第2讲平行线的判定（核心考点讲与练）
一、平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
二、直线平行的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
考点一：平行公理及推论
【例题1】（余姚市期末）已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是（ ）
A．如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c B．如果b∥a，c∥a，那么b∥c
C．如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c D．如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c
【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行进行分析即可．
【解答】解：A、如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，说法正确；
B、如果b∥a，c∥a，那么b∥c，说法正确；
C、如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，说法错误；
D、如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，说法正确；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行公理及推论，关键是熟练掌握所学定理．
【变式训练1】（杭州期中）下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若a⊥b，c⊥b，则a与c的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是 ①③⑤ ．
【分析】根据平行线的定义及平行公理和两点间的距离定义进行判断．
【解答】解：两点之间的距离是两点间的线段的长度，①正确；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，②错误；
两点之间的所有连线中，线段最短，③正确；
在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，④错误；
只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，⑤正确；
故答案为：①③⑤．
【点评】本题主要考查了对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
【变式训练2】（椒江区期末）如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？
【分析】由AB∥CD，AB∥GE得CD∥GE，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠B+∠BFG＝180°，∠C+∠CFE＝180°，而∠B＝110°，∠C＝100°，可以求出∠BFG和∠CFE，最后可以求出∠BFC．
【解答】解：∠BFC等于30度，理由如下：
∵AB∥GE，
∴∠B+∠BFG＝180°，
∵∠B＝110°，
∴∠BFG＝180°﹣110°＝70°，
∵AB∥CD，AB∥GE，
∴CD∥GE，
∴∠C+∠CFE＝180°，
∵∠C＝100°．
∴∠CFE＝180°﹣100°＝80°，
∴∠BFC＝180°﹣∠BFG﹣∠CFE＝180°﹣70°﹣80°＝30°．
【点评】本题考查了平行公理的推论和平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
考点二：平行线的判定
【例题2】（平阳县期中）如图，下列条件中①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB+∠2+∠3＝180°，能判断AD∥BC的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
②∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
③∵∠2+∠5＝∠6，∠1+∠5＝∠6，
∴∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
④∵∠DAB+∠2+∠3＝180°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
可以判断AD∥BC的有①③④．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法，找出被截直线是解题关键．
【变式训练1】（余姚市期中）木条a、b、c如图用螺丝固定在木板α上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面α内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（ ）
A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°，
∴∠ABE＝50°+20°＝70°＝∠DEM，
∴AC∥DF，
故A不符合题意；
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°，
∴∠CBE＝50°+20°＝70°＝∠DEM，
∴AC∥DF，
故B不符合题意；
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°，
∴∠DEM＝70°﹣20°＝50°＝∠ABE，
∴AC∥DF，
故C不符合题意；
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°，
∴木条b和木条c重合，AC与DF不平行，
故D符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
【变式训练2】（拱墅区期末）如图，已知∠F+∠FGD＝90°（其中∠F＞∠FGD），添加一个以下条件：①∠F+∠FEA＝180°；②∠F+∠FGC＝180°；③∠FEB+2∠FGD＝90°；④∠FGC﹣∠F＝90°．能证明AB∥CD的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】条件①得到AF∥FG，条件②得到EF平行CD，过点F作CD的平行线FH，结合条件③可证AB∥CD，条件④的结果得到恒等式．
【解答】解：①∵∠F+∠FEA＝180°，
∴AB∥FG，故选项A不符合题意；
②∵∠F+∠FGC＝180°，
∴CD∥FE，故选项B不符合题意；
③过点F作FH∥CD，则：∠HFG＝∠FGD，
∵∠F＝∠EFH+∠HFG，∠F+∠FGD＝90°，
∴∠EFH+2∠FGD＝90°，
∵∠FEB+2∠FGD＝90°，
∴∠EFH＝∠FEB，
∴AB∥FH，
∴AB∥CD，故选项C符合题意；
④∵∠FGC﹣∠F＝90°，∠F+∠FGD＝90°，
∴∠FGC﹣∠F+∠F+∠FGD＝90°+90°，
∴∠FGC+∠FGD＝180°，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定定理，“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”，以及邻补角的定义．本题的关键是通过作辅助线得到角相等，将已知条件进行转化．
【变式训练3】（萧山区期末）如图，下列条件中能判断AD∥BC的是（ ）
①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB+∠2+∠3＝180°．
A．①③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
②∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
③∵∠2+∠5＝∠6，∠1+∠5＝∠6，
∴∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
④∵∠DAB+∠2+∠3＝180°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
可以判断AD∥BC的有①③④．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法，找出被截直线是解题关键．
【变式训练4】（怀安县期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
【解答】解：A、∠3＝∠A，无法得到，AB∥CD，故此选项错误；
B、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得：AB∥CD，故此选项正确；
C、∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误；
D、∠D+∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
【变式训练5】（下城区一模）如图，直角三角形ABC的顶点A在直线m上，分别度量：①∠1，∠2，∠C；②∠2，∠3，∠B；③∠3，∠4，∠C；④∠1，∠2，∠3．可判断直线m与直线n是否平行的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．据此可得结论．
【解答】解：A．度量：①∠1，∠2，∠C，不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；
B．度量：②∠2，∠3，∠B，可得∠4的度数，结合∠2的度数，即可判断直线m与直线n是否平行，符合题意；
C．度量：③∠3，∠4，∠C不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；
D．度量：④∠1，∠2，∠3，不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
【例题3】（椒江区期末）如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD为75°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 5 度．
【分析】本题反向推理，若OD旋转到OD′时，则OD′∥AC，求∠DOD′＝∠BOD﹣∠BOD′＝75°﹣70°＝5°，进而解决此题．
【解答】解：若OD旋转到OD′时，则OD′∥AC．
∵OD′∥AC，
∴∠BOD′＝∠A＝70°．
∴∠DOD′＝∠BOD﹣∠BOD′＝75°﹣70°＝5°．
∴要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转5度．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解决本题的关键．
【变式训练1】（鄞州区期中）如图，下列条件中：①∠BAD+∠ABC＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠BCD，能判定AD∥BC的是 ①②③ ．
【分析】①由∠BAD+∠ABC＝180°，利用同旁内角互补得到AD∥BC，本选项符合题意；
②由∠1＝∠2，利用内错角相等两直线平行得到AD∥BC，本选项符合题意；
③由∠3＝∠4，利用内错角相等两直线平行得到AD∥BC，本选项符合题意；
④由∠BAD＝∠BCD，不能判定出平行，本选项不合题意．
【解答】解：①由∠∠BAD+∠ABC＝180°，得到AD∥BC，本选项符合题意；
②由∠1＝∠2，得到AD∥BC，本选项符合题意；
③由∠3＝∠4，得到AD∥BC，本选项符合题意；
④由∠BAD＝∠BCD，不能判定出平行，本选项不合题意．
故答案为：①②③．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
【变式训练2】（婺城区校级期末）如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有 ③④ ．（填序号）
【分析】根据平行线的判定方法分别判定得出答案．
【解答】解：①中，∵∠1＝∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），不合题意；
②中，∵∠5＝∠B，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），不合题意；
③中，∵∠1＝∠4且AC平分∠DAB，∴∠2＝∠4，∴AB∥CD，故此选项符合题意；
④中，∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故此选项符合题意；
故答案为：③④．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
【变式训练3】（奉化区校级期末）如图，点E在AD的延长线上，下列四个条件：①∠1＝∠2；②∠C+∠ABC＝180°；③∠C＝∠CDE；④∠3＝∠4，能判断AB∥CD的是 ①② （填序号）．
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【解答】解：①由∠1＝∠2，可以判定AB∥CD．
②由∠C+∠ABC＝180°，可以判定AB∥CD．
③由∠C＝∠CDE，可以判定BC∥AD．
④由∠3＝∠4，可以判定BC∥AD．
故答案为①②．
【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式训练4】（柳南区校级模拟）如图把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝40°，则当∠2＝ 50 度时，a∥b．
【分析】由直角三角板的性质可知∠3＝180°﹣∠1﹣90°＝50°，当∠2＝50°时，∠2＝∠3，得出a∥b即可．
【解答】解：当∠2＝50°时，a∥b；理由如下：
如图所示：
∵∠1＝40°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
当∠2＝50°时，∠2＝∠3，
∴a∥b；
故答案为：50．
【点评】本题考查了平行线的判定方法、平角的定义；熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键．
【例题4】（槐荫区期末）点B，E分别在AC，DF上，BD，CE分别交AF于点G，H，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．求证：AC∥DF．
【分析】由已知条件判断得到∠DGF＝∠EHF，故EC∥BD，利用平行线的性质与已知条件得到∠D＝∠ABD进而求证．
【解答】证明：∵∠AGB＝∠EHF，∠AGB＝∠DGF，
∴∠DGF＝∠EHF，
∴EC∥BD，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠ABD，
∴AC∥DF．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，关键是找到合适的的同位角，内错角，进而判断．
【变式训练1】（乾安县期末）已知：如图，直线l分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PM垂直于l，∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．
【分析】先根据垂直的定义得出∠APQ+∠2＝90°，再由∠1+∠2＝90°得出∠APQ＝∠1，进而可得出结论．
【解答】证明：∵PM⊥PQ（已知），
∴∠APQ+∠2＝90°（垂直定义）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠APQ＝∠1（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行．
【变式训练2】（岱岳区期末）将一副三角尺拼图，并标点描线如图所示，然后过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F．
（1）求证：CF∥AB；
（2）求∠EFC的度数．
【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行进行判定即可；
（2）根据三角形EFC的内角和为180°，求得∠EFC的度数．
【解答】解：（1）∵CF平分∠DCE，且∠DCE＝90°，
∴∠ECF＝45°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝∠ECF，
∴CF∥AB；
（2）在△FCE中，
∵∠FCE+∠E+∠EFC＝180°，
∴∠EFC＝180°﹣∠FCE﹣∠E，
＝180°﹣45°﹣30°
＝105°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：内错角相等，两直线平行．解题的关键是熟知三角板的各角度数．
【变式训练3】（麻城市校级月考）根据要求完成下面的填空：
如图，直线AB，CD被EF所截，若已知∠1＝∠2，说明AB∥CD的理由．
解：根据 对顶角相等 得∠2＝∠3
又因为∠1＝∠2，
所以∠ 1 ＝∠ 3 ，
根据 同位角相等，两直线平行 得： AB ∥ CD ．
【分析】先根据对顶角相等，得出∠2＝∠3，再根据同位角相等，两直线平行，得AB∥CD．
【解答】解：根据对顶角相等，得∠2＝∠3，
又因为∠1＝∠2，
所以∠1＝∠3，
根据同位角相等，两直线平行，得：AB∥CD．
故答案为：对顶角相等，1，3，同位角相等，两直线平行，AB，CD
【点评】本题主要考查了平行线的判定与对顶角的性质，解题时注意：同位角相等，两直线平行．
【变式训练4】（温州月考）已知：如图，∠ACD＝2∠B，CE平分∠ACD．求证：CE∥AB．
【分析】由CE为角平分线，利用角平分线的定义得到一对角相等，再由已知一对角相等，利用等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证．
【解答】证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠DCE，
∵∠ACD＝2∠B，
∴∠DCE＝∠B，
∴AB∥CE．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
【变式训练5】（秀洲区期中）如图，如果∠1+∠3＝180°，那么AB与CD平行吗，请说明理由．
【分析】根据平角的定义得到∠2+∠3＝180°，根据等量关系得到∠1＝∠2，再根据同位角相等，两直线平行得到AB与CD平行．
【解答】解：AB与CD平行．
∵∠1+∠3＝180°，∠2+∠3＝180°，
∴∠1＝∠2，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是根据等量关系得到∠1＝∠2，根据同位角相等，两直线平行，即可解答．
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类型一、平行公理及推论
【例题5】在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为：( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】正确的是：（1）(3).
【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别．
①相等的角是对顶角；
②若a∥b，b∥c，则a∥c；
③同位角相等；
④邻补角的平分线互相垂直．
A．0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个
【答案】C
类型二、两直线平行的判定
【例题6】下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示：
∵∠1=∠2（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故选B
【总结升华】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
【变式训练1】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
【答案】A
提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图．
图B显然不同向，因为路线不平行．
图C中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．
图D中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．
只有图A路线平行且同向，故应选A．
【例题7】如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．
【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来．
【答案与解析】
解法1：如图所示，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．
∵∠B＝25°，∠E＝10°(已知)，
∴∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN(等量代换)．
∴ AB∥CM，EF∥DN(内错角相等，两直线平行)．
又∵∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)，
∴∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性质)．
∴∠DCM＝∠CDN(等量代换)．
∴ CM∥DN(内错角相等，两直线平行)．
∵ AB∥CM，EF∥DN(已证)，
∴ AB∥EF(平行线的传递性)．
解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．
∵∠BCD＝45°，∴∠NCB＝135°．
∵∠B＝25°，
∴∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的内角和等于180°)．
又∵∠CDE＝30°，∴∠EDM＝150°．
又∵∠E＝10°，
∴∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的内角和等于180°)．
∴∠CNB＝∠EMD(等量代换)．
所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行)．
【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取．
【变式训练1】已知，如图，BE平分ABD，DE平分CDB，且1与2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由．
【答案】解：AB∥CD，理由如下：
∵ BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，
∴∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ABD+∠CDB＝180°．
∴ AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
【变式训练1】已知，如图，ABBD于B，CDBD于D，1+2=180°，求证：CD//EF．
【答案】证明：∵ABBD于B，CDBD于D，
∴AB∥CD．
又∵1+2=180°，
∴AB∥EF．
∴CD//EF．
题组A 基础过关练
一．选择题（共10小题）
1．（诸暨市期末）如图所示，下列条件能判断a∥b的有（ ）
A．∠1+∠2＝180° B．∠2＝∠4 C．∠2+∠3＝180° D．∠1＝∠3
【分析】根据平行线的判定即可判断．
【解答】解：A、∵∠1+∠2＝180°，不能判定a∥b，错误；
B、∵∠2＝∠4，∴a∥b，正确；
C、∵∠2+∠3＝180°，不能判定a∥b，错误；
D、∵∠1＝∠3，不能判定a∥b，错误；
故选：B．
【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，属于基础题．
2．（乐平市一模）如图，下面哪个条件能判断DE∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠C C．∠1+∠3＝180° D．∠3+∠C＝180°
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．
【解答】解：当∠1＝∠2时，EF∥AC；
当∠4＝∠C时，EF∥AC；
当∠1+∠3＝180°时，DE∥BC；
当∠3+∠C＝180°时，EF∥AC；
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
3．（上思县期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
【解答】解：A、根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，故此选项正确；
B、根据内错角相等，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；
C、根据内错角相等，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；
D、根据同旁内角互补，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
4．（柘城县期末）如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（ ）
①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A＝∠DCE；④∠D+∠ABD＝180°．
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【分析】根据平行线的判定定理即可直接作出判断．
【解答】解：①根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥BC；
②根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD；
③根据同位角相等，两直线平行即可证得AB∥CD；
④根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得AB∥CD．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
5．（奉化区校级期末）下列图形中，能由∠1＝∠2得到AB∥CD的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据同位角相等两直线平行可得答案．
【解答】解：由∠1＝∠2得到AB∥CD的是D选项，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
6．（埇桥区期末）如图，点E在BC的延长线上，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠D+∠DAB＝180° B．∠B＝∠DCE
C．∠1＝∠2 D．∠3＝∠4
【分析】A、利用同旁内角互补两直线平行，得到AB与CD平行，本选项不合题意；
B、利用同位角相等两直线平行，得到AB与CD平行，本选项不合题意；
C、利用内错角相等两直线平行，得到AB与CD平行，本选项不合题意；
D、利用内错角相等两直线平行，得到AD与BC平行，本选项符合题意．
【解答】解：A、∵∠D+∠DAB＝180°，
∴AB∥CD，本选项不合题意；
B、∵∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD，本选项不合题意；
C、∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，本选项不合题意；
D、∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．
7．（奉化区校级期末）如图，在平移三角尺画平行线的过程中，理由是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．内错角相等，两直线平行
【分析】由题意结合图形可知∠DPF＝∠BMF，从而得出同位角相等，两直线平行．
【解答】
解：∵∠DPF＝∠BMF
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的判定．正确理解题目的含义，是解决本题的关键．
8．（上城区校级期中）下列四个说法中，正确的是（ ）
A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．不相交的两条直线是平行线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】由对顶角的性质判断A，由平行线的性质和判定判断B、C、D．
【解答】解：A、对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，
例如30°的角都相等，但他们不一定是对顶角．故选项A错误；
B、由于B缺少平行条件，故选项B错误；
C、在同一平面上，不相交的两条直线是平行线，故选项C错误；
D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了对顶角及平行线的性质和判定，掌握对顶角和平行线性质是解决本题的关键．
9．（拱墅区月考）如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：（1）∠1＝∠5；（2）∠2+∠7＝180°；（3）∠4＝∠7；（4）∠3＝∠6；其中能判定a∥b的条件的序号是（ ）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（3）（4）
【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠1＝∠5，
∴a∥b；
（2）∵∠2+∠7＝180°，∠2+∠3＝180°，
∴∠3＝∠7，
∴a∥b；
（3）由∠4＝∠7得不到a∥b；
（4）由∠3＝∠6得不到a∥b，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线判定定理，熟练掌握平行线的判定定理即可得到结论．
10．（拱墅区月考）下列说法中，正确的是（ ）
（1）在同一平面内，不相交的两条直线是平行线；
（2）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
（3）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（4）若直线a⊥b，b⊥c，则直线a与c平行．
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（3）（4）
【分析】利用两直线的位置关系、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：（1）同一平面内不相交的两条直线是平行线，故正确，符合题意；
（2）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，符合题意；
（3）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，不符合题意；
（4）在同一平面内，若直线a⊥b，b⊥c，则直线a与c不相交，缺少条件“在同一平面内”所以错误，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定，解题的关键是能够了解两直线的位置关系、平行线的性质等知识，难度不大．
二．填空题（共7小题）
11．经过直线外一点， 有且只有 一条直线与这条直线平行．
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解答即可．
【解答】解：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
故答案为：有且只有．
【点评】本题考查了平行公理，牢记平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键．注意平行公理中“有且只有”的含义，从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
12．下列说法中：
（1）在同一平面内，经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）两个相等的角是对顶角；
（3）一个锐角的补角一定比这个角的余角大90°；
（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
（5）三条直线两两相交，一定有三个交点．
正确的说法是 （3）（4） ．（填入你认为正确的说法的序号）
【分析】根据平行公理，可得（1）的结论，根据对顶角的性质可得（2）的结论，根据余角与补角的关系，可得（3）的结论，根据垂线段的性质，可得（4）的结论，根据相交线的性质，可得（5）的结论．
【解答】解：（1）在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（1）错误；
（2）对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故（2）错误；
（3）一个锐角的补角一定比这个角的余角大90°，故（3）正确；
（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故（4）正确；
（5）三条直线两两相交，有三个交点或一个交点，故（5）错误；
故答案为：（3），（4）．
【点评】本题考查了平行公理及推论，利用了平行公理，余角与补角的关系，垂线段的性质．
13．（奉化区校级期末）如图，当∠1＝70°，∠2＝80°时，b至少转 30 度时，b∥a．b至少转 60 度时，b⊥a．
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行，得到需要的度数，然后再计算至少还需要转多少度；计算出目前b与a的垂线的夹角的度数即为至少需要转的度数．
【解答】解：因为∠1＝70°，
所以它的对顶角也等于70°．
当同旁内角互补的时候，b∥a，
因为∠2＝80°，
所以180﹣80＝100（度），
所以至少还需要转100﹣70＝30（度）；
将b顺时针旋转，与a垂直．
90﹣80＝10（度），
所以至少还需要转70﹣10＝60（度）．
故答案为：30，60．
【点评】这道题主要考查平行线的判定定理，垂直的定义，在角度计算这一类题中，要注意运用周角，平角，直角，对顶角的度数．
14．（召陵区期末）如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件：
（1）∠3＝∠4；（2）∠1＝∠2；（3）∠A＝∠DCE；（4）∠D+∠ABD＝180°．
能判断AB∥CD的有 3 个．
【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可．
【解答】解：（1）如果∠3＝∠4，那么AC∥BD，故（1）错误；
（2）∠1＝∠2，那么AB∥CD；内错角相等，两直线平行，故（2）正确；
（3）∠A＝∠DCE，那么AB∥CD；同位角相等，两直线平行，故（3）正确；
（4）∠D+∠ABD＝180°，那么AB∥CD；同旁内角互补，两直线平行，故（4）正确．
即正确的有（2）（3）（4）．
故答案为：3．
【点评】此题考查的是平行线的判定定理，比较简单，解答此题的关键是正确区分两条直线被第三条直线所截所形成的各角之间的关系．
15．（柳南区校级模拟）如图，下列条件中：
①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；
则一定能判定AB∥CD的条件有 ①③④ （填写所有正确的序号）．
【分析】根据平行线的判定方法：同旁内角互补，两直线平行可得①能判定AB∥CD；
根据内错角相等，两直线平行可得③能判定AB∥CD；
根据同位角相等，两直线平行可得④能判定AB∥CD．
【解答】解：①∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD；
②∵∠1＝∠2，
∴AD∥CB；
③∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD，
故答案为：①③④．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是熟练掌握平行线的判定定理．
16．（涟源市期末）如图，两直线a，b被第三条直线c所截，若∠1＝50°，∠2＝130°，则直线a，b的位置关系是 平行 ．
【分析】因为∠2与∠3是邻补角，由已知便可求出∠3＝∠1，利用同位角相等，两直线平行即可得出a，b的位置关系．
【解答】解：∵∠2+∠3＝180°，∠2＝130°，
∴∠3＝50°，
∵∠1＝50°，
∴∠1＝∠3，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查了邻补角的性质以及判定两直线平行的条件．
17．（柯城区校级期末）如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：
①∠2＝∠6；②∠1＝∠3；③∠1＝∠7；④∠4+∠5＝180°；
其中能判定a∥b的条件序号是 ①③④ ．
【分析】根据两直线平行的判定定理即可判断．
【解答】解：①∵∠2＝∠6，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；
②∠1＝∠3无法得到a∥b，故此选项不合题意
③∵∠5＝∠7，∠1＝∠7，
∴∠1＝∠5，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；
④∵∠4+∠5＝180°，
∴a∥b；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；熟记平行线的判定定理是解题的关键．
三．解答题（共4小题）
18．（婺城区期末）如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，请问BD与CE平行吗？并说明理由．
【分析】由∠A＝∠F可判定AC∥DF，可得到∠ABD＝∠D＝∠C，可判定BD∥CE．
【解答】解：平行．理由如下：
∵∠A＝∠F，
∴AC∥DF，
∴∠ABD＝∠D，且∠C＝∠D
∴∠ABD＝∠C，
∴BD∥CE．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
19．（诸暨市期末）如图所示，已知∠D＝∠B，∠A＝∠C，试说明ED∥BF的理由．
【分析】依据∠A＝∠C，即可判定DC∥AB，进而得出∠D＝∠AED，即可得到∠AED＝∠B，进而判定ED∥BF．
【解答】证明：∵∠A＝∠C，
∴DC∥AB，
∴∠D＝∠AED，
又∵∠D＝∠B，
∴∠AED＝∠B，
∴ED∥BF．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
20．（庆元县校级期中）如图，直线AB，CD被EF所拦截，若已知∠1＝∠2．
∵∠2＝∠3 （ 对顶角相等 ），
又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠ 1 ＝∠ 3
根据（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴ AB ∥ CD ．
【分析】利用已知可得出∠1＝∠3，再利用平行线的判定得出结论即可．
【解答】解：∵∠2＝∠3（对顶角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等，1，3，同位角相等，两直线平行，AB，CD．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
21．（益阳模拟）如图，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°．
求证：AB∥CD．
【分析】求出∠ABC+∠BCD＝180°，根据平行线的判定推出即可．
【解答】证明：∵∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝130°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了平行线的判定的应用，注意：同旁内角互补，两直线平行．
日
题组B 能力提升练
一．选择题（共3小题）
1．（江北区校级期中）如图，若∠3＝∠4，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3且∠2＝∠4
C．∠1+∠3＝90°且∠2+∠4＝90° D．∠1+∠2＝90°
【分析】利用平行线的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、由∠1＝∠2，∠3＝∠4，可以推出∠ABC＝∠DCB，推出AB∥CD，故本选项不符合题意．
B、由∠1＝∠3，∠2＝∠4，可以推出∠ABC＝∠DCB，推出AB∥CD，故本选项不符合题意．
C、由∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，可以推出∠ABC＝∠DCB，推出AB∥CD，故本选项不符合题意．
D、由∠1+∠2＝90°无法推出∠ABC＝∠DCB，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（市中区期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE
C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE
【分析】根据平行线的判定和性质一一判断即可
【解答】解：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠1＝∠3，故A错误．
∵∠2＝30°，
∴∠1＝∠3＝60°
∴∠CAE＝90°+60°＝150°，
∴∠E+∠CAE＝180°，
∴AC∥DE，故B正确，
∵∠2＝45°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，
∵∠E+∠3＝∠B+∠4，
∴∠4＝30°，
∵∠D＝60°，
∴∠4≠∠D，故C错误，
∵∠2＝50°，
∴∠3＝40°，
∴∠B≠∠3，
∴BC不平行AE，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（奉化区校级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）符合条件的其它所有可能度数为（ ）
A．60°和135° B．45°、60°、105°、135°
C．30°和45° D．以上都有可能
【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．
【解答】解：当AC∥DE时，∠BAD＝∠DAE＝45°；
当BC∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°；
当BC∥AE时，∵∠EAB＝∠B＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+60°＝105°；
当AB∥DE时，∵∠E＝∠EAB＝90°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+90°＝135°．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
二．填空题（共5小题）
4．（奉化区校级期末）如图，有下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠5；④∠B+∠BAD＝180°．其中能得到AB∥CD的是 ②③ （填写编号）．
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
②∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
③∵∠B＝∠5，
∴AB∥DC；
④∵∠B+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴能够得到AB∥CD的条件是②③，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
5．（台州期中）如图，添加一个条件（不再添加字母），使得AB∥CD，你添加的条件是 ∠DAB＝∠D ．
【分析】根据平行线的判定定理进行解答即可．
【解答】解：添加的条件为：∠DAB＝∠D，
∵∠DAB＝∠D，
∴AB∥CD，
故答案为：∠DAB＝∠D
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
6．（杭州期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，
改变△ACD的位置（其中A点位置始终不变），使三角形ACD的一边与三角形AOB的某一边平行时，写出∠BAD的所有可能的值 15°，30°，45°，75°，105°，135°，150°，165° ．
【分析】要分类讨论，不要漏掉一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系；再计算．
【解答】解：分10种情况讨论：
（1）如图1，AD边与OB边平行时，∠BAD＝45°或135°；
（2）如图2，当AC边与OB平行时，∠BAD＝90°+45°＝135°或45°；
（3）如图3，DC边与AB边平行时，∠BAD＝60°+90°＝150°，
（4）如图4，DC边与OB边平行时，∠BAD＝135°+30°＝165°，
（5）如图5，DC边与OB边平行时，∠BAD＝45°﹣30°＝15°；
（6）如图6，DC边与AO边平行时，∠BAD＝15°+90°＝105°
（7）如图7，DC边与AB边平行时，∠BAD＝30°，
（8）如图8，DC边与AO边平行时，∠BAD＝30°+45°＝75°；
综上所述：∠BAD的所有可能的值为：15°，30°，45°，75°，105°，135°，150°，165°．
故答案为：15°，30°，45°，75°，105°，135°，150°，165°．
【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
7．（衢州期中）如图，点E在BC的延长线上，要使AB∥CD，需添加的条件是 ∠1＝∠2（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【分析】找到相等的同位角、内错角或互补的同旁内角即可．
【解答】解：若∠1＝∠2，则AB∥CD．
故答案为：∠1＝∠2（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
8．（萧山区校级模拟）如图所示，用两个相同的三角形按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是 内错角相等，两直线平行 ．
【分析】根据图形知道已知∠PAB＝∠ACD，利用内错角相等，判断两直线平行．
【解答】解：∵∠PAB＝∠ACD，
∴CD∥AP（内错角相等，两直线平行）．
【点评】解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索图”的思维方式与能力．
三．解答题（共2小题）
9．（江都区期末）如图，AD∥BC，∠EAD＝∠C，∠FEC＝∠BAE，∠EFC＝50°
（1）求证：AE∥CD；
（2）求∠B的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和等量关系可得∠EAD+∠D＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；
（2）根据平行线的性质可得∠AEB＝∠C，根据三角形内角和定理和等量关系即可得到∠B的度数．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∵∠EAD＝∠C，
∴∠EAD+∠D＝180°，
∴AE∥CD；
（2）∵AE∥CD，
∴∠AEB＝∠C，
∵∠FEC＝∠BAE，
∴∠B＝∠EFC＝50°．
【点评】考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是证明AE∥CD．
10．（泰顺县校级月考）根据要求完成下列填空：
如图，直线AB，CD被EF所截，若已知∠1＝∠2，
说明AB∥CD的理由．
∵∠2＝∠3（ 对顶角相等 ），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠ 1 ＝∠ 3 ，
∴ AB ∥ CD ．（ 同位角相等，两直线平行 ）
【分析】先根据对顶角相等，得出∠2＝∠3，再根据同位角相等，两直线平行，得AB∥CD．
【解答】解：∵∠2＝∠3，（对顶角相等）
又∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD．（同位角相等，两直线平行）
故答案为：对顶角相等，1，3，AB，CD，同位角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与对顶角的性质，解题时注意：同位角相等，两直线平行．
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日期：2022/1/14 8:49:36；用户：15921142042；邮箱：15921142042；学号：32447539
题组C 培优拔尖练
一．解答题（共6小题）
1．（乾安县期末）已知：如图，直线l分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PM垂直于l，∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．
【分析】先根据垂直的定义得出∠APQ+∠2＝90°，再由∠1+∠2＝90°得出∠APQ＝∠1，进而可得出结论．
【解答】证明：∵PM⊥PQ（已知），
∴∠APQ+∠2＝90°（垂直定义）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠APQ＝∠1（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行．
2．（下城区校级月考）如图，BD⊥AC，EF⊥AC，D、F分别为垂足，∠1＝∠2，试说明DG∥BC．
【分析】根据BD⊥AC，EF⊥AC，可得BD∥EF，进而得到∠2＝∠DBC，再根据∠2＝∠1，可得∠1＝∠DBC，进而判定DG∥BC．
【解答】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴BD∥EF，
∴∠2＝∠DBC，
∵∠2＝∠1，
∴∠1＝∠DBC，
∴DG∥BC．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：内错角相等，两直线平行．
3．（鄞州区期中）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．请说明理由．
【分析】先根据同位角相等，得出CE∥BF，进而得到∠B＝∠BFD，最后根据内错角相等，得出AB∥CD．
【解答】证明：如图，∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴CE∥BF，
∴∠C＝∠BFD，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠BFD，
∴AB∥CD．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与性质，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行．
4．（宝安区校级期末）如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．
（1）试说明：AB∥CD；
（2）若∠2＝25°，求∠BFC的度数．
【分析】（1）根据角平分线定义求出∠ABD+∠BDC＝180°，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据角平分线求出∠EDF，根据三角形外角性质求出∠FED，根据三角形内角和定理求出∠3，根据邻补角定义即可求∠BFC的度数．
【解答】解：（1）∵∠ABD和∠BDC的平分线交于E，
∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∴AB∥CD；
（2）∵DE平分∠BDC，
∴∠EDF＝∠2＝25°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠FED＝90°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣25°＝65°．
∴∠BFC＝180°﹣∠3＝115°．
【点评】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线定义，三角形的外角性质，邻补角定义，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，难度适中．
5．（周口期中）完成证明，说明理由．
已知：如图，点D在BC边上，DE、AB交于点F，AC∥DE，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：AE∥BC．
证明：∵AC∥DE（已知），
∴∠4＝ ∠FAC （ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠3＝ ∠FAC （ 等量代换 ）
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠FAD＝∠2+∠FAD（ 等式的性质 ）
即∠FAC＝∠EAD，
∴∠3＝ ∠EAD ．
∴AE∥BC（ 内错角相等，两直线平行 ）
【分析】首先根据平行线的性质可得∠4＝∠FAC，然后可得∠3＝∠FAC，再证明∠FAC＝∠EAD，从而可得∠3＝∠EAD，根据平行线的判定可得AE∥BC．
【解答】解：∵AC∥DE（已知），
∴∠4＝∠FAC（两直线平行，同位角相等）
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠3＝∠FAC（等量代换）
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠FAD＝∠2+∠FAD（等式的性质）
即∠FAC＝∠EAD，
∴∠3＝∠EAD．
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠FAC；两直线平行，同位角相等；∠FAC；等量代换；等式的性质；∠EAD；内错角相等，两直线平行．
【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
6．（萧山区校级月考）如图，台球运动中，如果母球P击中边点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，两次反弹．
（1）若∠PAD＝32度，求∠PAB的度数；
（2）母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由．
【分析】（1）由∠PAD＝∠BAE、∠PAD+∠PAB+∠BAE＝180°结合∠PAD＝32°，即可求出∠PAB的度数；
（2）由∠PAD＝∠BAE、∠PAD+∠PAB+∠BAE＝180°可得出∠ABC＝180°﹣2∠ABE，同理可得出∠ABC＝180°﹣2∠ABE，二者相加结合∠BAE、∠ABE互余，即可得出∠PAB+∠ABC＝180°，由“同旁内角互补，两直线平行”即可得出BC∥PA．
【解答】解：（1）∵∠PAD＝32°，∠PAD＝∠BAE，∠PAD+∠PAB+∠BAE＝180°，
∴∠PAB＝180°﹣32°﹣32°＝116°．
（2）BC∥PA，理由如下：
∵∠PAD＝∠BAE，∠PAB＝180°﹣∠PAD﹣∠BAE，
∴∠PAB＝180°﹣2∠BAE．
同理：∠ABC＝180°﹣2∠ABE．
∵∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠PAB+∠ABC＝360°﹣2（∠BAE+∠ABE）＝180°．
∴BC∥PA．
【点评】本题考查了平行线的判定以及角的计算，解题的关键是：（1）根据反弹找出∠BAE＝32°；（2）熟练掌握平行线的判定定理．