第5章分式（典型30题专练）

一．选择题（共10小题）

1．（温岭市期末）要使分式 有意义，则x的取值应满足（　　）

A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x≠1 D．x≠﹣1

【分析】根据分母等于0，分式无意义；分母不等于0，分式有意义对各选项举反例判断即可．

【解答】解：依题意得：x﹣1≠0．

解得x≠1．

故选：C．

【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

2．（五常市期末）如果把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）

A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的2倍

C．不变 D．缩小为原来的

【分析】根据x，y都扩大2倍，即可得出分子扩大4倍，分母扩大2倍，由此即可得出结论．

【解答】解：∵x，y都扩大为原来2倍，

∴分子xy扩大4倍，分母x+y扩大2倍，

∴分式 扩大为原来的2倍．

故选：B．

【点评】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是根据x、y的变化找出分子分母的变化．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分式的基本性质找出分式的变化是关键．

3．（平邑县一模）关于x的方程 的解为x＝1，则a＝（　　）

A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3

【分析】根据方程的解的定义，把x＝1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有a的新方程，解此新方程可以求得a的值．

【解答】解：把x＝1代入原方程得，

去分母得，8a+12＝3a﹣3．

解得a＝﹣3．

故选：D．

【点评】解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．

4．（遂宁期末）下列从左到右变形正确的是（　　）

A． ＝ B． ＝

C． ＝x﹣y D． ＝

【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．

【解答】解：A、 ，故A不符合题意．

B、当m＝0时，此时 无意义，故B不符合题意．

C、 ＝x+y，故C不符合题意．

D、 ，a必定不为0，故D符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．

5．（贵阳）计算 的结果是（　　）

A． B． C．1 D．﹣1

【分析】根据同分母的分式加减的法则计算，分母不变，分子相加减．

【解答】解：原式＝ ＝1，

故选：C．

【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的法则是解题的关键．

6．（招远市期末）下列各式，从左到右变形正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据分式的基本性质（分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变）判断即可．

【解答】解：A、2前面是加号不是乘号，不可以约分，原变形错误，故本选项不符合题意；

B、原式＝﹣ ，原变形错误，故本选项不符合题意；

C、原式＝ ＝ ，原变形正确，故本选项符合题意；

D、从左边到右边不正确，原变形错误，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质的运用，注意：分式的分子和分母都乘以同一个不等于0的整式，分式的值不变．

7．（南浔区一模）随着电影《流浪地球》的热映，其同名科幻小说的销量也急剧上升．某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多5套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据“第一次购买的单价＝第二次购买的单价”可列方程．

【解答】解：设该书店第一次购进x套，

根据题意可列方程： ＝ ，

故选：C．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

8．（十堰）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（　　）

A． ﹣ ＝1 B． ﹣ ＝1

C． ﹣ ＝50 D． ﹣ ＝50

【分析】设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产（x﹣50）台机器，根据“现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”列出方程即可．

【解答】解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产（x﹣50）台机器，

根据题意，得 ﹣ ＝1．

故选：B．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，利用本题中“生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”这一个等量关系，进而得出分式方程是解题关键．

9．（嘉兴）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　）

A． ﹣ ＝20 B． ﹣ ＝20

C． ﹣ ＝20 D． ﹣ ＝20

【分析】若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”列方程即可．

【解答】解：若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，

根据题意可得： ﹣ ＝20．

故选：B．

【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

10．（奉化区校级期末）已知x²﹣5x﹣6＝0，则分式 的值等于（　　）

A． B． C． D．

【分析】由x²﹣5x﹣6＝0得到x²＝5x+6，代入分式中即可求解．

【解答】解：根据题中条件，易得：x≠0，

由x²﹣5x﹣6＝0得：x²＝5x+6，

把x²＝5x+6代入 得：

＝

＝ ．

故选：B．

【点评】本题考查分式的求值，解题的关键是由x²﹣5x﹣6＝0得到x²＝5x+6．

二．填空题（共6小题）

11．（铁东区模拟）某工厂现在平均每天比原计划多生产35台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意可列出方程为　 ＝ 　．

【分析】设原计划每天生产x台机器，则现在每天生产（x+35）台机器，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【解答】解：设原计划每天生产x台机器，则现在每天生产（x+35）台机器，

依题意得： ＝ ．

故答案为： ＝ ．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

12．（西城区校级一模）若x²﹣x﹣1＝0，则 ﹣x＝　2　．

【分析】根据x²﹣x﹣1＝0，可以得到x﹣ ＝1，然后将所求式子变形，即可求得所求式子的值．

【解答】解：∵x²﹣x﹣1＝0，

∴x﹣1﹣ ＝0，

∴x﹣ ＝1，

∴ ﹣x

＝3x﹣ ﹣x

＝2x﹣

＝2（x﹣ ）

＝2×1

＝2，

故答案为：2．

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

13．（凤山县模拟）使分式 有意义的x的取值范围为　x≠1　．

【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0进行计算即可．

【解答】解：∵分式 有意义，

∴x﹣1≠0，

∴x≠1，

故答案为：x≠1．

【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解题的关键．

14．（黄陂区模拟）计算 的结果是　﹣1　．

【分析】先变形为同分母分式的减法，再约分即可得．

【解答】解：原式＝ ﹣

＝

＝

＝﹣1，

故答案为：﹣1．

【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和分式的基本性质．

15．（德城区期末）若分式 的值为零，则x的值为　﹣2　．

【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．

【解答】解：由分式的值为零的条件得|x|﹣2＝0，x﹣2≠0，

由|x|﹣2＝0，解得x＝2或x＝﹣2，

由x﹣2≠0，得x≠2，

综上所述，得x＝﹣2，

故答案为：﹣2．

【点评】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

16．（包河区期末）甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是　7.5　秒．

【分析】坐在甲车上的某乘客看见乙车驶过窗口，此时路程为乙车的长度，速度为甲乙两车速度之和；坐在乙车上的乘客看见甲车驶过窗口，此时路程为甲车长度，速度为两人速度之和．等量关系为：乙车长度÷坐在甲车上的乘客看见乙车驶过窗口的时间＝甲车长度÷坐在乙车上的乘客看见甲车驶过窗口所用的时间，把相关数值代入即可求解．

【解答】解：设乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是x秒．

由题意，有 ＝ ，

解得x＝7.5．

经检验，x＝7.5是原方程的解．

即乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是7.5秒．

故答案为：7.5．

【点评】本题考查分式方程的应用，根据两车的速度和得到等量关系是解决本题的关键．

三．解答题（共14小题）

17．（雁塔区校级期末）解分式方程： ．

【分析】先把原分式方程化为整式方程求出x的值，再把x的值代入最简公分母进行检验即可．

【解答】解：原方程可化为：4+x²﹣1＝x²+2x+1，解得x＝1，

经检验知：x＝1是原方程的增解，

故原方程无解．

【点评】本题考查的是解分式方程，即①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．

18．（盐城模拟）先化简：（ ﹣ ）÷ ，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式＝ •

＝

＝

＝ ，

当a＝﹣3，﹣1，0，1时，原式没有意义，舍去，

当a＝﹣2时，原式＝﹣ ．

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19．（奉化区校级期末）已知分式 ， ，方方尝试，当a＝1， ， ；当a＝2， ， ，当a＝3， ， ；

（1）继续尝试，当a＝4时，A＝　 　，B＝　 　．

（2）方方说：当a取不同值时，无法判断A和B的大小；圆圆说：用特殊值法是判断不出来的，我用学过的分式运算，可以得出不论a为何值，A≥B成立．你认为方方和圆圆谁的说法正确？为什么？

【分析】（1）直接代入数值，求数值即可；

（2）根据分式的计算方法，直接进行计算即可．

【解答】解：（1）当a＝4时， ＝ ， ＝

故答案为：

（2）A﹣B＝ ，

∵（a﹣3）²≥0，a²+1＞0，故A﹣B≥0，不论a为何值，A≥B．

故圆圆的说法正确．

【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练分式的计算法则，是解答此题的关键．

20．（奉化区校级期末）若非零实数x，y，z满足 ，我们称x，y，z为相机组合，记为（x，y，z）．

（1）若x满足相机组合（2，1﹣3x，6x﹣2），求x的值．

（2）若x，y，z构成相机组合（x，y，z），求分式 的值．

【分析】（1）由已知条件可得方程 + ＝ ，求解x即可；

（2）由已知得到 ，将此式化简为xz+yz＝xy，将xy整体代入所求式子化简即可．

【解答】解：（1）∵x满足相机组合（2，1﹣3x，6x﹣2），

∴ + ＝ ，

∴ ＝ ，

∴3﹣3x＝﹣1，

∴x＝ ，

将检验x＝ 是方程的根，

∴x＝ ；

（2）∵x，y，z构成相机组合（x，y，z），

∴ ，

∴xz+yz＝xy，

＝ ＝ ＝﹣2．

【点评】本题考查分式的加减；能够理解题意，根据相机组合列出正确的等式，结合分式的性质、分式方程的解法，采用整体代入的思想解题是关键．

21．（镇海区校级期末）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元．甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．

（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？

（2）商店进价提高50%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？

【分析】（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，根据单价＝总价÷数量结合甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；

（2）根据单价＝总价÷数量可求出购进甲、乙两种款型T恤衫的单价，再根据利润＝销售收入﹣成本，即可求出结论．

【解答】解：（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，

根据题意： +30＝ ，

解得：x＝40，

经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，

∴1.5x＝60．

答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件．

（2）6400÷40＝160（元），160﹣30＝130（元），

∴130×（1+50%）×60+160×（1+50%）×40× +160×（1+50%）× ×40× ﹣7800﹣6400＝4700（元）．

答：售完这批T恤衫商店共获利4700元．

【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；（2）根据数量关系，列式计算．

22．（奉化区校级期末）2018年，浙江省开始推广垃圾分类，分类垃圾桶成为我们生活中的必备工具．某环保公司接到A型垃圾桶和B型垃圾桶各1600只的订单，已知一只A型垃圾桶的成本比一只B型垃圾桶的成本多10元，这份订单总成本为176000元．

（1）问该份订单中A型垃圾桶和B型垃圾桶的单只成本各是多少元？

（2）该公司有甲、乙两个车间，甲车间生产A型垃圾桶，乙车间生产B型垃圾桶，已知乙车间每天生产的垃圾桶数是甲车间每天生产的垃圾桶数的2倍，这样乙车间比甲车间提前2天完成订单任务．问甲乙两个车间每天各生产多少只垃圾桶？

【分析】（1）设B型垃圾桶的成本为x元/只，则A型垃圾桶的成本为（x+10）元/只，根据“A型垃圾桶和B型垃圾桶各1600只，这份订单总成本为176000元”列出关于x的一元一次方程，解之即可，

（2）设甲车间每天生产y只垃圾桶，则乙车间每天生产2y只垃圾桶，根据“乙车间比甲车间提前2天完成订单任务”，列出关于y的分式方程，解之检验即可．

【解答】解：（1）设B型垃圾桶的成本为x元/只，则A型垃圾桶的成本为（x+10）元/只，

根据题意得：1600x+1600（x+10）＝176000，

解得：x＝50，

则x+10＝50+10＝60，

答：该份订单中A型垃圾桶单只成本是60元，B型垃圾桶单只成本是50元，

（2）设甲车间每天生产y只垃圾桶，则乙车间每天生产2y只垃圾桶，

根据题意得： ﹣ ＝2，

解得：y＝400，

经检验：y＝400是原方程的解且符合题意，

则2y＝800，

答：甲车间每天生产400只垃圾桶，则乙车间每天生产800只垃圾桶．

【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键：（1）正确找出等量关系列出一元一次方程，（2）根据等量关系列出关于y的分式方程．

23．（丛台区校级期末）阅读材料：一般情形下等式 ＝1不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如：x＝2，y＝2时， ＝1成立，我们称（2，2）是使 ＝1成立的“神奇数对”．请完成下列问题：

（1）数对（ ，4），（1，1）中，使 ＝1成立的“神奇数对”是　（ ，4）　；

（2）若（5﹣t，5+t）是使 ＝1成立的“神奇数对”，求t的值；

（3）若（m，n）是使 ＝1成立的“神奇数对”，且a＝b+m，b＝c+n，求代数式（a﹣c）²﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值．

【分析】（1）按照题中定义将数对（ ，4），（1，1）分别验算即可；

（2）根据题意得关于t的分式方程，解方程即可；

（3）根据已知条件，先将m和n用含a，b，c的式子表示出来，再根据题意得出关于m和n的等式，然后可得关于a，b，c的等式，从而可对所给的代数式配方，求得最值．

【解答】解：（1）∵ + ＝ + ＝1

∴（ ，4）是使 ＝1成立的“神奇数对”．

∵ + ＝2≠1

∴（1，1）不是使 ＝1成立的“神奇数对”．

故答案为：（ ，4）；

（2）若（5﹣t，5+t）是使 ＝1成立的“神奇数对”，

则： + ＝1

∴5+t+5﹣t＝25﹣t²

∴t＝±

经检验，t＝± 是原方程的解

∴t的值为± ；

（3）∵a＝b+m，b＝c+n

∴m＝a﹣b，n＝b﹣c

由题意得： + ＝1

+ ＝1

∴b﹣c+a﹣b＝（a﹣b）（b﹣c）

∴a﹣c＝（a﹣b）（b﹣c）

∴（a﹣c）²﹣12（a﹣b）（b﹣c）

＝（a﹣c）²﹣12（a﹣c）

＝（a﹣c﹣6）²﹣36

∵（a﹣c﹣6）²≥0

∴（a﹣c﹣6）²﹣36≥﹣36

∴代数式（a﹣c）²﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值为﹣36．

【点评】本题考查了分式方程在新定义习题和整式的化简求值中的应用，正确按照定义列式，是解题的关键．

24．（奉化区校级期末）阅读理解：

【例】已知x+ ＝3，求分式 的值．

解：因为 ﹣4＝3﹣4＝﹣1，所以 ＝﹣1．

【活学活用】

（1）已知a+ ＝﹣5，求分式 的值．

（2）已知b+ ＝﹣3，求分式 的值．

（3）已知x+ ＝﹣5，求分式 的值．

【分析】（1）先求出 ＝2（a+ ）+5，再代入求出即可；

（2）先求出 ＝3（b+ ）﹣4，再代入求出即可；

（3）先求出 ＝ ＝x+ ﹣2，再代入求出即可．

【解答】解：（1）∵a+ ＝﹣5，

∴

＝2a+5+

＝2（a+ ）+5

＝2×（﹣5）+5

＝﹣5；

（2）∵b+ ＝﹣3，

∴

＝3b﹣4+

＝3（b+ ）﹣4

＝3×（﹣3）﹣4

＝﹣13，

∴ ＝﹣ ；

（3）∵x+ ＝﹣5，

∴

＝

＝x+1﹣3+

＝x+ ﹣2

＝﹣5﹣2

＝﹣7，

∴ ．

【点评】本题考查了分式的除法和求值、倒数等知识点，能够选择适当的方法求解是解此题的关键，采取求倒数法．

25．（奉化区校级期末）第19届亚洲运动会将于2022年9月10日至25日在杭州举行，杭州奥体博览城将成为杭州2022年亚运会的主场馆．某工厂承包了主场馆建设中某一零件的生产任务，需要在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．

（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．

（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．

【分析】（1）根据题意可设原计划每天生产的零件x个，根据时间是一定的，列出方程求得原计划每天生产的零件个数，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求得规定的天数；

（2）设原计划安排的工人人数为y人，根据等量关系：恰好提前两天完成2400个零件的生产任务，列出方程求解即可．

【解答】解：（1）设原计划每天生产的零件x个，由题意得，

，

得x＝2400，

经检验，x＝2400是原方程的根，且符合题意．

∴规定的天数为24000÷2400＝10（天）．

答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数是10天；

（2）设原计划安排的工人人数为y人，依题意有

[5×20×（1+20%）× +2400]×（10﹣2）＝24000，

解得y＝480，

经检验，y＝480是原方程的根，且符合题意．

答：原计划安排的工人人数为480人．

【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

26．（江北区校级期中）按要求完成下列各题：

（1）若（x﹣3）（x+m）＝x²+nx﹣15，求 的值．

（2）已知（n﹣2020）²+（2021﹣n）²＝3，求（n﹣2020）（2021﹣n）的值．

（3）已知多项式2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b含有因式x²+x﹣2，求 的值．

【分析】（1）利用整式乘法求出m，n的值，再代入求值即可；

（2）利用完全平方公式和整体代入，用多项式乘多项式法则求解即可；

（3）由于x²+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），而多项式2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b能被x²+x﹣2整除，则2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除．运用待定系数法，可设商是A，则2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b＝A（x+2）（x﹣1），则x＝﹣2和x＝1时，2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b＝0，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到 的值．

【解答】解：（1）∵（x﹣3）（x+m）＝x²+（m﹣3）x﹣3m＝x²+nx﹣15，

∴n＝m﹣3，﹣3m＝﹣15，

∴m＝5，n＝2，

把m＝5，n＝2代入 得，

原式＝ ＝ ＝﹣1．

（2）令n﹣2020＝a，2021﹣n＝b，

根据题意得：

a²+b²＝3，a+b＝1，

∴原式＝ab＝ ＝ ＝﹣1．

（3）∵x²+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），

∴2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除，

设商是A．

则2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b＝A（x+2）（x﹣1），

则x＝﹣2或x＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．

当x＝﹣2时，2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b＝32+24+4a﹣14+b＝4a+b+42＝0 ①，

当x＝1时，2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b＝2﹣3+a+7+b＝a+b+6＝0 ②，

①﹣②，得

3a+36＝0，

∴a＝﹣12，

∴b＝﹣6﹣a＝6．

∴ ＝ ＝﹣2．

【点评】此题考查的是分式的值，熟记完全平方公式和多项式乘多项式法则是解题的基础，注意因式的特点，灵活解决问题．

27．（奉化区校级期末）小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师傅，给我加200元油”（油箱未加满），而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满!”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升，

（1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格．（用含x，y的代数式表示）

（2）爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由．

【分析】（1）根据题意，可以用含有x、y的代数式表示出妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格；

（2）根据题意，可以用x、y的代数式表示出爸爸两次加油的平均价格，然后和妈妈两次加油的平均价格作差，然后比较大小，即可解答本题．

【解答】解：（1）由题意可得，

妈妈两次加油的总量是： ＝ （升），

妈妈两次加油的平均价格是： ＝ （元/升），

即妈妈两次加油的总量是 升，妈妈两次加油的平均价格是 元/升；

（2）设爸爸每次加满油箱的油是a升，

则爸爸两次加油的平均价格是 （元/升），

﹣ ＝ ＝ ≤0，

当x＝y时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱；

当x≠y时，妈妈的加油方式更省钱．

【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．

28．（永年区期末）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下：

• ﹣ ＝

（1）聪明的你请求出盖住部分化简后的结果；

（2）当x＝2时，y等于何值时，原分式的值为5．

【分析】（1）根据被减数、减数、差及因数与积的关系，化简分式求出盖住的部分即可；

（2）根据x＝2时分式的值是5，得关于y的方程，求解即可．

【解答】解：（1）∵（ + ）÷

＝[ + ]×

＝ ×

＝﹣

∴盖住部分化简后的结果为﹣ ；

（2）∵x＝2时，原分式的值为5，

即 ，

∴10﹣5y＝2

解得y＝

经检验，y＝ 是原方程的解．

所以当x＝2，y＝ 时，原分式的值为5．

【点评】本题考查了整式的混合运算及分式方程的解法．掌握：被减数＝差+减数，一个因数＝积÷另一个因数，是解决本题（1）的关键．

29．（奉化区校级期末）一项工程甲队单独完成所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的 ；若由乙队先做45天，剩下的工程再由甲、乙两队合作54天可以完成．

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？

（2）已知甲队每天的施工费用为0.82万元，乙队每天的施工费用为0.68万元，工程预算的施工费用为100万元，拟安排甲、乙两队同时合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？说明理由．

【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要 x天，工程任务是1，工作效率分别是： ， ；工作量＝时间×工作效率，等量关系为：前10天甲的工作量+后30天甲乙合做工作量＝1．据此可列方程求解．

（2）在（1）的基础上，求得甲乙单独完成这项需要的天数，得到甲乙的工作效率，用（甲的工作效率+乙的工作效率）×合做天数＝1得出合做天数，再进一步计算出每个队的费用，回答题目的问题．

【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要 x天．

根据题意得： +54× ＝1．

解得：x＝180．

经检验：x＝180是所列方程的根．且符合题意，

∴ x＝ ×180＝120（天）．

答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要120天和180天．

（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天．

可得：（ + ）y＝1．

解得：y＝72．

需要施工费用：72×（0.82+0.68）＝108（万元）．

∵108＞100，108﹣100＝8（万元）

∴工程预算的施工费用不够用．需追加预算8万元．

【点评】考查了分式方程的应用，通过第一问可以得出甲、乙两队单独完成这项工程各需要天数，也就知道了甲乙的工作效率，在第二问中甲乙工作效率是没有变的，要充分运用这个结论．找到合适的等量关系是解决问题的关键．

30．（连山区期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题

材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．

解：由分母为x+1，可设3x²+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b．

因为（x+1）（3x+a）+b＝3x²+ax+3x+a+b＝3x²+（a+3）x+a+b，

所以3x²+4x﹣1＝3x²+（a+3）x+a+b．

所以 ，解得 ．

所以 ＝ ＝ ﹣ ＝3x+1﹣ ．

这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式 的差的形式．

根据你的理解解决下列问题：

（1）请将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；

（2）若分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+ ，求m²+n²+mn的最小值．

【分析】（1）根据材料中提供的方法，将2x²+3x+6转化为2x²+（a﹣2）x﹣a+b，进而利用方程组求出a、b，最后再将 转化为 ，从而得出答案；

（2）根据（1）的方法可得 ＝5x﹣1﹣ ，进而得到5m﹣11+ ＝5x﹣1﹣ ，然后用含有x的代数式表示m、n，代入m²+n²+mn后，写成m²+n²+mn＝（x﹣1）²+27，进而求出最小值．

【解答】解：（1）由分母为x﹣1，可设2x²+3x+6＝（x﹣1）（2x+a）+b．

因为（x﹣1）（2x+a）+b＝2x²+ax﹣2x﹣a+b＝2x²+（a﹣2）x﹣a+b，

所以2x²+3x+6＝2x²+（a﹣2）x﹣a+b，

因此有 ，

解得 ，

所以 ＝ ＝2x+5+ ；

（2）由分母为x+2，可设5x²+9x﹣3＝（x+2）（5x+a）+b，

因为（x+2）（5x+a）+b＝5x²+ax+10x+2a+b＝5x²+（a+10）x+2a+b，

所以5x²+9x﹣3＝5x²+（a+10）x+2a+b，

因此有 ，

解得 ，

所以 ＝ ＝5x﹣1﹣ ，

所以5m﹣11+ ＝5x﹣1﹣ ，

因此5m﹣11＝5x﹣1，n﹣6＝﹣x﹣2，

所以m＝x+2，n＝﹣x+4，

所以m²+n²+mn＝x²﹣2x+28＝（x﹣1）²+27，

因为（x﹣1）²≥0，所以（x﹣1）²+27≥27，

所以m²+n²+mn的最小值为27．

【点评】本题考查分式的加减法，理解题目中所提供的求解方法是解决问题的关键．