第1章平行线

一．选择题（共10小题）

1．（滨江区校级期末）在长为10m，宽为8m的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．则花圃的面积为（　　）

A．16 B．8 C．32 D．24

【分析】设每个小矩形花圃的长为xm，宽为ym，观察图形，根据矩形空地的长和宽，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出每个矩形小花圃的长和宽，再将其代入3xy中即可求出花圃的面积．

【解答】解：设每个小矩形花圃的长为xm，宽为ym，

依题意得： ，

解得： ，

∴3xy＝3×4×2＝24．

故选：D．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

2．（诸暨市期末）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，且∠2＝66°，则∠1的度数是（　　）

A．48° B．57° C．60° D．66°

【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到∠5＝∠DCF＝∠4＝∠3＝∠1，再根据同旁内角互补可得∠4，进而得出∠1．

【解答】解：如图，延长BC到点F，

∵纸带对边互相平行，

∴∠4＝∠3＝∠1，

由折叠可得，∠DCF＝∠5，

∵CD∥BE，

∴∠DCF＝∠4，

∴∠5＝∠4，

∵∠2+∠4+∠5＝180°，

∴66°+2∠4＝180°，即∠4＝57°，

∴∠1＝57°．

故选：B．

【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键．

3．（嵊州市期末）如图，将长方形纸片沿EB，CF折叠成图1，使AB，CD在同一直线上，再沿BF折叠成图2，使点D落在点D'处，BD'交CF于点P，若∠CEB＝37°，则∠CPB的度数为（　　）

A．110° B．111° C．112° D．113°

【分析】由题意可得：EG∥HF，利用平行线的性质可得：∠BCG＝∠CBH，∠HBE＝∠CEB＝37°，∠FCG＝∠BFC，再结合折叠的性质可得：∠CBE＝∠BCF＝∠BFC＝∠CEB＝37°，∠CBH＝74°，利用三角形的外角性质可求解．

【解答】解：如图所示

由题意得：EG∥HF，

∴∠BCG＝∠CBH，∠HBE＝∠CEB＝37°，∠FCG＝∠BFC，

由折叠性质得：∠HBE＝∠CBE＝ ∠CBH，∠FCG＝∠BCF＝ ∠BCG，

∴∠CBE＝∠BCF＝∠BFC＝∠CEB＝37°，∠CBH＝74°，

∴∠DBF＝∠CBH＝74°，

在图2中，由折叠的性质得：∠BFP＝∠BFC＝37°，∠FBD'＝∠DBF＝74°，

∴∠CPB＝∠FBD'+∠BFP＝111°．

故选：B．

【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．

4．（长兴县月考）如图，将三角形ABC沿直线AC平移得到三角形DEF，其中，点A和点D是对应点，点B和点E是对应点，点C和点F是对应点．如果AC＝6，DC＝2，那么线段BE的长是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【分析】由平移的性质可知，AD＝BE，求出AD即可解决问题．

【解答】解：由平移的性质可知，AD＝BE，

∵AC＝6，CD＝2，

∴AD＝AC﹣CD＝6﹣2＝4，

∴BE＝4，

故选：B．

【点评】本题考查平移的性质，线段的和差定义等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．

5．（南浔区期末）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝50°时，则∠2的度数为（　　）

A．25° B．40° C．50° D．130°

【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．

【解答】解：如图：

∵∠1+∠3＝90°，∠1＝50°，

∴∠3＝90°﹣∠1＝40°，

∵直尺两边互相平行，

∴∠2＝∠3＝40°．

故选：B．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．

6．（浦江县期末）如图，AD∥BE，AC与BC相交于点C，且∠1＝ ∠DAB，∠2＝ ∠EBA．若∠C＝45°，则n＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】过C点作CF∥BE，根据平行线的性质可得CF∥AD∥BE，再根据平行线的性质可得∠1+∠2＝45°，∠DAB+∠EBA＝180°，依此即可求解．

【解答】解：如图，过C点作CF∥BE，

∵AD∥BE，

∴CF∥AD∥BE，

∴∠1＝∠ACF，∠2＝∠BCF，∠DAB+∠EBA＝180°，

∴∠1+∠2＝∠ACF+∠BCF＝∠C＝45°，

∵∠1＝ ∠DAB，∠2＝ ∠EBA，

∴∠1+∠2＝ ∠DAB+ ∠EBA＝ （∠DAB+∠EBA）＝45°，

∴n＝4．

故选：C．

【点评】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

7．（奉化区校级期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠FEH+∠EHG＝118°，则∠FPG的度数为（　　）

A．54° B．55° C．56° D．57°

【分析】根据四边形ABCD是长方形，可得AD∥BC，得∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，所以可得∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，由折叠可得EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，可得∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，进而可得∠FPG的度数．

【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，

∴AD∥BC，

∴∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，

∴∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，

由折叠可知：

EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，

∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，

∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝118°，

∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，

∴∠PFG+∠PGF＝360°﹣（∠BFP+∠CGP）＝360°﹣236°＝124°，

∴∠FPG＝180°﹣（∠PFG+∠PGF）＝180°﹣124°＝56°．

故选：C．

【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．

8．（葫芦岛一模）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　）

A．15° B．25° C．35° D．50°

【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．

【解答】解：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，

∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣50°＝35°．

故选：C．

【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．

9．（镇海区期中）如图，已知AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°，下列结论正确的有（　　）

①AB∥CD；

②∠ABE+∠CDF＝180°；

③AC∥BD；

④若∠ACD＝2∠E，则∠CAB＝2∠F．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】利用角平分线的性质和三角形的内角和得到AB∥CD，再根据平行线的性质和外角定理可得答案．

【解答】解：∵AP平分∠BAC，

∴∠1＝∠PAC＝ ∠BAC，

∵CP平分∠ACD，

∴∠2＝∠PCA＝ ∠DCA，

又∵∠1+∠2＝90°，

∴∠BAC+∠DCA＝180°，

∴AB∥CD，故①对；

∵AB∥CD，

∴∠ABD+∠CDB＝180°，

∴∠ABE+∠CDF＝180°，故②对；

若∠ACD＝2∠E，

∵∠ACD＝2∠PCA，

∴∠PCA＝∠E，

∴AC∥BD，

∴∠F＝∠CAP，

∵∠CAB＝2∠F，故④对；

故选：C．

【点评】此题主要考查了平行线的性质以及平行公理等知识，正确利用平行线的性质分析是解题关键．

10．（温州月考）如图，将△ABC沿BC所在直线向右平移2cm得到△DEF，连结AD．若△ABC的周长为10cm，则四边形ABFD的周长为（　　）

A．10cm B．12cm C．14cm D．20cm

【分析】根据平移的性质可得AD＝CF＝2cm，AC＝DF，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解．

【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，

∴AD＝CF＝2cm，AC＝DF，

∴四边形ABFD的周长＝AB+（BC+CF）+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF，

∵△ABC的周长＝10cm，

∴AB+BC+AC＝10cm，

∴四边形ABFD的周长＝10+2+2＝14（cm）．

故选：C．

【点评】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．

二．填空题（共8小题）

11．（镇海区期中）如图，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，BF∥DE，且∠D＝40°，则∠BED的度数为　140°　．

【分析】延长DE交AB的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠D＝∠AGD，再根据两直线平行，同位角相等可得∠AGD＝∠ABF，然后根据角平分线的定义得∠EBF＝∠ABF，再根据平行线的性质解答．

【解答】解：如图，延长DE交AB的延长线于G，

∵AB∥CD，

∴∠D＝∠AGD＝40°，

∵BF∥DE，

∴∠AGD＝∠ABF＝40°，

∵BF平分∠ABE，

∴∠EBF＝∠ABF＝40°，

∵BF∥DE，

∴∠BED＝180°﹣∠EBF＝140°．

故答案为：140°．

【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．

12．（诸暨市期末）如图，在三角形ABC中，点E，F在边AB，BC上，将三角形BEF沿EF折叠，使点B落在点D处，将线段DF沿着BC方向向右平移若干单位长度后恰好能与边AC重合，连接AD．若BC＝9cm，则四边形ADFC的周长为　18　cm．

【分析】由△BEF沿EF折叠，使点B落在点D处，得DF＝BF，由将线段DF沿着BC方向向右平移若干单位长度后恰好能与边AC重合，得四边形ADFC为平行四边形，从而得AD＝FC，根据BC＝BF+CF，从而可以推出四边形ADFC的周长．

【解答】解：∵三角形BEF沿EF折叠，使点B落在点D处，

∴DF＝BF，

∵将线段DF沿着BC方向向右平移若干单位长度后恰好能与边AC重合，

∴DF∥AC且DF＝AC，

∴四边形ADFC为平行四边形，

∴AD＝FC，

∵BC＝BF+CF＝9（cm），

∴DF+CF＝9cm，

∴四边形ADFC的周长为2×（DF+CF）＝2×9＝18（cm），

故答案为18．

【点评】本题考查了三角形折叠的性质，线段平移的性质，证明出四边形ADFC为平行四边形是解题的关键．

13．（滨江区校级期末）如图，已知AD∥BE，点C是直线FG上的动点，若在点C的移动过程中，存在某时刻使得∠ACB＝45°，∠DAC＝22°，则∠EBC的度数为　23°或67°　．

【分析】分两种情况讨论：当点C在AD、BE之间时，当点C在AD、BE外部时，分别过C作CH∥AD，则AD∥CH∥BE，依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到∠EBC的度数．

【解答】解：如图所示，当点C在AD、BE之间时，

过C作CH∥AD，则AD∥CH∥BE，

∵∠DAC＝22°，

∴∠ACH＝22°，

又∵∠ACB＝45°，

∴∠BCH＝23°，

∴∠EBC＝23°；

如图，当点C在AD、BE外部时，

过C作CH∥AD，则AD∥CH∥BE，

∵∠DAC＝22°，

∴∠ACH＝22°，

又∵∠ACB＝45°，

∴∠BCH＝67°，

∴∠EBC＝67°；

故答案为：23°或67°．

【点评】本题考查了平行线的性质的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．

14．（滨江区校级期末）如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　72　°．

【分析】先根据∠DEF＝72°求出∠EFC的度数，进可得出∠EFB和∠BFH的度数，根据∠H＝90°和三角形的内角和可得∠HMF的度数，再由折叠的性质可得∠GMN．

【解答】解：∵AD∥CB，

∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，

即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，

∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．

∵∠H＝∠D＝90°，

∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．

由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，

∴∠GMN＝72°．

故答案为：72．

【点评】本题考查的是平行线的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键．

15．（诸暨市期末）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝25°，∠FED＝65°，则∠GFH＝　40°　．

【分析】根据平行线的性质知∠GFB＝∠FED＝65°，结合图形求得∠GFH的度数．

【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝65°，

∴∠GFB＝∠FED＝65°．

∵∠HFB＝25°，

∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝65°﹣25°＝40°．

故答案为：40°．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．

16．（北仑区期末）在一副三角尺中∠BPA＝45°，∠CPD＝60°，∠B＝∠C＝90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t＝　6、9、15、33　秒时，两块三角尺有一组边平行．

【分析】①当AP∥CD时，②当AB∥PD时，③当AB∥CD时，④当AB∥CP时，⑤当AP∥CD时，分五种情况分别讨论．

【解答】①当AP∥CD时，∠APD+∠D＝180°．

∵∠D＝30°，

∴∠APD＝150°．

∴180°﹣5t＝150°．

t＝6．

②当AB∥PD时，∠A+∠APD＝180°．

∵∠A＝45°，

∴∠APD＝135°，

∴180°﹣5t＝135°，

t＝9．

③当AB∥CD时，∠APD＝105°＝180°﹣5t，

∴t＝15．

④当AB∥CP时，∠CPB＝90°，

∴∠APD＝60°+45°﹣90°＝180°﹣5t，

∴t＝33．

⑤当AP∥CD时，∠C+∠APC＝180°，

∴∠APD＝90°，

∴∠APD＝30°＝5t﹣180°，

∴t＝42＞40（舍去）．

故答案为：6，9，15，33．

【点评】本题考查了平行线的性质，旋转的知识，解题关键把所有的情况都分析出来，注意结果是否符合题意，这也是学生很容易忽略的地方．

17．（任丘市期末）如图，直线l₁，l₂被l₃所截，下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③l₁∥l₂，其中能判断AC∥BD的条件是　①　．

【分析】根据同位角相等，两直线平行即可判断AC∥BD．

【解答】解：①∵∠1＝∠2，

∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行）．

故答案为：①．

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质．

18．（奉化区校级期末）如图，已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过点B作BD⊥AM于点D，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，则∠EBC的度数为　105°　．

【分析】先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF＝∠GBF，再设∠DBE＝α，∠ABF＝β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，最后解方程组即可得到∠ABE＝15°，进而得出∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．

【解答】解：过点B作BG∥DM，如图：

∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，

∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，

由（2）可得∠ABD＝∠CBG，

∴∠ABF＝∠GBF，

设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则

∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，

∴∠AFC＝3α+β，

∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，

∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，

△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得

（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①

由AB⊥BC，可得

β+β+2α＝90°，②

由①②联立方程组，解得α＝15°，

∴∠ABE＝15°，

∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．

故答案为：105°．

【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．

三．解答题（共6小题）

19．（镇海区期中）如图，∠1＝∠2＝∠3＝55°，求∠4的度数．

请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．

解：∵∠1＝∠2＝55°（已知），

∴　l₁　∥　l₂　（　内错角相等，两直线平行　），

∴∠3+∠4＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　），

∵∠3＝55°（已知），

∴∠4＝　125°　．

【分析】根据平行线的判定定理及性质定理解答即可．

【解答】解：∵∠1＝∠2＝55°（已知），

∴l₁∥l₂（内错角相等，两直线平行），

∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），

∵∠3＝55°（已知），

∴∠4＝125°，

故答案为：l₁；l₂；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；125°．

【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．

20．（瑞安市期末）如图，已知∠B＝∠D，∠E＝∠F，判断BC与AD的位置关系，并说明理由．

【分析】依据∠E＝∠F，即可得到BE∥FD，进而得出∠B＝∠BCF，再根据∠B＝∠D，即可得到∠BCF＝∠D，进而判定BC∥AD．

【解答】解：BC∥AD，理由：

∵∠E＝∠F，

∴BE∥FD，

∴∠B＝∠BCF，

又∵∠B＝∠D，

∴∠BCF＝∠D，

∴BC∥AD．

【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

21．（温州期末）如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交线段AD于点E，∠1＝∠2．

（1）判断AD与BC是否平行，并说明理由；

（2）当∠A＝∠C，∠1＝40°时，求∠D的度数．

【分析】（1）根据BE平分∠ABC可得∠EBC＝∠2，再根据∠1＝∠2，可得∠1＝∠EBC，可判断AD与BC平行；

（2）根据∠1＝40°，可得∠EBC＝∠2＝∠1＝40°，由此可以求出∠C＝∠A＝100°，再根据四边形的内角和求得∠D＝80°．

【解答】解：（1）AD∥BC，理由是：

因为BE平分∠ABC，

所以∠EBC＝∠2，

因为∠1＝∠2，

所以∠1＝∠EBC，

所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；

（2）因为∠1＝40°，∠1＝∠2，

所以∠EBC＝∠2＝40°，

∠A＝180°﹣∠1﹣∠2＝100°，

因为∠A＝∠C，

所以∠C＝∠A＝100°，

所以∠D＝360°﹣∠A﹣∠2﹣∠EBC﹣∠C

＝360°﹣100°﹣40°﹣40°﹣100°

＝80°．

【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．

22．（乐清市期末）如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连接，若AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠C+10°，∠D＝∠E＝105°．

（1）求∠F的度数．

（2）计算∠B﹣∠CGF的度数是　115°　．（直接写出结果）

（3）连接AD，∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD，并说明理由．

【分析】（1）根据平行线的判定和性质解答即可；

（2）延长DC交AF于K，进而解答即可；

（3）根据平行线的判定和性质解答即可．

【解答】解：（1）∵AF∥DE，

∴∠F+∠E＝180°，

∴∠F＝180°﹣105°＝75°；

（2）延长DC交AF于K，

可得：∠B﹣∠CGF＝∠C+10°﹣∠CGF＝∠GKC+10°＝∠D+10°＝115°，

故答案为：115°；

（3）当∠ADE+∠CGF＝180°时，BC∥AD，

∵AF∥DE，

∴∠GAD+∠ADE＝180°，∠ADE+∠CGF＝180°，

∴∠GAD＝∠CGF，

∴BC∥AD．

【点评】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．

23．（双鸭山期末）已知：如图1，∠1+∠2＝180°，∠AEF＝∠HLN；

（1）判断图中平行的直线，并给予证明；

（2）如图2，∠PMQ＝2∠QMB，∠PNQ＝2∠QND，请判断∠P与∠Q的数量关系，并证明．

【分析】（1）求出∠AMN+∠2＝180°，根据平行线的判定推出AB∥CD即可；根据平行线性质和已知求出∠AEF＝∠EF₁L，根据平行线的判定推出即可；

（2）根据平行线的性质得出∠RQM＝∠QMB，RQ∥CD，推出∠MQN＝∠QMB+∠QND，同理∠MRN＝∠PMB+∠PND，代入求出即可．

【解答】解：（1）AB∥CD，EF∥HL，

证明如下：∵∠1＝∠AMN，

∴∠1+∠2＝180°，

∴∠AMN+∠2＝180°，

∴AB∥CD；

延长EF交CD于F₁，

∵AB∥CD，∠AEF＝∠HLN，

∴∠AEF＝∠EF₁L，

∴EF∥HL；

（2）∠P＝3∠Q，

证明如下：∵AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，

∴∠RQM＝∠QMB，RQ∥CD，

∴∠RQN＝∠QND，

∴∠MQN＝∠QMB+∠QND，

∵AB∥CD，PL∥AB，

∴AB∥CD∥PL，

∴∠MPL＝∠PMB，∠NPL＝∠PND，

∴∠MPN＝∠PMB+∠PND，

∵∠PMQ＝2∠QMB，∠PNQ＝2∠QND，

∴∠PMB＝3∠QMB，∠PND＝3∠QND，

∴∠MPN＝3∠MQN，

即∠P＝3∠Q；

【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力．

24．（镇海区期中）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．

（1）试问：∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？

解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．

如图1，当点P在EF的左侧时，易得∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系为∠AEP+∠PFC＝∠EPF；

如图2，当点P在EF的右侧时，写出∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系　∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°　．

（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．

①若∠EPF＝100°，则∠EQF的度数为　130°　；

②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；

③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q₁，∠BEQ₁与∠DFQ₁的角平分线交于点 ，∠BEQ₂与∠DFQ₂的角平分线交于点Q₃，以此类推，则∠EPF与∠EQ₂₀₂₀F满足怎样的数量关系？（直接写出结果）

【分析】（1）过点P作PH∥AB，利用平行线的性质即可求解；

（2）设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，则∠P＝180°﹣2α+180°﹣2β，∠Q＝α+β，∠Q₁＝ （α+β），∠Q₂＝ （α+β），即可求解．

【解答】解：（1）如图1，当点P在EF的左侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥CD，

∴∠AEP＝∠EPH，∠FPH＝∠CFP，

∴∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，

当点P在EF的右侧时，过点P作PM∥AB，则PM∥CD，

∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，

∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，

即，∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；

故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；

（2）①∠EPF＝100°，则∠EQF＝150°，

由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠EPF＝100°，

∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，

∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，

故∠DFQ+∠BEQ＝130°＝∠EQF，

故答案为130°；

②如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，

设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，

则∠P＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β），

∠Q＝α+β，

即：∠EPF+2∠EQF＝360°；

③同理可得：∠Q₁＝ （α+β），∠Q₂＝ （α+β），

∠Q₂₀₂₀＝（ ）²⁰²⁰（α+β），

故：∠EPF+2²⁰²¹•∠EQ₂₀₂₀F＝360°．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键．