第3章整式的乘除（压轴30题专练）

一．选择题（共11小题）

1．（饶平县校级模拟）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm²，那么矩形ABCD的面积是（　　）

A．3cm² B．4cm² C．5cm² D．6cm²

【分析】设AB＝x，AD＝y，根据题意列出方程x²+y²＝17，2（x+y）＝10，利用完全平方公式即可求出xy的值．

【解答】解：设AB＝x，AD＝y，

∵正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm²

∴x²+y²＝17，

∵矩形ABCD的周长是10cm

∴2（x+y）＝10，

∵（x+y）²＝x²+2xy+y²，

∴25＝17+2xy，

∴xy＝4，

∴矩形ABCD的面积为：xy＝4cm²，

故选：B．

【点评】本题考查正方形与矩形的性质，解题的关键是设AB＝x，AD＝y，利用完全平方公式求出xy的值．

2．（奉化区校级期末）如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK）．3个阴影部分的面积满足2S₃+S₁﹣S₂＝2，则长方形ABCD的面积为（　　）

A．100 B．96 C．90 D．86

【分析】设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得S₁，S₂，S₃的长、宽及面积如何表示，根据2S₃+S₁﹣S₂＝2，可整体求得ab的值，即长方形ABCD的面积．

【解答】解：设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得：

S₁的长为：8﹣6＝2，宽为：b﹣8，故S₁＝2（b﹣8），

S₂的长为：，8+6﹣a＝14﹣a，宽为：6+6﹣b＝12﹣b，故S₂＝（14﹣a）（12﹣b），

S₃的长为：a﹣8，宽为：b﹣6，故S₃＝（a﹣8）（b﹣6），

∵2S₃+S₁﹣S₂＝2，

∴2（a﹣8）（b﹣6）+2（b﹣8）﹣（14﹣a）（12﹣b）＝2，

∴2（ab﹣6a﹣8b+48）+2b﹣16﹣（168﹣14b﹣12a+ab）＝2，

∴ab﹣88＝2，

∴ab＝90．

故选：C．

【点评】本题考查借助几何图形，考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键．

3．（永嘉县校级期末）矩形ABCD内放入两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为S₁；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为S₂；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为S₃，已知S₁﹣S₃＝3，S₂﹣S₃＝12，设AD﹣AB＝m，则下列值是常数的是（　　）

A．ma B．mb C．m D．a+b

【分析】利用面积的和差表示出S₂﹣S₁，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，进而得到b（AD﹣AB）＝12，从而求解．

【解答】解：由 ，

可得：S₂﹣S₁＝9，

由图①得：S_矩形ABCD＝S₁+a²+b（AD﹣a），

由图②得：S_矩形ABCD＝S₂+a²+b（AB﹣a），

∴S₁+a²+b（AD﹣a）＝S₂+a²+b（AB﹣a），

∴S₂﹣S₁＝b（AD﹣AB），

∵AD﹣AB＝m，

∴mb＝9．

故选：B．

【点评】本题考查了整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．

4．（奉化区校级期末）下列有四个结论，其中正确的是（　　）

①若（x﹣1）^x+1＝1，则x只能是2；

②若（x﹣1）（x²+ax+1）的运算结果中不含x²项，则a＝1

③若a+b＝10，ab＝2，则a﹣b＝2

④若4^x＝a，8^y＝b，则2^2x﹣3y可表示为

A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④

【分析】①根据不等于1的数的零次幂也为1，可判断是否正确；再用排除法判断A和C错误，然后只需判断③是否正确即可．

【解答】解：①若（x﹣1）^x+1＝1，则x可以为﹣1，此时（﹣2）⁰＝1，故①错误，从而排除选项A和C；

由于选项B和D均含有②④，故只需考查③

∵（a﹣b）²＝（a+b）²﹣4ab＝10²﹣4×2＝92

∴a﹣b＝± ，故③错误．

故选：D．

【点评】本题综合考查了零次幂、多项式乘法、完全平方公式等基本内容，选择题恰当选用排除法，可使得问题简化．

5．（江北区期末）使（x²+p）（x²﹣qx+4）乘积中不含x²与x³项，则p+q的值为（　　）

A．﹣4 B．﹣8 C．﹣2 D．8

【分析】根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，根据不含x²与x³项，令这两项的系数等于0即可．

【解答】解：（x²+p）（x²﹣qx+4）

＝x⁴﹣qx³+4x²+px²﹣pqx+4p

＝x⁴﹣qx³+（4+p）x²﹣pqx+4p，

∵不含x²与x³项，

∴﹣q＝0，4+p＝0，

∴p＝﹣4，q＝0，

∴p+q＝﹣4，

故选：A．

【点评】本题考查了多项式乘多项式，根据不含x²与x³项，令这两项的系数等于0是解题的关键．

6．（越城区期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a²b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（　　）

A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b

【分析】根据长方体纸盒的容积等于底面积乘以高，底面积等于底面长方形的长与宽的乘积可以先求出宽，再计算纸盒底部长方形的周长即可．

【解答】解：根据题意，得

纸盒底部长方形的宽为 ＝4a，

∴纸盒底部长方形的周长为：2（4a+b）＝8a+2b．

故选：D．

【点评】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是先求出纸盒底部长方形的宽．

7．（天台县期末）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图1中阴影部分为S₁，图2中阴影部分的面积和为S₂．则关于S₁，S₂的大小关系表述正确的是（　　）

A．S₁＞S₂ B．S₁＜S₂ C．S₁＝S₂ D．无法确定

【分析】利用面积的和差分别表示出S₁和S₂，然后利用整式的混合运算计算它们的差．

【解答】解：S₁＝（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）＝（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD﹣a），

S₂＝（AB﹣a）（AD﹣b）+（AD﹣a）（AB﹣b），

∴S₂﹣S₁＝（AB﹣a）（AD﹣b）﹣（AB﹣a）a，

即S₁＞S₂，

故选：A．

【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．

8．（青羊区校级自主招生）五张如图所示的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在矩形ABCD中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的关系式为（　　）

A．a＝2b B．a＝3b C．3a＝2b D．2a＝3b+1

【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式

【解答】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝2b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，

∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝3b+PC，

∴AE+a＝3b+PC，即AE﹣PC＝3b﹣a，

∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•CG＝2b×AE﹣a×PC＝2b（PC+3b﹣a）﹣aPC＝（2b﹣a）PC+6b²﹣2ab，

则2b﹣a＝0，即a＝2b，

故选：A．

【点评】此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．

9．（椒江区校级月考）方程（x²+x﹣1）^x+2020＝1的整数解的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则分别讨论得出答案．

【解答】解：由题意可得，当x+2020＝0且x²+x﹣1≠0，

解得：x＝﹣2020，

当x²+x﹣1＝1，

解得：x＝1或﹣2，

当x²+x﹣1＝﹣1且x+2020是偶数，

解得：x＝0，

综上所述：x的值有4个．

故选：C．

【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握定义是解题关键．

10．（长白县期末）设a，b是实数，定义*的一种运算如下：a*b＝（a+b）²，则下列结论有：

①a*b＝0，则a＝0且b＝0

②a*b＝b*a

③a*（b+c）＝a*b+a*c

④a*b＝（﹣a）*（﹣b）

正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据新定义的运算的意义，将其转化为常见的运算，根据常见的运算的性质逐个做出判断．

【解答】解：∵a*b＝0，a*b＝（a+b）²，

∴（a+b）²＝0，即：a+b＝0，

∴a、b互为相反数，因此①不符合题意，

a*b＝（a+b）²，b*a＝（b+a）²，

因此②符合题意，

a*（b+c）＝（a+b+c）²，a*b+a*c＝（a+b）²+（a+c）²，故③不符合题意，

∵a*b＝（a+b）²，（﹣a）*（﹣b）＝（﹣a﹣b）²，

∵（a+b）²＝（﹣a﹣b）²，

∴a*b＝（﹣a）*（﹣b）

故④符合题意，

因此正确的个数有2个，

故选：B．

【点评】考查完全平方公式的特点和应用，新定义一种运算关键是转化为常见的运算进行计算即可．

11．（西湖区校级期中）如图，已知在矩形ABCD内，将两张边长分别为7和5的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠）：矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S₁，图2中阴影部分的面积为S₂．当AD﹣AB＝3时，S₂﹣S₁的值为（　　）

A．3 B．6 C．9 D．15

【分析】将S₁，S₂表示出来即可．

【解答】解：设AD＝a，AB＝b，则：

S₁＝7（b﹣7）+（a﹣7）（b﹣5）

＝7b﹣49+ab﹣5a﹣7b+35

＝ab﹣5a﹣14．

S₂＝b（a﹣7）+2（b﹣7）

＝ab﹣5b﹣14．

∴S₂﹣S₁＝5a﹣5b＝5（a﹣b）

＝5×3

＝15．

故答案应该为15．

故选：D．

【点评】本题考查图形面积的计算方法，将不规则图形分割成规则图形再计算面积是求解本题的关键．

二．填空题（共12小题）

12．（福田区校级自主招生）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成 ，定义： ，上述记号叫做2阶行列式．若 ，则x＝　 　．

【分析】根据题中已知的新定义化简已知的方程，然后利用和与差的完全平方公式化简，得到关于x的一元二次方程，开方即可求出x的值．

【解答】解：根据题意可知： ＝（x+1）²﹣（1﹣x）（x﹣1）＝（x+1）²+（x﹣1）²＝2x²+2＝6，

即x²＝2，解得：x＝ 或x＝﹣ ．

故答案为：± ．

【点评】本题主要考查完全平方公式的运用，以及理解并运用新定义的能力．熟记公式是解题的关键．

13．（衡阳）观察下列各式：

（x﹣1）（x+1）＝x²﹣1

（x﹣1）（x²+x+1）＝x³﹣1

（x﹣1）（x³+x²+x+1）＝x⁴﹣1，

根据前面各式的规律可得（x﹣1）（xⁿ+x^n﹣1+…+x+1）＝　xⁿ⁺¹﹣1　（其中n为正整数）．

【分析】观察其右边的结果：第一个是x²﹣1；第二个是x³﹣1；…依此类推，则第n个的结果即可求得．

【解答】解：（x﹣1）（xⁿ+x^n﹣1+…x+1）＝xⁿ⁺¹﹣1．

故答案为：xⁿ⁺¹﹣1．

【点评】本题考查了平方差公式，发现规律：右边x的指数正好比前边x的最高指数大1是解题的关键．

14．（西湖区校级月考）下列结论中：①已知2^x＝a，2^y＝b，则2^x+y＝ab；②若a²•a⁴＝5⁶，则a＝5；③若x²﹣（k+2）x+4是完全平方式，则k＝2；④关于x，y的方程组 的自然数解有2对，正确的结论是　①　．（填正确的序号）

【分析】先根据同底数幂的乘法，完全平方公式，解方程组进行计算，再求出答案即可．

【解答】解：∵2^x＝a，2^y＝b，

∴2^x+y＝2^x×2^y＝ab，故①正确；

∵a²•a⁴＝a⁶＝5⁶，

∴a＝±5，故②错误；

∵x²﹣（k+2）x+4是完全平方式，

∴﹣（k+2）x＝±2•x•2，

∴k＝2或﹣6，故③错误；

解方程组 得： ，

∵方程组的解是自然数，

∴ ，

解得：3≤k≤5，

∴自然数为3，4，5，

即关于x，y的方程组 的自然数解有3对，故④错误；

即正确的有①，

故答案为：①．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，解二元一次方程组，解一元一次不等式组等知识点，能正确根据知识点进行计算是解此题的关键．

15．（镇海区期中）已知 ，则（a+3b﹣1）³的值为　﹣8　．

【分析】把8写成2³，然后计算出2^a+3b＝2^﹣1，所以a+3b＝﹣1，整体代入求值即可．

【解答】解：∵8^b＝（2³）^b＝2^3b＝ ，2^a＝5，

∴2^a+3b＝2^a•2^3b＝5× ＝ ＝2^﹣1，

∴a+3b＝﹣1，

∴原式＝（﹣1﹣1）³＝（﹣2）³＝﹣8．

故答案为：﹣8．

【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，负指数幂，会用这些法则是解题的关键．

16．（拱墅区校级期中）下列有四个结论：

①若（1﹣x）^x+1＝1，则x＝﹣1；

②若a²+b²＝3，a﹣b＝1，则（2﹣a）（2﹣b）的值为5﹣2 ；

③若规定：当ab≠0时，a⊗b＝a+b﹣ab，若a⊗（4﹣a）＝0，则a＝2；

④若4^x＝a，8^y＝b，则2^4x﹣3y可表示为 ；

⑤已知多项式x²+4x+m是完全平方式，则常数m＝4．

其中正确的是　③⑤　．（填序号）

【分析】①可以是零指数幂，可以是1的任何次幂，可以是﹣1的偶数次幂；

②先求出ab的值，再求出a+b的值，最后代入代数式求值即可；

③根据新定义列出方程求解即可；

④把a，b先化成底数为2的式子，然后再求值；

⑤根据完全平方公式判断即可．

【解答】解：①可以分为三种情况：

当x+1＝0时，x＝﹣1；

当1﹣x＝1时，x＝0；

当1﹣x＝﹣1，x+1为偶数时，x＝2，但x+1＝3不是偶数，舍去；

综上所述，x＝﹣1或0．

∴①不符合题意；

②（2﹣a）（2﹣b）

＝4﹣2b﹣2a+ab

＝4﹣2（a+b）+ab，

∵a﹣b＝1，

∴（a﹣b）²＝1，

∴a²+b²﹣2ab＝1，

∴ab＝1，

∴（a+b）²＝a²+b²+2ab＝3+2＝5，

∴a+b＝± ，

当a+b＝ 时，原式＝4﹣2 +1＝5﹣2 ；

当a+b＝﹣ 时，原式＝4+2 +1＝5+2 ，

∴a+b＝5±2 ．

∴②不符合题意；

③根据定义得：a+4﹣a+a（4﹣a）＝0，

解得：a＝2，

∴③符合题意；

④∵4^x＝（2²）^x＝2^2x，8^y＝（2³）^y＝2^3y，

∴2^4x﹣3y＝ ＝ ＝ ，

∴④不符合题意；

⑤∵x²+4x+m是完全平方式，

∴m＝（ ）²＝4，

∴⑤符合题意，

故答案为：③⑤．

【点评】本题主要考查了零指数幂，完全平方公式，幂的运算，综合性比较强，解题时注意分类讨论．

17．（西湖区校级期中）将两张边长分别为6和5的正方形纸片按图1和2的两种方式放置在长方形ABCD内，长方形ABCD内未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中的阴影面积为S₁，图2中的阴影面积为S₂，当AD﹣AB＝4时，S₂﹣S₁的值是　20　．

【分析】根据题意和图形，可以分别表示出S₂和S₁，然后作差，再根据AD﹣AB＝4，即可解答本题．

【解答】解：设AB＝CD＝x，AD＝BC＝y，

则S₁＝6（AB﹣6）+（CD﹣5）（BC﹣6）＝6（x﹣6）+（x﹣5）（y﹣6），

S₂＝6（BC﹣6）+（BC﹣5）（CD﹣6）＝6（y﹣6）+（y﹣5）（x﹣6），

∴S₂﹣S₁

＝6（y﹣6）+（y﹣5）（x﹣6）﹣6（x﹣6）﹣（x﹣5）（y﹣6）

＝6y﹣36+xy﹣6y﹣5x+30﹣6x+36﹣xy+6x+5y﹣30

＝5y﹣5x

＝5（y﹣x），

∵AD﹣AB＝4，

∴y﹣x＝4，

∴原式＝5×4＝20，

故答案为：20．

【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．

18．（济阳区期末）如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝10，ab＝18，则阴影部分的面积为　23　．

【分析】观察图形，此题用正方形一半的面积减去阴影中白色小三角形的面积即可，然后再用a+b和ab的值代入计算即可得出阴影部分的面积．

【解答】解：S_阴影＝ a²﹣ （a﹣b）b＝ a²﹣ ab+ b²＝ （a²﹣ab+b²）＝ [（a+b）²﹣3ab]，

又∵a+b＝10，ab＝18，

∴S_阴影＝ [（a+b）²﹣3ab]＝ [（10）²﹣3×18]＝23，

故答案为23．

【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，通过观察图形列出式子S_阴影＝ a²﹣ （a﹣b）b，再根据题目已知条件a+b＝10，ab＝18，凑出完全平方式（a+b）²是计算出结果的关键．

19．（奉化区校级期末）定义运算：a⊕b＝（a+b）（b﹣2），下面给出这种运算的四个结论：①3⊕4＝14；②a⊕b＝b⊕a；③若a⊕b＝0，则a+b＝0；④若a+b＝0，则a⊕b＝0．其中正确的结论序号为　①④　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）

【分析】根据运算a⊕b＝（a+b）（b﹣2）即可进行判断．

【解答】解：①3⊕4＝（3+4）（4﹣2）＝14，故正确；

②当a≠b时，不成立，故错误；

③若a⊕b＝0，则a+b＝0或b＝2，故错误；

④若a+b＝0，则a⊕b＝（a+b）（b﹣2）＝0×（b﹣2）＝0，故正确．

故答案为：①④．

【点评】本题考查了多项式乘多项式、有理数的运算，理解题意，理解运算的定义是关键．

20．（兰山区模拟）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当x＝8时，多项式3x³﹣4x²﹣35x+8的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式3x³﹣4x²﹣35x+8进行改写：

3x³﹣4x²﹣35x+8＝x（3x²﹣4x﹣35）+8＝x[x（3x﹣4）﹣35]+8

按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当x＝8时，多项式3x³﹣4x²﹣35x+8的值为1008．

请参考上述方法，将多项式x³+2x²+x﹣1改写为：　x[x（x+2）+1]﹣1　，当x＝8时，这个多项式的值为　647　．

【分析】仿照题中的方法将原式改写，把x的值代入计算即可求出值．

【解答】解：x³+2x²+x﹣1＝x[x（x+2）+1]﹣1，

当x＝8时，原式＝647，

故答案为：x[x（x+2）+1]﹣1；647

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，弄清题中的方法是解本题的关键．

21．（慈溪市期中）如图，将边长为a的正方形剪去两个小长方形得到S图案，再将这两个小长方形拼成一个新的长方形，求新的长方形的周长　4a﹣8b　．

【分析】先根据题意列出算式，再根据整式的运算法则进行化简即可．

【解答】解：新长方形的周长是2（a﹣3b）+2（a﹣b）＝2a﹣6b+2a﹣2b＝4a﹣8b，

故答案为：4a﹣8b．

【点评】本题考查了整式的混合运算，能正确根据题意列出算式是解此题的关键．

22．（奉化区期中）已知实数a，b，c满足2^a＝5，2^b＝10，2^c＝80，则2019a﹣4039b+2020c的值为　4041　．

【分析】根据同底数幂的除法和题目中的式子，可以得到b﹣a、c﹣b的值，从而可以求得所求式子的值．

【解答】解：2019a﹣4039b+2020c

＝2019a﹣2019b﹣2020b+2020c

＝﹣2019（b﹣a）+2020（c﹣b），

∵2^a＝5，2^b＝10，2^c＝80，

∴2^b÷2^a＝2¹，2^c÷2^b＝8＝2³，

∴b﹣a＝1，c﹣b＝3，

∴原式＝﹣2019×1+2020×3＝﹣2019+6060＝4041，

故答案为：4041．

【点评】本题考查同底数幂的除法，解答本题的关键是明确同底数幂除法的计算方法．

23．（海曙区期末）长方形ABCD内放入两张边长分别为acm和bcm（a＞b）的小正方形纸片．按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为 ；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为 ；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为 ，已知AD﹣AB＝1，3a﹣2b＝6，S₁﹣S₃＝a﹣b，S₂﹣S₃＝4a﹣2b，则b的值为　3　．

【分析】根据图形表示出S₁、S₂，求出S₁﹣S₂，再根据S₁﹣S₃＝a﹣b，S₂﹣S₃＝4a﹣2b，得到S₁﹣S₂，得到等式，进而利用3a﹣2b＝6即可求出b值．

【解答】解：根据题意得，

S₁＝（AB﹣a）a+（AD﹣a）（AB﹣b）＝﹣a²+AD×AB﹣b×AD+ab，

S₂＝（AD﹣a）AB+（AB﹣a）（a﹣b）＝﹣a²+AD×AB﹣b×AB+ab，

∴S₁﹣S₂＝（﹣a²+AD×AB﹣b×AD+ab）﹣（﹣a²+AD×AB﹣b×AB+ab）

＝﹣b×AD+b×ADB

＝﹣b（AD﹣AB），

∵AD﹣AB＝1，

∴S₁﹣S₂＝﹣b，

∵S₁﹣S₃＝a﹣b①，

S₂﹣S₃＝4a﹣2b②，

∴①﹣②得，（S₁﹣S₃）﹣（S₂﹣S₃）＝（a﹣b）﹣（4a﹣2b），

整理得，S₁﹣S₂＝3a﹣5b，

∴3a﹣5b＝﹣b，即3a＝4b，

∵3a﹣2b＝6，

∴4b﹣2b＝6，

∴b＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是会根据图形表示出S₁、S₂．

三．解答题（共7小题）

24．（奉化区校级期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．

（1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为　（a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc　（只要写出一个即可）；

（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：

①若三个实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a²+b²+c²的值；

②若三个实数x，y，z满足2^x×4^y÷8^z＝ ，x²+4y²+9z²＝44，求2xy﹣3xz﹣6yz的值．

【分析】（1）根据图形得出等式即可；

（2）①先根据公式进行变形，再代入求出即可；

②先求出x+2y﹣3z＝﹣2，再根据（x+2y﹣3z）²＝x²+4y²+9z²+2（2xy﹣3xz﹣6yz）求出即可．

【解答】解：（1）（a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，

故答案为：（a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc；

（2）①∵（a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，

∴a²+b²+c²

＝（a+b+c）²﹣（2ab+2ac+2bc）

＝11²﹣2×38

＝45；

②∵2^x×4^y÷8^z＝ ，

∴2^x×2^2y÷2^3z＝ ，

∴2^x+2y﹣3z＝2^﹣2，

∴x+2y﹣3z＝﹣2，

∵（x+2y﹣3z）²＝x²+4y²+9z²+2（2xy﹣3xz﹣6yz），x²+4y²+9z²＝44，

∴（﹣2）²＝44+2（2xy﹣3xz﹣6yz），

∴2xy﹣3xz﹣6yz＝﹣20．

【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．

25．（高青县期末）如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．

（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）

（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．

（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）²，ab和（2a+b）²的数量关系．

【分析】（1）观察由已知图形，得到四个小长方形的长为2a，宽为b，那么图2中的空白部分的正方形的边长是小长方形的长减去小长方形的宽．

（2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和．图2中空白部分的正方形的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积．

（3）通过观察图形知：（2a+b）²﹣（2a﹣b）²＝8ab．分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及4个小长方形的面积．

【解答】解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b

（2）由图21﹣2可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，

∵大正方形的边长＝2a+b＝7，∴大正方形的面积＝（2a+b）²＝49，

又∵4个小长方形的面积之和＝大长方形的面积＝4a×2b＝8ab＝8×3＝24，

∴小正方形的面积＝（2a﹣b）²＝49﹣24＝25

（3）由图2可以看出，大正方形面积＝空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积

即：（2a+b）²﹣（2a﹣b）²＝8ab．

【点评】此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，以及对列代数式、代数式求值的理解与掌握．关键是通过观察图形找出各图形之间的关系．

26．（椒江区校级期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（7x+2+6x²）÷（2x+1），仿照672÷21计算如下：

因此（7x+2+6x²）÷（2x+1）＝3x+2．

（1）阅读上述材料后，试判断x³﹣x²﹣5x﹣3能否被x+1整除，说明理由．

（2）利用上述方法解决：若多项式2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b能被x²+x﹣2整除，求 的值．

【分析】（1）直接利用竖式计算，进一步判定即可；

（2）竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数求得答案即可．

【解答】解：（1）x³﹣x²﹣5x﹣3能被x+1整除；

理由如下：

（2）若多项式2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b能被x²+x﹣2整除则有

所以a+9＝﹣3，a＝﹣12，b＝6；

＝﹣2．

【点评】此题考查利用竖式计算整式的除法，注意同类项的对应．

27．（于都县模拟）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）ⁿ（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）²＝a²+2ab+b²展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³展开式中的系数等等．

（1）根据上面的规律，写出（a+b）⁵的展开式．

（2）利用上面的规律计算：2⁵﹣5×2⁴+10×2³﹣10×2²+5×2﹣1．

【分析】（1）直接根据图示规律写出图中的数字，再写出（a+b）⁵的展开式；

（2）发现这一组式子中是2与﹣1的和的5次幂，由（1）中的结论得：2⁵﹣5×2⁴+10×2³﹣10×2²+5×2﹣1＝（2﹣1）⁵，计算出结果．

【解答】解：（1）如图，

则（a+b）⁵＝a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵；

（2）2⁵﹣5×2⁴+10×2³﹣10×2²+5×2﹣1．

＝2⁵+5×2⁴×（﹣1）+10×2³×（﹣1）²+10×2²×（﹣1）³+5×2×（﹣1）⁴+（﹣1）⁵．

＝（2﹣1）⁵，

＝1．

【点评】本题考查了完全式的n次方，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应（a+b）ⁿ中，相同字母a的指数是从高到低，相同字母b的指数是从低到高．

28．（高新区期中）阅读材料：

求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³的值．

解：设S＝1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹²+2²⁰¹³，将等式两边同时乘2，

得2S＝2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴．

将下式减去上式，得2S﹣S＝2²⁰¹⁴一1

即S＝2²⁰¹⁴一1，

即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³＝2²⁰¹⁴一1

仿照此法计算：

（1）1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰

（2）1+ +…+ ．

【分析】（1）设S＝1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰，两边乘以3得出3S＝3+3²+3³+3⁴+3⁵+…+3¹⁰⁰+3¹⁰¹，将下式减去上式即可得出答案；

（2）设S＝1+ + + +…+ ，两边乘以 得出 S＝ + +…+ ，将下式减去上式即可得出答案．

【解答】解：（1）设S＝1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰，

两边乘以3得：3S＝3+3²+3³+3⁴+3⁵+…+3¹⁰⁰+3¹⁰¹，

将下式减去上式，得3S﹣S＝3¹⁰¹﹣1

即S＝ ，

即1+3+3²+3³+3⁴+…+3¹⁰⁰＝

（2）设S＝1+ + + +…+ ，

两边乘以 得： S＝ + +…+ ，

将下式减去上式得：﹣ S＝ ﹣1，

解得：S＝2﹣ ，

即1+ + + +…+ ＝2﹣ ．

【点评】本题考查了有理数的混合运算的应用，能读懂题意是解此题的关键，主要培养学生的理解能力．

29．（莲池区一模）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号 的意义是 ＝ad﹣bc．例如： ＝1×4﹣2×3＝﹣2，

（1）按照这个规定，请你计算 的值；

（2）按照这个规定，请你计算：当x²﹣4x+4＝0时， 的值．

【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；

（2）原式利用题中的新定义化简，将已知等式变形后代入计算即可求出值．

【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝40﹣42＝﹣2；

（2）∵x²﹣4x+4＝0，即（x﹣2）²＝0，

∴x₁＝x₂＝2，

则原式＝（x+1）（2x﹣3）﹣2x（x﹣1）＝2x²﹣3x+2x﹣3﹣2x²+2x＝x﹣3＝﹣1．

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

30．（浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝2²﹣0²，12＝4²﹣2²，20＝6²﹣4²，因此4，12，20都是“神秘数”

（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？

【分析】（1）试着把28、2012写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神秘数；

（2）化简两个连续偶数为2k+2和2k的差，再判断；

（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，则（2k+1）²﹣（2k﹣1）²＝8k＝4×2k，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．

【解答】解：（1）设28和2012都是“神秘数”，设28是x和x﹣2两数的平方差得到，

则x²﹣（x﹣2）²＝28，

解得：x＝8，∴x﹣2＝6，

即28＝8²﹣6²，

设2012是y和y﹣2两数的平方差得到，

则y²﹣（y﹣2）²＝2012，

解得：y＝504，

y﹣2＝502，

即2012＝504²﹣502²，

所以28，2012都是神秘数．

（2）（2k+2）²﹣（2k）²＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）＝4（2k+1），

∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍．

（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，

则（2k+1）²﹣（2k﹣1）²＝8k＝4×2k，

即：两个连续奇数的平方差是4的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为4的奇数倍这一条件．

∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．

【点评】此题首先考查了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考查，主要是平方差公式的灵活应用．