且m≠3时，

∴x²﹣4x+m＝9﹣12+m＝﹣3+m≠0，

∵x﹣3＝0，

∴原式＝0，故④正确；

故选：C．

【点评】本题考查分式的值为0的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．

2．化简 时，小明、小华两位同学的化简过程如下：

小明： ＝ ＝4a﹣b；

小华： ＝ ＝4a﹣b．对于他俩的解法，你的看法是（　　）

A．都正确 B．小明正确，小华不正确

C．小华正确，小明不正确 D．都不正确

【分析】本题考查了分式的约分，如果分子、分母能因式分解的先因式分解，再约分即可．

【解答】解：小明的做法是先将分子、分母分解因式，再约分，是正确的；

小华是把分子、分母乘以（4a﹣b），利用平方差公式约去（16a²﹣b²），应注意分式的性质，分子、分母同乘以一个不为0的数，所以小华不正确．故选B．

【点评】分式的性质是分子、分母同乘以（或除以）一个不为0的数，要特别注意这一点，以免出错．

3．下列说法错误的（　　）

A．当x≠3时，分式 有意义

B．当x＝1时，分式 无意义

C．不论a取何值，分式 都有意义

D．当x＝1时，分式 的值为0

【分析】直接利用分式有意义的条件以及分式的值为零的条件分别分析得出答案．

【解答】解：A、当x≠3时，分式 有意义，正确，不合题意；

B、当x＝1时，分式 无意义，正确，不合题意；

C、a＝0时，分式 无意义，故此选项错误，符合题意；

D、当x＝1时，分式 的值为0，正确，不合题意．

故选：C．

【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式有意义的条件，正确把握分式相关性质是解题关键．

4．已知分式 ，当x＝2时，分式的值为零；当x＝﹣2时，分式没有意义，则分式有意义时，a+b的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C．6 D．﹣6

【分析】根据分式的值为0，即分子等于0，分母不等于0，从而求得b的值；根据分式没有意义，即分母等于0，求得a的值，从而求得a+b的值．

【解答】解：∵x＝2时，分式的值为零，

∴2﹣b＝0，

解得b＝2．

∵x＝﹣2时，分式没有意义，

∴2×（﹣2）+a＝0，

解得a＝4．

∴a+b＝4+2＝6．

故选：C．

【点评】考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件，注意：分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0；分式无意义，则分母等于0．

5．已知分式 （a，b为常数）满足下列表格中的信息：则下列结论中错误的是（　　）

x的取值	﹣1	1	c	d
分式的值	无意义	1	0	﹣1

A．a＝1 B．b＝8 C．c＝ D．d＝

【分析】将表格数据依次代入已知分式中，进行计算即可判断．

【解答】解：A．根据表格数据可知：

当x＝﹣1时，分式无意义，

即x+a＝0，

所以﹣1+a＝0，

解得a＝1．

所以A选项不符合题意；

B．当x＝1时，分式的值为1，

即 ＝1，

解得b＝8，

所以B选项不符合题意；

C．当x＝c时，分式的值为0，

即 ＝0，

解得c＝ ，

所以C选项不符合题意；

D．当x＝d时，分式的值为﹣1，

即 ＝﹣1，

解得d＝ ，

所以D符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了分式的值、分式有意义的条件，解决本题的关键是掌握分式相关知识．

6．若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据分式的基本性质逐一进行判断即可．

【解答】解：A．把x，y的值同时扩大为原来的2倍，分式的值保持不变，符合题意；

B．把x，y的值同时扩大为原来的2倍，分式的值为原来的2倍，不符合题意；

C．把x，y的值同时扩大为原来的2倍，分式的值变为 ，不符合题意；

D．把x，y的值同时扩大为原来的2倍，分式的值变为 ，不符合题意．

故选：A．

【点评】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是掌握分式的基本性质．

7．下列各式，从左到右变形正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据分式的基本性质（分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变）判断即可．

【解答】解：A、2前面是加号不是乘号，不可以约分，原变形错误，故本选项不符合题意；

B、原式＝﹣ ，原变形错误，故本选项不符合题意；

C、原式＝ ＝ ，原变形正确，故本选项符合题意；

D、从左边到右边不正确，原变形错误，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质的运用，注意：分式的分子和分母都乘以同一个不等于0的整式，分式的值不变．

8．一列火车长x米，以每秒a米的速度通过一个长为b米的大桥，用代数式表示它完全通过大桥（从车头进入大桥到车尾离开大桥）所需的时间为（　　）

A． 秒 B． 秒 C． 秒 D． 秒

【分析】火车过桥的时间＝（火车的车长+桥长）÷火车的速度，把相关字母代入列式即可．

【解答】解：∵火车走过的路程为（x+b）米，火车的速度为a米/秒，

∴火车过桥的时间为 （秒）．

故选：A．

【点评】此题考查列代数式；求得火车从上桥到过完桥走的路程的长是解决本题的关键．

9．分式 中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（　　）

A．分式的值为零

B．分式无意义

C．若a≠﹣ 时，分式的值为零

D．若a≠ 时，分式的值为零

【分析】当x＝﹣a时，分式的分子是0即分式的值是0，但前提是只有在保证分式的分母不为0时，分式才有意义．

【解答】解：由3x﹣1≠0，得x≠ ，

故把x＝﹣a代入分式 中，当x＝﹣a且﹣a≠ 时，即a≠﹣ 时，分式的值为零．

故选：C．

【点评】本题主要考查分式的概念，分式的分母不能是0，分式才有意义．

10．甲、乙两个工程队分别承担一条20km公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路xkm，另一半时间每天维修ykm；乙队维修前10km公路时，每天维修xkm，维修后10km公路时，每天维修ykm，（x≠y），那么（　　）

A．甲队先完成任务

B．乙队先完成任务

C．甲、乙两队同时完成任务

D．不能确定哪个队先完成任务

【分析】甲队完成任务需要的时间＝工作总量20÷工作效率；乙队完成任务需要的时间＝前10km所用的时间+后10km所用的时间．让甲队所用时间减去乙队所用时间看是正数还是负数即可得出答案．

【解答】解：由题意得：甲队完成任务需要的时间为： ＝ ；

乙队完成任务需要的时间为： + ；

甲、乙两队完成任务的时间差是：

﹣（ + ）＝ ＝ ，

∵x＞0，y＞0，且x≠y，

∴﹣10（x﹣y）²＜0，xy（x+y）＞0，

∴ ＜0，

∴甲队先完成任务．

故选：A．

【点评】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．比较两个代数式，通常让这两个代数式相减看是正数还是负数．

二、认真填一填（本题有8个小题，每小题2分，共16分。注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案）

11．计算： • ＝　x+y　．

【分析】原式变形后，约分即可得到结果．

【解答】解：原式＝ •

＝x+y．

故答案为：x+y．

【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12．化简： ÷ ＝　 　．

【分析】首先分解每个因式的分子与分母，把除法转化成乘法，然后约分即可求解．

【解答】解：原式＝ • ＝ ．

故答案为：

【点评】本题考查了分式的化简，正确对分子、分母分解因式是关键．

13．计算： ﹣ ＝　2　．

【分析】因为分时分母相同，直接通分相加减，再化简即可．

【解答】解： ﹣ ，

＝ ，

＝ ，

＝2．

故答案为：2．

【点评】此题主要考查了分式的加减法运算，注意分式运算方法的应用可以减小计算量．

14．化简 ＝　 　．

【分析】原式利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果．

【解答】解：原式＝ • ＝ ．

故答案为：

【点评】此题考查了分式的乘除法，分式的乘除法运算的关键是约分，约分的关键是找公因式．

15．若关于x的方程 ＝ +1无解，则a的值是　2或1　．

【分析】把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根x＝2代入即可求得a的值．

【解答】解：x﹣2＝0，解得：x＝2．

方程去分母，得：ax＝4+x﹣2，即（a﹣1）x＝2

当a﹣1≠0时，把x＝2代入方程得：2a＝4+2﹣2，

解得：a＝2．

当a﹣1＝0，即a＝1时，原方程无解．

故答案是：2或1．

【点评】首先根据题意写出a的新方程，然后解出a的值．

16．若分式 无意义，且 ＝0，那么 ＝　﹣ 　．

【分析】首先根据分式有意义的条件，以及分式的值为零的条件，分别求出a、b的值各是多少；然后应用代入法，求出 的值是多少即可．

【解答】解：∵分式 无意义，

∴a+2＝0，

解得a＝﹣2；

∵ ＝0，

∴b﹣4＝0，

解得b＝4，

∴ ＝ ＝﹣ ．

故答案为： ．

【点评】此题主要考查了分式的值，分式有意义的条件，以及分式的值为零的条件，要熟练掌握．

17．不论x取什么数，分式 的值都为同一个定值，则a，b应满足的条件是　a：b＝3：5　．

【分析】设 ＝k，整理可得（a﹣kb）x＝﹣3+5k，由x值的任意性可得，a﹣kb＝0且﹣3+5k＝0，从而求解．

【解答】解：设 ＝定值，则所设定值＝k．

∴ax+3＝k（bx+5），则（a﹣kb）x＝﹣3+5k，

∴由x值的任意性，a﹣kb＝0且﹣3+5k＝0，

∴k＝ ，

即a：b＝3：5．

故答案为：a：b＝3：5．

【点评】本题考查了分式为定值的知识，应用了待定系数法，同时注意x值的任意性成立的条件．

18．若分式 不论x取何实数总有意义，则m的取值范围为 　m＞4　．

【分析】若分式 不论x取何实数总有意义，则其分母x²+4x+m会写成（a+b）²+k（k＞0）的形式，利用k＞0，求字母的范围．

【解答】解：方法一、∵当Δ＝b²﹣4ac＜0时，x²+4x+m＝0无解，

即4²﹣4m＜0，解得m＞4，

∴当m＞4时，不论x取何实数，分式总有意义．

方法二、∵x²+4x+m＝x²+4x+4﹣4+m＝（x+2）²﹣4+m，

∴当﹣4+m＞0时，分式 不论x取何实数总有意义，

∴m＞4，

故答案为m＞4．

【点评】此题主要考查了分式的意义，要求掌握．意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．当分母是个二项式时，分式有意义的条件是分母能整理成（a+b）²+k（k＞0）的形式，即一个完全平方式与一个正数的和的形式．只要这样不论未知数取何值，式子（a+b）²+k（k＞0）恒大于零，分式总有意义．

三、全面答一答（本题有8个小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）

19．解方程： ．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：3x²﹣2x+10x﹣15＝4（2x﹣3）（3x﹣2），

整理得：3x²﹣2x+10x﹣15＝24x²﹣52x+24，即7x²﹣20x+13＝0，

分解因式得：（x﹣1）（7x﹣13）＝0，

解得：x₁＝1，x₂＝ ，

经检验x₁＝1与x₂＝ 都为分式方程的解．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

20．按要求化简： ．

【分析】首先通分，把分母化为（a+1）（a﹣1），再根据同分母分数相加减，分母不变，分子相加减进行计算，注意最后结果要化简．

【解答】解：原式＝ ﹣

＝

＝

＝ ．

【点评】此题主要考查了分式的加减，关键是掌握异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．

21．化简：（a﹣ ）÷（1+ ）

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．

【解答】解：原式＝ ÷ ＝ • ＝ ．

【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22．先化简（1+ ）÷ ，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x＝3代入计算即可求出值．

【解答】解：原式＝ • ＝ • ＝x﹣2，

当x＝3时，原式＝3﹣2＝1．

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

23．（1）如果a，b，c是任意的整数，那么在 ， ， 这三个数中，至少会有几个整数？请利用整数的奇偶性简单说明理由．

（2）某学习小组在“课题学习”中，根据下表作了三个推测：

x	1	10	100	1000	10000	…
3﹣	3	2.1	2.01	2.001	2.0001	…

甲同学：3﹣ （x＞0）的值随着x的增大而减小；

乙同学：3﹣ （x＞0）的值有可能等于2；

丙同学：3﹣ （x＞0）的值随着x的增大越来越接近于2．

哪些同学的推测是正确的？哪些同学的推测是错误的？请说明理由．

【分析】（1）分四种情形：a，b，c都是偶数，都是奇数，两个偶数一个奇数，两个奇数应该偶数，分别判断即可．

（2）甲，丙两个同学的推出是正确的．乙同学的推出是错误的．由3﹣ ＝3﹣1+ ＝2+ ，令y＝2+ （x＞0），画出函数图象，利用图象法解决问题即可．

【解答】解：（1）①当a，b，c都是偶数时，在 ， ， 这三个数中，则有3个整数．

当a，b，c都是奇数时，在 ， ， 这三个数中，则有3个整数．

当a，b，c中有两个偶数一个奇数时，在 ， ， 这三个数中，则有1个整数．

当a，b，c中有两个奇数一个偶数时，在 ， ， 这三个数中，则有1个整数．

综上所述，在 ， ， 这三个数中，至少有一个整数．

（2）甲，丙两个同学的推出是正确的．乙同学的推出是错误的．

理由：∵3﹣ ＝3﹣1+ ＝2+ ，

令y＝2+ （x＞0），函数图象如图所示：

观察图象可知：3﹣ （x＞0）的值随着x的增大而减小，3﹣ （x＞0）的值随着x的增大越来越接近于2．

故甲，丙两个同学的推出是正确的．乙同学的推出是错误的．

【点评】本题考查分式的值，函数图象的性质等知识，解题的关键是学会构建函数，利用图象法解决问题，属于中考常考题型．

24．我市计划对城区居民供暖管道进行改造，该工程若由甲队单独施工，则恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍，如果由甲乙两队先合作15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需要5天．

（1）这项工程的规定天数是多少天？

（2）已知甲队每天的施工费用是6500元，乙队每天的施工费用是3500元．为了缩短工期，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作，则该工程的施工费用是多少？

【分析】（1）设这项工程规定x天完成，由题意“如果由甲乙两队先合作15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需要5天”列出方程，解方程即可；

（2）由甲、乙两队合作完成的天数乘以甲、乙两队每天的施工费用即可．

【解答】解：（1）设这项工程规定x天完成，15+5＝20（天），

根据题意得： ，

解得：x＝30，

经检验：x＝30是原方程的解，且符合题意，

答：这项工程规定30天完成．

（2）总施工费用： （元），

答：该工程的施工费用是180000元．

【点评】本题考查了分式方程的应用；根据题意列出分式方程是解题的关键．

25．某学校在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．

（1）求这间商场出售每个甲种足球、每个乙种足球的售价各是多少元；

（2）按照实际需要每个班须配备甲种足球2个，乙种足球1个，购买的足球能够配备多少个班级？

（3）若另一学校用3100元在这商场以同样的售价购买这两种足球，且甲种足球与乙种足球的个数比为2：3，则直接写出这所学校购买这两种足球的数量．

【分析】（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球（x+20）元，由题意列出分式方程，解方程即可；

（2）由（1）可知该校购买甲种足球40个，购买乙种足球20个，进而得出结论；

（3）设这学校购买甲种足球2y个，乙种足球3y个，由题意列出方程，解方程即可．

【解答】解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球（x+20）元，

由题意得：

解得：x＝50，

经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，

答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元；

（2）由（1）可知该校购买甲种足球 个，购买乙种足球20个，

∵每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，

答：购买的足球能够配备20个班级；

（3）设这学校购买甲种足球2y个，乙种足球3y个，

根据题意得：2y×50+3y×70＝3100，

解得：y＝10，

∴2y＝20，3y＝30，

答：这学校购买甲种足球20个，乙种足球30个．

【点评】本题考查分式方程的应用以及一元一次方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系列出方程是解决问题的关键．

26．已知2+ ＝2²× ，3+ ＝3²× ，4+ ＝4²× ，…，且10+ ＝10²× （a，b均为正整数）．

（1）探究a，b的值；

（2）求分式 的值．

【分析】（1）直接利用已知得出数字变化规律进而得出a，b的值；

（2）首先化简分式，进而将（1）中所求代入求出答案．

【解答】解：（1）∵2+ ＝2²× ，3+ ＝3²× ，4+ ＝4²× ，…，且10+ ＝10²× （a，b均为正整数）．

∴a＝10，b＝10²﹣1＝99．

（2）原式＝ ＝ ，将a＝10，b＝99代入得：

原式＝20.8．

【点评】此题主要考查了分式的值，正确发现数字变化规律是解题关键．