第3章 整式的乘除

（满分100分，完卷时间90分钟）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共24题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．

一、仔细选一选（本题共10题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出正确的选项。注意可以用多种不同的方法来选取正确的答案）

1．已知：2^m＝1，2ⁿ＝3，则2^m+n＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

【分析】根据同底数幂的乘法法则解答即可．

【解答】解：∵2^m＝1，2ⁿ＝3，

∴2^m+n＝2^m•2ⁿ＝1×3＝3．

故选：B．

【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

2．下列运算不正确的是（　　）

A．a²•a³＝a⁵ B．（y³）⁴＝y¹²

C．（﹣2x）³＝﹣8x³ D．x³+x³＝2x⁶

【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及合并同类项的法则逐一判断即可．

【解答】解：A．a²•a³＝a²⁺³＝a⁵，故本选项不合题意；

B．（y³）⁴＝y^3×4＝y¹²，故本选项不合题意；

C．（﹣2x）³＝（﹣2）³x³＝﹣8x³，故本选项不合题意；

D．x³+x³＝2x³，故本选项符合题意．

故选：D．

【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，熟记相关运算法则是解答本题的关键．

3．计算（﹣4x³+2x）÷2x的结果正确的是（　　）

A．﹣2x²+1 B．2x²+1 C．﹣2x³+1 D．﹣8x⁴+2x

【分析】多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，据此求出计算（﹣4x³+2x）÷2x的结果是多少即可．

【解答】解：（﹣4x³+2x）÷2x

＝（﹣4x³）÷2x+2x÷2x

＝﹣2x²+1

故选：A．

【点评】此题主要考查了整式的除法的运算方法，要熟练掌握运算法则．

4．如果x²+kxy+36y²是完全平方式，则k的值是（　　）

A．6 B．6或﹣6 C．12 D．12或﹣12

【分析】根据完全平方公式的特征判断即可得到k的值．

【解答】解：∵x²+kxy+36y²是一个完全平方式，

∴k＝±2×6，即k＝±12，

故选：D．

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

5．下列各式中，不能够用平方差公式计算的是（　　）

A．（ y+2x）（2x﹣y） B．（﹣x﹣3y）（x+3y）

C．（2x²﹣y² ）（2x²+y² ） D．（4a+b﹣c）（4a﹣b﹣c）

【分析】运用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b²时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．

【解答】解：B、两项都是相反项的项，不能运用平方差公式；

A、C、D中均存在相同和相反的项，

故选：B．

【点评】本题考查了平方差公式的应用，熟记公式是解题的关键．

6．计算（3×10⁴）³等于（　　）

A．9×10⁷ B．27×10⁷ C．27×10¹² D．2.7×10¹³

【分析】根据积的乘方运算法则计算即可．

【解答】解：（3×10⁴）³＝3³×（10⁴）³＝27×10¹²＝2.7×10¹³．

故选：D．

【点评】本题主要考查了积的乘方以及科学记数法．积的乘方，等于每个因式乘方的积．

7．计算（﹣3x²）•2x³的结果是（　　）

A．﹣5x⁶ B．﹣6x⁶ C．﹣5x⁵ D．﹣6x⁵

【分析】根据单项式乘以单项式法则求出即可．

【解答】解：（﹣3x²）•2x³

＝﹣6x⁵，

故选：D．

【点评】本题考查了单项式乘以单项式法则和同底数幂的乘法，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键．

8．已知a^m＝2，aⁿ＝4，则a^3m﹣2n＝（　　）

A．﹣ B． C．1 D．2

【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则计算得出答案．

【解答】解：∵a^m＝2，aⁿ＝4，

∴a^3m﹣2n＝（a^m）³÷（aⁿ）²

＝2³÷4²

＝ ．

故选：B．

【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

9．如果（a+b）²＝16，（a﹣b）²＝4，且a、b是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】将所给两个式子作差可得（a+b）²﹣（a﹣b）²＝4ab＝12，即可求长方形面积．

【解答】解：∵（a+b）²＝16，（a﹣b）²＝4，

∴（a+b）²﹣（a﹣b）²＝4ab＝12，

∴ab＝3，

∴长方形的面积为3，

故选：A．

【点评】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，能灵活运用公式是解题的关键．

10．如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　）

A．a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）²＝a²+2ab+b²

C．（a﹣b）²＝a²﹣2ab+b² D．a²﹣ab＝a（a﹣b）

【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a²﹣b²；因为拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：（a+b）×（a﹣b），因为面积相等，进而得出结论．

【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a²﹣b²；

拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），

所以得出：a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b），

故选：A．

【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．

二、认真填一填（本题有8个小题，每小题3分，共24分。注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案）

11．若5x﹣3y﹣2＝0，则2^5x÷8^y＝　4　．

【分析】根据同底数幂的除法解答即可．

【解答】解：因为5x﹣3y﹣2＝0，可得：5x﹣3y＝2，

所以2^5x÷8^y＝2^5x﹣3y＝2²＝4，

故答案为：4

【点评】此题考查同底数幂的除法，关键是根据同底数幂的除法解答．

12．我们规定一种运算： ＝ad﹣bc，例如 ＝3×6﹣4×5＝﹣2．按照这种运算规定，已知 ＝0，则x＝　 　．

【分析】根据题意给出的运算法则，然后将其原式进行化简即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：（x﹣2）（x+2）﹣（x+1）²＝0，

∴x²﹣4﹣（x²+2x+1）＝0

∴﹣2x﹣5＝0，

∴x＝ ，

故答案为： ．

【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则以及一元一次方程的解法，本题属于基础题型．

13．计算（a+b）（c+d）的结果等于　ac+ad+bc+bd　．

【分析】按多项式乘以多项式法则运算即可．

【解答】解：（a+b）（c+d）

＝ac+ad+bc+bd．

故答案为：ac+ad+bc+bd．

【点评】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式法则是解决本题的关键．

14．计算（﹣3a²b³）²•2ab＝　18a⁵b⁷　．

【分析】首先利用积的乘方计算（﹣3a²b³）²，再计算单项式乘以单项式即可．

【解答】解：原式＝9a⁴b⁶•2ab＝18a⁵b⁷，

故答案为：18a⁵b⁷．

【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式，关键是掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

15．（π﹣2017）⁰+（﹣1）²⁰¹⁹＝　0　．

【分析】依据零指数幂的运算法则以及乘方的符号法则进行计算即可．

【解答】解：（π﹣2017）⁰+（﹣1）²⁰¹⁹＝1+（﹣1）＝0，

故答案为：0．

【点评】本题主要考查了零指数幂的运算法则以及乘方的符号法则，解题时注意：任意一个非零数的零次幂都等于1．

16．计算：（6x⁴﹣8x³）÷（﹣2x²）＝　﹣3x²+4x　．

【分析】根据多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，把所得的商相加，可得答案．

【解答】解；原式＝6x⁴÷（﹣2x²）﹣8x³÷（﹣2x²）

＝﹣3x²+4x，

故答案为：﹣3x²+4x．

【点评】本题考查了整式的除法，用多项式的每一项除以单项式，把所得的商相加是解题关键．

17．若10²•10^n﹣1＝10⁶，则n的值为　5　．

【分析】先依据同底数幂的乘法法则，得到10^2+n﹣1＝10⁶，进而得出2+n﹣1＝6，解得n＝5即可．

【解答】解：∵10²•10^n﹣1＝10⁶，

∴10^2+n﹣1＝10⁶，

∴2+n﹣1＝6，

解得n＝5，

故答案为：5．

【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

18．如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是xm，下底都是ym，高都是（y﹣x）m，请你帮小刚家算一算菜地的面积是　y²﹣x²　平方米．当x＝20m，y＝30m时，面积是　500　平方米．

【分析】本题结合图形，根据梯形的面积公式＝ （上底+下底）×高，列出菜地的面积，再运用平方差公式计算．

【解答】解：由题意得菜地的面积为2× （x+y）（y﹣x）＝y²﹣x²．

当x＝20，y＝30时，

y²﹣x²＝30²﹣20²＝900﹣400＝500m²．

故答案为：y²﹣x²；500．

【点评】本题考查了平方差公式的几何表示，计算菜地的面积时，也可运用边长为y的正方形的面积减去边长为x的正方形的面积求得，这样更为简单．

三、全面答一答（本题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）

19．计算：

（1）

（2）

【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的意义，实数的混合运算方法解答即可．

【解答】解：（1）原式＝4+1﹣（﹣0.125×8）²⁰¹⁸×8

＝5﹣1×8

＝﹣3；

（2）原式＝﹣9×2+[﹣（1﹣ ）×9]

＝﹣18+[﹣6]

＝﹣24．

【点评】本题考查的是实数的运算能力．掌握零指数幂和负整数指数幂的意义是解题的关键．注意：要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．

20．计算：

（1）（12x³y﹣4x²）÷（﹣2x）²；

（2）（2x﹣1）²﹣（2x+3）（2x﹣3）．

【分析】（1）原式先利用积的乘方运算法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算即可求出值；

（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．

【解答】解：（1）原式＝（12x³y﹣4x²）÷4x²＝3xy﹣1；

（2）原式＝4x²﹣4x+1﹣4x²+9＝﹣4x+10．

【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21．杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨所著的《详解九章算术》（1261年）一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律

“杨辉三角”里面蕴藏了许多的规律

（1）找出其中各项字母之间的规律以及各项系数之间的规律各一条；

（2）直接写出（a+b）⁶展开后的多项式　a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶　；

（3）运用：若今天是星期四，经过8⁴天后是星期　星期五　，经过8¹⁰⁰天后是星期　星期五　．

【分析】（1）字母的规律a降幂排列，b升幂排列；系数符合斐波那契数列；

（2）展开后得a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶；

（3）分别展开8⁴和8¹⁰⁰后看最后一项即可．

【解答】解：（1）字母的规律a降幂排列，b升幂排列；系数符合斐波那契数列；

（2）（a+b）⁶＝a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶；

（3）8⁴＝（7+1）⁴的最后一项是1，∴经过8⁴天后是星期五；

8¹⁰⁰＝（7+1）¹⁰⁰的最后一项是1，∴经过8¹⁰⁰天后是星期五；

故答案为星期五，星期五．

【点评】本题考查多项式的展开；能够根据定义，通过观察找到规律，再结合多项式乘以多项式的特点求解即可．

22．如图，图①、图②分别由两个长方形拼成，其中a＞b．

（1）用含a、b的代数式表示它们的面积，则S_①＝　a²﹣b²　．S_②＝　（a+b）（a﹣b）　；

（2）通过观察说明（a+b）（a﹣b）＝　a²﹣b²　，请运用上面图形解释其中道理；

（3）请你利用上述发现的结论计算式子：2019²﹣2018²．

【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式列代数式即可；

（2）根据（1）得出的结果即可直接得出答案；

（3）根据（2）的公式进行计算即可．

【解答】解：（1）图①的面积是a²﹣b²；图②的面积是（a+b）（a﹣b）；

故答案为：a²﹣b²；（a+b）（a﹣b），

（2）根据（1）可得：（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b²；

相同的两个长方形拼成的两个图形的面积相等，即都等于这两个长方形面积的和；

故答案为：a²﹣b²；

（3）2019²﹣2018²

＝（2019+2018）（2019﹣2018）

＝4037×1

＝4037．

【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，列代数式，用到的知识点是正方形的面积公式，多项式的乘法，关键是根据所给出的图形列出相应的代数式，找出它们之间的规律．

23．【知识回顾】

七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．

【理解应用】

（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m²﹣3x的值与x的取值无关，求m值；

（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x²+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；

【能力提升】

（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S₁，左下角的面积为S₂，当AB的长变化时，S₁﹣S₂的值始终保持不变，求a与b的等量关系．

【分析】（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为（2m﹣3）x﹣3m+2m²，令x系数为0，即可求出m；

（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简3A+6B可得3x（5y﹣2）﹣9，根据其值与x无关得出5y﹣2＝0，即可得出答案；

（3）设AB＝x，由图可知S₁＝a（x﹣3b），S₂＝2b（x﹣2a），即可得到S₁﹣S₂关于x的代数式，根据取值与x可得a＝2b．

【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m²﹣3x

＝2mx﹣3m+2m²﹣3x

＝（2m﹣3）x+2m²﹣3m，

∵其值与x的取值无关，

∴2m﹣3＝0，

解得，m＝ ，

答：当m＝ 时，多项式（2x﹣3）m+2m²﹣3x的值与x的取值无关；

（2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x²+xy﹣1，

∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x²+xy﹣1）

＝3（2x²﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x²+6xy﹣6

＝6x²﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x²+6xy﹣6

＝15xy﹣6x﹣9

＝3x（5y﹣2）﹣9，

∵3A+6B的值与x无关，

∴5y﹣2＝0，即y＝ ；

（3）设AB＝x，由图可知S₁＝a（x﹣3b），S₂＝2b（x﹣2a），

∴S₁﹣S₂＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，

∵当AB的长变化时，S₁﹣S₂的值始终保持不变．

∴S₁﹣S₂取值与x无关，

∴a﹣2b＝0

∴a＝2b．

【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键．

24．用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．

（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立；

（2）利用（1）中的结论计算：a+b＝2，ab＝ ，求a﹣b；

（3）根据（1）中的结论，直接写出x+ 和x﹣ 之间的关系；若x²﹣3x+1＝0，分别求出x+ 和（x﹣ ）²的值．

【分析】（1）根据阴影部分的面积＝4个小长方形的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，利用完全平方公式，即可解答；

（2）根据完全平方公式解答；

（3）根据完全平方公式解答．

【解答】解：（1）阴影部分的面积为：4ab或（a+b）²﹣（a﹣b）²，

得到等式：4ab＝（a+b）²﹣（a﹣b）²，

说明：（a+b）²﹣（a﹣b）²＝a²+2ab+b²﹣（a²﹣2ab+b²）＝a²+2ab+b²﹣a²+2ab﹣b²＝4ab．

（2）（a﹣b）²＝（a+b）²﹣4ab＝ ＝4﹣3＝1，

∴a﹣b＝±1．

（3）根据（1）中的结论，可得： ，

∵x²﹣3x+1＝0，

方程两边都除以x得： ，

∴ ，

∴ ．

【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．