第4章因式分解（典型30题专练）

一．选择题（共9小题）

1．（北碚区校级四模）下列各项变形式，是因式分解的是（　　）

A．5﹣m²＝（5+m）（5﹣m） B．x+1＝x（1+ ）

C．（a﹣1）（a﹣2）＝a²﹣3a+2 D．a²+4a+4＝（a+2）²

【分析】利用因式分解的定义判断即可．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．

【解答】解：A、5﹣m²＝（ +m）（ ﹣m），故此选项不符合题意；

B、x+1＝x（1+ ），右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意；

C、（a﹣1）（a﹣2）＝a²﹣3a+2，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；

D、a²+4a+4＝（a+2）²，右边是几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意．

故选：D．

【点评】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．

2．（杭州）因式分解：1﹣4y²＝（　　）

A．（1﹣2y）（1+2y） B．（2﹣y）（2+y）

C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．

【解答】解：1﹣4y²

＝1﹣（2y）²

＝（1﹣2y）（1+2y）．

故选：A．

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．

3．（黔江区期末）多项式x²﹣4xy﹣2y+x+4y²分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（　　）

A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1

【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．

【解答】解：x²﹣4xy﹣2y+x+4y²

＝（x²﹣4xy+4y²）+（x﹣2y）

＝（x﹣2y）²+（x﹣2y）

＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．

故选：C．

【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．

4．（中山市期末）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）

A．a²+b² B．2a﹣b² C．﹣a²+b² D．﹣a²﹣b²

【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．

【解答】解：A、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；

B、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；

C、原式＝（b﹣a）（b+a），能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；

D、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，

故选：C．

【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

5．（亭湖区期末）把一个两位数交换十位数字和个位数字后得到一个新的两位数，若将这个新的两位数与原两位数相加，则所得的和一定是（　　）

A．偶数 B．奇数 C．11的倍数 D．9的倍数

【分析】用字母设出原两位数的十位数字和个位数字，表示出原两位数和新两位数的和，进行因式分解，看是哪个常数的倍数即可．

【解答】解：设原两位数十位上的数字是a，个位上的数字是b，则原两位数为10a+b，新两位数为10b+a，

∴这两个数的和为11a+11b＝11（a+b），

∴所得的和一定是11的倍数，

故选：C．

【点评】本题考查了因式分解的应用；注意两位数的表示方法为：10×十位数字+个位数字．

6．（郑州期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）

A．m（a+b）＝ma+mb B．x²+2x+1＝x（x+2）+1

C．x²+x＝x²（1+ ） D．x²﹣9＝（x+3）（x﹣3）

【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．

【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；

B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；

C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；

D、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了因式分解的意义．掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题关键．

7．（博兴县期末）下列各式：①﹣x²﹣y²；②﹣ a²b²+1；③a²+ab+b²；④﹣x²+2xy﹣y²；⑤ ﹣mn+m²n²，可以用公式法分解因式的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可．

【解答】解：①﹣x²﹣y²＝﹣（x²+y²），因此①不能用公式法分解因式；

②﹣ a²b²+1＝1﹣（ ab）2＝（1+ ab）（1﹣ ab），因此②能用公式法分解因式；

③a²+ab+b²不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；

④﹣x²+2xy﹣y²＝﹣（x²﹣2xy+y²）＝﹣（x﹣y）²，因此④能用公式法分解因式；

⑤ ﹣mn+m²n²＝（ ﹣mn）²，因此⑤能用公式法分解因式；

综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，

故选：B．

【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握公式的结果特征是应用的前提．

8．（博兴县期末）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a²b+ab²﹣a﹣b的值为（　　）

A．﹣1 B．0 C．3 D．6

【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．

【解答】解：a²b+ab²﹣a﹣b

＝（a²b﹣a）+（ab²﹣b）

＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）

＝（ab﹣1）（a+b）

将a+b＝3，ab＝1代入，得

原式＝0．

故选：B．

【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．

9．（西湖区校级期中）多项式x²+ax+12分解因式为（x+m）（x+n），其中a，m，n为整数，则a的取值有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【分析】把12分解为两个整数的积的形式，a等于这两个整数的和．

【解答】解：12＝1×12时，a＝1+12＝13；

12＝﹣1×（﹣12）时，﹣1+（﹣12）＝﹣13；

12＝2×6时，a＝2+6＝8；

12＝﹣2×（﹣6）时，﹣2+（﹣6）＝﹣8；

12＝3×4时，a＝3+4＝7；

12＝﹣3×（﹣4）时，﹣3+（﹣4）＝﹣7；

∴a的取值有6个．

故选：D．

【点评】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出m、n之积为12，m、n之和为a是解题的关键．

二．填空题（共12小题）

10．（绍兴）分解因式：x²+2x+1＝　（x+1）²　．

【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方公式进行因式分解．

【解答】解：x²+2x+1＝（x+1）²．

故答案为：（x+1）²．

【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键．

（1）三项式；

（2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式；

（3）另一项为这两个数（整式）的积的2倍（或积的2倍的相反数）．

11．（北仑区期中）若x+y+z＝2，x²﹣（y+z）²＝8时，x﹣y﹣z＝　4　．

【分析】首先把x²﹣（y+z）²＝8的左边分解因式，再把x+y+z＝2代入即可得到答案．

【解答】解：∵x²﹣（y+z）²＝8，

∴（x﹣y﹣z）（x+y+z）＝8，

∵x+y+z＝2，

∴x﹣y﹣z＝8÷2＝4，

故答案为：4．

【点评】此题主要考查了因式分解的应用，关键是熟练掌握平方差公式分解因式．平方差公式：a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）．

12．（宁波）分解因式：2a²﹣18＝　2（a+3）（a﹣3）　．

【分析】首先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式得出答案．

【解答】解：2a²﹣18＝2（a²﹣9）

＝2（a+3）（a﹣3）．

故答案为：2（a+3）（a﹣3）．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．

13．因式分解：x²﹣16＝　（x+4）（x﹣4）　．

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．

【解答】解：x²﹣16＝（x+4）（x﹣4）．

故答案为：（x+4）（x﹣4）．

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．

14．（阿坝州）因式分解：m²﹣3m＝　m（m﹣3）　．

【分析】直接找出公因式m，进而分解因式得出答案．

【解答】解：m²﹣3m＝m（m﹣3）．

故答案为：m（m﹣3）．

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

15．（惠州期末）因式分解：3x²﹣6x+3＝　3（x﹣1）²　．

【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．

【解答】解：3x²﹣6x+3

＝3（x²﹣2x+1）

＝3（x﹣1）²，

故答案为：3（x﹣1）²．

【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．

16．（临沂）分解因式：2a³﹣8a＝　2a（a+2）（a﹣2）　．

【分析】原式提取2a，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式＝2a（a²﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2），

故答案为：2a（a+2）（a﹣2）

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

17．（柳南区校级模拟）分解因式：x³﹣xy²＝　x（x+y）（x﹣y）　．

【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出答案．

【解答】解：x³﹣xy²＝x（x²﹣y²）＝x（x+y）（x﹣y）．

故答案为：x（x+y）（x﹣y）．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．

18．（杭州模拟）若多项式x³+x+m含有因式x²﹣x+2，则m的值是　2　．

【分析】设另一个因式是x+a，根据已知得出（x²﹣x+2）（x+a）＝x³+x+m，再进行化简，即可求出a、m值．

【解答】解：∵多项式x³+x+m含有因式x²﹣x+2，

∴设另一个因式是x+a，

则（x²﹣x+2）（x+a）＝x³+x+m，

∵（x²﹣x+2）（x+a）

＝x³+ax²﹣x²﹣ax+2x+2a

＝x³+（a﹣1）x²+（﹣a+2）x+2a，

∴a﹣1＝0，2a＝m，

解得：a＝1，m＝2，

故答案为：2．

【点评】本题考查了因式分解的定义和多项式乘以多项式法则，能得出关于a、m的方程是解此题的关键．

19．（临沭县二模）分解因式：ma²﹣4mab+4mb²＝　m（a﹣2b）²　．

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：原式＝m（a²﹣2ab+4b²）＝m（a﹣2b）²．

故答案为：m（a﹣2b）²．

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

20．（大庆）分解因式：a³﹣4a＝　a（a+2）（a﹣2）　．

【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式＝a（a²﹣4）

＝a（a+2）（a﹣2）．

故答案为：a（a+2）（a﹣2）

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

21．（下城区模拟）因式分解：1﹣4x²＝　（1+2x）（1﹣2x）　．

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．

【解答】解：1﹣4x²＝（1+2x）（1﹣2x）．

故答案为：（1+2x）（1﹣2x）．

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．

三．解答题（共9小题）

22．（奉贤区期末）因式分解：9﹣x²+2xy﹣y²．

【分析】利用分组分解法进行因式分解即可．

【解答】解：9﹣x²+2xy﹣y²

＝9﹣（x²﹣2xy+y²）

＝9﹣（x﹣y）²

＝（3+x﹣y）（3﹣x+y）．

【点评】本题考查分组分解法、公式法分解因式，掌握分组的原则和分组的技巧是解决问题的关键．

23．（奉化区校级期末）因式分解：

（1）3x²﹣6xy+3y²；

（2）（a﹣b）²﹣a+b．

【分析】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．

（2）直接提取公因式（a﹣b）即可求解．

【解答】解：（1）3x²﹣6xy+3y²

＝3（x²﹣2xy+y²）

＝3（x﹣y）²；

（2）（a﹣b）²﹣a+b＝（a﹣b）（a﹣b﹣1）．

【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．

24．（高明区校级期末）分解因式：

（1）12xyz﹣9x²y²；

（2）x²（y﹣4）+9（4﹣y）．

【分析】（1）原式提取公因式即可；

（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：（1）原式＝3xy（4z﹣3xy）；

（2）原式＝x²（y﹣4）﹣9（y﹣4）

＝（y﹣4）（x²﹣9）

＝（y﹣4）（x+3）（x﹣3）．

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

25．（奉化区校级期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：

（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是　a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）　．

（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？

（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．

【分析】（1）图1的面积为a²﹣b²，图2的面积为 （2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），可得等式；

（2）拼图前的面积为a²+2ab+b²，拼图后的面积为（a+b）²，可得等式；

（3）拼图前的面积为2a²+3ab+b²，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形．

【解答】解：（1）图1的面积为a²﹣b²，图2的面积为 （2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），因此有a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b），

故答案为：a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）；

（2）拼图前的面积为a²+2ab+b²，拼图后的面积为（a+b）²，因此可得a²+2ab+b²＝（a+b）²，即完全平方公式；

（3）拼图前的面积为2a²+3ab+b²，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形，拼图如图所示：

【点评】考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是得出公式的关键．

26．（滑县期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S₁；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S₂．

（1）用含a，b的代数式分别表示S₁、S₂；

（2）若a+b＝10，ab＝20，求S₁+S₂的值；

（3）当S₁+S₂＝30时，求出图3中阴影部分的面积S₃．

【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S₁、S₂；

（2）根据S₁+S₂＝a²﹣b²+2b²﹣ab＝a²+b²﹣ab，将a+b＝10，ab＝20代入进行计算即可；

（3）根据S₃＝ （a²+b²﹣ab），S₁+S₂＝a²+b²﹣ab＝30，即可得到阴影部分的面积S₃．

【解答】解：（1）由图可得，S₁＝a²﹣b²，

S₂＝a²﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b²﹣ab；

（2）S₁+S₂＝a²﹣b²+2b²﹣ab＝a²+b²﹣ab，

∵a+b＝10，ab＝20，

∴S₁+S₂＝a²+b²﹣ab＝（a+b）²﹣3ab＝100﹣3×20＝40；

（3）由图可得，S₃＝a²+b²﹣ b（a+b）﹣ a²＝ （a²+b²﹣ab），

∵S₁+S₂＝a²+b²﹣ab＝30，

∴S₃＝ ×30＝15．

【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，能够运用数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键．

27．（老河口市期末）分解因式：3ax²+6axy+3ay²．

【分析】先提取公因式3a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

【解答】解：3ax²+6axy+3ay²，

＝3a（x²+2xy+y²），

＝3a（x+y）²．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

28．（拱墅区期中）若一个四位数A满足：①千位数字²﹣百位数字²＝后两位数，则称A为“美妙数”．

例如：∵6²﹣1²＝35，∴6135为“美妙数”．

②7×（千位数字﹣百位数字）＝后两位数，则称A是“奇特数”．

例如：7×（8﹣5）＝21，∴8521为“奇特数”．

（1）若一个“美妙数”的千位数字为8，百位数字为7，则这个数是　8715　．

若一个“美妙数”的后两位数字为16，则这个数是　4016或5316　．

（2）一个“美妙数”与一个“奇特数”的千位数字均为m，百位数字均为n，且这个“美妙数”比“奇特数”大14，求满足条件的“美妙数”．

【分析】（1）根据美妙数的定义进行解答便可；

（2）根据新定义表示出美妙数与奇特数，再根据题意列出方程，求得符合每件的解，进而求得结果．

【解答】解：（1）∵8²﹣7²＝15，

∴若一个“美妙数”的千位数字为8，百位数字为7，则这个数是8715，

∵16＝4²﹣0²＝5²﹣3²，

∴若一个“美妙数”的后两位数字为16，则这个数是4016或5316，

故答案为8715；4016或5316；

（2）根据题意得，（1000m+100n+m²﹣n²）﹣[1000m+100n+7（m﹣n）]＝14，

化简得（m﹣n）（m+n﹣7）＝14，

∵m、n均为整数，且1≤m≤9，0≤n≤9，

∴m＝8，n＝6或m＝8，n＝1，

∴满足条件的“美妙数”为，1000m+100n+m²﹣n²＝8628或8163．

【点评】本题主要考查了新定义，整数的计算，关键是根据新定义列出代数式和方程．

29．（德惠市期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．

（1）观察图形，可以发现代数式2a²+5ab+2b²可以因式分解为　（a+2b）（2a+b）　．

（2）若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，求图中空白部分的面积．

【分析】（1）根据两种方法计算纸板面积即可；

（2）根据图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，得到 ，可求ab＝24，进一步可求图中空白部分的面积．

【解答】解：（1）观察图形，可以发现代数式2a²+5ab+2b²可以因式分解为（a+2b）（2a+b）；

故答案为：（a+2b）（2a+b）；

（2）由已知得： ，

化简得

∴（a+b）²﹣2ab＝121，

∴ab＝24，

5ab＝120．

∴空白部分的面积为120平方厘米．

【点评】本题考查了因式分解，能通过两种方法表示纸板面积是解题的关键．

30．（婺城区校级期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．

（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是　（a+b）²＝a²+2ab+b²　；

（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片　2　张，3号卡片　3　张；

（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式a²+3ab+2b²分解因式，其结果是　（a+2b）•（a+b）　；

（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a²+5ab+6b²＝　（a+2b）（a+3b）　画出拼图．

【分析】（1）利用图②的面积可得出这个乘法公式是（a+b）²＝a²+2ab+b²，

（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，即可得出答案，

（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），利用面积得出a²+3ab+2b²＝（a+2b）•（a+b），

（4）先分解因式，再根据边长画图即可．

【解答】解：（1）这个乘法公式是（a+b）²＝a²+2ab+b²，

故答案为：（a+b）²＝a²+2ab+b²．

（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张；

故答案为：2，3．

（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），所以a²+3ab+2b²＝（a+2b）•（a+b），

故答案为：（a+2b）•（a+b）．

（4）a²+5ab+6b²＝（a+2b）（a+3b），

如图，

故答案为：（a+2b）（a+3b）．

【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．