第2章二元一次方程组
（满分100分，完卷时间90分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一．选择题（共10小题）
1．（大东区期末）
是下列哪个方程的一个解（ ）
A．﹣2x+y＝﹣3 B．3x+y＝6 C．6x+y＝8 D．﹣x+y＝1
【分析】将
分别代入四个选项，判断等式是否成立即可．
【解答】解：将
分别代入四个选项：
﹣2×2+1＝﹣3，故A选项正确；
3×2+1＝7，故B选项不正确；
6×2+1＝13，故C选项不正确；
﹣2+1＝﹣1，故D选项不正确；
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程的解；理解二元一次方程与二元一次方程的解的关系是解题的关键．
2．（饶平县校级期末）下列各组数值是二元一次方程x﹣3y＝4的解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】将四个选项中的x与y的值代入已知方程检验，即可得到正确的选项．
【解答】解：A、将x＝1，y＝﹣1代入方程左边得：x﹣3y＝1+3＝4，右边为4，本选项正确；
B、将x＝2，y＝1代入方程左边得：x﹣3y＝2﹣3＝﹣1，右边为4，本选项错误；
C、将x＝﹣1，y＝﹣2代入方程左边得：x﹣3y＝﹣1+6＝5，右边为4，本选项错误；
D、将x＝4，y＝﹣1代入方程左边得：x﹣3y＝4+3＝7，右边为4，本选项错误．
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3．（饶平县校级期末）下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
①xy+2x﹣y＝7；②4x+1＝x﹣y；③
+y＝5；④x＝y；⑤x2﹣y2＝2
⑥6x﹣2y⑦x+y+z＝1 ⑧y（y﹣1）＝2y2﹣y2+x．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．
【解答】解：
①xy+2x﹣y＝7，不是二元一次方程，因为其未知数的最高次数为2；
②4x+1＝x﹣y，是二元一次方程；
③
+y＝5，不是二元一次方程，因为不是整式方程；
④x＝y是二元一次方程；
⑤x2﹣y2＝2不是二元一次方程，因为其未知数的最高次数为2；
⑥6x﹣2y，不是二元一次方程，因为不是等式；
⑦x+y+z＝1，不是二元一次方程，因为含有3个未知数；
⑧y（y﹣1）＝2y2﹣y2+x，是二元一次方程，因为变形后为﹣y＝x．
故选：C．
【点评】二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；
（2）含未知数项的最高次数为一次；
（3）方程是整式方程．注意⑧整理后是二元一次方程．
4．（饶平县校级期末）二元一次方程3x﹣2y＝5，用x表示y，下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】把x看作常数，求关于y的一元一次方程即可得解．
【解答】解：移项得，﹣2y＝﹣3x+5，
y＝
．
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程，解本题关键是把方程中含有x的项移到等号的右边，再把y的系数化为1．
5．（文登区校级期中）设A、B两镇相距x千米，甲从A镇、乙从B镇同时出发，相向而行，甲、乙行驶的速度分别为u千米/小时、v千米/小时，并有：
①出发后30分钟相遇；
②甲到B镇后立即返回，追上乙时又经过了30分钟；
③当甲追上乙时他俩离A镇还有4千米．求x、u、v．
根据题意，由条件③，有四位同学各得到第3个方程如下，其中错误的一个是（ ）
A．x＝u+4 B．x＝v+4 C．2x﹣u＝4 D．x﹣v＝4
【分析】由题意列出方程组，即可求解．
【解答】解：由题意可得：
，
解得：
，
∴x＝v+4，x﹣v＝4，2x﹣u＝4是正确的，
故选：A．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，列出方程组是解题的关键．
6．（南岗区校级期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据未知数的次数对A进行判断；根据二元一次方程组对B进行判断；根据整式方程对C进行判断；根据未知数的个数对D进行判断．
【解答】解：A、有一个二元二次方程，所以A选项不正确；
B、是二元一次方程组，所以B选项正确；
C、有分式方程，所以C选项不正确；
D、有三个未知数，所以D选项不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二元二次方程组：由两个二元一次方程所组成的方程组称为二元一次方程组．
7．（饶平县校级期末）下列方程中，二元一次方程的个数有（ ）
①x2+y2＝3；②3x+
＝4；③2x+3y＝0；④
+
＝7
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二元一次方程定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程进行分析即可．
【解答】解：①x2+y2＝3，是二元二次方程；
②3x+
＝4，是分式方程；
③2x+3y＝0，是二元一次方程；
④
+
＝7，是二元一次方程．
所以有③④是二元一次方程，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二元一次方程，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
8．（滦南县期末）若方程mx+ny＝6有两个解
和
，则m+n的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6
【分析】根据条件转化为方程组解决问题即可．
【解答】解：由题意
，
①×2+②×3，得5m＝30，解得m＝6，
把m＝6代入①，得﹣12+3n＝6，解得n＝6，
所以m+n＝12．
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
9．（襄阳）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：根据题意可得：
，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（奉节县期末）甲、乙两种盐水，若分别取甲种盐水240g，乙种盐水120g，混合后，制成的盐水浓度为8%；若分别取甲种盐水80g，乙种盐水160g，混合后，制成的盐水浓度为10%，求甲、乙两种盐水的浓度各是多少？如果设甲种盐水的浓度为x，乙种盐水浓度为y，根据题意，可列出下方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意可知本题的等量关系有，240克的甲种盐水的含盐量+120克的乙种盐水的含盐量＝浓度为8%的盐水的含盐量，80克的甲种盐水的含盐量+160克的乙种盐水的含盐量＝浓度为10%的盐水的含盐量．根据以上条件可列出方程组．
【解答】解：甲种盐水的浓度为x，乙种盐水的浓度为y，
依题意有
，
故选：A．
【点评】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题关键是要弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．注意：盐水浓度＝含盐量÷盐水重量＝含盐量÷（含盐量+水的重量）．
二．填空题（共8小题）
11．（莒南县期末）如图所示的各图表示由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n（n＞1）盆花，每个图案花盆的总数为s，按此规律推断，以s，n为未知数的二元一次方程为s＝ 3（n﹣1） ．
【分析】由图可知：
第一图：有花盆3个，每条边有花盆2个，那么s＝3；
第二图：有花盆6个，每条边有花盆3个，那么s＝3×2；
第三图：有花盆9个，每条边有花盆4个，那么s＝3×3；
…
由此可知以s，n为未知数的二元一次方程为s＝3（n﹣1）．
【解答】解：根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的3倍，
所以s＝3（n﹣1）．
故答案为：3（n﹣1）．
【点评】本题要注意给出的图片中所包含的规律，然后根据规律列出方程．
12．（岱岳区校级一模）小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为 
．
【分析】根据题意可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：
．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
13．（赣榆区期末）若实数x、y满足方程组
，则代数式2x+3y﹣4的值是 2 ．
【分析】方程组两方程左右两边相加求出2x+3y的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：
，
①+②得：4x+6y＝12，即2x+3y＝6，
则原式＝6﹣4＝2，
故答案为：2
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
14．（卫辉市期中）已知
，则
＝ ﹣3 ．
【分析】①﹣②得：x+3y＝0，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：
，
①﹣②得：x+3y＝0，
∴x＝﹣3y
则原式＝﹣3，
故答案为：﹣3
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
15．（南召县期中）如图，点O在直线AB上，OC为射线，∠1比∠2的3倍少10°，设∠1、∠2的度数分别为x、y，则可列方程组为 
．
【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：
．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
16．（奉节县期末）春节期间，重百超市推出了甲、乙、丙、丁四种礼品套餐组合：甲套餐每袋装有15个A礼盒，10个B礼盒，10个C礼盒；乙套餐每袋装有5个A礼盒，7个B礼盒，6个C礼盒；丙套餐每袋装有7个A礼盒，8个B礼盒，9个C礼盒；丁套餐每袋装有3个A礼盒，4个B礼盒，4个C礼盒，若一个甲套餐售价1800元，利润率为20%，一个乙和
一个丙套餐一共成本和为1830元，且一个A礼盒的利润率为25%，问一个丁套餐的利润率为 18.75% ．（利润率＝
×100%）
【分析】先由甲套餐售价1800元，利润率为20%，可求出甲套餐的成本之和为1500元．设每个A礼盒的成本为x元，每个B礼盒的成本为y元，每个C礼盒的成本为z元，则由题意得
，可同时消去y和z，得到x＝40，再根据一个A礼盒的利润率为25%，可求出一个A礼盒的售价为50元，进而可得出一个B礼盒与一个C礼盒的售价之和，再由利润率公式求出一个丁套餐的利润率．
【解答】解：设甲套餐的成本之和m元，则由题意得1800﹣m＝20%m，解得m＝1500（元）．
设每个A礼盒的成本为x元，每个B礼盒的成本为y元，每个C礼盒的成本为z元，由题意得
，
同时消去字母y和z，可得x＝40
所以y+z＝90
A礼盒的利润率为25%，可得其利润＝40×25%＝10元，因此一个A礼盒的售价＝40+10＝50元．
设一个B礼盒的售价为a元，一个C礼盒的售价为b元，则可得15×50+10a+10b＝1800，整理得a+b＝105（元）
所以一个丁套餐的售价＝3×50+4（a+b）＝150+420＝570（元）
一个丁套餐的成本＝3×40+4（y+z）＝120+360＝480（元）
因此一个丁套餐的利润率＝
故答案为18.75%
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，根据运算规律，找出关于x的三元一次方程组是解题的关键．
17．（港南区期中）有甲，乙，丙三种笔，已知买甲种笔2支和乙种1支，丙种3支共12.5元，买甲种1支，乙4支，丙种5支，共18.5元，那么买甲种1支，乙种2支，丙种3支，共需 11.5 元．
【分析】首先设买1支甲，乙，丙三种笔各a，b，c元．根据买甲种笔2支和乙种1支，丙种3支共12.5元，列出方程2a+3c+b＝12.5；根据买甲种1支，乙4支，丙种5支，共18.5元，列出方程a+4b+5c＝18.5．通过加减消元法求得b+c，a+c的值．题目所求买甲种1支，乙种2支，丙种3支，共需a+2b+3c＝（a+c）+2（b+c），因而将b+c、a+c的值直接代入即求得本题的解．
【解答】解：设买1支甲，乙，丙三种笔各a，b，c元．
由题意得
，
由②×2﹣①得：b+c＝3.5 ③，
由③代入①得：a+c＝4.5 ④，
由④+2×③得：a+2b+3c＝11.5．
故答案为：11.5．
【点评】根据系数特点，通过加减消元法，得到b+c、a+c的值，再将其做为一个整体，代入求解．
18．已知m，n均为正整数，且满足
，则当m＝ 72 时，n取得最小值 5 ．
【分析】先移项，用m表示出n，再根据n最小可得出关于m的不等式，求出m的取值范围，再由m，n均为正整数即可得出符合条件的m、n的值．
【解答】解：移项得，n＝
﹣
﹣75＝
﹣75，
∵m、n为正整数，
∴
﹣75≥0，
∴m≥67.5，
若n取得最小值，则
与75无限接近且m为正整数，
∴当m＝72时，n最小＝5．
【点评】本题考查的是解二元一次方程，解答此类题目时要注意此类方程属不定方程，由无数组解，要根据题意找出符合条件的未知数的对应值．
三．解答题（共8小题）
19．（泗洪县期末）已知
和
是二元一次方程mx﹣3ny＝5的两个解．
（1）求m、n的值；
（2）若x＜﹣2，求y的取值范围．
【分析】（1）把x与y的两对值代入方程计算求出m与n的值即可；
（2）由方程求出x的表达式，解不等式即可．
【解答】解：（1）把
和
代入方程得：
，
①×2+②得：15n＝15，
解得：n＝1，
把n＝1代入①得：m＝2，
则方程组的解为
；
（2）当
时，原方程变为：2x﹣3y＝5，
解得x＝
，
∵x＜﹣2，
∴
＜﹣2，
解得y＜﹣3．
故y的取值范围是y＜﹣3．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（兰州期末）若关于x，y的二元一次方程组
与方程组
有相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）求m﹣n的值．
【分析】（1）根据题意列不含m、n的方程组求解即可；
（2）将（1）求得的方程组的解代入原方程组中含m、n的方程中求得m、n的值即可．
【解答】解：（1）∵关于x，y的二元一次方程组
与方程组
有相同的解，
∴
解得
∴这个相同的解为
（2）∵关于x，y的二元一次方程组
与方程组
有相同的解
，
∴
解得
∴m﹣n＝3﹣2＝1．
答：m﹣n的值为1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是根据题意重新联立方程组．
21．（连山区期末）解方程组：
（1）
（2）
．
【分析】（1）原式利用代入消元法求出解即可；
（2）原式利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）
，
由②得：x＝2y③，
把③代入①得：2×2y+y＝5，
∴y＝1，
把y＝1代入③得：x＝2，
∴原方程组的解为
；
（2）
，
①×2+②×3得：13x＝26，
把x＝2代入②得：y＝3，
∴原方程组的解是
．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
22．（宁都县期末）（开放题）是否存在整数m，使关于x的方程2x+9＝2﹣（m﹣2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x的解吗？
【分析】要求关于x的方程2x+9＝2﹣（m﹣2）x在整数范围内有解，首先要解这个方程，其解x＝
，根据题意的要求让其为整数，故m的值只能为±1，±7．
【解答】解：存在，四组．
∵原方程可变形为﹣mx＝7，
∴当m＝1时，x＝﹣7；
m＝﹣1时，x＝7；
m＝7时，x＝﹣1；
m＝﹣7时，x＝1．
【点评】此题只需把m当成字母已知数求解，然后根据条件的限制进行分析求解．
23．（兰州期末）列方程组解应用题：
甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后3小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2.5小时相遇．甲、乙两人每小时各走多少千米？
【分析】设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后3时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2.5时相遇可列方程求解．
【解答】解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，
，
解得：
，
甲的速度是3.6千米每小时，乙的速度是6千米每小时．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出甲乙的速度，以路程做为等量关系列方程求解．
24．（芜湖县二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的
，那么乙也共有钱48文．甲、乙两人原来各有多少钱？
【分析】根据甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的
，那么乙也共有钱48文，可以列出方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，
由题意可得，
，
解得：
，
答：甲原有36文钱，乙原有24文钱．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
25．（阜南县期末）若关于x、y的二元一次方程组
的解x、y互为相反数，求m的值．
【分析】利用x，y的关系代入方程组消元，从而求得m的值．
【解答】解：将x＝﹣y代入二元一次方程租
可得关于y，m的二元一次方程组
，解得m＝23．
【点评】考查了解二元一次方程的能力和对方程解的概念的理解．
26．（洛江区期末）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员A：月销售件数200件，月总收入2400元；
营业员B：月销售件数300件，月总收入2700元；
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
（1）求x、y的值；
（2）若某营业员的月总收入不低于3100元，那么他当月至少要卖服装多少件？
（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需350元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以得到x、y的值；
（2）由题意可以列出相应的不等式，从而可以得到某营业员至少需要卖出服装的件数；
（3）由题意可得相应的三元一次方程组，通过变形即可得到问题的答案．
【解答】解：（1）由题意，得
，
解得
即x的值为1800，y的值为3；
（2）设某营业员当月卖服装m件，由题意得，
1800+3m≥3100，
解得，
，
∵m只能为正整数，
∴m最小为434，
即某营业员当月至少要卖434件；
（3）设一件甲为a元，一件乙为b元，一件丙为c元，则
，
将两等式相加得，4a+4b+4c＝720，
则a+b+c＝180，
即购买一件甲、一件乙、一件丙共需180元．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组或不等式．