【324394】2024春七年级数学下册 第1章平行线（压轴30题专练）（含解析）（新版）浙教版

第1章平行线（压轴30题专练）

一．选择题（共9小题）

1．（奉化区校级期末）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

【考点】平行线的性质．版权所有

【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．

【解答】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE₁＝β，

∵∠AOC＝∠BAE₁+∠AE₁C，

∴∠AE₁C＝β﹣α．

（2）如图2，过E₂作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE₂＝α，∠2＝∠DCE₂＝β，

∴∠AE₂C＝α+β．

当AE₂平分∠BAC，CE₂平分∠ACD时，

∠BAE₂+∠DCE₂＝ （∠BAC+∠ACD）＝ 180°＝90°，

即α+β＝90°，

又∵∠AE₂C＝∠BAE₂+∠DCE₂，

∴∠AE₂C＝180°﹣（α+β）＝180°﹣α﹣β；

（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE₃＝∠DCE₃＝β，

∵∠BAE₃＝∠BOE₃+∠AE₃C，

∴∠AE₃C＝α﹣β．

（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE₄+∠AE₄C+∠DCE₄＝360°，

∴∠AE₄C＝360°﹣α﹣β．

（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．

综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，180°﹣α﹣β，360°﹣α﹣β．

故选：D．

2．如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1＝25°，则∠2的度数是（　　）

A．15° B．25° C．35° D．45°

【考点】平行线的性质．版权所有

【分析】先根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再根据直角三角形的性质用∠2＝60°﹣∠3代入数据进行计算即可得解．

【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1＝25°，

∴∠3＝∠1＝25°，

∴∠2＝60°﹣∠3＝60°﹣25°＝35°．

故选：C．

3．如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠D＝70°，则∠CEB等于（　　）

A．70° B．80° C．90° D．110°

【考点】平行线的性质．版权所有

【分析】由DF∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BED的度数，又由邻补角的定义，即可求得答案．

【解答】解：∵DF∥AB，

∴∠BED＝∠D＝70°，

∵∠BED+∠BEC＝180°，

∴∠CEB＝180°﹣70°＝110°．

故选：D．

4．如图，AB∥CD，EF⊥AB于E，EF交CD于F，已知∠1＝60°，则∠2＝（　　）

A．20° B．60° C．30° D．45°

【考点】垂线；平行线的性质．版权所有

【分析】利用平行线的性质和垂线的定义计算．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠3＝∠1＝60°（两直线平行，同位角相等），

∵EF⊥AB于E，

∴∠2＝90°﹣60°＝30°，

故选：C．

5．（固安县期末）小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，

小明说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”

小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”

小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．”

小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”

他们四人中，有（　　）个人的说法是正确的．

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】平行线的判定与性质．版权所有

【分析】由EF⊥AB，CD⊥AB，知CD∥EF，然后根据平行线的性质与判定即可得出答案；

【解答】解：已知EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥EF，

（1）若∠CDG＝∠BFE，

∵∠BCD＝∠BFE，

∴∠BCD＝∠CDG，

∴DG∥BC，

∴∠AGD＝∠ACB．

（2）若∠AGD＝∠ACB，

∴DG∥BC，

∴∠BCD＝∠CDG，∠BCD＝∠BFE，

∴∠CDG＝∠BFE．

（3）由题意知，EF∥DC，

∴∠BFE＝∠DCB＜∠ACB，

如下图，

①当DG∥BC时，则∠AGD＝∠ACB＞∠BFE，

即∠AGD一定大于∠BFE；

②当GD（GD′、GD″）与BC不平行时，

如图，设DG∥BC，

当点G′在点G的上方时，

∵∠AG′D＞AGD，

由①知，∠AG′D一定大于∠BFE；

当点G″在点G的下方时，

见上图，则∠AG″D不一定大于∠BFE，

综上，∠AGD不一定大于∠BFE；

（4）如果连接GF，则GF不一定平行于AB；

综上知：正确的说法有两个．

故选：B．

6．如图，一块砖的外侧面积为x，那么图中残留部分墙面的面积为（　　）

A．4x B．12x C．8x D．16x

【考点】生活中的平移现象．版权所有

【分析】本题主要考查对图形的观察能力和平移方法的运用，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．

【解答】解：观察图形，利用平移的方法可将空白的部分移到一起，可发现它是由4个外侧面积为x的砖构成；整个墙面由16个外侧面积为x的砖构成，故残留部分墙面的面积为16x﹣4x＝12x．

故选：B．

7．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（　　）

A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90° C．AC＝DF D．EC＝CF

【考点】平移的性质．版权所有

【分析】由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案．

【解答】解：A、Rt△ABC向右平移得到△DEF，则△ABC≌△DEF成立，故正确；

B、△DEF为直角三角形，则∠DEF＝90°成立，故正确；

C、△ABC≌△DEF，则AC＝DF成立，故正确；

D、EC＝CF不能成立，故错误．

故选：D．

8．如图，把边长为2的正方形的局部进行图①～图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（　　）

A．18 B．16 C．12 D．8

【考点】平移的性质．版权所有

【分析】根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变，则⑤面积可求．

【解答】解：一个正方形面积为4，而把一个正方形从①﹣④变换，面积并没有改变，所以图⑤由4个图④构成，故图⑤面积为4×4＝16．

故选：B．

9．（奉化区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【考点】平行线的性质．版权所有

【分析】AD∥BC，∠D＝∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF＝180°﹣∠AED﹣∠BEG＝180°﹣2β，在△AEF中，100°+2α+180°﹣2β＝180°，故β﹣α＝40°，即可求解．

【解答】解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，

∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，

∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，

而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，

∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°，

∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，

在△AEF中，80°+2α+180﹣2β＝180°

故β﹣α＝40°，

而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，

故选：B．

二．填空题（共7小题）

10．（奉化区校级期末）如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延长线于点E，若∠E＝34°，则∠B的度数为　68°　．

【考点】平行线的性质．版权所有

【分析】如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF＝∠GCF＝x，∠CGE＝∠MGE＝y．构建方程组证明∠GMC＝2∠E即可解决问题．

【解答】解：如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF＝∠GCF＝x，∠CGE＝∠MGE＝y．

则有 ，

①﹣②×2可得：∠GMC＝2∠E，

∵∠E＝34°，

∴∠GMC＝68°，

∵AB∥CD，

∴∠GMC＝∠B＝68°，

故答案为68°．

11．（2019秋•嘉兴期末）如图，已知长方形纸片ABCD，O是BC边上一点，P为CD中点，沿AO折叠使得顶点B落在CD边上的点P处，则∠OAB的度数是　30°　．

【考点】平行线的性质．版权所有

【分析】根据折叠，得出相等的线段和相等的角，根据中点得出DP＝ AP，进而得出∠DAP＝30°，再根据折叠对称，得出答案．

【解答】解：由折叠得，∠BAO＝∠OAP，AB＝AP，

∵长方形纸片ABCD，

∴AB＝CD，∠D＝∠DAB＝∠B＝90°，

∵P为CD中点，

∴PC＝PD＝ CD＝ AP，

在Rt△ADP中，∠DAP＝30°，

∴∠OAB＝∠OAP＝ （90°﹣30°）＝30°，

故答案为：30°．

12．如图，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要　504　元．

【考点】生活中的平移现象．版权所有

【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．

【解答】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为5.8米，2.6米，

∴地毯的长度为2.6+5.8＝8.4米，地毯的面积为8.4×2＝16.8平方米，

∴买地毯至少需要16.8×30＝504元．

13．（奉化区校级期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝　82°　．

【考点】平行线的性质．版权所有

【分析】过F作FH∥AB，依据平行线的性质，可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，根据四边形内角和以及∠E﹣∠F＝33°，即可得到∠E的度数．

【解答】解：如图，过F作FH∥AB，

∵AB∥CD，

∴FH∥AB∥CD，

∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，

∴可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，

∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β，

∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC，

即∠E+2∠BFC＝180°，①

又∵∠E﹣∠BFC＝33°，

∴∠BFC＝∠E﹣33°，②

∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣33°）＝180°，

解得∠E＝82°，

故答案为：82°．

14．（奉化区校级期末）如图，已知直线l₁∥l₂，且l₃和l₁、l₂分别交于A、B两点，点P在AB上．

（1）∠1、∠2、∠3之间的关系为　∠3＝∠1+∠2　；

（2）如果点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系为　∠3＝∠1+∠2　；

（3）如果点P（点P和A、B不重合）在A、B两点外侧运动时，∠1、∠2、∠3之间关系为　∠1﹣∠2＝∠3或∠2﹣∠1＝∠3　．

【考点】平行线的性质．版权所有

【分析】（1）作PE∥AC，如图1，由于l₁∥l₂，则PE∥BD，根据平行线的性质得∠1＝∠EPC，∠2＝∠EPD，所以∠1+∠2＝∠3；

（2）由（1）中的证明过程，可知∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化；

（3）根据题意，画出图形，利用平行线的性质可推出∠1、∠2、∠3之间的关系．

【解答】证明：（1）如图1，过点P作PQ∥l₁，

∵PQ∥l₁，

∴∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等），

∵PQ∥l₁，l₁∥l₂（已知），

∴PQ∥l₂（平行于同一条直线的两直线平行），

∴∠5＝∠2（两直线平行，内错角相等），

∵∠3＝∠4+∠5，

∴∠3＝∠1+∠2（等量代换）；

故答案为：∠3＝∠1+∠2；

（2）∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化；

故答案为：∠3＝∠1+∠2；

（3）∠1﹣∠2＝∠3或∠2﹣∠1＝∠3．

故答案为：∠1﹣∠2＝∠3或∠2﹣∠1＝∠3．

15．（奉化区校级期末）如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）²＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动　15或22.5　秒时，射线AM与射线BQ互相平行．

【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；平行线的判定与性质．版权所有

【分析】分两种情况讨论，依据∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，列出方程即可得到射线AM、射线BQ互相平行时的时间．

【解答】解：设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．

如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝18×5＝90°，

分两种情况：

①当9＜t＜18时，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝5t°，

∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，

∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝5t﹣45°，

当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，

此时，45°﹣t°＝5t﹣45°，

解得t＝15；

②当18＜t＜27时，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝5t°﹣90°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，

∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，

∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，

当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，

此时，45°﹣t°＝135°﹣5t，

解得t＝22.5；

综上所述，射线AM再转动15秒或22.5秒时，射线AM、射线BQ互相平行．

故答案为15或22.5．

16．（乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为　30或120　．

【考点】一元一次方程的应用；平行线的性质．版权所有

【分析】根据题意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．

【解答】解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，

（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，

①DE在MN上方时，

∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，

∴AP∥DF，

∴∠FDM＝∠MPA，

∵MN∥GH，

∴∠MPA＝∠HAC，

∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，

∴t＝30，

②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，

∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，

∴AP∥DF，

∴∠FDP＝∠MPA，

∵MN∥GH，

∴∠MPA＝∠HAC，

∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，

∴t＝210（不符合题意，舍去），

（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，

①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，

∵DF∥BC，AC⊥BC，

∴AI∥DF，

∴∠FDN+∠MIA＝90°，

∵MN∥GH，

∴∠MIA＝∠HAC，

∴∠FDN+∠HAC＝90°，即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，

∴t＝120，

②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，

∵DF∥BC，AC⊥BC，DE⊥DF，

∴AC∥DE，

∴∠AIM＝∠MDE，

∵MN∥GH，

∴∠MIA＝∠HAC，

∴∠EDM＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，

∴t＝210（不符合题意，舍去），

综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．

故答案为：30或120．

三．解答题（共14小题）

17．（奉化区校级期末）填写推理理由：

已知：如图，D，F，E分别是BC，AC，AB上的点，DF∥AB，DE∥AC，

试说明∠EDF＝∠A．

解：∵DF∥AB　（已知）　，

∴∠A+∠AFD＝180°　（两直线平行，同旁内角互补）　．

∵DE∥AC　（已知）　，

∴∠AFD+∠EDF＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）．

∴∠A＝∠EDF（　同角的补角相等　）．

【考点】平行线的性质．版权所有

【分析】根据平行线的性质和同角的补角相等即可得出结论．

【解答】解：∵DF∥AB（已知），

∴∠A+∠AFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∵DE∥AC（已知），

∴∠AFD+∠EDF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∴∠A＝∠EDF（同角的补角相等）．

故答案为：已知；两直线平行，同旁内角互补；已知；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等．

18．（慈溪市期末）如图，直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD，EF上（自左至右分别为C，A，D和E，B，F），∠ABF＝60°．射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者停止运动．设旋转时间为x秒．

（1）如图1，直接写出下列答案：

①∠BAD的度数；

②射线BN过点A时的x的值．

（2）如图2，求当AM∥BN时的x的值．

（3）若两条射线AM和BN所在的直线交于点P．

①如图3，若P在CD与EF之间，且∠APB＝126°，求x的值．

②若x＜24，求∠APB的度数（直接写出用含x的代数式表示的结果）．

【考点】相交线；平行线的性质．版权所有

【分析】（1）①由CD∥EF，∠ABF＝60°，可得：∠ABF+∠BAD＝180°，故∠BAD＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．

②当射线BN旋转到BA所在直线时，则射线BN过点A．那么，射线BN旋转的角度为120，故（5x）°＝120°．从而推断出x＝24．

（2）当AM∥BN时，∠NBA＝∠MAB，故∠EBA﹣∠EBN＝∠MAB．那么，x＝20．

（3）①由题意可得：∠EBP＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°，∠APB＝126°，故∠ABP＝∠EBP﹣∠EBA＝（5x）°﹣120°．由∠ABP+∠BAP+∠APB＝180°，故x＝29．

②如图，由x＜24，射线BN始终在∠EBA内部．此时，P在EF的下方．由题意可得：∠EBN＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°，故∠CBA＝∠EBA﹣∠EBN＝120°﹣（5x）°．又由∠CBA＝∠BAP+∠BPA，故∠BPA＝∠CBA﹣∠BAP＝120°﹣（5x）°﹣x°＝120°﹣（6x）°（0＜x＜24）．

【解答】解：（1）①∵CD∥EF，∠ABF＝60°，

∴∠ABF+∠BAD＝180°．

∴∠BAD＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．

②∵当射线BN旋转到BF的位置时，两者停止运动，

∴当x＝180°÷5°＝36时，两者停止运动．

此时，射线AM在∠BAD的内部．

由题意知：0≤x≤36．

∵∠ABE+∠ABF＝180°，

∴∠ABE＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．

当射线BN旋转到BA所在直线时，则射线BN过点A．

∴射线BN旋转的角度为120．

∴（5x）°＝120°．

∴x＝24（符合题意）．

（2）当AM∥BN时，∠NBA＝∠MAB．

∴∠EBA﹣∠EBN＝∠MAB．

∴120°﹣5°•x＝1°•x．

∴x＝20（符合题意）．

（3）①若P在CD与EF之间，则x＞24．

由题意可得：∠EBP＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°，∠APB＝126°．

∴∠ABP＝∠EBP﹣∠EBA＝（5x）°﹣120°．

又∵∠ABP+∠BAP+∠APB＝180°，

∴（5x）°﹣120°+x°+126°＝180°．

∴x＝29（符合题意）．

②如图4，

∵x＜24，

∴射线BN始终在∠EBA内部．

此时，P在EF的下方．

当x＝0时，P不存在．

由题意可得：∠EBN＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°．

∴∠CBA＝∠EBA﹣∠EBN＝120°﹣（5x）°．

∵∠CBA＝∠BAP+∠BPA，

∴∠BPA＝∠CBA﹣∠BAP＝120°﹣（5x）°﹣x°＝120°﹣（6x）°（0＜x＜24）．

19．（奉化区校级期末）如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．

（1）若点P，F，G都在点E的右侧．

①求∠PCG的度数；

②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．

（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使 ？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．

【考点】平行线的性质．版权所有

【分析】（1）①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；

②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG＝∠GCF＝20°，再根据PQ∥CE，即可得出∠CPQ＝∠ECP＝60°；

（2）设∠EGC＝3x，∠EFC＝2x，则∠GCF＝3x﹣2x＝x，分两种情况讨论：①当点G、F在点E的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．

【解答】解：（1）①∵∠CEB＝100°，AB∥CD，

∴∠ECQ＝80°，

∵∠PCF＝∠PCQ，CG平分∠ECF，

∴ ＝ ∠ECQ＝40°；

②∵AB∥CD

∴∠QCG＝∠EGC，∠QCG+∠ECG＝∠ECQ＝80°，

∴∠EGC+∠ECG＝80°

又∵∠EGC﹣∠ECG＝40°，

∴∠EGC＝60°，∠ECG＝20°

∴∠ECG＝∠GCF＝20°，∠PCF＝∠PCQ＝ （80°﹣40°）＝20°，

∵PQ∥CE，

∴∠CPQ＝∠ECP＝60°；

（2）设∠EGC＝3x，∠EFC＝2x，则∠GCF＝3x﹣2x＝x，

①当点G、F在点E的右侧时，

则∠ECG＝∠PCF＝∠PCD＝x，

∵∠ECD＝80°，

∴4x＝80°，

解得x＝20°，

∴∠CPQ＝3x＝60°；

②当点G、F在点E的左侧时，

则∠ECG＝∠GCF＝x，

∵∠CGF＝180°﹣3x，∠GCQ＝80°+x，

∴180°﹣3x＝80°+x，

解得x＝25°，

∴∠FCQ＝∠ECF+∠ECQ＝50°+80°＝130°，

∴ ，

∴∠CPQ＝∠ECP＝65°﹣50°＝15°．

20．（招远市期末）问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．

操作发现

（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；

（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；

结论应用

（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，则∠CFG等于　60°﹣α　（用含α的式子表示）．

【考点】平行线的性质．版权所有

【分析】（1）依据AB∥CD，可得∠1＝∠EGD，再根据∠2＝2∠1，∠FGE＝60°，即可得出∠EGD＝ （180°﹣60°）＝40°，进而得到∠1＝40°；

（2）根据AB∥CD，可得∠AEG+∠CGE＝180°，再根据∠FEG+∠EGF＝90°，即可得到∠AEF+∠FGC＝90°；

（3）依据AB∥CD，可得∠AEF+∠CFE＝180°，再根据∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，即可得到∠GFC＝180°﹣90°﹣30°﹣α＝60°﹣α．

【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，

∴∠1＝∠EGD，

又∵∠2＝2∠1，

∴∠2＝2∠EGD，

又∵∠FGE＝60°，

∴∠EGD＝ （180°﹣60°）＝40°，

∴∠1＝40°；

（2）如图2，∵AB∥CD，

∴∠AEG+∠CGE＝180°，

即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，

又∵∠FEG+∠EGF＝90°，

∴∠AEF+∠FGC＝90°；

（3）如图3，∵AB∥CD，

∴∠AEF+∠CFE＝180°，

即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC＝180°，

又∵∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，

∴∠GFC＝180°﹣90°﹣30°﹣α＝60°﹣α．

故答案为：60°﹣α．

21．（九龙坡区校级月考）如图，已知AB∥CD，点P在直线BD上（点P与点B、D不重合），分别记∠BAP，∠DCP，∠APC为∠1，∠2，∠3．

（1）当点P在B、D两点间移动时，写出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由；

（2）当点P在射线BE上移动时，（1）中的等量关系还存在吗？若存在，请说明理由；若不存在，请写出一个你认为正确的等量关系，并说明理由．

【考点】平行线的性质．版权所有

【分析】（1）过P作PQ∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可得到∠3＝∠1+∠2；

（2）根据平行线的性质以及三角形外角性质，即可得出∠2＝∠1+∠3．

【解答】解：（1）等量关系：∠3＝∠1+∠2，

如图，过P作PQ∥AB，

∵AB∥CD，∴PQ∥CD，

∴∠APQ＝∠1，∠CPQ＝∠2，

∴∠3＝∠APQ+∠CPQ＝∠1+∠2；

（2）答：（1）中等量关系不存在了．存在：∠2＝∠1+∠3．

如图所示，∵AB∥CD，

∴∠2＝∠PEB，

∵∠3+∠1＝∠PEB，

∴∠2＝∠1+∠3．

22．（颍州区期末）如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1＝∠2．

（1）判断DG与BC的位置关系，并说明理由；

（2）若DG是∠ADC的平分线，∠3＝85°，且∠DCE：∠DCG＝9：10，试说明AB与CD有怎样的位置关系？

【考点】平行线的判定与性质．版权所有

【分析】（1）先根据CD∥EF得出∠2＝∠BCD，再由∠1＝∠2得出∠1＝∠BCD，进而可得出结论；

（2）根据DG∥BC，∠3＝85°得出∠BCG的度数，再由∠DCE：∠DCG＝9：10得出∠DCE的度数，由DG是∠ADC的平分线可得出∠ADC的度数，由此得出结论．

【解答】解：（1）DG∥BC．

理由：∵CD∥EF，

∴∠2＝∠BCD．

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠BCD，

∴DG∥BC；

（2）CD⊥AB．

理由：∵由（1）知DG∥BC，∠3＝85°，

∴∠BCG＝180°﹣85°＝95°．

∵∠DCE：∠DCG＝9：10，

∴∠DCE＝95°× ＝45°．

∵DG是∠ADC的平分线，

∴∠ADC＝2∠CDG＝90°，

∴CD⊥AB．

23．（饶平县校级期中）如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝28°，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG．

（1）说明：DC∥AB；

（2）求∠PFH的度数．

【考点】平行线的判定与性质．版权所有

【分析】（1）由DC∥FP知∠3＝∠2＝∠1，可得DC∥AB；

（2）由（1）利用平行线的判定得到AB∥PF∥CD，根据平行线的性质得到∠AGF＝∠GFP，∠DEF＝∠EFP，然后利用已知条件即可求出∠PFH的度数．

【解答】解：（1）∵DC∥FP，

∴∠3＝∠2，

又∵∠1＝∠2，

∴∠3＝∠1，

∴DC∥AB；

（2）∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF＝28°，

∴∠DEF＝∠EFP＝28°，AB∥FP，

又∵∠AGF＝80°，

∴∠AGF＝∠GFP＝80°，

∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝80°+28°＝108°，

又∵FH平分∠EFG，

∴∠GFH＝ ∠GFE＝54°，

∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝80°﹣54°＝26°．

24．（民权县期末）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．

【考点】平行线的判定与性质．版权所有

【分析】首先利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件，内错角∠2和∠E相等，得出结论．

【解答】证明：∵AE平分∠BAD，

∴∠1＝∠2，

∵AB∥CD，∠CFE＝∠E，

∴∠1＝∠CFE＝∠E，

∴∠2＝∠E，

∴AD∥BC．

25．（饶平县校级期末）已知直线AB∥CD．

（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　∠E＝∠END﹣∠BME　；

（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，∠ABM＝ ∠MBE，∠CDN＝ ∠NDE，直线MB、ND交于点F，则 ＝　 　．

【考点】平行线的性质．版权所有

【分析】（1）由AB∥CD，即可得到∠END＝∠EFB，再根据∠EFB是△MEF的外角，即可得出∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME；

（2）由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，再根据三角形内角和定理，即可得到∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，即可得到∠E+2∠NPM＝180°；

（3）延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE；依据∠CHB是△DFH的外角，即可得到∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝ ∠ABE﹣ ∠CDE＝ （∠ABE﹣∠CDE），进而得出∠F＝ ∠E．

【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，

∴∠END＝∠EFB，

∵∠EFB是△MEF的外角，

∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME，

故答案为：∠E＝∠END﹣∠BME；

（2）如图2，∵AB∥CD，

∴∠CNP＝∠NGB，

∵∠NPM是△GPM的外角，

∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，

∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，

∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA，

∵AB∥CD，

∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP，

∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°，

∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，

即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，

∴∠E+2∠NPM＝180°；

（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，

∵AB∥CD，

∴∠CDG＝∠AGE，

∵∠ABE是△BEG的外角，

∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，①

∵∠ABM＝ ∠MBE，∠CDN＝ ∠NDE，

∴∠ABM＝ ∠ABE＝∠CHB，∠CDN＝ ∠CDE＝∠FDH，

∵∠CHB是△DFH的外角，

∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝ ∠ABE﹣ ∠CDE＝ （∠ABE﹣∠CDE），②

由①代入②，可得∠F＝ ∠E，

即 ．

故答案为： ．

26．（太和县期末）已知：△ABC和同一平面内的点D．

（1）如图1，点D在BC边上，过D作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F．

①依题意，在图1中补全图形；

②判断∠EDF与∠A的数量关系，并直接写出结论（不需证明）．

（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF＝∠A．判断DE与BA的位置关系，并证明．

（3）如图3，点D是△ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于E，DF∥CA交直线AB于F，直接写出∠EDF与∠A的数量关系（不需证明）．

【考点】平行线的判定与性质．版权所有

【分析】（1）根据过D作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F，进行作图；根据平行线的性质，即可得到∠A＝∠EDF；

（2）延长BA交DF于G．根据平行线的性质以及判定进行推导即可；

（3）分两种情况讨论，即可得到∠EDF与∠A的数量关系：∠EDF＝∠A，∠EDF+∠A＝180°．

【解答】解：（1）①补全图形如图1；

②∠EDF＝∠A．

理由：∵DE∥BA，DF∥CA，

∴∠A＝∠DEC，∠DEC＝∠EDF，

∴∠A＝∠EDF；

（2）DE∥BA．

证明：如图，延长BA交DF于G．

∵DF∥CA，

∴∠2＝∠3．

又∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3．

∴DE∥BA．

（3）∠EDF＝∠A，∠EDF+∠A＝180°．

理由：如左图，∵DE∥BA，DF∥CA，

∴∠D+∠E＝180°，∠E+∠EAF＝180°，

∴∠EDF＝∠EAF＝∠A；

如右图，∵DE∥BA，DF∥CA，

∴∠D+∠F＝180°，∠F＝∠CAB，

∴∠EDF+∠BAC＝180°．

27．（奉化区校级期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能．

阅读理解：

如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．

（1）阅读并补充下面推理过程．

解：过点A作ED∥BC，所以∠B＝　∠EAB　，∠C＝　∠DAC　．

又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．

解题反思：

从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．

方法运用：

（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．

提示：过点C作CF∥AB．

深化拓展：

（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．

如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝60°，则∠BED的度数为　65　°．

【考点】平行线的判定与性质．版权所有

【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；

（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；

（3）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数．

【解答】解：（1）过点A作ED∥BC，

∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DCA，

又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，

∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．

（2）过点C作CF∥AB，

∵AB∥ED，

∴AB∥ED∥CF，

∴∠B＝∠BCF，∠C＝∠DCF，

∴∠B+∠BCD+∠D＝∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°．

（3）如图，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，

∴∠ABE＝ ∠ABC＝30°，∠CDE＝ ∠ADC＝35°，

∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°

故答案为：65；

28．（奉化区校级期末）[感知]如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．小明想到了以下方法：

解；（1）如图①，过点P作PM∥AB，

∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等）

∵AB∥CD（已知），

∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），

∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∵∠PFD＝130°（已知），

∴∠2＝180°﹣130°＝50°（等式的性质），

∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°（等式的性质）．

即∠EPF＝90°（等量代换）．

[探究]如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．

[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，则∠G的度数是　35　°．

【考点】平行公理及推论；平行线的判定与性质．版权所有

【分析】[探究]过点P作PM∥AB，根据AB∥CD，PM∥CD，进而根据平行线的性质即可求∠EPF的度数．

[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，可得∠G的度数．

【解答】[探究]如图②，过点P作PM∥AB，

∴∠MPE＝∠AEP＝50°（两直线平行，内错角相等）

∵AB∥CD（已知），

∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），

∴∠PFC＝∠MPF＝120°（两直线平行，内错角相等）．

∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°（等式的性质）．

[应用]如图③所示，

∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，

∴∠AEG＝ AEP＝25°，∠GFC＝ PFC＝60°，

过点G作GM∥AB，

∴∠MGE＝∠AEG＝25°（两直线平行，内错角相等）

∵AB∥CD（已知），

∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），

∴∠GFC＝∠MGF＝60°（两直线平行，内错角相等）．

∴∠G＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°．

故答案为：35．

29．（南岗区期末）已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．

（1）如图1，求证：AB∥CD；

（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；

（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+ ∠FGN，求∠MHG的度数．

【考点】平行线的判定与性质．版权所有

【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等即可证明；

（2）如图2，过点M作MR∥AB，可得AB∥CD∥MR．进而可以证明；

（3）如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，过点H作HT∥GN，可得∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，进而可得结论．

【解答】（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．

∴∠BGF+∠DHE＝180°，

∴AB∥CD；

（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，

又∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥MR．

∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．

∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．

（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，

∵射线GH是∠BGM的平分线，

∴ ，

∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，

∵ ，

∴ ，

∴∠FGN＝2β，

过点H作HT∥GN，

则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，

∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，

∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，

∵AB∥CD，

∴∠AGH+∠CHG＝180°，

∴90°+α+2α+3β＝180°，

∴α+β＝30°，

∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．

30．（奉化区校级期末）（1）如图1，已知直线l₁∥l₂，且l₃和l₁，l₂分别交于A，B两点，点P在线段AB上，则∠1，∠2，∠3之间的等量关系是　∠3＝∠1+∠2　；如图2，点A在B处北偏东40°方向，在C处的北偏西45°方向，则∠BAC＝　85　°．

（2）如图3，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°，试说明：AB∥CD；并探究∠2与∠3的数量关系．

【考点】方向角；平行线的判定与性质．版权所有

【分析】（1）在图1中，作PM∥AC，利用平行线性质即可证明；利用①结论即可求得∠BAC的度数．

（2）根据BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2＝90°，可得∠ABD+∠BDC＝180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行．根据∠1+∠2＝90°，即∠BED＝90°；那么∠3+∠FDE＝90°，将等角代换，即可得出∠3与∠2的数量关系．

【解答】解：（1）如图1中，作PM∥AC，

∵AC∥BD，

∴PM∥BD，

∴∠1＝∠CPM，∠2＝∠MPD，

∴∠1+∠2＝∠CPM+∠MPD＝∠CPD＝∠3．

由题可知：∠BAC＝∠B+∠C，

∵∠B＝40°，∠C＝45°，

∴∠BAC＝40°+45°＝85°．

故答案为：∠1+∠2＝∠3，85°．

（2）证明：∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，

∴∠1＝ ∠ABD，∠2＝ ∠BDC；

∵∠1+∠2＝90°，

∴∠ABD+∠BDC＝180°；

∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）

∵DE平分∠BDC，

∴∠2＝∠FDE；

∵∠1+∠2＝90°，

∴∠BED＝∠DEF＝90°；

∴∠3+∠FDE＝90°；

∴∠2+∠3＝90°．