第1章平行线

一．选择题（共10小题）

1．（同安区校级二模）如图，有以下四个条件：①∠B+∠BCD＝180°，②∠1＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B＝∠5，其中能判定AB∥CD的条件的个数有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．

【解答】解：①∵∠B+∠BDC＝180°，

∴AB∥CD；

②∵∠1＝∠2，

∴AD∥BC；

③∵∠3＝∠4，

∴AB∥CD；

④∵∠B＝∠5，

∴AB∥CD；

∴能得到AB∥CD的条件是①③④．

故选：C．

【点评】此题考查了平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，弄清截线与被截线．

2．（乐清市期末）如图，与∠1是内错角的是（　　）

A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5

【分析】根据内错角的定义找出即可．

【解答】解：根据内错角的定义，∠1的内错角是∠5．

故选：D．

【点评】本题考查了“三线八角”问题，确定三线八角的关键是从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．

3．（温州期末）如图所示，直线AB，CD被EF所截，则∠1和∠2是（　　）

A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角

【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．

【解答】解：直线AB，CD被EF所截，则∠1和∠2是同旁内角，

故选：D．

【点评】本题主要考查了同旁内角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．

4．（北京）如图，AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC的度数为（　　）

A．155° B．50° C．45° D．25°

【分析】首先根据平角的定义，可以求出∠ADB，再根据平行线的性质可以求出∠DBC．

【解答】解：依题意得∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣155°＝25°，

∵AD∥BC，

∴∠DBC＝∠ADB＝25°．

故选：D．

【点评】此题比较简单，主要考查了两条直线平行的性质，利用内错角相等解题．

5．（德清县期末）如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（　　）

A．50° B．60° C．75° D．85°

【分析】由图形可得AD∥BC，可得∠CBF＝30°，由于翻折可得两个角是重合的，于是利用平角的定义列出方程可得答案．

【解答】解：∵AD∥BC，

∴∠CBF＝∠DEF＝30°，

∵AB为折痕，

∴2∠α+∠CBF＝180°，

即2∠α+30°＝180°，

解得∠α＝75°．

故选：C．

【点评】本题考查了图形的翻折问题；找着相等的角，利用平角列出方程是解答翻折问题的关键．

6．（柯桥区模拟）如图，AB∥CD，∠BAE＝120°，∠DCE＝30°，则∠AEC＝（　　）度．

A．70 B．150 C．90 D．100

【分析】延长AE交CD于点F，根据两直线平行同旁内角互补可得∠BAE+∠EFC＝180°，已知∠BAE的度数，不难求得∠EFC的度数，再根据三角形的外角的性质即可求得∠AEC的度数．

【解答】解：如图，延长AE交CD于点F，

∵AB∥CD，

∴∠BAE+∠EFC＝180°，

又∵∠BAE＝120°，

∴∠EFC＝180°﹣∠BAE＝180°﹣120°＝60°，

又∵∠DCE＝30°，

∴∠AEC＝∠DCE+∠EFC＝30°+60°＝90°．

故选：C．

【点评】此题主要考查学生对平行线的性质及三角形的外角性质的综合运用，注意辅助线的添加方法．

7．（温州期末）将图中的叶子平移后，可以得到的图案是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据平移的特征分析各图特点，只要符合“图形的形状、大小和方向都不改变”即为答案．

【解答】解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向，

将题图所示的图案通过平移后可以得到的图案是A，

其它三项皆改变了方向，故错误．

故选：A．

【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选B、C、D．

8．（江津区期末）如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4

C．∠5＝∠B D．∠B+∠BDC＝180°

【分析】根据平行线的判定方法直接判定．

【解答】解：选项B中，∵∠3＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），所以正确；

选项C中，∵∠5＝∠B，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），所以正确；

选项D中，∵∠B+∠BDC＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），所以正确；

而选项A中，∠1与∠2是直线AC、BD被AD所截形成的内错角，因为∠1＝∠2，所以应是AC∥BD，故A错误．

故选：A．

【点评】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．

9．（广元）如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（　　）

A．180° B．360° C．270° D．540°

【分析】首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．

【解答】解：过点P作PA∥a，

∵a∥b，PA∥a，

∴a∥b∥PA，

∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，

∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，

∴∠1+∠2+∠3＝360°．

故选：B．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a是解决问题的关键．

10．（锦州）如图，AC与BD交于点O，AB∥CD，∠AOB＝105°，∠B＝30°，则∠C的度数为（　　）

A．45° B．55° C．60° D．75°

【分析】利用三角形内角和定理求出∠A，再利用平行线的性质即可解决问题．

【解答】解：∵∠A+∠AOB+∠B＝180°，

∴∠A＝180°﹣105°﹣30°＝45°，

∵AB∥CD，

∴∠C＝∠A＝45°，

故选：A．

【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

二．填空题（共8小题）

11．（大新县期末）如图，在方格中画着两艘完全一样的小船，左边小船向右平移了　6　格可以来到右边小船位置．

【分析】由图形中小船上对应点平移的距离进而得出答案．

【解答】解：如图所示：左边小船向右平移了6格可以来到右边小船位置．

故答案为：6．

【点评】此题主要考查了利用平移设计图案，正确掌握平移的性质是解题关键．

12．（瑞安市期末）如图，请添加一个条件：　∠1＝∠B或∠2＝∠B或∠3+∠B＝180°　，使DE∥BC．

【分析】根据平行线的判定方法结合图形解答即可．

【解答】解：∠1＝∠B（同位角相等，两直线平行），

∠2＝∠B（内错角相等，两直线平行），

∠3+∠B＝180°（同旁内角互补，两直线平行）．

故答案为：∠1＝∠B或∠2＝∠B或∠3+∠B＝180°．

【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．

13．（丰台区校级期末）如图，a∥b，∠1＝（3x+20）°，∠2＝（2x+10）°，那么∠3＝　70°　．

【分析】首先根据平行线的性质可得∠2＝∠3＝（2x+10）°，再根据邻补角互补可得2x+10+3x+20＝180，再解方程即可得到x的值，进而可得答案．

【解答】解：∵a∥b，

∴∠2＝∠3＝（2x+10）°，

∵∠1＝（3x+20）°，

∴2x+10+3x+20＝180，

解得：x＝30，

∴∠3＝2×30°+10°＝70°，

故答案为：70°．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．

14．如图，AB∥CD，∠AGE＝130°，HM平分∠EHD，则∠MHD的度数是　25　度．

【分析】由邻补角可得∠BGE＝50°，再由平行线的性质可得∠EHD＝∠BGE＝50°，由角平分线的定义可得∠MHD＝25°．

【解答】解：∵∠AGE＝130°，

∴∠BGE＝180°﹣∠AGE＝50°，

∵AB∥CD，

∴∠EHD＝∠BGE＝50°，

∵HM平分∠EHD，

∴∠MHD＝ ∠EHD＝25°．

故答案为：25．

【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．

15．（奉化区校级期末）将一个含有30°角的直角三角板如图所示放置．其中，含30°角的顶点落在直线a上，含90°角的顶点落在直线b上，若a∥b，∠2＝2∠1，则∠1＝　20　°．

【分析】根据平行线的性质和直角三角形的性质解答即可．

【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，

∴∠2+∠3＝90°．

∴∠3＝90°﹣∠2．

∵a∥b，∠2＝2∠1，

∴∠3＝∠1+∠CAB，即∠1+30°＝90°﹣2∠1，

∴∠1＝20°．

故答案为：20．

【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和直角三角形的性质解答．

16．（温州期末）如图所示，将一把含30°角的三角尺的两个顶点分别放在直线m和直线n上，若m∥n

则∠1＝20°，则∠2＝　70°　．

【分析】如图，延长BC交直线a于D．根据三角形的外角以及平行线的性质即可解决问题．

【解答】解：如图，延长BC交直线a于D．

∵∠4＝∠1+∠3，∠4＝90°，∠1＝20°，

∴∠3＝70°，

∵a∥b，

∴∠3＝∠2＝70°．

故答案为70°．

【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

17．（奉化区校级期末）如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝110°，则∠2＝　55　°．

【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补的性质求出∠3，再根据翻折的性质列式计算即可求出∠2．

【解答】解：∵∠1＝110°，纸条的两边互相平行，

∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣110°＝70°．

根据翻折的性质，

∠2＝ （180°﹣∠3）

＝ （180°﹣70°）

＝55°．

故答案为：55．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到了两直线平行，同旁内角互补的性质，翻折的性质，熟记性质是解题的关键．

18．（永嘉县校级期末）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB，EF与上拉杆CF形成的∠F＝150°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB＝35°时，点H，D，B在同一直线上，则∠H的度数是　115°　．

【分析】过D点作DI∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI＝30°，根据平角的定义可求∠ADB＝25°，根据直角三角形的性质可求∠ABH＝65°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H＝115°．

【解答】解：过D点作DI∥EF，

∵∠F＝150°，

∴∠FDI＝30°，

∴∠ADB＝180°﹣90°﹣30°﹣35°＝25°，

∴∠ABH＝90°﹣25°＝65°．

∵GH∥AB，

∴∠H＝180°﹣65°＝115°．

故答案为：115°．

【点评】考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

三．解答题（共6小题）

19．（碑林区校级期末）已知：直线AB及直线AB外一点C，过点C作直线CD，使CD∥AB．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【分析】过点C作直线MN交AB于N，作∠MCD＝∠MNB即可解决问题．

【解答】解：如图，直线CD为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握5种基本作图，属于中考常考题型．

20．（鄱阳县校级期中）如图所示，将三角形ABC向右平移到三角形DEF的位置，若AD＝2，CE＝1，指出A，B，C平移后的对应点，并求EF的长．

【分析】根据△DEF由△ABC平移而成，所以A，B，C平移后的对应点分别是D，E，F，再根据AD＝2可知CF＝2，由EF＝CE+CF即可得出结论．

【解答】解：∵△DEF由△ABC平移而成，

∴A，B，C平移后的对应点分别是D，E，F，

∵AD＝2，

∴CF＝2，

∴EF＝CE+CF＝1+2＝3．

【点评】本题考查的是平移的性质，熟知图形平移后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．

21．如图，桃花源管理处为了方便游客，决定在一条水平宽为100m，高为100m的山坡上铺设石板路，设AB是坡面，每块石板宽25cm（石板的厚度忽略不计），铺设方法如图所示，需购买这种石板多少块？

【分析】再把楼梯的水平线段向上平移、竖直线段向右平移可得到一个长方形，长是4米，高是3米，地毯长度为长与宽的和．

【解答】解：楼梯展开之后就是AC和BC的和；

即需要这种石板的总长度＝100+100＝200（m），

需购买这种石板：200÷0.25＝800（块）．

答：需购买这种石板800块．

【点评】此题主要考查了生活中的平移及平移的性质，根据已知得出石板总的长度应等于截面长与宽的和是解题关键．

22．（邯郸期中）在长为12m，宽为9m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，求其中一个小长方形花圃的长和宽．

【分析】由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽＝12m，小矩形的一个长+2个宽＝9m，设出长和宽，列出方程组即可得答案．

【解答】解：设小长方形的长为xm，宽为ym，

由题意得： ，

解得： ，

答：小长方形花圃的长和宽分别为5m，2m．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．

23．（青县期末）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E．

（1）试说明AE∥BC．

（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，如图2，连接DQ．若∠E＝75°，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数．

【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E＝180°，等量代换得到∠BAE+∠B＝180°，于是得到结论；

（2）如图2，过D作DF∥AE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论．

【解答】解：（1）∵DE∥AB，

∴∠BAE+∠E＝180°，

∵∠B＝∠E，

∴∠BAE+∠B＝180°，

∴AE∥BC；

（2）如图2，过D作DF∥AE交AB于F，

∵PQ∥AE，

∴DF∥PQ，

∵∠E＝75°，

∴∠EDF＝105°，

∵DE⊥DQ，

∴∠EDQ＝90°，

∴∠FDQ＝360°﹣105°﹣90°＝165°，

∴∠DPQ+∠QDP＝165°，

∴∠Q＝180°﹣165°＝15°．

【点评】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

24．（德惠市期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．

（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为　∠PFD+∠AEM＝90°　．

（2）当△PMN所放位置如图②所示时，请猜想∠PFD与∠AEM的数量关系并证明．

（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝20°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．

【分析】（1）作PH∥AB，根据平行线的性质得到∠AEM＝∠HPM，∠PFD＝∠HPN，根据∠MPN＝90°解答；

（2）根据平行线的性质得到∠PFD+∠BHN＝180°，根据∠P＝90°解答；

（3）根据平行线的性质、对顶角相等计算．

【解答】解：（1）如图①，作PH∥AB，

则∠AEM＝∠HPM，

∵AB∥CD，PH∥AB，

∴PH∥CD，

∴∠PFD＝∠HPN，

∵∠MPN＝90°，

∴∠PFD+∠AEM＝90°，

故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；

（2）猜想：∠PFD﹣∠AEM＝90°；

理由如下：∵AB∥CD，

∴∠PFD+∠BHN＝180°，

∵∠BHN＝∠PHE，

∴∠PFD+∠PHE＝180°，

∵∠P＝90°，

∴∠PHE+∠PEB＝90°，

∵∠PEB＝∠AEM，

∴∠PHE+∠AEM＝90°，

∴∠PFD﹣∠AEM＝90°；

（3）如图②，∵∠P＝90°，∠PEB＝15°，

∴∠PHE＝∠P﹣∠PEB＝90°﹣15°＝75°，

∴∠BHF＝∠PHE＝75°，

∵AB∥CD，

∴∠DFH+∠BHF＝180°，

∴∠DFH＝180°﹣∠BHF＝105°，

∴∠OFN＝∠DFH＝105°，

∵∠DON＝20°，

∴∠N＝180°﹣∠DON﹣∠OFN＝55°．

【点评】本题考查的是平行线的性质、对顶角相等、角的计算，掌握平行线的性质定理是解题的关键．