第3章 整式的乘除

（满分100分，完卷时间90分钟）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共24题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．

一、仔细选一选（本题共10题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出正确的选项。注意可以用多种不同的方法来选取正确的答案）

1．以下运算正确的是（　　）

A．（ab³）²＝ab⁶ B．（﹣3xy）³＝﹣9x³y³

C．x³•x⁴＝x¹² D．（3x）²＝9x²

【分析】分别根据积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．

【解答】解：A．（ab³）²＝a²b⁶，故原运算错误；

B．（﹣3xy）³＝﹣27x³y³，故原运算错误；

C．x³•x⁴＝x⁷，故原运算错误；

D．（3x）²＝9x²，运算正确．

故选：D．

【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

2．若3^x＝2，3^y＝4，则3^x+y等于（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16

【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．

【解答】解：∵3^x＝2，3^y＝4，

∴3^x+y＝3^x•3^y＝2×4＝8．

故选：C．

【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记法则是解答本题的关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

3．若2^x＝8，4^y＝16，则2^x﹣2y的值为（　　）

A． B．﹣2 C． D．

【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可得出正确选项．

【解答】解：∵2^x＝8，4^y＝16，

∴2^x﹣2y

＝2^x÷2^2y

＝2^x÷4^y

＝8÷16

＝ ．

故选：A．

【点评】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

4．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　）

A．（2x﹣3y）（3y﹣2x） B．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）

C．（x﹣2y）（2y+x） D．（x+3y）（x﹣3y）

【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．

【解答】解：（2x﹣3y）（3y﹣2x）不能利用平方差公式计算，

故选：A．

【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

5．如果x²+2ax+9是一个完全平方式，则a的值是（　　）

A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．9或﹣9

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值．

【解答】解：∵x²+2ax+9是一个完全平方式，

∴2a＝±（2×3），

则a＝3或﹣3，

故选：C．

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

6．已知a+b＝m，ab＝n，则（a﹣b）²等于（　　）

A．m²﹣n B．m²+n C．m²+4n D．m²﹣4n

【分析】先根据完全平方公式变形（a﹣b）²＝（a+b）²﹣4ab，然后把a+b＝m，ab＝n代入计算即可．

【解答】解：（a﹣b）²

＝（a+b）²﹣4ab

＝m²﹣4n．

故选：D．

【点评】本题考查了完全平方公式：（x±y）²＝x²±2xy+y²．也考查了代数式的变形能力以及整体思想的运用．

7．已知8a³b^m÷8aⁿb²＝b²，那么m，n的取值为（　　）

A．m＝4，n＝3 B．m＝4，n＝1 C．m＝1，n＝3 D．m＝2，n＝3

【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．

【解答】解：∵8a³b^m÷8aⁿb²＝b²，

∴3＝n，m﹣2＝2，

解得：m＝4，n＝3．

故选：A．

【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

8．若x+y＝7，xy＝10，则x²﹣xy+y²的值为（　　）

A．30 B．39 C．29 D．19

【分析】原式利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算即可求出值．

【解答】解：∵x+y＝7，xy＝10，

∴原式＝（x²+y²）﹣xy＝（x+y）²﹣3xy＝49﹣30＝19，

故选：D．

【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9．如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用x，y（x＞y）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　）

A．x+y＝7 B．x﹣y＝2 C．x²+y²＝25 D．4xy+4＝49

【分析】本题中正方形图案的边长7，同时还可用（x+y）来表示，其面积从整体看是49，从组合来看，可以是（x+y）²，还可以是（4xy+4），接下来，我们再灵活运用等式的变形，即可作出判断．

【解答】解：A、因为正方形图案的边长7，同时还可用（x+y）来表示，

故x+y＝7正确；

B、因为正方形图案面积从整体看是49，

从组合来看，可以是（x+y）²，还可以是（4xy+4），

所以有（x+y）²＝49，4xy+4＝49

即xy＝ ，

所以（x﹣y）²＝（x+y）²﹣4xy＝49﹣45＝4，

即x﹣y＝2正确；

C、x²+y²＝（x+y）²﹣2xy＝49﹣2× ＝ ，

故x²+y²＝25是错误的；

D、由B可知4xy+4＝49，故正确．

故选：C．

【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解答本题需结合图形，利用等式的变形来解决问题．

10．如图，边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（　　）

A．a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）²﹣（a﹣b）²＝4ab

C．（a+b）²＝a²+2ab+b² D．（a﹣b）²＝a²﹣2ab+b²

【分析】根据左图中阴影部分的面积是a²﹣b²，右图中梯形的面积是 （2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），利用面积相等即可解答．

【解答】解：左边阴影面积为a²﹣b²

右边梯形面积为

所以a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）

故选：A．

【点评】此题主要考查的是平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．

二、认真填一填（本题有8个小题，每小题3分，共24分。注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案）

11．计算：（﹣ ）⁵×2⁶＝　﹣2　．

【分析】根据幂的乘方解答即可．

【解答】解： ，

故答案为：﹣2

【点评】此题考查幂的乘方，关键是根据幂的乘方的法则解答．

12．若x^m＝5，xⁿ＝4．则x^2m﹣3n＝　 　．

【分析】由已知条件求得x^2m＝25，x³ⁿ＝64，然后根据同底数幂的除法运算法则解答．

【解答】解：∵x^m＝5，xⁿ＝4，

∴x^2m﹣3n

＝x^2m÷x³ⁿ

＝（x^m）²÷（xⁿ）³

＝25÷64

故答案是： ．

【点评】考查了同底数幂的除法和幂的乘方与积的乘方，属于基础计算题，熟记计算法则即可解答．

13．若x²+kxy+49y²是一个完全平方式，则k＝　±14　．

【分析】这里首末两项是x和7y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和7y积的2倍．

【解答】解：∵x²+kxy+49y²是一个完全平方式，

∴±2×x×7y＝kxy，

∴k＝±14．

【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

14．8a²b²c÷　4b　＝2a²bc．

【分析】由于除式等于被除式除以商，所以只需计算8a²b²c÷2a²bc即可，然后利用幂的除法法则计算．

【解答】解：8a²b²c÷2a²bc＝4b．

故答案为4b．

【点评】本题考查了整式的除法运算：熟练运用幂的运算法则进行计算．

15．在有理数的原有运算法则中，我们定义新运算“@”如下：a@b＝ab÷b²，根据这个新规定可知2x@（﹣3x）＝　﹣ 　．

【分析】由定义运算的顺序转化为整式的混合运算，进一步计算得出答案即可．

【解答】解：2x@（﹣3x）

＝2x（﹣3x）÷（﹣3x）²

＝﹣6x²÷9x²

＝﹣ ．

故答案为：﹣ ．

【点评】此题考查整式的混合运算，理解规定的运算方法，把问题转化解决问题．

16．将2a^﹣2b（a﹣b）^﹣1写成只含有正整数指数幂的形式：　 　．

【分析】直接利用负整数指数幂的性质化简得出答案．

【解答】解：2a^﹣2b（a﹣b）^﹣1＝ ．

故答案为： ．

【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质，正确把握相关性质是解题关键．

17．如图，有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a（a+b）＝a²+ab成立，根据图2，利用面积的不同表示方法，仿照上边的式子写出一个等式　（a+b）（a+2b）＝a²+3ab+2b²　．

【分析】根据多项式乘多项式，利用第一个多项式的每一项乘以第二个多项式的每一项，把所得积相加，可得答案．

【解答】解：由图示，得

（a+b）（a+2b）＝a²+3ab+2b²，

故答案为：（a+b）（a+2b）＝a²+3ab+2b²．

【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟记法则并根据法则计算是解题关键．

18．我们在计算（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）时，发现直接运算很麻烦，如果在算式前乘以（2﹣1），即1，原算式的值不变，而且还使整个算式是能用乘法公式计算．即：原式＝（2﹣1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）＝2³²﹣1．

请用上述方法算出（5+1）（5²+1）（5⁴+1）（5⁸+1）（5¹⁶+1）（5³²+1）的值为　 　．

【分析】直接利用结合原式计算方法进而化简得出答案．

【解答】解：（5+1）（5²+1）（5⁴+1）（5⁸+1）（5¹⁶+1）（5³²+1）

＝ （5﹣1）（5+1）（5²+1）（5⁴+1）（5⁸+1）（5¹⁶+1）（5³²+1）

＝ ×（5⁶⁴﹣1）

＝ ．

故答案为： ．

【点评】此题主要考查了平方差公式，正确应用公式是解题关键．

三、全面答一答（本题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）

19．计算：

（1）xy²•（﹣2xy）³；

（2）（12a³﹣9a²+3a）÷3a．

【分析】（1）先算乘方，再算乘法即可；

（2）用多项式的每一项分别除以3a，再把商相加．

【解答】解：（1）xy²•（﹣2xy）³；

＝﹣xy²•8x³y³

＝﹣8x⁴y⁵；

（2）（12a³﹣9a²+3a）÷3a．

＝12a³÷3a﹣9a²÷3a+3a÷3a

＝4a²﹣3a+1．

【点评】此题考查了整式的乘除运算能力，关键是能准确运用计算法则进行准确计算．

20．化简：（1﹣2m）（2m+1）﹣（3+4m）（6﹣m）．

【分析】先利用平方差公式和多项式与多项式进行乘法运算，然后再算加减．

【解答】解：原式＝（1﹣4m²）﹣（18﹣3m+24m﹣4m²）

＝1﹣4m²﹣18+3m﹣24m+4m²

＝﹣17﹣21m．

【点评】本题考查整式的混合运算，掌握平方差公式和多项式乘法法则是解题关键．

21．计算：（x﹣2y）²+（x+2y）（x﹣2y）．

【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算乘方和乘法，然后再算加减．

【解答】解：原式＝x²﹣4xy+4y²+x²﹣4y²

＝2x²﹣4xy．

【点评】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式（a±b）²＝a²±2ab+b²和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b²的结构是解题关键．

22．（1）已知若a+b＝3，ab＝1，求a²+b²的值．

（2）若（7﹣x）（x﹣3）＝1，求（7﹣x）²+（x﹣3）²的值．

【分析】（1）原式根据完全平方公式进行变形，然后利用整体思想代入求值；

（2）a＝7﹣x，b＝x﹣3，根据完全平方公式及整体思想分析计算．

【解答】解：（1）∵a+b＝3，ab＝1，

∴a²+b²＝（a+b）²﹣2ab

＝3²﹣2×1

＝9﹣2

＝7；

（2）设a＝7﹣x，b＝x﹣3，

∴a+b＝4，ab＝1，

∴（7﹣x）²+（x﹣3）²

＝a²+b²

＝（a+b）²﹣2ab

＝16﹣2

＝14．

【点评】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式（a±b）²＝a²±2ab+b²的结构是解题关键．

23．某小区要修建观赏区，计划在长为（4a﹣2b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地面进行绿化改造，若在其中间修建一占地为边长（a+b）米的正方形的花坛，其余地面铺设草坪（阴影部分）．

（1）用含有a、b的式子表示草坪的总面积．（结果化为最简）

（2）若a＝5，b＝1，求出此时草坪的面积．

【分析】（1）绿化面积＝矩形面积﹣正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果；

（2）将a与b的值代入计算即可求出值．

【解答】解：（1）依题意得：

（4a﹣2b）（3a+2b）﹣（a+b）²

＝12a²+8ab﹣6ab﹣4b²﹣a²﹣2ab﹣b²

＝（11a²﹣5b²）平方米．

答：草坪的总面积是（11a²﹣5b²）平方米；

（2）当a＝5，b＝1时，

原式＝11×5²﹣5×1²

＝275﹣5

＝270（平方米）．

答：草坪的面积是270平方米．

【点评】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算﹣化简求值，弄清题意列出相应的式子是解本题的关键．

24．乘法公式的探究及应用．

（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是　a²﹣b²　（写成两数平方差的形式）；

（2）若将图①中阴影部分按虚线裁剪下来，重新拼成一个长方形，如图②，则该长方形的面积是　（a+b）（a﹣b）　；（写成多项式乘法的形式）

（3）比较图①②中阴影部分的面积，可以得到乘法公式　（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b²　；

（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：

①10.2×9.8；

②（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）．

【分析】（1）根据阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积即可得出答案；

（2）长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），从而得出长方形的面积；

（3）根据阴影部分面积相等即可得出乘法公式；

（4）①写成平方差公式的形式，用公式解答即可；

②变形成平方差公式的形式，用平方差公式和完全平方公式计算即可．

【解答】解：（1）阴影部分的面积＝a²﹣b²，

故答案为：a²﹣b²；

（2）长方形的面积＝（a+b）（a﹣b），

故答案为：（a+b）（a﹣b）；

（3）根据阴影部分面积相等得：（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b²，

故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b²；

（4）①原式＝（10+0.2）×（10﹣0.2）

＝10²﹣0.2²

＝100﹣0.04

＝99.96；

②原式＝[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]

＝4a²﹣（b﹣c）²

＝4a²﹣b²+2bc﹣c²．

【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式，根据阴影部分面积相等得到（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b²是解题的关键．