第2章
二元一次方程组（压轴30题专练）
一．选择题（共10小题）
1．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）
A．7，6，1，4 B．6，4，1，7 C．4，6，1，7 D．1，6，4，7
【分析】已知结果（密文），求明文，根据规则，列方程组求解．
【解答】解：依题意，得
，
解得
．
∴明文为：6，4，1，7．
故选：B．
【点评】本题考查了方程组在实际中的运用，弄清题意，列方程组是解题的关键．
2．巴广高速公路在5月10日正式通车，从巴中到广元全长约为126km．一辆小汽车，一辆货车同时从巴中，广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6km，设小汽车和货车的速度分别为xkm/h，ykm/h，则下列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】此题考查的是相遇问题，根据题意列二元一次方程组即可．
【解答】解：设小汽车的速度为xkm/h，则45分钟小汽车行进的路程为
xkm；设货车的速度为ykm/h，则45分钟货车行进的路程为
ykm．
由两车起初相距126km，则可得出
；
又由相遇时小汽车比货车多行6km，则可得出
．
∴可得出方程组
．
故选：D．
【点评】学生在分析解答此题时需注意弄清题意，明白所要考查的要点．另外，还需注意单位的换算，避免粗心造成失误．
3．用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用x，y表示矩形的长和宽（x＞y），则下列关系式中不正确的是（ ）
A．x+y＝12 B．x﹣y＝2 C．xy＝35 D．x2+y2＝144
【分析】能够根据大正方形和小正方形的面积分别求得正方形的边长，再根据其边长分别列方程，根据4个矩形的面积和等于两个正方形的面积的差列方程．
【解答】解：A、根据大正方形的面积求得该正方形的边长是12，则x+y＝12，故A选项正确；
B、根据小正方形的面积可以求得该正方形的边长是2，则x﹣y＝2，故B选项正确；
C、根据4个矩形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即4xy＝144﹣4＝140，xy＝35，故C选项正确；
D、（x+y）2＝x2+y2+2xy＝144，故D选项错误．
故选：D．
【点评】此题关键是能够结合图形和图形的面积公式正确分析，运用排除法进行选择．
4．中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则与2个球体相等质量的正方体的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据图中物体的质量和天平的平衡情况，设出未知数，列出方程组解答．
【解答】解：设球体、圆柱体与正方体的质量分别为x、y、z，根据已知条件，得：
，
（1）×2﹣（2）×5，得：
2x＝5z，
即2个球体相等质量的正方体的个数为5．
故选：A．
【点评】本题通过建立二元一次方程组，求得球体与正方体的关系，等量关系是天平两边的质量相等．
5．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为a﹣2b，2a+b．例如，明文1，2对应的密文是﹣3，4时，当接收方收到密文是1，7时，解密得到的明文是（ ）
A．﹣1，1 B．1，3 C．3，1 D．1，1
【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是“a﹣2b＝1”和“2a+b＝7”，列方程组求解即可．
【解答】解：根据题意列方程组，得
，
解得
，
故选：C．
【点评】数学来源于生活，又服务于生活，本题就是数学服务于生活的实例．
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
6．某班共有学生49人．一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半．若设该班男生人数为x，女生人数为y，则下列方程组中，能正确计算出x、y的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】此题中的等量关系有：
①该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半；
②男生人数+女生人数＝49．
【解答】解：根据该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半，得x﹣1＝
y，即y＝2（x﹣1）；根据某班共有学生49人，得x+y＝49．
列方程组为
．
故选：D．
【点评】列方程组解应用题的关键是找准等量关系，同时能够根据等式的性质对方程进行整理变形，从而找到正确答案．
7．一副三角板按如图的方式摆放，且∠α比∠β的度数大50°，若设∠α＝x°，∠β＝y°，则可得到的方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】此题中的等量关系有：
①三角板中最大的角是90度，从图中可看出∠α度数+∠β的度数+90°＝180°；
②∠α比∠β的度数大50°，则∠α的度数＝∠β的度数+50度．
【解答】解：根据平角和直角定义，得方程x+y＝90；
根据∠α比∠β的度数大50°，得方程x＝y+50．
可列方程组为
．
故选：D．
【点评】此题注意数形结合，理解平角和直角的概念．
8．《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图（1）、（2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与对应的常数项，把图（1）所示的算筹图中方程组形式表述出来，就是
类似地，图（2）所示的算筹图可表述为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据图1，结合已知的方程组理解算筹表示的实际数字，发现：前两项是x、y的系数，后一项是方程右边的常数项，十位数用横线表示，个位数用竖线表示，满五用横线表示．按此规律，即可看出第二个方程组．
【解答】解：根据已知，得第一个方程是2x+y＝11；第二个方程是4x+3y＝27，
则方程组为
．
故选：A．
【点评】主要培养学生的观察能力，关键是能够根据已知的方程根据对应位置的数字理解算筹表示的实际数字．
9．
分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“
”的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】在本题中，前两个天平已经平衡，那么就代表两个等量关系：
（1）第一个天平中的等量关系是：两个球的质量等于一个球的质量和一个正方体的质量之和，隐含的意思是一个球的质量与一个正方体的质量是相同的；
（2）第二个天平中的等量关系是：一个正方体的质量和一个球的质量之和等于一个圆锥的质量．既然正方体的质量和球的质量是相同的，那么第二个天平就表示两个正方体的质量等于一个圆锥的质量．第三个天平的左边是一个球和一个圆锥，一个球相当于一个正方体，一个圆锥相当于两个正方体，所以右边应放三个正方体．
【解答】解：因为一个球相当于一个正方体的质量，一个圆锥相当于两个正方体的质量，所以在第三个天平的右边应放三个正方体．
故选：B．
【点评】本题是三个未知数，两个等量关系．由于是问右边放几个正方体，所以球和圆锥的质量都可以用正方体的数量来表示，而不必算出它们的质量．
10．同学们喜欢足球吗？足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数依次为（ ）
A．16块、16块 B．8块、24块 C．20块、12块 D．12块、20块
【分析】根据题意可知：本题中的等量关系是“黑白皮块32块”和因为每块白皮有3条边与黑边连在一起，所以与黑皮重合的边有3y，而黑皮共有边数为5x，依此列方程组求解即可．
【解答】解：设黑色皮块和白色皮块的块数依次为x，y．
则
，
解得
，
即黑色皮块和白色皮块的块数依次为12块、20块．
故选：D．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
11．已知：2+
＝22×
，3+
＝32×
，4+
＝42×
，5+
＝52×
，…，若10+
＝102×
符合前面式子的规律，则a+b＝ 109 ．
【分析】要求a+b的值，首先应该认真仔细地观察题目给出的4个等式，找到它们的规律，即
中，b＝n+1，a＝（n+1）2﹣1．
【解答】解：根据题中材料可知
＝
，
∵10+
＝102×
，
∴b＝10，a＝99，
a+b＝109．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出式子的规律．
12．某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排 120 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．
【分析】可设应该安排x名工人缝制衣袖，y名工人缝制衣身，z名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，根据等量关系：①一共210名工人；②小袖的个数：衣身的个数：衣领的个数＝2：1：1；依此列出方程组求解即可．
【解答】解：设应该安排x名工人缝制衣袖，y名工人缝制衣身，z名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，依题意有
，
解得
．
故应该安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．
故答案为：120．
【点评】考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．
（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中优越性．
13．小林每天下午5点放学时，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家，有一天学校提前一个小时放学，小林自己步行回家，在途中遇到开车来接他的爸爸，结果比平时早20分钟到家，则小林步行 50 分钟遇到来接他的爸爸．
【分析】设小林自己走的路程为S，根据：结果比平时早20分钟到家，可知提前放学的这一天，开车的距离少2S，得到车速＝
＝
，小林走这段路程比车走这段路段多用时60﹣20＝40分钟（早出发1小时，提前到达20分钟），依此列出式子求解．
【解答】解：设小林自己走的路程为S．
根据题意得：
＝
+40＝
+40＝50（分钟）．
故填50．
【点评】此题涉及实际问题，考查学生的分析能力，难度偏难．注意：结果比平时早20分钟到家．
14．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的
，另一根露出水面的长度是它的
．两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是 20 cm．
【分析】考查方程思想及观察图形提取信息的能力．
【解答】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．
因为两根铁棒之和为55cm，故可列x+y＝55，
又知两棒未露出水面的长度相等，故可知
x＝
y，
据此可列：
，
解得：
，
因此木桶中水的深度为30×
＝20cm．
故填20．
【点评】本题是一道能力题，注意图形与方程等量关系的结合．
15．小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多 20 道．
【分析】本题可设x道难题，y道中档题，z道容易题，因为小明、小林和小颖共解出100道数学题，所以x+y+z＝100①，又因每人都解出了其中的60道，只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，所以有x+2y+3z＝180②，①×2﹣②，得x﹣z＝20，所以难题比容易题多20道．
【解答】解：设x道难题，y道中档题，z道容易题．
x+y+z＝100①
x+2y+3z＝180②
①×2﹣②，得x﹣z＝20，
∴难题比容易题多20道．
故填20．
【点评】此类题目的解决需仔细分析题意，进而利用方程组来求出答案．
16．某果蔬饮料由果汁、蔬菜汁和纯净水按一定质量比配制而成，纯净水、果汁、蔬菜汁的价格比为1：2：2，因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），那么该种饮料中果汁与蔬菜汁的质量和与纯净水的质量之比为 2：3 ．
【分析】设纯净水、果汁、蔬菜汁的价格为a，2a，2a，设纯净水、果汁、蔬菜汁按一定质量比为x：y；z，根据因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），可列出方程求解．
【解答】解；设纯净水、果汁、蔬菜汁的价格为a，2a，2a，
设纯净水、果汁、蔬菜汁按一定质量比为x：y：z，
ax+2ay+2az＝ax（1﹣20%）+2ay（1+15%）+2az（1+15%），
0.2x＝0.3（y+z），
（y+z）：x＝2：3．
故答案为：2：3．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是知道价格变化后，成本不变，以成本为等量关系可列方程求解．
17．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 3750 km．
【分析】设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为
，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为
．
又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm．
分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有
两式相加，得
，
则
（千米）．
故答案为：3750．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
三．解答题（共13小题）
18．小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为0.8m，2.5m且粗细相同的钢管分别为100根，32根，并要求这些用料不能是焊接而成的．现钢材市场的这种规格的钢管每根为6m．
（1）试问一根6m长的圆钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空（余料作废）．
方法①：当只裁剪长为0.8m的用料时，最多可剪 7 根；
方法②：当先剪下1根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料 4 根；
方法③：当先剪下2根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料 1 根．
（2）分别用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根6m长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？
（3）试探究：除（2）中方案外，在（1）中还有哪两种方法联合，所需要6m长的钢管与（2）中根数相同？
【分析】（1）由总数÷每份数＝份数就可以直接得出结论；
（2）设用方法②剪x根，方法③裁剪y根6m长的钢管，就有x+2y＝32，4x+y＝100，由此构成方程组求出其解即可．
（3）设方法①裁剪m根，方法③裁剪n根6m长的钢管和设方法①裁剪a根，方法②裁剪b根6m长的钢管，分别建立方程组求出其解即可．
【解答】解：（1）①6÷0.8＝7…0.4，因此当只裁剪长为0.8m的用料时，最多可剪7根；
②（6﹣2.5）÷0.8＝4…0.3，因此当先剪下1根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料4根；
③（6﹣2.5×2）÷0.8＝1…0.2，因此当先剪下2根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料1根；
故答案为：7，4，1．
（2）设用方法②剪x根，方法③裁剪y根6m长的钢管，由题意，得
，
解得：
．
答：用方法②剪24根，方法③裁剪4根6m长的钢管；
（3）设方法①裁剪m根，方法③裁剪n根6m长的钢管，由题意，得
，
解得：
，
∴m+n＝28．
∵x+y＝24+4＝28，
∴m+n＝x+y．
设方法①裁剪a根，方法②裁剪b根6m长的钢管，由题意，得
，
解得：
无意义．
∴方法①与方法③联合，所需要6m长的钢管与（2）中根数相同．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据每份数×份数＝总数建立方程是关键，注意分类讨论思想的运用，本题难度适中．
19．某镇水库的可用水量为12000万立方米，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量．实施城市化建设，新迁入4万人后，水库只够维持居民15年的用水量．
（1）问：年降水量为多少万立方米？每人年平均用水量多少立方米？
（2）政府号召节约用水，希望将水库的保用年限提高到25年，则该镇居民人均每年需节约多少立方米才能实现目标？
【分析】（1）设年降水量为x万立方米，每人每年平均用水量为y立方米，根据储水量+降水量＝总用水量建立方程求出其解就可以了；
（2）设该城镇居民年平均用水量为z立方米才能实现目标，同样由储水量+25年降水量＝25年20万人的用水量为等量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）设年降水量为x万立方米，每人每年平均用水量为y立方米，由题意，得
，
解得：
答：年降水量为200万立方米，每人年平均用水量为50立方米．
（2）设该城镇居民年平均用水量为z立方米才能实现目标，由题意，得
12000+25×200＝20×25z，
解得：z＝34
则50﹣34＝16（立方米）．
答：该城镇居民人均每年需要节约16立方米的水才能实现目标．
【点评】本题是一道生活实际问题，考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据储水量+降水量＝总用水量建立方程是关键．
20．列方程或方程组解应用题：
“五一”节日期间，某超市进行积分兑换活动，具体兑换方法见右表．爸爸拿出自己的积分卡，对小华说：“这里积有8200分，你去给咱家兑换礼品吧”．小华兑换了两种礼品，共10件，还剩下了200分，请问她兑换了哪两种礼品，各多少件？
-
积分兑换礼品表
兑换礼品
积分
电茶壶一个
7000分
保温杯一个
2000分
牙膏一支
500分
【分析】用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系；本题中2个等量关系为：兑换的两种礼品的和＝10件；
用去积分＝8000分，根据题意列出方程组即可．
【解答】解：因为积分卡中只有8200分，要兑换10件礼品，所以不能选择兑换电茶壶．
设小华兑换了x个保温杯和y支牙膏，
依题意，得
，
解得
，
答：小华兑换了2个保温杯和8支牙膏．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
21．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16t；如果进行精加工，每天可加工6t，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案．
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
【分析】方案1：把140吨蔬菜全部粗加工，每吨获利4500元；
方案2：15天精加工，每天加工6t，每吨获利7500；剩下的50t直接销售，每吨获利1000元；
方案3：等量关系为：精加工天数+粗加工天数＝15，精加工吨数+粗加工吨数＝140．
【解答】解：①方案一获利为：4500×140＝630000（元）．
②方案二获利为：7500×（6×15）+1000×（140﹣6×15）＝675000+50000＝725000（元）．
③设x天进行粗加工，y天进行精加工，
由题意，得
解得：
所以方案三获利为：7500×6×10+4500×16×5＝810000（元）．
由于810000＞725000＞630000，所以选择方案三获利最多．
答：选择方案三获利最多．
【点评】选择获利最多方案，用到的关系式为每吨获利×吨数＝总获利，注意精加工和粗加工每吨获利不同．
22．阅读下列材料：
小明同学遇到下列问题：解方程组
，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为
，解的
，把
代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得
解得
所以，原方程组的解为
．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）
；
（2）
．
【分析】认真理解题目中给定的整体代换思路，按照所给的方法求出方程组的解即可．
【解答】解：（1）令m＝
，n＝
，
原方程组化为
，
解得：
，
∴
，
解得：
．
∴原方程组的解为
．
（2）令m＝
，n＝
，
原方程组可化为：
，
解得：
，
∴
，
经检验，
是原方程的解．
∴原方程组的解为
．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，整体代换是解题的关键．
23．已知方程组
由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为
；乙看错了方程②中的b得到方程组的解为
，若按正确的a，b计算，请你求原方程组的解．
【分析】把甲的结果代入第二个方程求出b的值，把乙的结果代入第一个方程求出a的值，确定出方程组，求出解即可．
【解答】解：把
代入②得：﹣12+b＝﹣2，即b＝10；
把
代入①得：5a﹣20＝15，即a＝7，
方程组为
，
整理得：
，
①﹣②得：5x＝16，
解得：x＝
，
把x＝
代入①得：y＝
，
则方程组的解为
．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
24．一批货物要运往A地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知前两次租用这两种货车的情况如下表：
-
第一次
第二次
甲种货车辆数（辆）
2
3
乙种货车辆数（辆）
3
6
累计运送货物（吨）
15.5
27
根据表格提供数据，请解答以下问题：
（1）甲、乙两种货车每辆一次分别运送多少吨货物？
（2）该货主租用以上甲种货车4辆、乙种货车8辆，一次性刚好运往完这批货物，如果按每吨付运费30元计算，问货主携带1000元现金是否够支付？
【分析】（1）设甲种货车每辆一次运送x吨货物，乙种货车每辆一次运送y吨货物，根据前两次租用这两种货车的情况统计表中数据，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据货物总重量＝每辆甲车的载货量×租车辆数+每辆乙车的载货量×租车辆数可求出这批货物的总重量，再根据每吨所需的运费可求出总运费，将其与1000比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种货车每辆一次运送x吨货物，乙种货车每辆一次运送y吨货物，
根据题意得：
，
解得：
．
答：甲种货车每辆一次运送4吨货物，乙种货车每辆一次运送2.5吨货物．
（2）这批货物的总重量为4×4+2.5×8＝16+20＝36（吨），
总运费为36×30＝1080（元）．
∵1080元＞1000元，
∴1000元现金不够支付．
答：货主携带1000元现金不够支付．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）求出这批货物的总运费，将其与1000进行比较．
25．班委会决定，由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共22支，送给结对的山区学校的同学，他们去了商场，看到圆珠笔每支5元，钢笔每支6元．
（1）若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去120元，问圆珠笔、钢笔各买了多少支？
（2）若购买圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，则只需付多少钱？
【分析】（1）购买圆珠笔x支，钢笔y支，根据题意列出x和y的二元一次方程组，解方程组求出x和y的值即可；
（2）求出圆珠笔和钢笔的价钱，再进行优惠计算．
【解答】解：（1）购买圆珠笔x支，钢笔y支，
根据题意，得
，
解得
，
答：购买圆珠笔12支，钢笔10支，
（2）根据题意，得
12×5×0.9+10×6×0.8＝102（元）．
答：购买圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，则只需付102钱．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组，此题难度不大．
26．问题：有甲、乙、丙三种商品，①购甲3件、乙5件、丙7件共需490元钱；②购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱；③购甲2件，乙3件，丙1件共需170元钱．求购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元？
小明说：“可以根据3个条件列出三元一次方程组，分别求出购甲、乙、丙一件需多少钱，再相加即可求得答案．”
小丽经过一番思考后，说：“本题可以去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求出答案．”针对小丽的发言，同学们进行了热烈地讨论．
（1）请你按小明的思路解决问题．
（2）小丽的说法正确吗？如果正确，请完成解答过程；如果不正确，请说明理由．
（3）请根据上述解决问题中积累的经验，解决下面的问题：学校购买四种教学用具A、B、C、D，第一次购A教具1件、B教具3件、C教具4件、D教具5件共花2018元；第二次购A教具1件、B教具5件、C教具7件、D教具9件共花3036元．求购A教具5件、B教具3件、C教具2件、D教具1件共需多少元？
【分析】（1）设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买一件丙种商品需要z元，根据“①购甲3件、乙5件、丙7件共需490元钱；②购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱；③购甲2件，乙3件，丙1件共需170元钱”，即可得出关于x、y、z的三元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买一件丙种商品需要z元，根据“①购甲3件、乙5件、丙7件共需490元钱；②购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱”，即可得出关于x、y、z的三元一次方程组，由方程①×3﹣方程②×2可得x+y+z＝90，此题得解；
（3）设购买一套A教具需要a元，购买一套B教具需要b元，购买一套C教具需要c元，购买一套D教具需要d元，根据“购A教具1件、B教具3件、C教具4件、D教具5件共花2018元；第二次购A教具1件、B教具5件、C教具7件、D教具9件共花3036元”，即可得出关于a、b、c、d的四元一次方程组，设a+b+c+d＝m、2b+3c+4d＝n，可将原方程组变形为关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出m、n的值，将其代入5a+3b+2c+d＝5m﹣n中即可求出结论．
【解答】解：（1）设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买一件丙种商品需要z元，
根据题意得：
，
解得：
，
∴x+y+z＝90．
答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需90元．
（2）小丽的说法正确．
设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买一件丙种商品需要z元，
根据题意得：
，
方程①×3﹣方程②×2，得：x+y+z＝90．
答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需90元．
（3）设购买一套A教具需要a元，购买一套B教具需要b元，购买一套C教具需要c元，购买一套D教具需要d元，
根据题意得：
，
方程组可变形为：
，
设a+b+c+d＝m，2b+3c+4d＝n，
则原方程组可变形为：
，
解得：
，
∴5a+3b+2c+d＝5（a+b+c+d）﹣（2b+3c+4d）＝5m﹣n＝3982．
答：购A教具5件、B教具3件、C教具2件、D教具1件共需3982元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、三元一次方程组的应用以及四元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出三元一次方程组；（2）根据方程①②之间的关系，求出x+y+z的值；（3）巧妙的将原四元一次方程组转化为二元一次方程组求解．
27．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员A：月销售件数200件，月总收入2400元；
营业员B：月销售件数300件，月总收入2700元；
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
（1）求x、y的值；
（2）若某营业员的月总收入不低于3100元，那么他当月至少要卖服装多少件？
（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需350元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以得到x、y的值；
（2）由题意可以列出相应的不等式，从而可以得到某营业员至少需要卖出服装的件数；
（3）由题意可得相应的三元一次方程组，通过变形即可得到问题的答案．
【解答】解：（1）由题意，得
，
解得
即x的值为1800，y的值为3；
（2）设某营业员当月卖服装m件，由题意得，
1800+3m≥3100，
解得，
，
∵m只能为正整数，
∴m最小为434，
即某营业员当月至少要卖434件；
（3）设一件甲为a元，一件乙为b元，一件丙为c元，则
，
将两等式相加得，4a+4b+4c＝720，
则a+b+c＝180，
即购买一件甲、一件乙、一件丙共需180元．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组或不等式．
28．水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
-
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
400
500
600
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
【分析】（1）设需要甲种车型x辆，乙种车型y辆，根据水果120吨且运费为8200元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为正整数，求出x，y的值，从而得出答案．
【解答】解析：（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：
，
解得
．
答：需甲车型8辆，乙车型10辆；
（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：
，
消去z得5x+2y＝40，x＝8﹣
y，
因x，y是正整数，且不大于14，得y＝5，10，
由z是正整数，解得
，
，
当x＝6，y＝5，z＝5时，总运费为：6×400+5×500+5×600＝7900元；
当x＝4，y＝10，z＝2时，总运费为：4×400+10×500+2×600＝7800元＜7900元；
∴运送方案：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
29．某体育彩票经销商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A、B、C三种不同价格的彩票，进价分别是A彩票每张1.5元，B彩票每张2元，C彩票每张2.5元．
（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；
（2）若销售A型彩票一张获手续费0.2元，B型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票一张获手续费0.5元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？
（3）若经销商准备用45000元同时购进A、B、C三种彩票20扎，请你设计进票方案．
【分析】（1）因为彩票有A，B，C三种不同型号，而经销商同时只购进两种，所以要将A，B，C两两组合，分三种情况：A，B；A，C；B，C，每种情况都可以根据下面两个相等关系列出方程，两种不同型号的彩票扎数之和＝20，购买两种不同型号的彩票钱数之和＝45000，然后根据实际含义确定他们的解．
（2）根据上一问分别求出每一种情况的手续费，然后进行比较，可以得出结果．
（3）有两个等量关系：A彩票扎数+B彩票扎数+C彩票扎数＝20，购买A彩票钱数+购买B彩票钱数+购买C彩票钱数＝45000．设三个未知数，用含有同一个未知数的代数式去表示另外的两个未知数，然后根据三个未知数的取值范围都小于20，得出一元一次不等式组，求出解集，最后根据实际含义确定解．
【解答】解：（1）若设购进A种彩票x张，B种彩票y张，
根据题意得：x+y＝1000×20；1.5x+2y＝45000，
解得：x＝﹣10000，y＝30000，
∴x＜0，不合题意；
若设购进A种彩票x张，C种彩票y张，
根据题意得：x+y＝1000×20；1.5x+2.5y＝45000，
解得：x＝5000，y＝15000，
若设购进B种彩票x张，C种彩票y张，
根据题意得：2x+2.5y＝45000；x+y＝1000×20．
解得：x＝10000，y＝10000，
综上所述，若经销商同时购进两种不同型号的彩票共有两种方案可行，
即A种彩票5扎，C种彩票15扎或B种彩票与C种彩票各10扎；
（2）若购进A种彩票5扎，C种彩票15扎，
销售完后获手续费为0.2×5000+0.5×15000＝8500（元），
若购进B种彩票与C种彩票各10扎，
销售完后获手续费为0.3×10000+0.5×10000＝8000（元），
∴为使销售完时获得手续最多选择的方案为A种彩票5扎，C种彩票15扎；
（3）若经销商准备用45000元同时购进A、B、C三种彩票20扎．
设购进A种彩票m扎，B种彩票n扎，C种彩票h扎．
由题意得：m+n+h＝20；1.5×1000m+2×1000n+2.5×1000h＝45000，即h＝m+10，
∴n＝﹣2m+10，
∵m、n都是正数
∴1≤m＜5，
又m为整数共有4种进票方案，具体如下：
方案1：A种1扎，B种8扎，C种11扎；
方案2：A种2扎，B种6扎，C种12扎；
方案3：A种3扎，B种4扎，C种13扎；
方案4：A种4扎，B种2扎，C种14扎．
【点评】（1）从A，B，C中同时取出两种，有三种情况．
（2）在求几个未知数的取值范围时，注意转化，利用等量关系用含有同一个未知数的代数式去表示另外的未知数，转化为求一元一次不等式组的解集．
30．某牛奶加工厂现有鲜奶9t，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利润500元，制成酸奶销售，每吨可获利润1200元，制成奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3t，制成奶片，每天可加工1t，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温限制，这批牛奶需在4天内全部销售或加工完毕，为此，该厂设计了两种方案：
方案一：尽可能多的制成奶片，其余鲜奶直接销售；
方案二：一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
【分析】方案一是尽可能多的制奶片，也就是四天都制奶片，每天加工一吨，可加工4吨，剩下的5吨鲜奶直接销售；方案二制奶片，也制酸奶．那么包含两个等量关系：制奶片的吨数+制酸奶的吨数＝9，制奶片的吨数÷1+制酸奶的吨数÷3＝4．
【解答】解：方案一：4×2000+5×500＝10500（元）
方案二：设xt制成奶片，yt制成酸奶，
则
，
所以
，
利润为1.5×2000+7.5×1200＝12000＞10500，
所以选择方案二获利最多．
【点评】学生在看到题目字多时候，第一感觉是害怕，我肯定不会做．所以，要有耐心与细心找到关键话，理解清它的意思，找到突破点，等量关系．譬如本题中方案一，方案二的含义．