第4章因式分解（基础30题专练）
一．选择题（共10小题）
1．（路桥区期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．2（a﹣b）＝2a﹣2b B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 D．x2﹣y2＝（x﹣y）2
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
【解答】解：A．是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
B．没把一个多项式转化成几个整式积，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
C．把一个多项式转化成几个整式积，属于因式分解，故此选项符合题意；
D．因式分解错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
2．（黄岩区期末）下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）
A．a2+4 B．
C．x2﹣4y D．x2+xy+y2
【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
【解答】解：A．a2+4，无法因式分解，故此选项不合题意；
B．
，故此选项符合题意；
C．x2﹣4y，无法分解因式，故此选项不合题意；
D．x2+xy+y2，无法分解因式，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的意义和因式分解的方法．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
3．（衢江区期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1 B．x2+2x﹣1 C．x2+4x﹣4 D．x2+4x+4
【分析】根据完全平方公式的结构特点即可得出答案．
【解答】解：A选项，第三项不是正数，而且第二项不是积的2倍，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意；
B选项，第三项不是正数，而且第二项不是积的2倍，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意；
C选项，第三项不是正数，而且第二项不是积的2倍，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意；
D选项，原式＝（x+2）2，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2是解题的关键．
4．（长兴县月考）下列分解因式中正确的是（ ）
A．x2﹣4y＝（x+2y）（x﹣2y）
B．﹣4x2﹣1＝（﹣2x+1）（﹣2x﹣1）
C．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2
D．x2+4x﹣4＝（x﹣2）2
【分析】根据因式分解的方法逐项分析可得答案．
【解答】解：A．x2﹣4y不能分解因式，故不符合题意；
B．﹣4x2﹣1不能分解因式，故不符合题意；
C．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故符合题意；
D．x2+4x﹣4不能分解因式，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法和运用公式法是解题关键．
5．（拱墅区校级期中）将（x+3）2﹣（x﹣1）2因式分解正确的是（ ）
A．8（x﹣1） B．4（2x+2） C．4（x+1） D．8（x+1）
【分析】原式可利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+3+x﹣1）（x+3﹣x+1）
＝4（2x+2）
＝8（x+1）．
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
6．（拱墅区校级期中）下列可以用完全平方公式因式分解的是（ ）
A．4a2﹣4a﹣1 B．4a2+2a+1 C．1﹣4a+4a2 D．2a2+4a+1
【分析】利用完全平方公式判断即可．
【解答】解：A.4a2﹣4a﹣1不能用完全平方公式分解因式，故错误；
B.4a2+2a+1不能用完全平方公式分解因式，故错误；
C.1﹣4a+4a2＝（1﹣2a）2，能用完全平方公式分解因式，故正确；
D.2a2+4a+1不能用完全平方公式分解因式，故错误．
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．（青田县期末）若x2﹣5x﹣6＝0，则代数式x3﹣4x2﹣11x+2020的值是（ ）
A．2026 B．﹣2026 C．2025 D．﹣2025
【分析】由x2﹣5x﹣6＝0变形得到x2＝5x+6，x2﹣5x＝6，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x2﹣5x﹣6＝0，
∴x2＝5x+6，x2﹣5x＝6，
∴原式＝x2•x﹣4x2﹣11x+2020
＝（5x+6）x﹣4x2﹣11x+2020
＝5x2+6x﹣4x2﹣11x+2020
＝x2﹣5x+2020
＝6+2020
＝2026．
故选：A．
【点评】此题考查了因式分解的应用，利用了降次的方法，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．
8．（拱墅区校级期中）若多项式x2+bx+c因式分解后的一个因式是x+1，b﹣c的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．1
【分析】设x2+bx+c＝（x+1）（x+m），根据多项式乘多项式和合并同类项法则得出（x+1）（x+m）＝x2+（m+1）x+m，求出b＝m+1，c＝m，再求出答案即可．
【解答】解：设x2+bx+c＝（x+1）（x+m），
∵（x+1）（x+m）
＝x2+mx+x+m
＝x2+（m+1）x+m，
∴b＝m+1，c＝m，
∴b﹣c＝（m+1）﹣m＝1，
∴b﹣c＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义，多项式乘多项式法则等知识点，能正确根据多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键．
9．（诸暨市期末）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为52，大长方形的周长为36，则一张小长方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据“阴影部分的面积为52，大长方形的周长为36”，即可得出关于x，y的方程组，利用（①2﹣②）÷2，可求出一张小长方形的面积．
【解答】解：依题意得：
，
即
，
（①2﹣②）÷2，得：xy＝5．
∴一张小长方形的面积为5．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及二元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
10．设实数x满足x3＝x+1，若x7＝ax2+bx+c，则a+b+c的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】把给定代数式进行因式分解，用已知等量关系代入代数式计算，，即可解决问题．
【解答】解：∵x3＝x+1，
∴x7＝x•x3•x3
＝x•（x+1）2
＝x（x2+2x+1）
＝x3+2x2+x
＝x+1+2x2+x
＝2x2+2x+1
＝ax2+bx+c
∴a＝2，b＝2，c＝1，
∴a+b+c＝2+2+1＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解，解题关键是把给定代数式进行因式分解，用已知等量关系代入代数式计算．
二．填空题（共10小题）
11．（鹿城区校级二模）分解因式：m2﹣6m＝ m（m﹣6） ．
【分析】直接提取公因式m，进而分解因式得出答案．
【解答】解：m2﹣6m＝m（m﹣6）．
故答案为：m（m﹣6）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．（温州期末）因式分解：m2+2m＝ m（m+2） ．
【分析】根据因式分解的定义，用提公因式法得m2+2m＝m（m+2）．
【解答】解：m2+2m＝m（m+2）．
故答案为：m（m+2）．
【点评】本题主要考查提公因式法进行因式分解，熟练掌握公因式的找法是解题的关键．
13．（拱墅区期中）直接写出因式分解的结果：x2﹣y2＝ （x+y）（x﹣y） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），
故答案为：（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题主要考查运用公式法分解因式，掌握平方差公式是解题的关键．
14．（鹿城区校级三模）因式分解：3a2b﹣ab2＝ ab（3a﹣b） ．
【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝ab（3a﹣b）．
故答案为：ab（3a﹣b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
15．（椒江区校级期中）因式分解：x2y﹣2xy+y＝ y（x﹣1）2 ．
【分析】直接提取公因式y，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝y（x2﹣2x+1）
＝y（x﹣1）2．
故答案为：y（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
16．（柯桥区校级开学）分解因式：2xy﹣4y＝ 2y（x﹣2） ．
【分析】直接找出公因式2y，进而提取公因式得出答案．
【解答】解：2xy﹣4y＝2y（x﹣2）．
故答案为：2y（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
17．（温州三模）因式分解m2﹣6m＝ m（m﹣6） ．
【分析】根据因式分解的定义，用提公因式法得m2﹣6m＝m（m﹣6）．
【解答】解：m2﹣6m＝m（m﹣6）．
故答案为：m（m﹣6）．
【点评】本题主要考查提公因式法进行因式分解，熟练掌握公因式的找法是解题的关键．
18．设a，b，c，d都是整数，且m＝a2+b2，n＝c2+d2，则mn也可表示成两个整数的平方和：mn＝ （ac+bd）2+（ad﹣bc）2 （用a，b，c，d表示）．比如89＝52+82，117＝92+62，89×117＝10413，则有10413＝32+1022．请你写出值为10413的另外一种两个整数的平方和的形式：10413＝ 932+422 ．
【分析】首先把mn的结果根据多项式乘法法则求出，然后分解因式即可得到所要求的形式．
【解答】解：∵m＝a2+b2，n＝c2+d2，
∴mn＝（a2+b2）（c2+d2）
＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
＝a2c2+b2d2+2abcd+a2d2+b2c2﹣2abcd
＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2
∴mn＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2；
∵89＝52+82，117＝92+62，
则a＝5，b＝8，c＝9，d＝6，
另外一种形式，
10413＝（5×9+8×6）2+（5×6﹣8×9）2
＝（45+48）2+（30﹣72）2
＝932+（﹣42）2
＝932+422，
故10413＝932+422，
故答案为：（ac+bd）2+（ad﹣bc）2；932+422．
【点评】此题主要考查了多项式的乘法和因式分解，首先利用多项式乘法法则求出mn的结果，然后利用完全平方公式进行因式分解即可解决问题．
19．（乐清市期末）若代数式x2﹣a在有理数范围内可以因式分解，则整数a的值可以为 1（答案不唯一） .（写出一个即可）
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：当a＝1时，x2﹣a＝x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），
故a的值可以为1（答案不唯一）．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
20．（西湖区期末）因式分解：16x2﹣1＝ （4x﹣1）（4x+1） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：16x2﹣1
＝（4x）2﹣12
＝（4x﹣1）（4x+1）．
故答案为：（4x﹣1）（4x+1）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
三．解答题（共10小题）
21．（上城区期末）分解因式
（1）a2﹣6ab+9b2；
（2）a2b﹣16b．
【分析】（1）用完全平方公式分解即可；
（2）先提公因式，再用平方差公式分解因式．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣6ab+（3b）2＝（a﹣3b）2；
（2）原式＝b（a2﹣16）＝b（a+4）（a﹣4）．
【点评】本题考查了用完全平方公式、提公因式、平方差公式进行因式分解，熟悉以上因式分解的方法是解题关键．
22．（萧山区期末）因式分解：
（1）a2﹣2ab+b2；
（2）8﹣2x2．
【分析】（1）直接利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝（a﹣b）2；
（2）8﹣2x2
＝2（4﹣x2）
＝2（2﹣x）（2+x）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
23．（奉化区校级期末）因为（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，所以（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3，这说明x2+x﹣6能被x﹣2整除，同时也说明x2+x﹣6有一个因式是x﹣2时，因式x﹣2为0，那么多项式x2+x﹣6的值也为0，利用上面的结果求解：
（1）多项式A能被x+4整除，商为2x﹣1，求多项式A；
（2）已知x﹣2能整除x2+kx﹣14，求k的值．
【分析】（1）根据被除式、除式、商的关系，可得算式（x+4）（2x﹣1），然后计算即可得到答案；
（2）根据上面得出的结论，当x＝2时，x2+kx﹣14＝0，再求出k的值即可．
【解答】解：（1）由题意，得，
A＝（x+4）（2x﹣1）＝2x2﹣x+8x﹣4＝2x2+7x﹣4；
（2）∵x﹣2能整除x2+kx﹣14，
∴当x﹣2＝0时，x2+kx﹣14＝0，
当x＝2时，x2+kx﹣14＝4+2k﹣14＝0，
解得：k＝5．
【点评】此题考查了因式分解的应用，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键．
24．（嘉兴月考）（1）解方程：
；
（2）因式分解：6a3b2﹣3a2b3．
【分析】（1）利用代入消元法进行计算即可解答；
（2）利用提公因式法进行分解即可．
【解答】解：（1）
，
把①代入②得：
4（2y+3）+2y＝7，
解得：y＝﹣
，
把y＝﹣
代入①得：
x＝﹣1+3＝2，
∴原方程组的解为：
；
（2）6a3b2﹣3a2b3＝3a2b2（2a﹣b）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
25．（温岭市期末）计算：
（1）用简便方法计算：1012﹣992；
（2）因式分解：2a2+12ab+18b2．
【分析】（1）利用平方差公式分解进行计算即可；
（2）先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可．
【解答】解：（1）1012﹣992
＝（101+99）×（101﹣99）
＝200×2
＝400；
（2）2a2+12ab+18b2．
＝2（a2+6ab+9b2）
＝2（a+3b）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
26．（拱墅区校级期中）因式分解：
（1）4a2﹣9；
（2）16m4﹣8m2n2+n4．
【分析】（1）可利用平方差公式分解因式；
（2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式可求解．
【解答】解：（1）4a2﹣9＝（2a+3）（2a﹣3）；
（2）16m4﹣8m2n2+n4
＝（4m2﹣n2）2
＝（2m+n）2（2m﹣n）2．
【点评】本题主要考查因式分解﹣运用公式法，掌握平方差公式，完全平方公式是解题的关键，
27．（西湖区校级二模）（1）因式分解：4x2﹣16；
（1）解二元一次方程组：
．
【分析】（1）先提公因式，再运用平方差公式分解即可；
（2）用加减消元法解即可．
【解答】解：（1）4x2﹣16
＝4（x2﹣4）
＝4（x+2）（x﹣2）；
（2）
①﹣②得：5y＝﹣5，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得：x﹣2＝4，
解得：x＝6，
∴原方程组的解为：
．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解二元一次方程组，熟练准确的计算是解题的关键．
28．（柯桥区校级开学）因式分解
（1）a3﹣25a；
（2）（x﹣3）（x﹣5）+1．
【分析】（1）首先提取公因式a，进而利用平方差公式进行分解即可；
（2）先去括号、合并同类项，再利用完全平方公式分解可得．
【解答】解：（1）原式＝a（a2﹣25）＝a（a﹣5）（a+5）；
（2）原式＝x2﹣8x+16＝（x﹣4）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式和完全平方公式是解题关键．
29．（拱墅区校级期中）因式分解
（1）﹣a2+1；
（2）2x3y+4x2y2+2xy3；
（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2；
（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．
【分析】（1）运用平方差公式进行因式分解．
（2）先提公因式，再运用完全平方公式．
（3）先运用平方差公式，再提公因式．
（4）运用十字相乘法进行因式分解，注意分解彻底．
【解答】解：（1）﹣a2+1＝（1+a）（1﹣a）．
（2）2x3y+4x2y2+2xy3
＝2xy（x2+2xy+y2）
＝2xy（x+y）2．
（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2
＝[2（x+2y）+5（x﹣y）][2（x+2y）﹣5（x﹣y）]
＝（2x+4y+5x﹣5y）（2x+4y﹣5x+5y）
＝（7x﹣y）（﹣3x+9y）
＝﹣3（7x﹣y）（x﹣3y）．
（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12
＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）
＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．
【点评】本题主要考查运用平方差公式、提公因式法、十字相乘法进行因式分解，熟练掌握运用平方差公式、提公因式法、十字相乘法是解决本题的关键．
30．（镇海区校级期中）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”．再如22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．
（1）请你直接写出2个四位“和谐数”，并猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由．
（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字是x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字是y，用含x的代数式表示y．
【分析】（1）根据“和谐数”的定义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个“和谐数”，设任意四位“和谐数”形式为：
，根据和谐数的定义得到a＝d，b＝c，则
＝91a+10b为正整数，易证得任意四位“和谐数”都可以被11整除；
（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：
，则
＝9x+y+
为正整数．故y＝2x（1≤x≤4，x为自然数）．
【解答】解：（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一），
任意一个四位“和谐数”都能被11整除，理由如下：
设任意四位“和谐数”形式为：
，则满足：
最高位到个位排列：a，b，c，d．
个位到最高位排列：d，c，b，a．
由题意，可得两组数据相同，则：a＝d，b＝c，
则
＝91a+10b为正整数．
∴四位“和谐数”能被11整数，
（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：
，则满足：
个位到最高位排列：z，y，x．
最高位到个位排列：x，y，z．
由题意，两组数据相同，则：x＝z，
故
，
故
为正整数．
故y＝2x（1≤x≤4，x为自然数）．
【点评】本题考查了因式分解的应用．解题的关键是弄清楚“和谐数”的定义，从而写出符合题意的数．