第04讲
图形的平移（核心考点讲与练）
一、生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
二、平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
一．生活中的平移现象（共4小题）
1．（临潼区期末）把“笑脸”进行平移，能得到的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，对应点的连线相等且互相平行即可判断．
【解答】解：观察图形可知图形进行平移，能得到图形D．
故选：D．
【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．
2．（许昌期末）下列运动属于平移的是（ ）
A．小朋友荡秋千
B．自行车在行进中车轮的运动
C．地球绕着太阳转
D．小华乘手扶电梯从一楼到二楼
【分析】在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．根据平移的概念进而得出答案．
【解答】解：A、小朋友荡秋千，属于旋转变换，此选项错误；
B、行驶的自行车的车轮，属于旋转变换，此选项错误；
C、地球绕着太阳转，属于旋转变换，此选项错误；
D、小华乘手扶电梯从一楼到二楼，属于平移变换，此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了生活中的平移，正确掌握平移的概念是解题关键．
3．（宁波模拟）如图，所有角均为直角，所有线段均不相等，若要知道该图形周长，至少需要知道几条线段的长（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
【分析】根据题意，结合图形，通过平移构成矩形，据此判断即可．
【解答】解：如图：
若要知道该图形周长，至少需要知道4条线段的长：BC、AB，IJ，EF，
∵BC＝AL+KJ+IH+GF+DE，AB＝LK+KK′＝LK+CC′，IJ＝HG+GG′＝HG+C′D′，EF＝DD′，
∴只要知道BC、AB，IJ，EF4条线段的长，就能知道该图形周长．
故选：B．
【点评】此题考查了生活中的平移现象，此题的本质可理解为将线段平移构成矩形．
4．（越城区模拟）小红同学在某数学兴趣小组活动期间，用铁丝设计并制作了如图所示的三种不同的图形，请您观察甲、乙、丙三个图形，判断制作它们所用铁丝的长度关系是（ ）
A．制作甲种图形所用铁丝最长
B．制作乙种图形所用铁丝最长
C．制作丙种图形所用铁丝最长
D．三种图形的制作所用铁丝一样长
【分析】分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．
【解答】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种三种图形的制作所用铁丝一样长．
故选：D．
【点评】此题主要考查了生活中的平移现象，得出各图形中铁丝的长是解题关键．
二．平移的性质（共10小题）
5．（温江区校级期末）如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到，已知A，D之间的距离为2，则BE是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据平移的性质，结合图形可直接求解．
【解答】解：∵△DEF是由△ABC经过平移后得到，
∴BE＝AD＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
6．（鄞州区期末）如图，△ABC沿直线m向右平移2cm，得到△DEF，下列说法错误的是（ ）
A．AC∥DF B．AB＝DE C．CF＝2cm D．DE＝2cm
【分析】直接利用平移的性质解决判断．
【解答】解：∵△ABC沿直线m向右平移2cm得到△DEF，
∴AC∥DF，AB＝DE，CF＝AD＝BE＝2cm．
故选：D．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
7．（镇海区期末）将大小不一的正方形纸片①、②、③、④放置在如图所示的长方形ABCD内（相同纸片之间不重叠），其中AB＝a．小明发现：通过边长的平移和转化，阴影部分⑤的周长与正方形①的边长有关，那么阴影部分⑥与阴影部分⑤的周长之差与正方形（ ）（填编号）的边长有关．
A．① B．② C．③ D．④
【分析】设②的边长是m．用m，a表示出⑤的周长即可解决问题．
【解答】解：设②的边长是m．
∴阴影部分⑤的周长是2（a﹣m），
∴阴影部分⑥﹣阴影部分⑤＝2a﹣2（a﹣m）＝2m．
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，矩形的性质和平移的性质等知识，解题的关键是学会用m，a表示出⑤的周长解决问题．
8．（拱墅区期末）如图，沿BC方向平移△ABC，使点B移动到线段BC的中点E，点A的对应点是点D，点C的对应点是点F，连接AD．若△ABC的周长为a，BE的长为b，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．a+b B．a+2b C．2a+b D．2a+2b
【分析】先根据平移的性质得到AD＝BE＝CF，AC＝DF，再利用三角形和四边形的周长解答即可．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
∴AD＝BE＝CF，AC＝DF，
∵△ABC的周长为a，BE＝b，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+BE+BE＝a+2b，
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
9．（长兴县月考）如图，将三角形ABC沿直线AC平移得到三角形DEF，其中，点A和点D是对应点，点B和点E是对应点，点C和点F是对应点．如果AC＝6，DC＝2，那么线段BE的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】由平移的性质可知，AD＝BE，求出AD即可解决问题．
【解答】解：由平移的性质可知，AD＝BE，
∵AC＝6，CD＝2，
∴AD＝AC﹣CD＝6﹣2＝4，
∴BE＝4，
故选：B．
【点评】本题考查平移的性质，线段的和差定义等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
10．（西湖区期末）已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CD∥OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）；
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．
【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；
（2）如图②，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系；
（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO＝180°，结合角平分线的定义可推出∠OCD＝2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，根据（2）∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣∠AOB，进而推出∠AOB＝∠BO′E′．
【解答】解：（1）∵CD∥OE，
∴∠AOE＝∠OCD＝120°，
∴∠BOE＝360°﹣∠AOE﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣120°＝150°；
（2）∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α．
证明：如图②，过O点作OF∥CD，
∵CD∥O′E′，
∴OF∥O′E′，
∴∠AOF＝180°﹣∠OCD，∠BOF＝∠E′O′O＝180°﹣∠BO′E′，
∴∠AOB＝∠AOF+∠BOF＝180°﹣∠OCD+180°﹣∠BO′E′＝360°﹣（∠OCD+∠BO′E′）＝α，
∴∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α；
（3）∠AOB＝∠BO′E′．
证明：∵∠CPO′＝90°，
∴PO′⊥CP，
∵PO′⊥OB，
∴CP∥OB，
∴∠PCO+∠AOB＝180°，
∴2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCD＝2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，
∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α＝360°﹣∠AOB，
∴360°﹣2∠AOB+∠BO′E′＝360°﹣∠AOB，
∴∠AOB＝∠BO′E′．
【点评】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键．
11．（青县期末）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E．
（1）试说明AE∥BC．
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，如图2，连接DQ．若∠E＝75°，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E＝180°，等量代换得到∠BAE+∠B＝180°，于是得到结论；
（2）如图2，过D作DF∥AE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DE∥AB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∵∠B＝∠E，
∴∠BAE+∠B＝180°，
∴AE∥BC；
（2）如图2，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∵∠E＝75°，
∴∠EDF＝105°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ＝90°，
∴∠FDQ＝360°﹣105°﹣90°＝165°，
∴∠DPQ+∠QDP＝165°，
∴∠Q＝180°﹣165°＝15°．
【点评】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
12．（咸安区期末）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由．
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数．
（3）将图2中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，若∠FAD＝m°，∠ABC＝n°，其他条件不变，得到图3，请你求出∠BED的度数（用含m，n的式子表示）．
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）先过点E作EH∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论；
（3）过E作EG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE．
（2）如图2，过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，∠FAD＝50°，
∴∠FAD＝∠ADC＝50°，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝50°，
∴∠EDC＝
∠ADC＝25°，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠ABE＝
∠ABC＝20°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝25°，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝45°．
（3）∠BED的度数改变．
过点E作EG∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝∠FAD＝m°
∴∠ABE＝
∠ABC＝
n°，∠CDE＝
∠ADC＝
m°
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠BEG＝180°﹣∠ABE＝180°﹣
n°，∠CDE＝∠DEG＝
m°，
∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝180°﹣
n°+
m°．
【点评】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是正确的作出辅助线．
13．（奉化区校级期末）将大小不一的正方形纸片①、②、③、④放置在如图所示的长方形ABCD内（相同纸片之间不重叠），其中AB＝a．小明发现：通过边长的平移和转化，阴影部分⑤的周长与正方形①的边长有关．
（1）根据小明的发现，用代数式表示阴影部分⑥的周长．
（2）阴影部分⑥与阴影部分⑤的周长之差与正方形 ② （填编号）的边长有关，请计算说明．
【分析】（1）利用矩形正方形的性质即可解决问题．
（2）设②的边长是m．用m，a表示出⑤的周长即可解决问题．
【解答】解：（1）阴影部分⑥的周长＝2AB＝2a．
（2）设②的边长是m．
∴阴影部分⑤的周长是2（a﹣m），
∴阴影部分⑥﹣阴影部分⑤＝2a﹣2（a﹣m）＝2m．
故答案为②．
【点评】本题考查正方形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
14．（余杭区期末）如图，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN＝120°．
（1）若∠ADQ＝110°，求∠BED的度数；
（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ＝n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．
【分析】（1）如图1中，延长DE交MN于H．利用∠BED＝∠EHB+∠EBH，即可解决问题；
（2）分3种情形讨论即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，延长DE交MN于H．
∵∠ADQ＝110°，ED平分∠ADP，
∴∠PDH＝
∠PDA＝35°，
∵PQ∥MN，
∴∠EHB＝∠PDH＝35°，
∵∠CBN＝120°，EB平分∠ABC，
∴∠EBH＝
∠ABC＝30°，
∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝65°．
（2）有3种情形，如图2中，当点E在直线MN与直线PQ之间时．延长DE交MN于H．
∵PQ∥MN，
∴∠QDH＝∠DHA＝
n，
∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝180°﹣（
n）°+30°＝210°﹣（
n）°，
当点E在直线MN的下方时，如图3中，设DE交MN于H．
∵∠HBA＝∠ABP＝30°，∠ADH＝∠CDH＝（
n）°，
又∵∠DHB＝∠HBE+∠HEB，
∴∠BED＝（
n）°﹣30°，
当点E在PQ上方时，∵∠DAB＜120°，
∴∠ADQ＝∠DAM＞60°，
∴∠EDP＞30°，
∵∠DHB＝∠MBH＝30°＞∠EDH，这个结论显然不成立，故此种情形不成立．
综上所述，∠BED＝210°﹣（
n）°或（
n）°﹣30°．
【点评】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
题组A 基础过关练
一．选择题（共7小题）
1．（鄄城县期末）同桌读了：“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，请问：由图中所示的图案通过平移后得到的图案是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据图形平移的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；
B、由图中所示的图案通过翻折而成，故本选项错误
C、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；
D、由图中所示的图案通过平移而成，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是生活中的平移现象，熟知图形平移变换的性质是解答此题的关键．
2．（临西县期末）下列各组图形可以通过平移互相得到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C．
【解答】解：观察图形可知图案C通过平移后可以得到．
故选：C．
【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选A、B、D．
3．（临邑县期末）如图所示，△ABC沿BC平移后得到△A′B′C′，则△ABC移动的距离是（ ）
A．线段BC的长 B．线段BC′的长
C．线段BB′的长 D．线段CB′的长
【分析】根据平移的性质得出对应点的平移距离就是图象平移的距离，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC沿BC平移后得到△A′B′C′，
∴△ABC移动的距离是BB′．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键．
4．（大东区期末）如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到的，则平移的距离是（ ）
A．线段BC的长度 B．线段BE的长度
C．线段EC的长度 D．线段EF的长度
【分析】根据平移的性质，结合图形可直接求解．
【解答】解：观察图形可知：△DEF是由△ABC沿BC向右移动BE的长度后得到的，
∴平移距离就是线段BE的长度．
故选：B．
【点评】本题利用了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
5．（清苑区模拟）木匠有32公尺的木材可以做花圃周围的边界，以下造型中，花圃周围用32公尺木材做边界不能完成的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据平移的性质以及矩形的周长公式分别求出各图形的周长即可得解．
【解答】解：A、周长＝2（10+6）＝32m；
B、∵垂线段最短，
∴平行四边形的另一边一定大于6m，
∵2（10+6）＝32m，
∴周长一定大于32m；
C、周长＝2（10+6）＝32m；
D、周长＝2（10+6）＝32m；
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的周长，平行四边形的周长公式，平移的性质，根据平移的性质第一个图形，第三个图形的周长相当于矩形的周长是解题的关键．
6．（江干区期末）如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．16cm B．22cm C．20cm D．24cm
【分析】根据平移的性质可得DF＝AC，然后求出四边形ABFD的周长等于△ABC的周长与AD、CF的和，再代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴DF＝AC，AD＝CF＝3cm，
∴四边形ABFD的周长＝△ABC的周长+AD+CF＝16+3+3＝22cm．
故选：B．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
7．（婺城区校级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝5，则图中四个小长方形的周长和为（ ）
A．13 B．23 C．24 D．26
【分析】将每个小长方形的长平移到线段AB长，将每个小长方形的宽平移到线段BC上，发现四个小长方形的周长和＝2×（AB+BC）．
【解答】解：由平移的性质可知：四个小长方形的周长和＝2×（AB+BC）＝2×13＝26．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是平移的性质，利用平移的性质将四个小长方形的周长和转为大长方形长与宽的和的2倍是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
8．（北仑区期中）如图是一块长方形ABCD的场地，长AB＝a米，宽AD＝b米，从A、B两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为 （ab﹣a﹣2b+2） 米2．
【分析】根据已知将道路平移，再利用矩形的性质求出长和宽，再进行解答．
【解答】解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：（a﹣2）米，宽为（b﹣1）米．
所以草坪的面积应该是长×宽＝（a﹣2）（b﹣1）＝ab﹣a﹣2b+2（米2）．
故答案为（ab﹣a﹣2b+2）．
【点评】此题考查了生活中的平移，根据图形得出草坪正好可以拼成一个长方形是解题关键．
9．（奉化区期末）某农庄修建一个周长为120米的长方形休闲场所，长方形ABCD内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路，正方形活动区的边长为6米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．则铺设鹅卵石区域的面积为 132 平方米．
【分析】设AB为x米，用含x的代数式表示BC，利用正方形的面积公式及矩形的面积公式，可求出铺设鹅卵石区域的面积．
【解答】解：设AB为x米，则BC＝
（120﹣2x）＝60﹣x；
则铺设鹅卵石区域的面积为：6×6+2（x﹣6）+2（60﹣x﹣6）＝132（平方米）．
故答案为：132．
【点评】本题考查了矩形的周长、矩形的面积以及生活中的平移现象，解题的关键是：（1）利用矩形的周长公式，用含x的代数式表示出BC的长；（2）利用矩形的面积公式，求出铺设鹅卵石区域的面积．
10．（奉化区期中）计划在一块长为10米，宽为7米的长方形草坪上，修建一条宽为2米的人行道，则剩余草坪的面积为 56 平方米．
【分析】依据平移变换，长草部分可以组成一个长为8米，宽为7米的长方形，即可得到其面积．
【解答】解：长草部分的面积为7×（10﹣2）＝7×8＝56（平方米），
即长草部分的面积为56平方米．
故答案为：56．
【点评】本题主要考查了平移变换的运用，在平面内把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动叫做平移变换，简称平移．
11．（嵊州市期末）如图，长方形ABCD的长AD为6，宽AB为4，将这个长方形向上平移2个单位，再向右平移2个单位，得到长方形EFGH，则阴影部分的面积为 16 ．
【分析】根据平移的性质得出AM＝2，FN＝2，进而利用阴影面积等于四边形ABCD的面积﹣四边形MFQD的面积解答即可．
【解答】解：过点F作FN⊥BC于N，
由平移可得：AM＝2，FN＝2，
∴MD＝AD﹣AM＝6﹣2＝4，MF＝AB﹣FN＝4﹣2＝2，
∴阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S矩形MFQD＝4×6﹣2×4＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
12．（慈溪市期末）如图，在三角形ABC中，BC＝6，把三角形ABC沿射线AB方向平移3个单位至三角形EFG处，EG与BC交于点M．若CM＝2，则图中阴影部分的面积为 15 ．
【分析】利用平移的性质得到FG＝BC＝6，BF＝3，△ABC≌△EFG，则S△ABC＝S△EFG，所以S四边形AEMC＝S梯形BFGM，然后根据梯形的面积公式计算．
【解答】解：∵三角形ABC沿射线AB方向平移3个单位至三角形EFG，
∴FG＝BC＝6，BF＝3，△ABC≌△EFG，
∴S△ABC＝S△EFG，
即S四边形AEMC+S△EBM＝S△EBM+S梯形BFGM，
∴S四边形AEMC＝S梯形BFGM＝
×（6﹣2+6）×3＝15．
故答案为15．
【点评】本题考查了平移的性质：把求图中阴影部分的面积转化求为梯形BFGM的面积是解决问题的关键．
13．（萧山区期末）如图，将长为acm（a＞2），宽为bcm（b＞1）的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A′B′C′D′，则阴影部分的面积为 （4b+2a﹣4） cm2．（用含a、b的代数式表示，结果要求化成最简）
【分析】利用平移的性质求出空白部分矩形的长，宽即可解决问题．
【解答】解：由题意，空白部分是矩形，长为（a﹣2）cm，宽为（b﹣1）cm，
∴阴影部分的面积＝ab×2﹣2（a﹣2）（b﹣1）＝（4b+2a﹣4）cm2，
故答案为：（4b+2a﹣4）．
【点评】本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共2小题）
14．（奉化区校级期末）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝70°．
（1）请说明AE∥BC的理由．
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，则∠Q＝ 
或140° ．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E＝180°，等量代换得到∠BAE+∠B＝180°，于是得到结论；
（2）①如图2，过D作DF∥AE交AB于F，②如图3，过D作DF∥AE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DE∥AB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∵∠B＝∠E，
∴∠BAE+∠B＝180°，
∴AB∥DE；
（2）①如图2，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ＝90°，
∴∠FDQ＝360°﹣110°﹣90°＝160°，
∴∠DPQ+∠QDP＝160°，
∴∠Q＝180°﹣160°＝20°；
②如图3，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ＝
∠Q，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∴180°﹣∠Q﹣
Q＝110°，
∴∠Q＝
．
如图4，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ＝
∠Q，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∴180°﹣∠Q+
Q＝110°，
∴∠Q＝140°，
综上所述，∠Q＝
或140°，
故答案为：
或140°．
【点评】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（瑞安市期末）某校为了改善校园环境，准备在长宽如图所示的长方形空地上，修建两横纵宽度均为a米的三条小路，其余部分修建花圃．
（1）用含a，b的代数式表示花圃的面积并化简．
（2）记长方形空地的面积为S1，花圃的面积为S2，若2S2﹣S1＝7b2，求
的值．
【分析】（1）把三条小路使花圃的面积变为一个矩形的面积，所以花圃的面积＝（4a+2b﹣2a）（2a+4b﹣a），然后利用展开公式展开合并即可；
（2）利用2S2﹣S1＝7b2得到b＝2a，则用a表示S1、S2，然后计算它们的比值．
【解答】解：（1）平移后图形为：（空白处为花圃的面积）
所以花圃的面积＝（4a+2b﹣2a）（2a+4b﹣a）
＝（2a+2b）（a+4b）
＝2a2+8ab+2ab+8b2
＝2a2+10ab+8b2；
（2）S1＝（4a+2b）（2a+4b）＝8a2+20ab+8b2，
S2＝2a2+10ab+8b2；
∵2S2﹣S1＝7b2，
∴2（2a2+10ab+8b2）﹣（8a2+20ab+8b2）＝7b2，
∴b2＝4a2，
∴b＝2a，
∴S1＝8a2+40a2+32a2＝80a2，S2＝2a2+20a2+32a2＝54a2，
∴
＝
＝
．
【点评】本题考查了生活中的平移现象：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．通过平移把不规则的图形变为规则图形．也考查了代数式．
题组B 能力提升练
一．选择题（共4小题）
1．（奉化区校级期末）如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，把三角形ABC沿着直线BC向右平移2.5cm后得到三角形DEF，连接AE，AD，有以下结论：①AC∥DF；②AD∥CF；③CF＝2.5cm；④DE⊥AC．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，根据平移的性质，结合图形，对每个结论进行一一分析，选出正确答案．
【解答】解：∵△ABC沿着直线BC的方向平移2.5cm后得到△DEF，
∴AC∥DF，故①正确；
AD∥CF，故②正确；
CF＝AD＝2.5cm，故③正确；
AB∥DE，
又∵∠BAC＝90°，
∴BA⊥AC，
∴DE⊥AC，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了平移的性质：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
2．（朝阳区校级月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DH＝4，BC＝15，平移距离为6，则阴影部分的面积（ ）
A．40 B．42 C．45 D．48
【分析】先判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得DE＝AB，然后求出HE，根据平移的距离求出BE＝6，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵两个三角形大小一样，
∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，
由平移的性质得，DE＝AB，BE＝6，
∵AB＝10，DH＝4，
∴HE＝DE﹣DH＝10﹣4＝6，
∴阴影部分的面积＝
×（6+10）×6＝48，
故选：D．
【点评】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积是解题的关键．
3．（鄞州区校级期末）如图，将直角△ABC沿斜边AC的方向平移到△DEF的位置，DE交BC于点G，BG＝4，EF＝10，△BEG的面积为4，下列结论：①∠A＝∠BED；②△ABC平移的距离是4；③BE＝CF；④四边形GCFE的面积为16，正确的有（ ）
A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【分析】由平移的性质得到BE∥AC，AB∥DE，BC＝EF，BE＝CF，故③正确；根据图形的平移得到∠EDC＝∠A，∠EDC＝∠BED，故∠A＝∠BED，故①正确；根据直角三角形斜边大于直角边得到△ABC平移的距离＞4，故②错误；根据三角形的面积公式得到GE＝2，根据梯形的面积公式得到四边形GCFE的面积＝
（6+10）×2＝16，故④正确．
【解答】解：∵△DEF的是直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移后得到的，且A、D、C、F四点在同一条直线上，
∴BE∥AC，AB∥DE，BC＝EF，BE＝CF，故③正确；
由图形的平移知，ED∥AB，AC∥BE，
∴∠EDC＝∠A，∠EDC＝∠BED，
∴∠A＝∠BED，故①正确；
∵BG＝4，
∴AD＝BE＞BG，
∴△ABC平移的距离＞4，故②错误；
∵EF＝10，
∴CG＝BC﹣BG＝EF﹣BG＝10﹣4＝6，
∵△BEG的面积等于4，
∴
BG•GE＝4，
∴GE＝2，
∴四边形GCFE的面积＝
（6+10）×2＝16，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了平移的性质，面积的计算等，正确的识别图形是解题的关键．
4．（萧山区期末）如图，△ABC沿BC所在的直线平移到△DEF的位置，且C点是线段BE的中点，若AB＝5，BC＝2，AC＝4，则AD的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】利用平移的性质解决问题即可．
【解答】解：由平移的性质可知，AD＝BE，
∵BC＝CE，BC＝2，
∴BE＝4，
∴AD＝4，
故选：B．
【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二．填空题（共5小题）
5．（沈河区期末）如图，在△ABC中，BC＝8cm，D是BC的中点，将△ABC沿BC向右平移得△A'DC'，则点A平移的距离AA'＝ 4 cm．
【分析】利用平移的性质解决问题即可．
【解答】解：∵D是BC的中点，
∴BD＝
BC＝4（cm），
由平移的性质可知，AA′∥BD，AA′＝BD，
∴AA′＝4（cm），
故答案为：4．
【点评】本题考查平移的性质，线段的中点的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（奉化区校级期末）如图，∠C＝90°，将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移6cm，得三角形A′B′C′，已知BC＝3cm，AC＝4cm，则阴影部分的面积为 18 cm2．
【分析】根据S阴＝S平行四边形ABB′A′﹣S△ABC求解即可．
【解答】解：由题意平行四边形ABB′A′的面积＝6×4＝24（cm2），S△ABC＝
×3×4＝6（cm2），
∴S阴＝S平行四边形ABB′A′﹣S△ABC＝24﹣6＝18（cm2），
故答案为18．
【点评】本题考查平移的性质，平行四边形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（奉化区校级期末）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6．将三角形ABC沿射线BC方向平移至三角形DEF处．若AG＝2，BE＝
，则EC＝ 
．
【分析】由平移的性质可知，AC＝DF＝6，AC∥DF，BE＝CF＝
，设EC＝x，利用面积法求解即可．
【解答】解：由平移的性质可知，AC＝DF＝6，AC∥DF，BE＝CF＝
，设EC＝x，
∵AC＝6，AG＝2，
∴CG＝4，
∵S△ECG＝S△EFD﹣S梯形DFCG，
∴
×x×4＝
（x+
×6﹣
（4+6）×
解得x＝
，
∴EC＝
故答案为
．
【点评】本题考查平移的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法构建方程解决问题．
8．（新蔡县期末）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝6，DH＝2，平移距离为3，则阴影部分的面积为 15 ．
【分析】先判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得DE＝AB，然后求出HE，根据平移的距离求出BE＝3，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置
∴△ABC≌△DEF，
∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，
由平移的性质得，DE＝AB，BE＝3，
∵AB＝6，DH＝2，
∴HE＝DE﹣DH＝6﹣2＝4，
∴阴影部分的面积＝
×（6+4）×3＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积是解题的关键．
9．（柳南区校级模拟）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条”之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为 540 m2．
【分析】把两条”之”字路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFCG是矩形，根据矩形的面积公式即可求出结果．
【解答】解：如图，把两条”之”字路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFGH是矩形．
∵CF＝32﹣2＝30（米），CG＝20﹣2＝18（米），
∴矩形EFCG的面积＝30×18＝540（平方米）．
答：绿化的面积为540m2．
故答案为：540．
【点评】将长方形地块内部修筑的两条”之”字路平移到长方形ABCD的最上边和最左边，使余下部分EFGH是一个矩形，是解决本题的关键．
三．解答题（共3小题）
10．（仙居县期末）如图，三角形ABC和三角形A'B'C′．
（1）若三角形A'B'C′是由三角形ABC平移得到的，则
①线段AA′与线段BB'的数量关系和位置关系是 AA′＝BB′，AA′∥BB′ ；
②求证：∠AA'B′＝∠ABB'．
（2）若BC∥B'C′，∠C＝∠C′，求证：AC∥A'C′．
【分析】（1）①根据平移的性质解决问题即可．
②利用平行四边形的性质解决问题即可．
（2）延长AC交B′C′于H．证明∠AHB′＝∠C′即可．
【解答】（1）解：①∵三角形A'B'C′是由三角形ABC平移得到，
∴AA′＝BB′，AA′∥BB′，
故答案为AA′＝BB′，AA′∥BB′．
②∵AA′＝BB′，AA′∥BB′，
∴四边形ABB′A′是平行四边形，
∴∠AA′B′＝∠ABB′．
（2）证明：如图，延长AC交B′C′于H．
∵BC∥B′C′，
∴∠ACB＝∠AHB′，
∵∠ACB＝∠C′，
∴∠AHB′＝∠C′，
∴AC∥A′C′．
【点评】本题考查平移的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．（瑞安市期中）如图，已知C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F，∠FDC+∠ABC＝180°．
（1）求证：AD∥BC．
（2）连接CF，当FC∥AB，且∠CFB＝
∠DCF时，求∠BCD的度数．
（3）若∠DCF＝∠CFB时，将线段BC沿射线AB方向平移，记平移后的线段为PQ（B，C分别对应P，Q，当∠PQD﹣∠QDC＝20°时，请直接写出∠DQP的度数 70° ．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠EDF＝∠DAB，根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠ADC，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）设∠DCF＝α，则∠CFB＝1.5α，根据平行线的性质得到∠ABF＝∠CFB＝1.5α，根据角平分线的定义得到∠ABC＝2∠ABF＝3α，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）根据已知条件得到四边形BCDF是平行四边形，得到∠CDF＝∠CBF，根据角平分线的定义得到∠ABC＝2∠CBF，∠CDE＝2∠CDF，求得∠DCB＝120°，根据平行的性质得到BC∥PQ，根据四边形的内角和列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠EDF＝∠DAB，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDF＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠DAB，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵∠CFB＝
∠DCF，
∴设∠DCF＝α，则∠CFB＝1.5α，
∵CF∥AB，
∴∠ABF＝∠CFB＝1.5α，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABF＝3α，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠BCD＝∠ABC＝3α，
∴∠BCF＝2α，
∵CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∴3α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠BCD＝3×36°＝108°；
（3）如图，∵∠DCF＝∠CFB，
∴BF∥CD，
∴∠CDF＝∠AFB，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∴∠CDF＝∠CBF，
∵AD，BE分别平分∠ABC，∠CDE，
∴∠ABC＝2∠CBF，∠CDE＝2∠CDF，
∴∠ABC＝2∠CDF，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝120°，∠CDF＝60°，
∴∠DCB＝120°，
∴∠ABC＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∵线段BC沿直线AB方向平移得到线段PQ，
∴BC∥PQ，
∴∠APQ＝120°，
∵∠PQD﹣∠QDC＝20°，
∴∠QDC＝∠PQD﹣20°，
∴∠FDC+∠CDQ+∠PQD+∠APQ+∠DAB＝60°+∠PQD﹣20°+∠PQD+120°+60°＝360°，
∴∠PQD＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
12．（龙游县期末）两块完全相同的三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△EFD）重叠在一起，其中∠ACB＝∠EDF＝90°，∠B＝∠DFE
＝30°，AC＝10cm．固定三角板Ⅰ不动，将三角板Ⅱ进行如下操作：
（1）如图①，将三角板Ⅱ沿斜边BA向右平移（即顶点F在斜边BA内移动），连接CD、CF、DA，四边形CFAD的形状在不断的变化，它的面积是否变化？如果不变请求出其面积；如果变化，说明理由．
（2）如图②，当顶点F移到AB边的中点时，请判断四边形CFAD的形状，并说明理由．
【分析】（1）首先利用平移的性质得出CD＝BF，CF∥AD，即可得出S梯形CFDA＝S△ABC求出即可；
（2）首先利用CD∥BF得出四边形CFAD是平行四边形，再利用CF＝AF四边形CFAD是菱形；
【解答】解：（1）它的面积不变，
理由：过C点作CH⊥AB于H，
∵△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），
∴CD＝BF，CD∥BF，
∴S△BCF＝S△DCF，S△AFC＝S△ADF，
∴S梯形CFDA＝S△ABC，
∵AC＝10cm，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°
∴AB＝2AC＝20cm，
在Rt△AHC中，
∵sin60°＝
，
∴CH＝5
，
∴S梯形CDBF＝S△ABC＝
×20×5
＝50
cm2；
（2）四边形CFAD的形状为：菱形，
理由：∵CD∥BF，CD＝BF＝AF，
∴四边形CFAD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，BF＝FA，
∴CF＝AF，
∴四边形CFAD是菱形．
【点评】考查了平移的性质，解题的关键是利用平移的性质得到平移不变量，难度不大．