第2章二元一次方程组（易错30题专练）
一．选择题（共11小题）
1．（镇海区期中）下列各式中是二元一次方程的是（ ）
A．x2+y＝0 B．x＝
+1 C．x﹣2y＝1 D．
x+y
【分析】根据方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程，可得答案．
【解答】解：A、x2+y＝0，是二元二次方程，故本选项不合题意；
B、
是分式方程，故本选项不合题意；
C、x﹣2y＝1是二元一次方程，故本选项符合题意；
D、
+y是多项式，不是方程，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次元一次方程，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．
2．（安吉县期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．x+y＝1 B．x2+y＝0 C．xy＝3 D．x＝
+1
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【解答】解：A、是二元一次方程，故此选项符合题意；
B、是二元二次方程，故此选项不合题意；
C、是二元二次方程，故此选项不合题意；
D、分母含有字母，不是整式方程，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
3．（奉化区校级期末）下列方程：①x+y＝1；②
；③x2+y2＝1；④5（x+y）＝7（x﹣y）；⑤x2＝1；⑥x+
＝4，其中是二元一次方程的是（ ）
A．① B．①③ C．①②④ D．①②④⑥
【分析】二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
【解答】解：①x+y＝1；②
；④5（x+y）＝7（x﹣y），符合二元一次方程的定义．
③x2+y2＝1属于二元二次方程，故不符合题意；
⑤x2＝1属于一元二次方程，故不符合题意；
⑥x+
＝4属于一元一次方程，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的定义是含有两个未知数且含未知数项的最高次数都为1．
4．（金牛区期末）下列四组数值是二元一次方程2x﹣y＝6的解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】把各项中x与y的值代入方程检验即可．
【解答】解：A、把
代入方程得：左边＝2﹣5＝﹣3，右边＝6，
∵左边≠右边，
∴不是方程的解，不符合题意；
B、把
代入方程得：左边＝8﹣2＝6，右边＝6，
∵左边＝右边，
∴是方程的解，符合题意；
C、把
代入方程得：左边＝4﹣4＝0，右边＝6，
∵左边≠右边，
∴不是方程的解，不符合题意；
D、把
代入方程得：左边＝4﹣3＝1，右边＝6，
∵左边≠右边，
∴不是方程的解，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5．（衢州期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A．x2﹣y＝5 B．x﹣2y＝0 C．
＝1﹣3y D．2x﹣3＝x
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【解答】解：A．x2﹣y＝5，是二元二次方程，故本选项不合题意；
B．x﹣2y＝0，属于二元一次方程，故本选项符合题意；
C.
，是分式方程，故本选项不合题意；
D.2x﹣3＝x，是一元一次方程，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
6．（瑞安市期中）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．x+y＝5 B．3x+y2＝1 C．x+3＝2x D．
+y＝2
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的意义，可得答案．
【解答】解：A、是二元一次方程，故本选项符合题意；
B、是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D、不是整式方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
7．（长兴县月考）贝贝在课余时间解一道二元一次方程组
得到的解是
．其中y的值被她不小心碰翻了墨汁瓶，给墨水盖住了，不过，她通过验算，还是求出了y的值，进而可以解得p＝（ ）
A．
B．1 C．2 D．3
【分析】先把x的值代入原方程组求出y的值，再把y的值代入原方程组即可求出p的值．
【解答】解：把x＝
代入方程x+y＝1，得：
+y＝1，
解得：y＝
，
把x＝
代入方程x+py＝2，得：
+
p＝2，
解得：p＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是熟记二元一次方程组的解．
8．（桂平市期末）若方程组
的解满足x+y＝2020，则k等于（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【分析】将方程组的两个方程相加，化简可得x+y＝k﹣1，再根据x+y＝2020，即可得到k﹣1＝2020，进而求出k的值．
【解答】解：
，
①+②得，5x+5y＝5k﹣5，即：x+y＝k﹣1，
∵x+y＝2020，
∴k﹣1＝2020，
∴k＝2021，
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组．解题的关键是掌握二元一次方程组的解法，整体代入是求值的常用方法．
9．（奉化区校级期末）关于x、y的方程组
的解为整数，则满足这个条件的整数m的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．无数个
【分析】利用加减消元法消去y求出x，根据x为整数，确定出整数m的值即可．
【解答】解：
，
②﹣①得：mx﹣2x＝m，
解得：x＝
，
由x为整数，得到m＝0，1，3，4，
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
10．（大兴安岭）为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（ ）
A．11支 B．9支 C．7支 D．4支
【分析】购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，可知钢笔有12支，可设甲种钢笔有x支、乙种钢笔有y支、丙三种钢笔有z支，可列方程，得到整数解即可．
【解答】解：设甲种钢笔有x支、乙种钢笔有y支、丙种钢笔有z支，则
，
其中x＝11，x＝9，x＝7时都不符合题意；
x＝4时，y＝4，z＝4符合题意．
故选：D．
【点评】考查了三元一次方程组的应用．本题也可设出三个未知数列出方程组求解，得到甲、乙、丙三种钢笔的总支数是解题的关键．
11．（诸暨市期末）若方程组
的解也是方程kx+2y＝18的解，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先解方程组，求出x、y的值，把x、y的值代入方程kx+2y＝18中，求出k即可．
【解答】解：
，
①+②，得4x＝20．
∴x＝5．
①﹣②×3，得﹣8y＝﹣32，
∴y＝4．
∵方程组
的解也是方程kx+2y＝18的解，
∴5k+2×4＝18．
∴k＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，题目难度不大，掌握解二元一次方程组的方法是解决本题的关键．
二．填空题（共10小题）
12．（北仑区期末）已知3x﹣2y﹣3＝0，求23x÷22y＝ 8 ．
【分析】把3x﹣2y﹣3＝0变形为3x﹣2y＝3，再根据同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】解：由3x﹣2y﹣3＝0得3x﹣2y＝3，
∴23x÷22y＝23x﹣2y＝23＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，熟记运算法则是解答本题的关键．同底数幂相除，底数不变，指数相减．
13．（丽水月考）若关于x，y的
的解是
，则关于m，n的方程组
的解是 
．
【分析】仿照已知方程组的解法求出所求方程组的解即可．
【解答】解：∵关于x，y的
的解是
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（奉化区校级期末）若
＝0，则x+y的值为 2 ．
【分析】先根据非负数的性质列出关于x、y的二元一次方程组，两个方程相加可解答．
【解答】解：∵
＝0，
∴
，
①+②得：3x+3y﹣6＝0，
∴x+y＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是非负数的性质，解二元一次方程组，利用整体思想是解答此题的关键．
15．（杭州期中）已知关于x，y的二元一次方程2x﹣3y＝t，其部分值如下表所示，则p的值是 15 ．
-
x
m
m+2
y
n
n﹣2
t
5
p
【分析】根据题意可得2m﹣3n＝5，再代入方程2（m+2）﹣3（n﹣2）＝p求解即可．
【解答】解：由题意，
得2m﹣3n＝5，2（m+2）﹣3（n﹣2）＝p，
∴2m+4﹣3n+6＝p，
即p＝（2m﹣3n）+4+6＝5+4+6＝15．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，利用整体代入的思想方法是解答本题的关键．
16．（揭阳一模）若方程组
的解是
，则b＝ ﹣3 ．
【分析】把
代入方程组
得：
，解方程组即可．
【解答】解：把
代入方程组
得：
，
解得：
，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解集本题的关键是运用代入法求解．
17．（诸暨市模拟）在学校组织的游艺晚会上，掷飞镖游艺区游戏区规则如下，如图掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分（掷中一次记一个点）现统计小华、小明和小芳掷中与得分情况，如图所示，依此方法计算小芳的得分为 74分 ．
【分析】首先设掷到A区和B区的得分分别为x、y分，根据图示可得等量关系：①掷到A区5个的得分+掷到B区3个的得分＝77分；②掷到A区3个的得分+掷到B区5个的得分＝75分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可得到掷中A区、B区一次各得多少分；由图示可得求的是掷到A区2个的得分+掷到B区6个的得分，根据解出的数代入计算即可．
【解答】解：设掷到A区和B区的得分分别为x、y分，
依题意得：
解得：
可知：2x+6y＝74，
答：依此方法计算小芳的得分为74．
故答案为：74分．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．
18．（浙江自主招生）三个同学对问题“若方程组
的解是
，求方程组
的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组中两个方程的两边都除以9，通过换元替代的方法来解决”．参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 
．
【分析】第二格方程组方程组变形为
，设
x＝m，
y＝n，得出
，根据方程组
的解是
，求出此方程组的解是
，得出
x＝4，
y＝10，求出即可．
【解答】解：方程组
变形为：
，
设
x＝m，
y＝n，
则
，
∵方程组
的解是
，
∴
的解释：
，
即
x＝4，
y＝10，
解得：x＝9，y＝18，
故答案为：
．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解的应用，此题主要考查学生的理解能力和思维能力，此题比较好，但有一定的难度，能发现其中的规律是解此题的关键．
19．（婺城区一模）试写出一个以
为解的二元一次方程组 
．
【分析】本题是一个开放性的题目，答案不唯一，只有举出一个方程组，把x＝3，y＝﹣1代入方程组，每个方程的左右两边分别相等即可．
【解答】解：∵当x＝3，y＝﹣1时，x+y＝2，x﹣y＝4，
符合条件的一个方程组是
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，本题具有一定的代表性，是一道开放性的题目，答案不唯一，再如：
等．
20．（宁波期中）把某个式子看成一个整体，用一个变量取代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于x，y的方程组
的解是
，则关于x，y的方程组
的解是 
．
【分析】对比两个方程组，可得3（x+y）就是第一个方程组中的x，即3（x+y）＝6，同理：2（x﹣y）＝2，解出即可．
【解答】解：∵
，
∴
由题意知：
，解得
；
故答案为：
．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了整体换元的思想解决问题，注意第一个和第二个方程组中的右边要统一．
21．2008年北京第29届奥运会，中国，美国，俄罗斯获得奖牌总数分别是100，110，72，其中中国和俄罗斯的银牌、铜牌总数分别相等，俄罗斯的金牌总数比中国的金牌总数少28枚，而美国金牌总数比俄罗斯多13枚，美国的金牌总数与铜牌总数相等，银牌总数比金牌总数多2枚．中国的铜牌总数比银牌总数多7枚．请你根据上述信息计算一下中国的金牌总数是 51 ，美国的银牌总数是 38 ，俄罗斯的铜牌总数是 28 ．
【分析】设中国的金，银，铜牌数为未知数，等量关系为：中国的金牌数+银牌数+铜牌数＝100；中国的铜牌总数﹣银牌总数＝7；美国的金牌数+银牌数+铜牌数＝110，把相关数值代入计算可得．
【解答】解：设中国的金，银，铜牌数分别为a，b，c．则俄罗斯的银牌数为b，铜牌数为c，金牌数为a﹣28，所以美国的金牌数和铜牌数均为a﹣28+13＝a﹣15，美国的银牌数a﹣15+2＝a﹣13．
解之得a＝51，b＝21，c＝28．
∴美国的银牌数为a﹣13＝38；故答案为51；38；28．
【点评】考查三元一次方程组的应用；用代数式表示出3个国家的奖牌数目是解决本题的突破点；根据中国的金牌总数和美国的金牌总数得到的等量关系是解决本题的关键．
三．解答题（共9小题）
22．（丽水月考）已知关于x，y的方程组
，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为
，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为
，求原方程组的正确解．
【分析】将甲得到的方程组的解代入第二个方程，将乙得到方程组的解代入第一个方程，确定出正确的方程组，求出方程组的解即可得到正确的解．
【解答】解：将x＝﹣3，y＝﹣1代入4x﹣by＝﹣2，
将x＝5，y＝2代入ax+5y＝15，
组成方程组得：
，
解得：
则方程组为
，
解得，
，
所以原方程组的正确解是：
．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
23．（长兴县月考）已知x＝6，y＝﹣1与x＝﹣2，y＝﹣5都是方程y＝kx+b的解．
（1）求k与b的值；
（2）当x＝2时，求|y|的值．
【分析】（1）根据题意可得关于k、b的方程组，解方程组即可得到答案；
（2）由（1）可得y＝
x﹣4，将x＝2代入可得答案．
【解答】解：（1）根据题意可得：
，
解得：
．
（2）由（1）可得y＝
x﹣4，
将x＝2代入，得y＝﹣3，
∴|y|＝3．
【点评】此题考查的是二元一次方程的解及绝对值，根据题意得方程组是解决此题关键．
24．（奉化区校级期末）已知关于x，y的方程组
的解满足4x+y＝3，求m的值．
【分析】根据等式的性质，二元一次方程组的解法即可得到答案．
【解答】解：由题意可得
，
解得
，
将
代入mx+（m﹣1）y＝3，得
m+
（m﹣1）＝3，
解得
．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，能够正确利用等式的性质解二元一次方程组是解题的关键．
25．（永康市期末）解方程组
（1）
（2）
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）
，
把②代入①得：﹣3（y﹣1）+2y＝1，
y＝2，
∴x＝2﹣1＝1，
∴方程组的解为：
；
（2）
，
①﹣②得：9t＝3，
t＝
，
把t＝
代入①得：2s+1＝2，s＝
，
∴方程组的解为：
．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
26．（奉化区校级期末）解方程组：
（1）
；
（2）
．
【分析】（1）先化简，再加减消元求解．
（2）先化简，再加减消元化简．
【解答】解：（1）原方程组去分母，去括号得：
．
①×3﹣②×2得：9x+6y﹣8x﹣6y＝﹣60﹣14．
∴x＝﹣74．
代入①得：y＝101．
∴原方程组的解为：
．
（2）原方程组去分母，去括号得：
．
①×2+②得：﹣2x+14y+2x+y＝8+3．
∴y＝
．
代入②得：x＝
．
∴原方程组的解为：
．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，正确去分母，去括号化简方程是求解本题的关键．
27．（婺城区校级期中）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值．
（2）在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 2m+n 张，B型板材 m+2n 张（用m、n的代数式表示）；
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是 24或27或30 个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可．
【解答】解：由题意得：
，
解得
；
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×m＝2m，裁法二产生A型板材为：1×n＝n，
所以两种裁法共产生A型板材为2m+n（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×m＝m，裁法二产生A型板材为，2×n＝2n，
所以两种裁法共产生B型板材为（m+2n）张；
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个．
由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张．
∵所裁得的板材恰好用完，
∴
＝
，化简得m＝4n．
∵n，m皆为整数，
∴m为4的整数倍，
又∵30≤m≤40，
∴m可取32，36，40，
此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30．
故答案为：2m+n；m+2n；24或27或30．
【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
28．（慈溪市校级月考）已知关于x，y的方程组
的解是方程x﹣2y＝3的解，求出m的值．
【分析】根据方程组的解的意义得到x、y满足方程组
，求出x，y的值，然后把它们代入mx+2y＝5中，再解关于m的方程即可．
【解答】解：方程组
，
解得：
，
把
代入mx+2y＝5中得：﹣5m﹣8＝5，
解得：m＝﹣
．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是熟记二元一次方程组中各方程的未知数的值叫二元一次方程组得解．
29．（宁波校级期中）在解方程组
时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到方程组的解为
，乙看错了方程组中的b，而得到方程组的解为
（1）甲把a看成了什么？乙把b看成了什么？
（2）求出原方程组的正确解．
【分析】（1）将甲的解代入方程组中的第二个方程，求出b的值，将乙的解代入第一个方程求出a的值；
（2）确定方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）将x＝1，y＝6代入第一个方程得：a+6＝10，解得：a＝4；代入第二个方程得：1+6b＝7，解得：b＝1，
将x＝﹣1，y＝12代入第一个方程得：﹣a+12＝10，解得：a＝2；代入第二个方程得：12b﹣1＝7，解得：b＝
．
所以，甲把a看成了4，乙把b看成了
．
（2）方程组为：
，
①﹣②得：x＝3，
将x＝3代入②得：y＝4，
则方程组的解为：
．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是明确方程组的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
30．甲仓库和乙仓库分别存放着某种机器20台和6台．现在准备调运给A厂10台，B厂16台，已知从甲库调运一台机器到A厂的运费为400元，到B厂的运费为800元；从乙库调运一台机器到A厂的运费为300元，到B厂的运费为500元，如果总运费用了16000元．求：从甲库调给A厂，乙库调给B厂各为多少台机器？
【分析】由题中从甲仓库到A厂和从乙仓库到A厂的机器总数为10台，及总费用为16000元可以列出两个方程，求方程组的解即可．
【解答】解：设从甲库给A厂x台，从乙库给B厂y台，则甲给B（20﹣x）台，乙给A（6﹣y）台．
，（6分）
解得：
答：从甲库调给A厂5台机器，从乙库给B厂台1台机器．（12分）
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，只要利用其中的两个关系即可．