第2章二元一次方程组
（满分100分，完卷时间90分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一．选择题（共10小题）
1．（乾安县期末）小亮解方程组
的解为
，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（ ）
A．4和6 B．6和4 C．2和8 D．8和﹣2
【分析】根据x＝5是方程组的解，把x＝5代入方程2x﹣y＝12求出y的值，再把x、y的值代入2x+y即可．
【解答】解：∵x＝5是方程组的解，
∴2×5﹣y＝12，∴y＝﹣2，
∴2x+y＝2×5﹣2＝8，
∴●是8，★是﹣2．
故选：D．
【点评】此题比较简单，只要把已知结果代入原方程组进行计算即可．
2．（沐川县期末）下列各组数中，属于方程
x﹣y＝6的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】把x与y的值代入方程检验即可．
【解答】解：属于方程
x﹣y＝6的解是
，
故选：A．
【点评】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（建宁县期中）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二元一次方程组的定义，依次分析各个选项，选出属于二元一次方程组的选项即可．
【解答】解：A．符合二元一次方程组的定义，A项正确，
B.
属于分式方程，该方程组不符合二元一次方程组的定义，B项错误，
C．xy＝5属于二元二次方程，该方程组不符合二元一次方程组的定义，C项错误，
D．有三个未知数，该方程组不符合二元一次方程组的定义，D项错误，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，正确掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
4．（兰州期末）如果方程组
的解是二元一次方程3x﹣5y﹣30＝0的一个解，那么m的值为（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
【分析】把m看做已知数表示出方程组的解，代入已知方程计算即可求出m的值．
【解答】解：
，
①+②得：2x＝5m，
解得：x＝2.5m，
①﹣②得：2y＝﹣3m，
解得：y＝﹣1.5m，
代入3x﹣5y﹣30＝0得：7.5m+7.5m﹣30＝0，
解得：m＝2，
故选：D．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（杭州）某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则（ ）
A．x﹣y＝20 B．x+y＝20 C．5x﹣2y＝60 D．5x+2y＝60
【分析】设圆圆答对了x道题，答错了y道题，根据“每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分”列出方程．
【解答】解：设圆圆答对了x道题，答错了y道题，
依题意得：5x﹣2y+（20﹣x﹣y）×0＝60．
故选：C．
【点评】考查了由实际问题抽象出二元一次方程．关键是读懂题意，根据题目中的数量关系，列出方程，注意：本题中的等量关系之一为：答对的题目数量+答错的题目数量+不答的题目数量＝20，避免误选B．
6．（二道区校级二模）用加减法解方程组
时，若要求消去y，则应（ ）
A．①×3+②×2 B．①×3﹣②×2 C．①×5+②×3 D．①×5﹣②×3
【分析】方程组利用加减消元法变形即可．
【解答】解：用加减法解方程组
时，若要求消去y，则应①×5+②×3，
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
7．（河南）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据羊的价格不变列出方程组．
【解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为：
．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
8．（台湾）桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？（ ）
A．80 B．110 C．140 D．220
【分析】根据题意可以分别设出甲乙丙原有水的体积，然后根据题意可以列出方程组，然后作差即可得到原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升，本题得以解决．
【解答】解：设甲杯中原有水a毫升，乙杯中原有水b毫升，丙杯中原有水c毫升，
②﹣①，得
b﹣a＝110，
故选：B．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是明确题目中的等量关系，列出相应的方程组，巧妙变形，求出所求文题的答案．
9．（河南模拟）一个大正方形和四个全等的小正方形按图中的①，②两种方式摆放，则大正方形的边长是（ ）
A．a﹣b B．a﹣2b C．
D．
【分析】设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，根据图示可得等量关系：①大正方形边长+2个小正方形的边长＝a，②大正方形边长﹣2个小正方形的边长＝b，解出x1、x2的解．
【解答】解：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，
，
解得
．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的关系，表示出大小两个正方形的边长．
10．（邹城市期末）已知
+|x﹣3y﹣5|＝0，则yx的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】由绝对值、算术平方根的非负性和已知条件可得2x+y﹣3＝0，x﹣3y﹣5＝0，构建二元一次方程组
，解二元一次方程组得
，最后可求出yx＝1．
【解答】解：∵
，
+|x﹣3y﹣5|＝0，
∴
，|x﹣3y﹣5|＝0，
∴2x+y﹣3＝0，x﹣3y﹣5＝0，
∴两二元一次方程组中所含的未知数及次数相同，
∴构建一个关于x、y的二元一次方程组为
，
解二元一次方程组的解为
，
∴yx＝（﹣1）2＝1，
故选：A．
【点评】本题综合考查了绝对值、算术平方根的非负性，构建二元一次方程组与解二元一次方程组和乘方等相关知识，重点掌握构建二元一次方程组与解二元一次方程组的能力，难点是绝对值、算术平方根的非负性与二元一次方程组的综合能力提升．
二．填空题（共8小题）
11．（威海）用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为 44﹣16
．
【分析】图①中阴影部分的边长为
＝2
，图②中，阴影部分的边长为
＝2
；设小矩形的长为a，宽为b，依据等量关系即可得到方程组，进而得出a，b的值，即可得到图③中，阴影部分的面积．
【解答】解：由图可得，图①中阴影部分的边长为
＝2
，图②中，阴影部分的边长为
＝2
；
设小矩形的长为a，宽为b，依题意得
，
解得
，
∴图③中，阴影部分的面积为（a﹣3b）2＝（4
﹣2
﹣6
）2＝44﹣16
，
解法二：设小矩形的长为a，宽为b，依题意得
由②×2﹣①，得
a﹣3b＝
，
∴图③中，阴影部分的面积为（a﹣3b）2＝（4
﹣2
）2＝44﹣16
，
故答案为：44﹣16
．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二次根式的化简，当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
12．（诸城市期末）4xa+2b﹣5﹣2y3a﹣b﹣3＝8是二元一次方程，那么a＝ 2 ，b＝ 2 ．
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得
，再解即可．
【解答】解：由题意得：
，
解得：
，
故答案为：2，2．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
13．（林州市期末）已知
是关于x，y的二元一次方程ax+3y＝9的解，则a的值为 6 ．
【分析】根据方程的解满足方程，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由
是关于x，y的二元一次方程ax+3y＝9的解，得
2a﹣3＝9，
解得a＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于a的方程是解题关键．
14．（宿豫区期末）已知方程2x﹣3y+1＝0，用含y的代数式表示x为 x＝
．
【分析】把x看做已知数求出y即可．
【解答】解：方程2x﹣3y+1＝0，
解得：x＝
，
故答案为：x＝
【点评】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（遂宁期末）如果方程组
的解满足x+y＝5，则k的值是 6 ．
【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入x+y＝5求出k的值即可．
【解答】解：
，
①+②得：3（x+y）＝3k﹣3，
解得：x+y＝k﹣1，
代入x+y＝5中得：k﹣1＝5，
解得：k＝6，
故答案为：6
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
16．甲、乙两拖拉机厂，按计划每月各生产拖拉机a台，由于两厂实行技术改革，结果本月甲厂完成计划的110%，乙厂比计划增产6%，则本月甲厂生产拖拉机 110%a 台，乙厂生产拖拉机 （1+6%）a 台．
【分析】甲厂计划生产a台，结果本月完成计划的110%，那么就是完成了a的110%，所以甲厂本月生产110%a台；乙厂比计划增产6%，是在a的基础上增加了a的6%，所以乙厂本月生产（1+6%）a台．
【解答】解：甲厂本月实际生产拖拉机：110%a台，
乙厂本月生产拖拉机（1+6%）a台．
故填110%a，（1+6%）a．
【点评】在本题中需要注意两点：一、a的110%就是110%a；二、a增加6%，则为（1+6%）a．
17．若
则5x﹣y﹣z﹣1的立方根是 3 ．
【分析】先根据方程组解出x、y、z，然后代入5x﹣y﹣z﹣1后即可求出答案．
【解答】解：
由③可得：z＝3x+2y﹣18④
把④代入①中得，17x+4y＝85⑤
把④代入②得，7x﹣y＝35⑥
联立⑤⑥可得：x＝5，y＝0，
将x＝5，y＝0代入④得，z＝﹣3
∴5x﹣y﹣z﹣1＝5×5﹣0+3﹣1＝27
∴27的立方根是3，
故答案为：3
【点评】本题考查方程组的解法，解题的关键是熟练运用方程组的解法以及正确理解立方根的定义，本题属于基础题型．
18．（镇海区校级自主招生）若关于x，y方程组
的解为
，则方程组
的解为 
．
【分析】利用整体思想可得
，
【解答】解：利用整体思想可得
，解得
．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是学会利用整体的思想解决问题．
三．解答题（共10小题）
19．（饶平县校级模拟）已知关于x，y的方程组
和
有相同解，求（﹣a）b值．
【分析】因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值．
【解答】解：因为两组方程组有相同的解，所以原方程组可化为
，
解方程组（1）得
，
代入（2）得
，
解得：
．
所以（﹣a）b＝（﹣2）3＝﹣8．
【点评】此题比较复杂，考查了学生对方程组有公共解定义的理解能力及应用能力，是一道好题．
20．（揭西县期末）解二元一次方程组：
．
【分析】应用代入法，求出二元一次方程组
的解是多少即可．
【解答】解：
由①，可得：x＝4﹣2y③，
把③代入②，解得y＝1，
∴x＝4﹣2×1＝2，
∴原方程组的解是
．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组问题，要熟练掌握，注意代入法和加减法的应用．
21．若方程组
是二元一次方程组，求a的值．
【分析】根据二元一次方程组的定义得到|a|﹣2＝1或|a|﹣2＝0，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值．
【解答】解：∵方程组是二元一次方程组，
∴|a|﹣2＝1或|a|﹣2＝0，
∴a＝﹣3或3或2或﹣2．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
22．（饶平县校级期中）已知方程组
是二元一次方程组，求m的值．
【分析】根据二元一次方程组的定义得到|m﹣2|﹣2＝1，且m﹣3≠0、m+1≠0．由此可以求得m的值．
【解答】解：依题意，得
|m﹣2|﹣2＝1，且m﹣3≠0、m+1≠0，
解得m＝5．
故m的值是5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
23．（抚宁区期中）小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的．写出题中被墨水污染的条件，并求解这道应用题．
【分析】被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元，设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果．
【解答】解：被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元．
根据题意，得
解得
答：“五一”前同样的电视每台2500元，空调每台3000元．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
24．为了保护生态平衡，绿化环境，国家大力鼓励“退耕还林还草”，其补偿政策如表1．
种树、种草每亩每年补粮、补钱情况表（表1）
-
种植名称
补偿内容
种树
种草
补粮
150千克
100千克
补钱
200元
150元
小浪底库区某农户积极响应国家号召，承包了一片山坡地种树、种草，所得到国家的补偿如表2，
种树、种草亩数及补偿通知单（表2）
-
种树、种草
补粮
补钱
30亩
4000千克
5500元
问该农户种树、种草各多少亩？（用两种方法解题，只列出方程（组））
【分析】可用一元一次方程、二元一次方程组的角度求解，等量关系为：总共30亩，补钱4000千克，补钱5500元．
【解答】解：方法一：设该农户种树x亩，则种草（30﹣x）亩，
则150x+（30﹣x）×100＝4 000．
方法二：设该农户种树x亩，种草y亩，
则
．
【点评】本题考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，解答解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系．
25．（润州区期末）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元；
营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元；
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
（1）求x、y的值；
（2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？
【分析】（1）根据“月销售件数200件，月总收入3400元，月销售件数300件，月总收入3700元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，根据“购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元”，即可得出关于a、b、c的三元一次方程组，利用（①+②）÷4即可求出购买甲、乙、丙服装各一件的总费用．
【解答】解：（1）根据题意得：
，
解得：
．
（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，
根据题意得：
，
（①+②）÷4，得：a+b+c＝190．
答：购买甲、乙、丙服装各一件共需190元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．
26．（苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解方程组
时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：
请你解决以下问题：
（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组
（2）已知x、y、z，满足
试求z的值．
【分析】（1）将②变形后代入方程解答即可；
（2）将原方程变形后利用加减消元解答即可．
【解答】解：（1）
将②变形得3（2x﹣3y）+4y＝11 ④
将①代入④得
3×7+4y＝11
y＝
把y＝
代入①得
，
∴方程组的解为
（2）
由①得3（x+4y）﹣2z＝47 ③
由②得2（x+4y）+z＝36 ④
③×2﹣④×3得z＝2
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想．
27．（鄞州区期中）水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
-
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
400
500
600
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
【分析】（1）设需要甲种车型x辆，乙种车型y辆，根据水果120吨且运费为8200元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为正整数，求出x，y的值，从而得出答案．
【解答】解析：（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：
，
解得
．
答：需甲车型8辆，乙车型10辆；
（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：
，
消去z得5x+2y＝40，x＝8﹣
y，
因x，y是正整数，且不大于14，得y＝5，10，
由z是正整数，解得
，
，
当x＝6，y＝5，z＝5时，总运费为：6×400+5×500+5×600＝7900元；
当x＝4，y＝10，z＝2时，总运费为：4×400+10×500+2×600＝7800元＜7900元；
∴运送方案：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
28．（江都区期中）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大值，min{a，b}表示a、b中的较小值．如：max{2，4}＝4，min{2，4}＝2．按照这个规定：
解方程组：
．
【分析】根据x与﹣x，3x+9与3x+11的大小关系得到所求方程组，再解方程组求解即可．
【解答】解：由题意得：
或
，
解得
或
．
【点评】考查了解二元一次方程组，关键是根据新定义得到方程组求解．