第4章因式分解（易错30题专练）

一．选择题（共10小题）

1．（醴陵市期末）将下列多项式进行因式分解，其中不含有因式x+3的是（　　）

A．x²+3x B．x²+6x+9 C．x²﹣9 D．x²﹣6x+9

【分析】对各多项式进行因式分解即可求出答案．

【解答】解：A．x²+3x＝x（x+3），故本选项不合题意；

B．x²+6x+9＝（x+3）²，故本选项不合题意；

C．x²﹣9＝（x+3）（x﹣3），故本选项不合题意；

D．x²﹣6x+9＝（x﹣3）²，故本选项符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解的方法，本题属于基础题型．

2．（温岭市期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）

A．（x+3）（x﹣3）＝x²﹣9 B．2ab﹣2ac＝2a（b﹣c）

C．（m+1）²＝m²+2m+1 D．n²+2n+1＝n（n+2）+1

【分析】根据因式分解的定义判断求解．

【解答】解：A．是整式乘法，故此选项不符合题意；

B．符合因式分解定义，故此选项符合题意；

C．是整式乘法，故此选项不符合题意；

D．没有把多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．

故选：B．

【点评】本题主要考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

3．（江干区期末）下面的多项式中，能因式分解的是（　　）

A．m²+1 B．m²﹣m+1 C．mx+n D．m²﹣2m+1

【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案．

【解答】解：A．m²+1，不能因式分解，故本选项不合题意；

B．m²﹣m+1，不能因式分解，故本选项不合题意；

C．mx+n，不能因式分解，故本选项不合题意；

D．m²﹣2m+1＝（m﹣1）²，能因式分解，故本选项符合题意；

故选：D．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

4．（奉化区校级期末）已知x﹣y＝ ，xy＝ ，则xy²﹣x²y的值是（　　）

A．﹣ B．1 C． D．

【分析】首先利用提公因式法，求得xy²﹣x²y＝﹣xy（x﹣y），把已知式子代入求得答案．

【解答】解：∵x﹣y＝ ，xy＝ ，

∴xy²﹣x²y＝﹣xy（x﹣y）＝﹣ × ＝﹣ ．

故选：A．

【点评】此题考查了提公因式法的运用．能够把xy²﹣x²y变形为﹣xy（x﹣y）是解题的关键．

5．（深圳期末）下列由左到右边的变形中，是因式分解的是（　　）

A．（x+2）（x﹣2）＝x²﹣4

B．x²﹣1＝x（x﹣ ）

C．x²﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x

D．x²﹣9＝（x+3）（x﹣3）

【分析】直接利用因式分解的意义分别判断得出答案．

【解答】解：A、（x+2）（x﹣2）＝x²﹣4，是多项式乘法，故此选项错误；

B、x²﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误；

C、x²﹣4+3x＝（x+4）（x﹣1），故此选项错误；

D、x²﹣9＝（x+3）（x﹣3），故此选项正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了因式分解的意义．正确把握因式分解的定义是解题的关键．

6．（温州期末）若多项式x²+mx﹣8因式分解的结果为（x+4）（x﹣2），则常数m的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6

【分析】利用十字相乘法的结果特征判断即可求出m的值．

【解答】解：∵多项式x²+mx﹣8因式分解的结果为（x+4）（x﹣2），

而（x+4）（x﹣2）＝x²+2x﹣8，

∴m＝2，

故选：B．

【点评】此题考查了十字相乘法和整式的乘法，熟练掌握十字相乘法和整式的乘法是解本题的关键．

7．（柯桥区期中）下列四个多项式中，能因式分解的是（　　）

A．a²+b² B．a²﹣6a C．x²+5y D．x²﹣5y

【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．

【解答】解：A、a²+b²，无法因式分解，故此选项错误；

B、a²﹣6a＝a（a﹣6），正确；

C、x²+5y，无法分解因式，故此选项错误；

D、x²﹣5y，无法分解因式，故此选项错误．

故选：B．

【点评】本题考查了因式分解的意义和因式分解的方法．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．

8．（浦东新区期中）已知x²+x＝1，那么x⁴+2x³﹣x²﹣2x+2020的值为（　　）

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022

【分析】利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解．

【解答】解：∵x²+x＝1，

∴x⁴+2x³﹣x²﹣2x+2020

＝x⁴+x³+x³﹣x²﹣2x+2020

＝x²（x²+x）+x³﹣x²﹣2x+2020

＝x²+x³﹣x²﹣2x+2020

＝x（x²+x）﹣x²﹣2x+2020

＝x﹣x²﹣2x+2020

＝﹣x²﹣x+2020

＝﹣（x²+x）+2020

＝﹣1+2020

＝2019．

故选：A．

【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解的方法．

9．（西湖区校级月考）对于代数式ax²+bx+c（a≠0），下列说法正确的是（　　）

①存在实数m、n（m≠n），使得am²+bm+c＝an²+bn+c；

②若存在实数p、q（p≠q）有ap²+bp+c＝aq²+bq+c，则ax²+bx+c＝a（x﹣p）（x﹣q）；

③若ac＞0，则存在实数m、n，且m＞n，使am²+bm+c＜0＜an²+bn+c；

④若ab＞0，则一定存在实数p、q（p≠q）有ap²+bp+c＝aq²+bq+c，则p+q＜0．

A．①③④ B．①②③ C．①③ D．②③

【分析】根据条件，因式分解后逐个判断．

【解答】解：am²+bm+c﹣（an²+bn+c）＝a（m²﹣n²）+b（m﹣n）＝a（m+n）（m﹣n）+b（m﹣n）＝（m﹣n）[a（m+n）+b]．

∵m≠n．

∴m﹣n≠0．

∴当a（m+n）+b＝0时，am²+bm+c﹣（an²+bn+c）＝0．

∴存在实数m、n（m≠n），使得am²+bm+c＝an²+bn+c．

故①正确．

如果ax²+bx+c＝a（x﹣p）（x﹣q），则x＝p或x＝q时，ap²+bp+c＝0，aq²+bq+c＝0．

∵存在实数p、q（p≠q）有ap²+bp+c＝aq²+bq+c，ap²+bp+c，aq²+bq+c的值不一定等于0．

∴②错误．

∵令y＝ax²+bx+c（a≠0），

∴存在实数m、n，且m＞n，使am²+bm+c＜0＜an²+bn+c．

∴③正确．

∵ap²+bp+c＝aq²+bq+c．

∴ap²+bp+c﹣（aq²+bq+c）＝0

∴a（p²﹣q²）+b（p﹣q）＝0．

∴（p﹣q）[a（p+q）+b]＝0．

∵p≠q．

∴p﹣q≠0．

∴a（p+q）+b＝0．

∴p+q＝﹣ ．

∵ab＞0．

∴p+q＜0．

故④正确．

故选：A．

【点评】本题考查因式分解的应用，二次函数与一元二次方程的关系，正确作差后因式分解是求解本题的关键．

10．（嘉善县期末）下列式子中，属于2x³+x²﹣13x+6的因式是（　　）

A．x+2 B．x﹣3 C．2x﹣1 D．2x+1

【分析】将2x³+x²﹣13x+6利用分组分解法分解因式，注意首先拆项可得：2x³+x²﹣10x﹣3x+6，然后将前三项作为一组，后两项作为一组分解即可求得答案．

【解答】解：∵2x³+x²﹣13x+6

＝2x³+x²﹣10x﹣3x+6

＝x（2x²+x﹣10）﹣3（x﹣2）

＝x（2x+5）（x﹣2）﹣3（x﹣2）

＝（x﹣2）（2x²+5x﹣3）

＝（x﹣2）（2x﹣1）（x+3），

∴2x³+x²﹣13x+6的因式是：（x﹣2），（2x﹣1），（x+3）．

故选：C．

【点评】此题考查了因式分解的知识．此题难度较大，解题的关键是将原多项式拆项，利用分组分解法求解；还要注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用公式法分解，四项或四项以上的采用分组分解法．

二．填空题（共10小题）

11．（黔西南州月考）已知a＝2b﹣5，则代数式a²﹣4ab+4b²﹣5的值是　20　．

【分析】将a＝2b﹣5变为a﹣2b＝﹣5，再根据完全平方公式分解a²﹣4ab+4b²﹣5＝（a﹣2b）²﹣5，代入﹣5求解．

【解答】解：∵a＝2b﹣5，

∴a﹣2b＝﹣5，

∴a²﹣4ab+4b²﹣5＝（a﹣2b）²﹣5＝（﹣5）²﹣5＝20．

故答案为：20．

【点评】此题考查的是代数式求值，掌握完全平方公式是解此题的关键．

12．（杭州模拟）若多项式x³+x+m含有因式x²﹣x+2，则m的值是　2　．

【分析】设另一个因式是x+a，根据已知得出（x²﹣x+2）（x+a）＝x³+x+m，再进行化简，即可求出a、m值．

【解答】解：∵多项式x³+x+m含有因式x²﹣x+2，

∴设另一个因式是x+a，

则（x²﹣x+2）（x+a）＝x³+x+m，

∵（x²﹣x+2）（x+a）

＝x³+ax²﹣x²﹣ax+2x+2a

＝x³+（a﹣1）x²+（﹣a+2）x+2a，

∴a﹣1＝0，2a＝m，

解得：a＝1，m＝2，

故答案为：2．

【点评】本题考查了因式分解的定义和多项式乘以多项式法则，能得出关于a、m的方程是解此题的关键．

13．（罗湖区校级模拟）若x²+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为　﹣2或8　．

【分析】利用完全平方公式的特征判断即可求出m的值．

【解答】解：∵x²+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，

∴2（3﹣m）＝±10

解得：m＝﹣2或8．

故答案为：﹣2或8．

【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

14．（港南区期末）如果a+b＝5，a﹣b＝3，那么a²﹣b²＝　15　．

【分析】首先利用平方差公式进行分解即可，进而将已知代入求出即可．

【解答】解：∵a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b），

∴当a+b＝5，a﹣b＝3时，原式＝5×3＝15．

故答案为：15．

【点评】此题主要考查了运用公式法分解因式以及代数式求值，正确分解因式是解题关键．

15．（泉州校级自主招生）已知a+b＝2，则a²﹣b²+4b的值为　4　．

【分析】把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可．

【解答】解：∵a+b＝2，

∴a²﹣b²+4b，

＝（a+b）（a﹣b）+4b，

＝2（a﹣b）+4b，

＝2a+2b，

＝2（a+b），

＝2×2，

＝4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．

16．（奉化区校级期末）已知多项式：①x²+4y²；②﹣ + ；③﹣ ﹣ ；④3x²﹣4y；其中能运用平方差公式分解因式的是　②　．（填序号即可）

【分析】利用平方差公式的特点判断即可得到结果．

【解答】解：①x²+4y²不能运用平方差公式分解因式；

②﹣ + 能运用平方差公式分解因式；

③﹣ ﹣ 不能运用平方差公式分解因式；

④3x²﹣4y不能运用平方差公式分解因式，

则能用平方差公式分解的是②．

故答案为：②．

【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

17．（永嘉县校级期末）若关于x的多项式x²﹣ax﹣6含有因式x﹣1，则实数a＝　﹣5　．

【分析】掌握多项式乘法的基本性质，x﹣1中﹣1与6相乘可得到﹣6，则可知：x²﹣ax﹣6含有因式x﹣1和x+6．

【解答】解：（x﹣1）（x+6）＝x²+5x﹣6＝x²﹣ax﹣6，

所以a的数值是﹣5．

故答案为：﹣5．

【点评】本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，注意因式分解与整式的运算的综合运用．

18．（永嘉县校级期末）若多项式x²+mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x+1，则m﹣n的值为　1　．

【分析】设另一个因式为x+a，因为整式乘法是因式分解的逆运算，所以将两个因式相乘后结果得x²+mx+n，根据各项系数相等列式，计算可得m﹣n的值．

【解答】解：设另一个因式为x+a，

则x²+mx+n＝（x+1）（x+a）＝x²+ax+x+a＝x²+（a+1）x+a，

由此可得 ，

由①得：a＝m﹣1③，

把③代入②得：n＝m﹣1，

m﹣n＝1，

故答案为：1．

【点评】本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式；因此具体作法是：按多项式法则将分解的两个因式相乘，列等式或方程组即可求解．

19．（上虞区期末）三位先生A、B、C带着他们的妻子a、b、c到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A比b多买9件商品，先生B比a多买7件商品．则先生A的妻子是　c　．

【分析】设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品，列出关于x、y的二元二次方程，再根据x、y都是正整数，且x+y与x﹣y有相同的奇偶性，即可得出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值，再找出符合x﹣y＝9和x﹣y＝7的情况即可进行解答．

【解答】解：设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品．

则有x²﹣y²＝48，即（x十y）（x﹣y）＝48．

∵x、y都是正整数，且x+y与x﹣y有相同的奇偶性，

又∵x+y＞x﹣y，48＝24×2＝12×4＝8×6，

∴ 或 或 ．

解得x＝13，y＝11或x＝8，y＝4或x＝7，y＝1．

符合x﹣y＝9的只有一种，可见A买了13件商品，b买了4件．

同时符合x﹣y＝7的也只有一种，可知B买了8件，a买了1件．

∴C买了7件，c买了11件．

由此可知三对夫妻的组合是：A、c；B、b；C、a．

故答案为：c．

【点评】本题考查的是非一次不定方程的解及数的奇偶性，根据题意列出关于x、y的不定方程是解答此题的关键．

20．（江北区校级期中）已知a+b＝4，ab＝﹣2，则a³b﹣2a²b²+ab³＝　﹣48　．

【分析】因式分解后整体代换求值

【解答】解：∵a³b﹣2a²b²+ab³＝ab（a²﹣2ab+b²）

＝ab（a﹣b）²

＝ab[（a+b）²﹣4ab]

＝﹣2×（16+8）

＝﹣48．

故答案为﹣48．

【点评】本题考查因式分解，提公因式再分解求值是求解本题的关键．

三．解答题（共10小题）

21．（奉化区校级期末）因为（x+3）（x﹣2）＝x²+x﹣6，所以（x²+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3，这说明x²+x﹣6能被x﹣2整除，同时也说明x²+x﹣6有一个因式是x﹣2时，因式x﹣2为0，那么多项式x²+x﹣6的值也为0，利用上面的结果求解：

（1）多项式A能被x+4整除，商为2x﹣1，求多项式A；

（2）已知x﹣2能整除x²+kx﹣14，求k的值．

【分析】（1）根据被除式、除式、商的关系，可得算式（x+4）（2x﹣1），然后计算即可得到答案；

（2）根据上面得出的结论，当x＝2时，x²+kx﹣14＝0，再求出k的值即可．

【解答】解：（1）由题意，得，

A＝（x+4）（2x﹣1）＝2x²﹣x+8x﹣4＝2x²+7x﹣4；

（2）∵x﹣2能整除x²+kx﹣14，

∴当x﹣2＝0时，x²+kx﹣14＝0，

当x＝2时，x²+kx﹣14＝4+2k﹣14＝0，

解得：k＝5．

【点评】此题考查了因式分解的应用，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键．

22．（奉化区校级期末）（1）分解因式：（m﹣1）³﹣2（m﹣1）²+（m﹣1）；

（2）利用分解因式计算：13（1﹣5²）（5⁴+1）（5⁸+1）（5¹⁶+1）．

【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方差公式分解因式即可；

（2）把13化为 26＝ （1+5²），然后再依次运用平方差公式即可．

【解答】解：（1）（m﹣1）³﹣2（m﹣1）²+（m﹣1）＝（m﹣1）[（m﹣1）²﹣2（m﹣1）+1]＝（m﹣1）（m﹣1+1）²＝（m﹣1）（m﹣2）²；

（2）13（1﹣5²）（5⁴+1）（5⁸+1）（5¹⁶+1）＝ （1+5²）（1﹣5²）（5⁴+1）（5⁸+1）（5¹⁶+1）＝﹣ （5²﹣1）（5⁴+1）（5⁸+1）（5¹⁶+1）＝﹣ （5¹⁶﹣1）（5¹⁶+1）＝﹣ （5³²﹣1）．

【点评】此题考查的是因式分解的应用，掌握提公因式法和公式法进行计算是解决此题的关键．

23．（北仑区期末）对于二次三项式a²+6a+9，可以用公式法将它分解成（a+3）²的形式，但对于二次三项式a²+6a+8，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：

a²+6a+8＝a²+6a+9﹣9+8＝（a+3）²﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）

请仿照上面的做法，将下列各式因式分解：

（1）x²﹣6x﹣16；

（2）x²+2ax﹣3a²．

【分析】根据完全平方公式的结构特征是两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，因此对一些不完全符合完全平方公式的代数式，可在保证代数式不变的情况下通过加项或减项的方法配成完全平方公式，据此解答即可．

【解答】解：（1）x²﹣6x﹣16

＝x²﹣6x+9﹣9﹣16

＝（x﹣3）²﹣25

＝（x﹣3+5）（x﹣3﹣5）

＝（x+2）（x﹣8）；

（2）x²+2ax﹣3a²

＝x²+2ax+a²﹣a²﹣3a²

＝（x+a）²﹣（2a）²

＝（x+a+2a）（x+a﹣2a）

＝（x+3a）（x﹣a）．

【点评】本题考查了公式法因式分解，熟记完全平方公式和平方差公式，并能灵活运用是解题的关键．因此要牢记完全平方公式和平方差公式的结构特征．

24．（滑县期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S₁；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S₂．

（1）用含a，b的代数式分别表示S₁、S₂；

（2）若a+b＝10，ab＝20，求S₁+S₂的值；

（3）当S₁+S₂＝30时，求出图3中阴影部分的面积S₃．

【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S₁、S₂；

（2）根据S₁+S₂＝a²﹣b²+2b²﹣ab＝a²+b²﹣ab，将a+b＝10，ab＝20代入进行计算即可；

（3）根据S₃＝ （a²+b²﹣ab），S₁+S₂＝a²+b²﹣ab＝30，即可得到阴影部分的面积S₃．

【解答】解：（1）由图可得，S₁＝a²﹣b²，

S₂＝a²﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b²﹣ab；

（2）S₁+S₂＝a²﹣b²+2b²﹣ab＝a²+b²﹣ab，

∵a+b＝10，ab＝20，

∴S₁+S₂＝a²+b²﹣ab＝（a+b）²﹣3ab＝100﹣3×20＝40；

（3）由图可得，S₃＝a²+b²﹣ b（a+b）﹣ a²＝ （a²+b²﹣ab），

∵S₁+S₂＝a²+b²﹣ab＝30，

∴S₃＝ ×30＝15．

【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，能够运用数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键．

25．（余杭区校级月考）教科书中这样写道：“我们把多项式a²+2ab+b²及a²﹣2ab+b²叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：

分解因式x²+2x﹣3＝（x²+2x+1）﹣4＝（x+1）²﹣4，

＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3），

例如求代数式2x²+4x﹣6的最小值，

2x²+4x﹣6＝2（x²+2x﹣3）＝2（x+1）²﹣8．

可知当x＝﹣1时，2x²+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．

根据阅读材料用配方法解决下列问题：

（1）分解因式：m²﹣4m﹣5＝　（m+1）（m﹣5）　；

（2）当a，b为何值时，多项式a²+b²﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．

（3）当a，b为何值时，多项式a²﹣2ab+2b²﹣2a﹣4b+20有最小值，并求出这个最小值．

【分析】（1）将多项式加4再减4，利用配方法可得；

（2）将多项式配方后可得结论；

（3）将多项式配方后可得结论．

【解答】解：（1）m²﹣4m﹣5

＝m²﹣4m+4﹣9

＝（m﹣2）²﹣9

＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）

＝（m+1）（m﹣5），

故答案为：（m+1）（m﹣5）．

（2）∵a²+b²﹣4a+6b+18＝（a﹣2）²+（b+3）²+5，

∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a²+b²﹣4a+6b+18有最小值5；

（3）∵a²﹣2ab+2b²﹣2a﹣4b+20

＝a²﹣2ab+b²﹣2（a﹣b）+1+b²﹣6b+9+10

＝（a﹣b﹣1）²+（b﹣3）²+10，

∴当a＝4，b＝3时，多项式a²﹣2ab+2b²﹣2a﹣4b+20有最小值10．

【点评】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．

26．（宁波期末）给出如下规定：若实数a与b的差等于这两个数的积，则称实数对（a，b）为“关联数”．如实数对（﹣2，2），因为﹣2﹣2＝﹣4，（﹣2）×2＝﹣4，所以实数对（﹣2，2）是关联数；又如实数对（0，0）是关联数．

（1）若实数对（a，b）为“关联数”，则a，b应满足的条件用含a，b的等式表示为　a﹣b＝ab　．

（2）判断下列实数对是否是关联数？

①（1，﹣ ）；②（﹣ ，﹣3）．

（3）若实数对（ ，﹣5）是关联数，求x的值．

（4）是否存在非零实数m，n，使实数对（2m，3n）与（3m，2n）都是关联数？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据材料可得结果；

（2）根据材料给出的定义，分别求出它们的差和乘积，看是否相等进行判断；

（3）根据定义列方程，解出即可；

（4）根据定义列等式，求出即可．

【解答】解：（1）根据材料可得，a﹣b＝ab，

故答案为：a﹣b＝ab，

（2）①∵1﹣（﹣ ）＝ ，1×（﹣ ）＝﹣ ，

∴（1，﹣ ）不是关联数，

②﹣ ﹣（﹣3）＝ ，﹣ ×（﹣3）＝ ，

∴（﹣ ，﹣3）是关联数，

（3）∵实数对（ ，﹣5）是关联数，

∴ +5＝ ×（﹣5），

解得，x＝﹣ ，

（3）存在，

由题意得：2m﹣3n＝6mn．且，3m﹣2n＝6mn，

∴2m﹣3n＝3m﹣2n，

∴m＝﹣n，

∴﹣2n﹣3n＝﹣6n²，

∴﹣5n＝﹣6n²，

∵n≠0，

∴n＝ ，

∴m＝﹣ ，

【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握材料给出的定义是解题关键．

27．（江北区校级期中）阅读：多项式ax²+bx+c（a≠0），当a，b，c取某些实数时，ax²+bx+c是完全平方式．

例如：当a＝1，b＝﹣2，c＝1时，ax²+bx+c＝x²﹣2x+1＝（x﹣1）²，发现：

（﹣2）²＝4×1×1；当a＝1，b＝6，c＝9时，ax²+bx+c＝x²+6x+9＝（x+3）²，

发现：6²＝4×1×9；…．

根据上述阅读材料解答下列问题：

（1）分解因式：16x²﹣24x+9＝　（4x﹣3）²　．

（2）若多项式ax²+bx+c（a≠0）是完全平方式，则a，b，c之间存在某种关系，用等式表示a，b，c之间的关系：　b²＝4ac　．

（3）在实数范围内，若关于x的多项式4x²+mx+25是完全平方式，求m的值．

（4）求多项式x²+y²﹣4x+6y+15的最小值．

【分析】（1）利用完全平方公式分解．

（2）观察即可得出a，b，c的关系．

（3）利用完全平方公式的条件求解．

（4）配方，根据平方的非负性求最值．

【解答】解：（1）16x²﹣24x+9＝（4x﹣3）²．

故答案为：（4x﹣3）²．

（2）∵当a＝1，b＝﹣2，c＝1时，ax²+bx+c＝x²﹣2x+1＝（x﹣1）²，发现：

（﹣2）²＝4×1×1；当a＝1，b＝6，c＝9时，ax²+bx+c＝x²+6x+9＝（x+3）²，

发现：6²＝4×1×9；....．

∴当b²＝4ac时，多项式ax²+bx+c（a≠0）是完全平方式．

故答案为：b²＝4ac．

（3）∵关于x的多项式4x²+mx+25是完全平方式．

∴m²＝4×4×25．

m＝±20．

（4）∵x²+y²﹣4x+6y+15

＝x²﹣4x+4+y²+6y+9+2

＝（x﹣2）²+（y+3）²+2．

∵（x﹣2）²≥0，（y+3）²≥0．

∴（x﹣2）²+（y+3）²+2≥0+0+2＝2．

∴x²+y²﹣4x+6y+15d的最小值是2．

【点评】本题考查完全平方公式的结构特征，配方求最值，抓住完全平方公式的条件是求解本题的关键．

28．（奉化区校级期末）因式分解：

（1）25（a+b）²﹣9（a﹣b）²；

（2）16a²b﹣16a³﹣4ab²；

（3）（x²﹣4x）²+8（x²﹣4x）+16．

【分析】（1）用平方差公式分解．

（2）先提公因式，再用公式．

（3）用完全平方公式分解．

【解答】解：（1）25（a+b）²﹣9（a﹣b）²

＝（5a+5b）²﹣（3a﹣3b）²．

＝（5a+5b+3a﹣3b）[5a+5b﹣（3a﹣3b）]

＝（8a+2b）（2a+8b）．

＝4（4a+b）（a+4b）．

（2）16a²b﹣16a³﹣4ab²

＝﹣4a（4a²﹣4ab+b²）

＝﹣4a（2a﹣b）²

（3）原式＝（x²﹣4x+4）²

＝[（x﹣2）²]²

＝（x﹣2）⁴

【点评】本题考查综合方法因式分解，数学平方差和完全平方公式是求解本题的关键．

29．（下城区校级期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．

（1）观察图形，可以发现代数式2a²+5ab+2b²可以因式分解为　（a+2b）（2a+b）　．

（2）若图中阴影部分的面积为234平方厘米，大长方形纸板的周长为72厘米，求图中空白部分的面积．

【分析】（1）根据图形观察可得因式分解结果．

（2）整个图形面积减阴影部分面积即可．

【解答】解：（1）观察图形，可得：2a²+5ab+2b²

＝（a+2b）（2a+b）．

故答案为：（a+2b）（2a+b）．

（2）∵图中阴影部分的面积为234平方厘米，大长方形纸板的周长为72厘米．

∴2a²+2b²＝234，2（a+2b+2a+b）＝72．

∴a²+b²＝117，a+b＝12．

∵（a+b）²＝a²+b²+2ab．

∴144＝117+2ab．

∴ab＝ ．

2a²+5ab+2b²

＝2×117+5× ＝301.5（平方厘米）．

空白部分面积为：301.5﹣234＝67.5（平方厘米）．

【点评】本题考查因式分解的应用，仔细观察图形，找到面积关系是求解本题的关键．

30．（婺城区校级期末）材料一：一个正整数x能写成x＝a²﹣b²（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a²+b²最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）＝a²+b²．

例如：24＝7²﹣5²，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32＝9²﹣7²，32＝6²﹣2²，因为9²+7²＞6²+2²，所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）＝9²+7²

材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．

根据材料回答：

（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；

（2）试证明10不是雪松数；

（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值．

【分析】（1）根据雪松数的特征即可得到结论；

（2）根据题意即可得到结论；

（3）设t＝ （a，b均为正整数，且0＜a≠b≤9），另一个“南麓数”为t′＝ （m，n均为正整数，且0＜n＜m≤9），根据“南麓数”的特征即可得到结论．

【解答】解：（1）112＝11²﹣3²，40＝7²﹣3²；

（2）若10是“雪松数”，

则可设a²﹣b²＝10（a，b均为正整数，且a≠b），

则（a+b）（a﹣b）＝10，又∵10＝2×5＝10×1，

∵a，b均为正整数，

∴a+b＞a﹣b，

∴ ，或 ，

解得： 或 ，

与a，b均为正整数矛盾，

故10不是雪松数；

（3）设t＝ （a，b均为正整数，且0＜a≠b≤9），另一个“南麓数”为t′＝ （m，n均为正整数，且0＜n＜m≤9），则t＝（10m+n）²﹣（10n+m）²＝99（m²﹣n²）＝99（m+n）（m﹣n），

∴99（m+n）（m﹣n）＝1000a+100b+10b+a＝1001a+110b，

整理得（m+n）（m﹣n）＝10a+b+ ，

∵a，b，m，n均为正整数，

∴a+b＝9，

经探究 ， ，符合题意，

∴t的值分别为：2772，5445，

t′的值分别为：8668，8338，

∵86²+68²＞83²+38²，

∴F（t）的最大值为：86²+68²＝12020．

【点评】本题主要考查分解因式的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．