第4章因式分解（压轴30题专练）

一．选择题（共1小题）

1．（北仑区期末）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）＝ ．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）＝ ＝ ．给出下列关于F（n）的说法：①F（6）＝ ；②F（16）＝1；③F（n²﹣n）＝1﹣ ；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1．其中说法正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据最优分解的定义，分别求出6、16、n²﹣n以及完全平方数n，然后对各小题求解即可作出判断．

【解答】解：①∵6＝1×6＝2×3，

∴F（6）＝ ，故本小题正确；

②∵16＝1×16＝2×8＝4×4，

∴F（16）＝ ＝1，故本小题正确；

③∵n²﹣n＝n（n﹣1），

∴F（n²﹣n）＝ ＝1﹣ ，故本小题正确；

④∵n是一个完全平方数，

∴n分解成两个完全相同的数时，差的绝对值最小，

∴F（n）＝1，故本小题正确．

综上所述，说法正确的个数是4．

故选：D．

【点评】本题考查了完全平方数，读懂题目信息，理解“最优分解”的定义是解题的关键．

二．填空题（共4小题）

2．（龙凤区期末）已知a，b，c是△ABC的三边，b²+2ab＝c²+2ac，则△ABC的形状是　等腰三角形　．

【分析】把给出的式子重新组合，分解因式，分析得出b＝c，才能说明这个三角形是等腰三角形．

【解答】解：b²+2ab＝c²+2ac，

a²+b²+2ab＝a²+c²+2ac，

（a+b）²＝（a+c）²，

a+b＝a+c，

b＝c，

所以此三角形是等腰三角形，

故答案为：等腰三角形．

【点评】此题主要考查了学生对等腰三角形的判定，即两边相等的三角形为等腰三角形，分类讨论思想的应用是解题关键．

3．分解因式： a²﹣ a+2＝　 （a﹣3）²　．

【分析】先提取公因式 ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

【解答】解： a²﹣ a+2

＝ （a²﹣6a+9）

＝ （a﹣3）²．

故答案为： （a﹣3）²．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

4．（西湖区校级月考）已知x²﹣2x﹣1＝0，则3x²﹣6x＝　3　；则2x³﹣7x²+4x﹣2019＝　﹣2022　．

【分析】根据因式分解的提公因式法分解因式，利用整体代入的方法即可求得第一个空的解；

分解第二个因式后把﹣7x写成﹣4x﹣3x再重新组合，进行提公因式，最后整体代入即可求得第二个空的解．

【解答】解：∵x²﹣2x﹣1＝0，

∴x²﹣2x＝1，2x²﹣4x＝2，

∴3x²﹣6x＝3（x²﹣2x）＝3．

2x³﹣7x²+4x﹣2019＝x（2x²﹣7x）+4x﹣2019

＝x（2x²﹣4x﹣3x）+4x﹣2019

＝x（2﹣3x）+4x﹣2019

＝2x﹣3x²+4x﹣2019

＝﹣3x²+6x﹣2019

＝﹣3（x²﹣2x）﹣2019

＝﹣3×1﹣2019

＝﹣2022．

故答案为：3，﹣2022．

【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是整体思想的运用．

5．（嘉兴期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x⁴﹣y⁴，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x²+y²），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x²+y²）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x³﹣xy²，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是　104020（答案不唯一）　（写出一个即可）．

【分析】9x³﹣xy²＝x（9x²﹣y²）＝x（3x+y）（3x﹣y），当x＝10，y＝10时，密码可以是10、40、20的任意组合即可．

【解答】解：9x³﹣xy²＝x（9x²﹣y²）＝x（3x+y）（3x﹣y），

当x＝10，y＝10时，密码可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一．

【点评】本题考查的是因式分解，分解后，将变量赋值，按照因式组合即可．

三．解答题（共25小题）

6．（婺城区校级期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．

（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是　（a+b）²＝a²+2ab+b²　；

（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片　2　张，3号卡片　3　张；

（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式a²+3ab+2b²分解因式，其结果是　（a+2b）•（a+b）　；

（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a²+5ab+6b²＝　（a+2b）（a+3b）　画出拼图．

【分析】（1）利用图②的面积可得出这个乘法公式是（a+b）²＝a²+2ab+b²，

（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，即可得出答案，

（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），利用面积得出a²+3ab+2b²＝（a+2b）•（a+b），

（4）先分解因式，再根据边长画图即可．

【解答】解：（1）这个乘法公式是（a+b）²＝a²+2ab+b²，

故答案为：（a+b）²＝a²+2ab+b²．

（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张；

故答案为：2，3．

（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），所以a²+3ab+2b²＝（a+2b）•（a+b），

故答案为：（a+2b）•（a+b）．

（4）a²+5ab+6b²＝（a+2b）（a+3b），

如图，

故答案为：（a+2b）（a+3b）．

【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．

7．（偃师市期末）阅读下列材料：

利用完全平方公式，可以将多项式变形为a（x+m）²+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax²+bx+c（a≠0）的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：

＝

＝

＝（x+10）（x﹣1）

根据以上材料，解答下列问题：

（1）用配方法及平方差公式把多项式x²﹣7x+12进行分解因式；

（2）用多项式的配方法将x²+6x﹣9化成a（x+m）²+n的形式，并求出多项式的最小值；

（3）求证：x，y取任何实数时，多项式x²+y²﹣4x+2y+6的值总为正数．

【分析】（1）根据阅读材料中的方法分解即可；

（2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可；

（3）原式配方后，利用非负数的性质验证即可．

【解答】解：（1）x²﹣7x+12＝x²﹣7x+ ﹣ +12＝（x﹣ ）²﹣ ＝（x﹣ + ）（x﹣ ﹣ ）＝（x﹣3）（x﹣4）；

（2）x²+6x﹣9＝x²+6x+9﹣18＝（x+3）²﹣18≥﹣18，即多项式的最小值为﹣18；

（3）x²+y²﹣4x+2y+6＝（x﹣2）²+（y+1）²+1≥1＞0，

则x，y取任何实数时，多项式x²+y²﹣4x+2y+6的值总为正数．

【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

8．（奉化区校级期末）分解因式

（1）2x²﹣8

（2）3x²y﹣6xy²+3y³．

【分析】（1）首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出答案；

（2）首先提取公因式3y，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．

【解答】解：（1）2x²﹣8＝2（x²﹣4）

＝2（x+2）（x﹣2）；

（2）3x²y﹣6xy²+3y³

＝3y（x²﹣2xy+y²）

＝3y（x﹣y）²．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用公式是解题关键．

9．（郾城区期末）下面是某同学对多项式（x²﹣4x+2）（x²﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．

解：设x²﹣4x＝y

原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）

＝y²+8y+16（第二步）

＝（y+4）²（第三步）

＝（x²﹣4x+4）²（第四步）

请问：

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　C　

A．提取公因式法B．平方差公式

C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　不彻底　．（填“彻底”或“不彻底”）

若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　（x﹣2）⁴　

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x²﹣2x）（x²﹣2x+2）+1进行因式分解．

【分析】（1）观察分解过程发现利用了完全平方公式；

（2）该同学分解不彻底，最后一步还能利用完全平方公式分解；

（3）仿照题中方法将原式分解即可．

【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，选择C，

故答案为：C；

（2）该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x﹣2）⁴；

故答案为：不彻底；（x﹣2）⁴；

（3）原式＝（x²﹣2x）²+2（x²﹣2x）+1＝（x²﹣2x+1）²＝（x﹣1）⁴．

【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

10．（西湖区校级期中）如图1，小明同学用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形纸片拼成了一个长为（a+2b），宽为（a+b）的长方形，它的面积为（a+2b）（a+b），于是，我们可以得到等式（a+2b）（a+b）＝a²+3ab+2b²．请解答下列问题：

（1）写出图2，写出一个代数恒等式；

（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝10，a²+b²+c²＝40，求ab+bc+ac的值；

（3）小明同学又用4张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，8张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形的长为　2a+3b　，宽为　2a+b　．

【分析】（1）由面积的和差法证明多项式乘法（a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac等式恒成立；

（2）由（1）恒等式，等式的性质，待定系数法求出ab+bc+ac的值为30；

（3）由多项式的因式分解长为2a+3b，宽为2a+b．

【解答】解：（1）如图2所示：

∵由图可知，外面边长为（a+b+c）正方形的面积等于3个边长分

别为a、b、c小正方形的面积，2个边长分别为a、b的长方形，

2个边长分别为a、c的长方形，2个边长分别为b、c的长方形构成，

∴（a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac；

（2）∵a+b+c＝10，

∴（a+b+c）²＝100，

又∵（a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，

∴ab+bc+ac＝ [（a+b+c）²﹣（a²+b²+c²）]

＝ ×（100﹣40）

＝30；

（3）依题意得：

4a²+3b²+8ab＝（2a+3b）（2a+b），

∴长方形的长为2a+3b，宽为2a+b，

故答案为2a+3b，2a+b．

【点评】本题综合考查了整式的乘法，多项式的因式分解，完全平方公式的几何意义，正方形和长方形的面积公式等相关知识点，重点掌握因式分解的运用，难点将多项式构建成几何图形，利用面积不变性证明代数恒等式．

11．（樊城区期末）阅读下列材料，然后解答问题：

问题：分解因式：x³+3x²﹣4．

解答：把x＝1代入多项式x³+3x²﹣4，发现此多项式的值为0，由此确定多项式x³+3x²﹣4中有因式（x﹣1），于是可设x³+3x²﹣4＝（x﹣1）（x²+mx+n），分别求出m，n的值，再代入x³+3x²﹣4＝（x﹣1）（x²+mx+n），就容易分解多项式x³+3x²﹣4．这种分解因式的方法叫“试根法”．

（1）求上述式子中m，n的值；

（2）请你用“试根法”分解因式：x³+x²﹣16x﹣16．

【分析】（1）先找出一个x的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论；

（2）先找出x＝﹣1时，得出多项式的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论．

【解答】解：（1）把x＝1代入多项式x³+3x²﹣4，多项式的值为0，

∴多项式x³+3x²﹣4中有因式（x﹣1），

于是可设x³+3x²﹣4＝（x﹣1）（x²+mx+n）＝x³+（m﹣1）x²+（n﹣m）x﹣n，

∴m﹣1＝3，n﹣m＝0，

∴m＝4，n＝4，

（2）把x＝﹣1代入x³+x²﹣16x﹣16，多项式的值为0，

∴多项式x³+x²﹣16x﹣16中有因式（x+1），

于是可设x³+x²﹣16x﹣16＝（x+1）（x²+mx+n）＝x³+（m+1）x²+（n+m）x+n，

∴m+1＝1，n+m＝﹣16，

∴m＝0，n＝﹣16，

∴x³+x²﹣16x﹣16＝（x+1）（x²﹣16）＝（x+1）（x+4）（x﹣4）

【点评】此题是分解因式，主要考查了试根法分解因式的理解和掌握，解本题的关键是理解试根法分解因式．

12．（慈溪市期中）因式分解：

（1）3x²﹣9xy

（2）4x³y﹣9xy³

【分析】（1）提取公因式3x分解即可得．

（2）先提取公因式xy，再利用平方差公式分解可得．

【解答】解：（1）3x²﹣9xy＝3x（x﹣3y）；

（2）4x³y﹣9xy³＝xy（4x²﹣9y²）

＝xy（2x+3y）（2x﹣3y）．

【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．

13．（庆元县期末）先阅读材料，再回答问题：

分解因式：（a﹣b）²﹣2（a﹣b）+1

解：设a﹣b＝M，则原式＝M²﹣2M+1＝（M﹣1）²

再将a﹣b＝M还原，得到：原式＝（a﹣b﹣1）²

上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：

（1）分解因式：（x+y）（x+y﹣4）+4

（2）若a为正整数，则（a﹣1）（a﹣2）（a﹣3）（a﹣4）+1为整数的平方，试说明理由．

【分析】（1）设M＝x+y，据此原式＝M（M﹣4）+4＝M²﹣4M+4＝（M﹣2）²，再将M＝x+y代回即可得；

（2）由原式变形为（a²﹣5a+4）（a²﹣5a+6）+1，令N＝a²﹣5a+4，据此可得原式N（N+2）+1＝N²+2N+1＝（N+1）²，根据a为正整数可作出判断．

【解答】解：（1）设M＝x+y，

则原式＝M（M﹣4）+4＝M²﹣4M+4＝（M﹣2）²，

将M＝x+y代入还原可得原式＝（x+y﹣2）²；

（2）原式＝（a﹣1）（a﹣4）（a﹣2）（a﹣3）+1

＝（a²﹣5a+4）（a²﹣5a+6）+1

令N＝a²﹣5a+4，

∵a为正整数，

∴N＝（a﹣1）（a﹣4）＝a²﹣5a+4也是整数，

则原式＝N（N+2）+1

＝N²+2N+1

＝（N+1）²，

∵N为整数，

∴原式＝（N+1）²即为整数的平方．

【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，从新定义中整理出进一步解题的有关知识，难度中等．

14．（下城区校级月考）阅读理解并填空：

（1）为了求代数式x²+2x+3的值，我们必须知道x的值．若x＝1，则这个代数式的值为　6　；若x＝2，则这个代数式的值为　11　，…可见，这个代数式的值因的取值不同而变化．尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围．

（2）把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题．例如：x²+2x+3＝（x²+2x+1）+2＝（x+1）²+2，因为（x+1）²是非负数，所以，这个代数式x²+2x+3的最小值是　2　，这时相应的x是　﹣1　．

尝试探究并解答：

（3）求代数式x²﹣12x+37的最小值，并写出相应x的值．

（4）求代数式﹣x²﹣6x+11的最大值，并写出相应x的值．

（5）已知y＝﹣x²+6x﹣3，且x的值在数1～4（包含1和4）之间变化，试探求此时y的不同变化范围（直接写出当x在哪个范围变化时，对应y的变化范围）．

【分析】（1）把x＝1和x＝2分别代入代数式x²+2x+3中，再进行计算即可得出答案，再比较数值的变化情况即可；

（2）根据非负数的性质即可得出答案．

（3）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案；

（4）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案；

（5）先把代数式化成完全平方的形式，再根据非负数的性质以及x的取值范围即可得出答案．

【解答】解：（1）把x＝1代入x²+2x+3中，得：1²+2+3＝6；

若x＝2，则这个代数式的值为2²+2×2+3＝11；

故答案为：6，11

（2）根据题意可得：

x²+2x+3＝（x²+2x+1）+2＝（x+1）²+2，

∵（x+1）²是非负数，

∴这个代数式x²+2x+3的最小值是2，相应的x的值是﹣1；

故答案为2；﹣1

（3）∵x²﹣12x+37＝（x﹣6）²+1，

∴x²﹣12x+37的最小值是1，相应的x的值是6；

（4）根据题意得：

∴﹣x²﹣6x+11＝﹣（x+3）²+20，

∴代数式﹣x²﹣6x+11的最大值是20，相应的x的值是﹣3；

（5）∵y＝﹣x²+6x﹣3，

∴y＝﹣（x﹣3）²+6，

∵x的值在数1～4（包含1和4）之间变化，

∴这时y的变化范围是：2≤y≤6．

【点评】此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答．

15．（吴兴区校级期中）题目：“分解因式：x²﹣120x+3456．”

分析：由于常数项数值较大，则常采用将x²﹣120x变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行．

解：x²﹣120x+3456

＝x²﹣2×60x+60²﹣60²+3456

＝（x﹣60）²﹣144

＝（x﹣60）²﹣12²

＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）

＝（x﹣48）（x﹣72）

通过阅读上述题目，请你按照上面的方法分解因式：

（1）x²﹣140x+4875

（2）4x²﹣4x﹣575．

【分析】（1）、（2）仿照阅读材料、利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解．

【解答】解：（1）x²﹣140x+4875

＝x²﹣2×70x+70²﹣70²+4875

＝（x﹣70）²﹣25

＝（x﹣70）²﹣5²

＝（x﹣70+5）（x﹣70﹣5）

＝（x﹣65）（x﹣75）；

（2）4x²﹣4x﹣575

＝（2x）²﹣2×2x×1+1²﹣1²﹣575

＝（2x﹣1）²﹣576

＝（2x﹣1）²﹣24²

＝（2x﹣1+24）（2x﹣1﹣24）

＝（2x+23）（2x﹣25）．

【点评】本题考查的是因式分解，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．

16．（义乌市校级期中）因式分解：

（1）（x²+1）²﹣4x²

（2）x²（x﹣y）+y²（y﹣x）

【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式，进而结合完全平方公式分解因式即可；

（2）直接提取公因式（x﹣y），进而利用平方差公式分解因式即可．

【解答】解：（1）（x²+1）²﹣4x²

＝（x²+1+2x）（x²+1﹣2x）

＝（x+1）²（x﹣1）²；

（2）x²（x﹣y）+y²（y﹣x）

＝（x﹣y）（x²﹣y²）

＝（x﹣y）²（x+y）．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．

17．（萧山区校级期中）因式分解

（1）4x³y﹣9xy³

（2）（x²﹣6）²﹣6（x²﹣6）+9．

【分析】（1）原式提取xy，再利用平方差公式分解即可；

（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可．

【解答】解：（1）原式＝xy（4x²﹣9y²）＝xy（2x+3y）（2x﹣3y）；

（2）原式＝（x²﹣6﹣3）²＝（x+3）²（x﹣3）²．

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

18．（东阳市期末）【知识拓展】

（1）你能对a³+b³因式分解吗？

（2）求最大正整数n，使得n³+2017，能被n+13整除．

【分析】（1）根据公式法对其进行分解因式即可；

（2）根据题意列出算式，变形后得到180能整除n+13，即可确定出最大的正整数n的值．

【解答】解：（1）能，a³+b³＝（a+b）（a²﹣ab+b²）；

（2）要使（n³+2017）÷（n+13）＝ ＝ ＝n²﹣13n+169﹣ 为整数，

必须180能整除n+13，

则n的最大值为167．

【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握单项式除单项式法则是解本题的关键．

19．（慈溪市校级期中）（1）已知方程组 ，由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 ，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为 ，若按正确的a、b计算，则原方程组的解x与y的差x﹣y的值是多少？

（2）已知实数x、y、z满足x+y＝4及xy＝z²+4，则x﹣y+2z的值为　0　．

【分析】（1）将甲得到的方程组的解代入第二个方程求出b的值，将乙得到方程组的解代入第一个方程求出a的值，确定出正确的方程组，求出方程组的解得到正确的x与y的值，进而求得x﹣y的值；

（2）由x+y＝4及xy＝z²+4，又因为（x﹣y）²＝（x+y）²﹣4xy，可得（x﹣y）²＝16﹣4（z²+4），推出（x﹣y）²+4z²＝0，根据非负数的性质即可解决问题．

【解答】解：（1）将x＝﹣13，y＝﹣1代入方程组中的第二个方程得：﹣52+b＝﹣2，

解得：b＝50，

将x＝5，y＝4代入方程组中的第一个方程得：5a+20＝15，

解得：a＝﹣1，

则方程组为 ，

①×10+②得：﹣6x＝148，

解得：x＝﹣ ，

将x＝﹣ 代入①得：y＝﹣ ，

即方程组的正确解为 ，

则x﹣y＝﹣ + ＝﹣ ．

（2）∵x+y＝4及xy＝z²+4，

又∵（x﹣y）²＝（x+y）²﹣4xy，

∴（x﹣y）²＝16﹣4（z²+4），

∴（x﹣y）²+4z²＝0，

∵（x﹣y）²≥0，4z²≥0，

∴x﹣y＝0，z＝0，

∴x﹣y+2z的值为0．

故答案为0．

【点评】本题考查因式分解的应用、二元一次方程组、非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

20．（湖州期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ac＝ [（a﹣b）²+（b﹣c）²+（a﹣c）²]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美；

（1）请你检验说明这个等式的正确性．

（2）若a＝2011，b＝2012，c＝2013，你能很快求出a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？

（3）若a﹣b＝ ，b﹣c＝ ，a²+b²+c²＝1，求ab+bc+ac的值．

【分析】（1）等式右边中括号中利用完全平方公式展开，合并后去括号得到结果，与左边比较即可得证；

（2）根据（1）中的结论，将a，b，c的值代入右边计算即可求出值；

（3）由题意求出a﹣c的值，所求式子利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．

【解答】解：（1）等式右边＝ （a²﹣2ab+b²+b²﹣2bc+c²+a²﹣2ac+c²）＝ （2a²+2b²+2c²﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ac＝左边，得证；

（2）当a＝2011，b＝2012，c＝2013时，a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ac＝ [（a﹣b）²+（b﹣c）²+（a﹣c）²]＝3；

（3）∵a﹣b＝ ，b﹣c＝ ，∴a﹣c＝ ，

∵a²+b²+c²＝1，

∴ab+bc+ac＝a²+b²+c²﹣ [（a﹣b）²+（b﹣c）²+（a﹣c）²]＝1﹣ （ + + ）＝﹣ ．

【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题意是解本题的关键．

21．（路北区三模）（1）因式分解：（x﹣y）（3x﹣y）+2x（3x﹣y）；

（2）设y＝kx，是否存在实数k，使得上式的化简结果为x²？求出所有满足条件的k的值．若不能，请说明理由．

【分析】（1）首先提取公因式（3x﹣y），进而分解因式得出答案；

（2）将y＝kx代入进而利用使得上式的化简结果为x²，即可得出关于k的等式求出答案．

【解答】解：（1）原式＝（3x﹣y）（x﹣y+2x）＝（3x﹣y）（3x﹣y）＝（3x﹣y）²；

（2）将y＝kx代入上式得：

（3x﹣kx）²＝[（3﹣k）x]²＝（3﹣k）² x²；

令（3﹣k）²＝1，

3﹣k＝±1，

解得：k＝4或2．

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．关键是掌握具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．注意提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．

22．（婺城区校级期末）材料一：一个正整数x能写成x＝a²﹣b²（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a²+b²最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）＝a²+b²．

例如：24＝7²﹣5²，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32＝9²﹣7²，32＝6²﹣2²，因为9²+7²＞6²+2²，所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）＝9²+7²

材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．

根据材料回答：

（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；

（2）试证明10不是雪松数；

（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值．

【分析】（1）根据雪松数的特征即可得到结论；

（2）根据题意即可得到结论；

（3）设t＝ （a，b均为正整数，且0＜a≠b≤9），另一个“南麓数”为t′＝ （m，n均为正整数，且0＜n＜m≤9），根据“南麓数”的特征即可得到结论．

【解答】解：（1）112＝11²﹣3²，40＝7²﹣3²；

（2）若10是“雪松数”，

则可设a²﹣b²＝10（a，b均为正整数，且a≠b），

则（a+b）（a﹣b）＝10，又∵10＝2×5＝10×1，

∵a，b均为正整数，

∴a+b＞a﹣b，

∴ ，或 ，

解得： 或 ，

与a，b均为正整数矛盾，

故10不是雪松数；

（3）设t＝ （a，b均为正整数，且0＜a≠b≤9），另一个“南麓数”为t′＝ （m，n均为正整数，且0＜n＜m≤9），则t＝（10m+n）²﹣（10n+m）²＝99（m²﹣n²）＝99（m+n）（m﹣n），

∴99（m+n）（m﹣n）＝1000a+100b+10b+a＝1001a+110b，

整理得（m+n）（m﹣n）＝10a+b+ ，

∵a，b，m，n均为正整数，

∴a+b＝9，

经探究 ， ，符合题意，

∴t的值分别为：2772，5445，

t′的值分别为：8668，8338，

∵86²+68²＞83²+38²，

∴F（t）的最大值为：86²+68²＝12020．

【点评】本题主要考查分解因式的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．

23．（江北区模拟）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a²c²﹣b²c²＝a⁴﹣b⁴，试判定△ABC的形状．

【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．

【解答】解：∵a²c²﹣b²c²＝a⁴﹣b⁴，

∴a⁴﹣b⁴﹣a²c²+b²c²＝0，

∴（a⁴﹣b⁴）﹣（a²c²﹣b²c²）＝0，

∴（a²+b²）（a²﹣b²）﹣c²（a²﹣b²）＝0，

∴（a²+b²﹣c²）（a²﹣b²）＝0

得：a²+b²＝c²或a＝b，

即△ABC为直角三角形或等腰三角形．

【点评】此题考查勾股定理的逆定理的应用，还涉及到了分解因式、等腰三角形的有关知识．

24．（洛阳期末）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）

（1）观察图形，可以发现代数式2m²+5mn+2n²可以因式分解为　（m+2n）（2m+n）　；

（2）若每块小矩形的面积为10cm²，四个正方形的面积和为58cm²，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．

【分析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m²+5mn+2n²因式分解即可；

（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米²，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．

【解答】解：（1）2m²+5mn+2n²可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；

故答案为：（m+2n）（2m+n）；

（2）依题意得，2m²+2n²＝58，mn＝10，

∴m²+n²＝29，

∵（m+n）²＝m²+2mn+n²，

∴（m+n）²＝29+20＝49，

∵m+n＞0，

∴m+n＝7，

∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n＝6（m+n）＝42cm．

【点评】此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键．

25．（鄞州区期末）教科书中这样写道：“我们把多项式a²+2ab+b²及a²﹣2ab+b²叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．

例如：分解因式x²+2x﹣3＝（x²+2x+1）﹣4＝（x+1）²﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x²+4x﹣6的最小值.2x²+4x﹣6＝2（x²+2x﹣3）＝2（x+1）²﹣8．可知当x＝﹣1时，2x²+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：

（1）分解因式：m²﹣4m﹣5＝　（m+1）（m﹣5）　．

（2）当a，b为何值时，多项式a²+b²﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．

（3）当a，b为何值时，多项式a²﹣2ab+2b²﹣2a﹣4b+27有最小值，并求出这个最小值．

【分析】（1）根据阅读材料，先将m²﹣4m﹣5变形为m²﹣4m+4﹣9，再根据完全平方公式写成（m﹣2）²﹣9，然后利用平方差公式分解即可；

（2）利用配方法将多项式a²+b²﹣4a+6b+18转化为（a﹣2）²+（b+3）²+5，然后利用非负数的性质进行解答；

（3）利用配方法将多项式a²﹣2ab+2b²﹣2a﹣4b+27转化为（a﹣b﹣1）²+（b﹣3）²+17，然后利用非负数的性质进行解答．

【解答】解：（1）m²﹣4m﹣5

＝m²﹣4m+4﹣9

＝（m﹣2）²﹣9

＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）

＝（m+1）（m﹣5）．

故答案为（m+1）（m﹣5）；

（2）∵a²+b²﹣4a+6b+18＝（a﹣2）²+（b+3）²+5，

∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a²+b²﹣4a+6b+18有最小值5；

（3）∵a²﹣2ab+2b²﹣2a﹣4b+27

＝a²﹣2a（b+1）+（b+1）²+（b﹣3）²+17

＝（a﹣b﹣1）²+（b﹣3）²+17，

∴当a＝4，b＝3时，多项式a²﹣2ab+2b²﹣2a﹣4b+27有最小值17．

【点评】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．

26．（洛宁县期中）设a＝ m+1，b＝ m+2，c＝ m+3，求代数式a²+2ab+b²﹣2ac﹣2bc+c²的值．

【分析】首先把代数式a²+2ab+b²﹣2ac﹣2bc+c²利用完全平方公式因式分解，再代入求得数值即可．

【解答】解：a²+2ab+b²﹣2ac﹣2bc+c²

＝（a+b）²﹣2c（a+b）+c²

＝（a+b﹣c）²

当a＝ m+1，b＝ m+2，c＝ m+3时，

原式＝[ m+1+ m+2﹣（ m+3）]²

＝ m²．

【点评】此题考查代数式求值，注意利用完全平方公式因式分解，简化计算的方法与步骤．

27．已知四个实数a，b，c，d，且a≠b，c≠d．若四个关系式：a²+ac＝4，b²+bc＝4，c²+ac＝8，d²+ad＝8同时成立，试求a，c的值．

【分析】此题首先由已知得出a+b+c＝0，a+c+d＝0，得出b＝d，再由（a²+ac）+（c²+ac）＝4+8＝12，（a²+ac）﹣（c²+ac）＝4﹣8＝﹣4，得出 ，（a﹣c）（a+c）＝﹣4，然后讨论得出a，c的值．

【解答】解：由（a²+ac）﹣（b²+bc）＝4﹣4＝0，（c²+ac）﹣（d²+ad）＝8﹣8＝0，

得（a﹣b）（a+b+c）＝0，（c﹣d）（a+c+d）＝0，

∵a≠b，c≠d，

∴a+b+c＝0，a+c+d＝0，

∴b＝d＝﹣（a+c）．

又（a²+ac）+（c²+ac）＝4+8＝12，（a²+ac）﹣（c²+ac）＝4﹣8＝﹣4，

得 ，（a﹣c）（a+c）＝﹣4．

当 时， ，

解得 ， ，

当 ， ，

解得 ， ．

【点评】此题考查的知识点是因式分解的应用，通过等式加减及运用因式分解是关键．

28．已知整数a，b满足6ab＝9a﹣10b+16，求a+b的值．

【分析】运用因式分解法把原来的等式变形为（3a+5）（2b﹣3）＝1，再根据两个整数的乘积是1的，只有1×1和（﹣1）×（﹣1），再进一步解方程组即可．

【解答】解：由6ab＝9a﹣10b+16，得

6ab﹣9a+10b﹣15＝16﹣15

∴（3a+5）（2b﹣3）＝1．（3分）

∵3a+5，2b﹣3都为整数，

∴ ，或 ，（4分）

∴ ，或 ．（2分）

∵a，b为整数

∴取 ，

故a+b＝﹣1．（3分）

【点评】此题考查了因式分解的应用，能够根据条件的限制分析不定方程的解．

29．三项式x²﹣x﹣2n能分解为两个整系数一次因式的乘积

（1）若1≤n≤30，且n是整数，则这样的n有多少个？

（2）当n≤2005时，求最大整数n

【分析】（1）利用公式法求出x²﹣x﹣2n＝0的根，将n从1至30代入开平方验证，舍去不合题意得，得到最终n的取值及个数．

（2）观察数列1，3，6，10，15，21，28，寻找规律，将基本规律的代数式代入求值．

【解答】解：

（1）x²﹣x﹣2n＝ （3分）

则应有1+8n＝9，25，49，81，121，169，225，289（7分）

相应解得n＝1，3，6，10，15，21，28，36（舍去）

故当1≤n≤30时，满足条件的整数n有7个（10分）

（2）观察数列1，3，6，10，发现

1＝1，3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4

故n＝1+2+3+…+k≤2005

∴ ≤2005

验证得当k＝62时，n取最大值为1953（20分）

【点评】本题考查因式分解的应用．解决（1）主要是通过公式法分解出因式，再将符合条件的n代入逐个验证；（2）关键是观察数列找到规律．

30．（慈溪市期末）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：

a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ac＝ [（a﹣b）²+（b﹣c）²+（a﹣c）²]

该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．

（1）请你说明这个等式的正确性；

（2）若a＝2014，b＝2015，c＝2016，你能很快求出a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ac的值；

（3）已知实数x，y，z，a满足x+a²＝2014，y+a²＝2015，z+a²＝2016，且xyz＝36．求代数式 + + ﹣ ﹣ ﹣ 的值．

【分析】（1）等式右边中括号中利用完全平方公式展开看，合并后去括号得到结果，与左边比较即可得证；

（2）根据（1）中的结论，将a，b，c的值代入右边计算即可求出值；

（3）由xyz＝36，将代数式 + + ﹣ ﹣ ﹣ 变形得到 （x²+y²+z²﹣xy﹣yz﹣xz），再将x，y，z的值代入右边计算即可求出值．

【解答】解：（1）等式右边＝ （a²﹣2ab+b²+b²﹣2bc+c²+a²﹣2ac+c²）＝ （2a²+2b²+2c²﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ac＝左边，得证；

（2）当a＝2014，b＝2015，c＝2016时，a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ac＝ [（a﹣b）²+（b﹣c）²+（a﹣c）²]＝3；

（3）∵xyz＝36，

∴ + + ﹣ ﹣ ﹣ ＝ （x²+y²+z²﹣xy﹣yz﹣xz），

∵x+a²＝2014，y+a²＝2015，z+a²＝2016，

∴x＝﹣a²+2014，y＝﹣a²+2015，z＝﹣a²+2016，

∴原式＝ ×3＝ ．

【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题意是解本题的关键．