第四章5多边形和圆的初步认识

同步练习

一、选择题

1.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（ ）

A．8

B．9

C．10

D．11

答案：C

解析：解答：设多边形有n条边，

则n－2＝8，

解得n＝10．

故这个多边形的边数是10．

故选：C．

分析：经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n－2）个三角形，根据此关系式求边数．

2.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是（ ）

A．6

B．7

C．8

D．9

答案：C

解析：解答：设这个多边形是n边形．

依题意，得n－3＝5，

解得n＝8．

故这个多边形的边数是8．

故选C．

分析：根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n－3）条对角线，由此可得到答案．

3.过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是（ ）

A．八边形

B．九边形

C．十边形

D．十一边形

答案：B

解析：解答：设多边形有n条边，

则n－2＝7，

解得：n＝9．

所以这个多边形的边数是9，

故选：B．

分析：经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n－2）个三角形，根据此关系式求边数．

4.七边形的对角线共有（ ）

A．10条

B．15条

C．21条

D．14条

答案：D

解析：解答：七边形的对角线总共有： 条．

故选D．

分析：可根据多边形的对角线与边的关系求解．

5.连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是（ ）边形．

A．五

B．六

C．七

D．八

答案：D

解析：解答：设原多边形是n边形，

则n－2＝6，

解得n＝8．

故选：D．

分析：根据n边形从一个顶点出发可把多边形分成（n－2）个三角形进行计算．

6.一个多边形有五条对角线，则这个多边形的边数为（ ）

A．8

B．7

C．6

D．5

答案：D

解析：解答：设多边形的边数为n，则

，

整理得 ，

解得 ， （舍去）．

所以这个多边形的边数是5．

故选：D．

分析：根据n边形的对角线公式 进行计算即可得解．

7.已知过一个多边形的某一个顶点共可作2014条对角线，则这个多边形的边数是（ ）

A．2011

B．2014

C．2016

D．2017

答案：D

解析：解答：∵多边形从一个顶点出发可引出2014条对角线，

设多边形为n边形，则

n－3＝2014，

解得n＝2017．

故选：D．

分析：根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n－3）求出边数即可得解．

8.若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（ ）

A．十三边形

B．十二边形

C．十一边形

D．十边形

答案：A

解析：解答：设这个多边形是n边形．

依题意，得n－3＝10，

∴n＝13．

故这个多边形是13边形．

故选：A．

分析：根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n－3）条对角线，由此可得到答案．

9.高中要好的五个学生，相互约定在毕业后的一周，每两人通话一次．则在毕业后的一周，这五位同学一共通讯（ ）次．

A．8

B．10

C．14

D．12

答案：B

解析：解答：5×（5－1）÷2

＝5×4÷2

＝20÷2

＝10（次）．

故选：B．

分析：5个人每两个人通话一次，则每个人都要和其他4个人分别通话，则每人通话的次数为：5－1＝4次，则所有的人通话的次数为：5×4＝20次，由于通话是在两个人之间进行的，所以共通话20÷2＝10次．

10.图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿 、 E 、 F 、 GB路线爬行，乙虫沿AC 路线爬行，则下列结论正确的是（ ）

A．甲先到B点

B．乙先到B点

C．甲、乙同时到B

D．无法确定

答案：C

解析：解答： π（A ＋ ＋ ＋ B） π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，

因此两个同时到B点．

故选C．

分析：甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该是 π（A ＋ ＋ ＋ B）＝ π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B点．

11.下列说法，正确的是（ ）

A．弦是直径

B．弧是半圆

C．半圆是弧

D．过圆心的线段是直径

答案：C

解析：解答：A.弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有的弦都是直径．故本选项错误；

B.弧是圆上任意两点间的部分，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧是半圆，不是所有的弧都是半圆．故本选项错误；

C.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．所以半圆是弧是正确的．

D.过圆心的弦才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，故本选项错误．

故选：C．

分析：根据弦，弧，半圆和直径的概念进行判断．弦是连接圆上任意两点的线段．弧是圆上任意两点间的部分．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．直径是过圆心的弦．

12.有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．

其中错误说法的个数是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

答案：B

解析：解答：①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；

②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；

③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；

④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．

其中错误说法的是①③两个．

故选：B．

分析：根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决．

13.下列说法中，结论错误的是（ ）

A．直径相等的两个圆是等圆

B．长度相等的两条弧是等弧

C．圆中最长的弦是直径

D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧

答案：B

解析：解答：A.直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；

B.长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；

C.圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；

D.一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，

故选：B．

分析：利用圆的有关定义进行判断后利用排除法即可得到正确的答案；

14.有两个圆，⊙ 的半径等于地球的半径，⊙ 的半径等于一个篮球的半径，现将两个圆都向外膨胀（相当于作同心圆），使周长都增加1米，则半径伸长的较多的圆是（ ）

A．⊙

B．⊙

C．两圆的半径伸长是相同的

D．无法确定

答案：C

解析：解答：设⊙ 的半径等于R，膨胀后的半径等于R′；⊙ 的半径等于r，膨胀后的半径等于r′，其中R＞r．

由题意得，2πR＋1＝2πR′，2πr＋1＝2πr′，

解得R′＝R＋ ，R′＝R＋ ；

所以R′－R＝ ，R′－R＝ ，

所以，两圆的半径伸长是相同的．

故选C．

分析：由L＝2πR计算出半径的伸长量，然后比较大小．

15.下列语句中，不正确的个数是（ ）

①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

答案：C

解析：解答：①根据直径的概念，知直径是特殊的弦，故正确；

②根据弧的概念，知半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误；

③根据等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧．长度相等的两条弧不一定能够重合，故错误；

④如果该定点和圆心不重合，根据两点确定一条直线，则只能作一条直径，故错误．

故选C．

分析：根据弦、弧、等弧的定义即可求解．

二、填空题

16.若点M取在多边形的一条边上（不是顶点），再将点M与n边形个顶点连结起来，将此多边形分割成9个三角形，则n边形是_____边形．

答案：十

解析：解答：多边形一条边上的一点M（不是顶点）出发，连接各个顶点得到9个三角形，

则这个多边形的边数为9＋1＝10．

故答案为：十．

分析：可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解．

17.从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为_____边形．

答案：九

解析：解答：由题意可知，n－2＝7，

解得n＝9．

则这个多边形的边数为9，多边形为九边形．

故答案为：九．

分析：从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n－3）条对角线，把n边形分为（n－2）的三角形．

18.从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是_____．

答案：8

解析：解答：设多边形有n条边，

则n－2＝6，

解得n＝8．

故答案为：8．

分析：根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n－3）条对角线，把n边形分为（n－2）的三角形作答．

19.如图，MN为⊙O的弦，∠M＝50°，则∠MON等于_____．

答案：80°

解析：解答：∵OM＝ON，

∴∠N＝∠M＝50°，

∴∠MON＝180°－∠M－∠N＝80°，

故答案为80°．

分析：利用等腰三角形的性质可得∠N的度数，根据三角形的内角和定理可得所求角的度数．

20.如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A＝65°，则∠DOE＝_____．

答案：50°

解析：解答：如图，连接BE．

∵BC为⊙O的直径，

∴∠CEB＝∠AEB＝90°，

∵∠A＝65°，

∴∠ABE＝25°，

∴∠DOE＝2∠ABE＝50°，（圆周角定理）

故答案为：50°．

分析：如图，连接BE．由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE＝25°，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题．

三、解答题

21.（1）六边形从一个顶点可引出几条对角线？共有几条对角线？

答案：3|9

解答：（1）六边形从一个顶点可引出对角线：6－3＝3（条），共有对角线： （条）；

（2）n边形从一个顶点可以引出几条对角线？共有几条对角线？

答案：（n－3）|

解答：n边形从一个顶点可以引出（n－3）条对角线，共有 条对角线．

解析：分析：根据n边形从一个顶点可引出（n－3）条对角线，及n边形一共 条对角线可求解（1）与（2）．

22.在凸多边形中，四边形的对角线有两条，五边形的对角线有5条，经过观察、探索、归纳，你认为凸九边形的对角线为多少？简单扼要地写出你的思考过程．

答案：27条．

解答：27条．

通过四边形和五边形的对角线图形可知，

过n边形的1个顶点可以作（n－3）条对角线，

故过n个顶点可作n（n－3）条对角线，

而这些对角线重复一遍，

故n边形的对角线为 条，

所以凸九边形的对角线为 ．

解析：分析：作出四边形与五边形的对角线，然后观察从一个顶点作出的对角线的条数，从而确定规律并求出n边形的对角线的条数公式，再令n＝9进行计算即可得解．

23.画出下面多边形的全部对角线．

答案：解答：如图所示：

解析：分析：此图为5边形，有 条对角线，依次画出即可．

24.实践探究：有一个周长62.8米的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌，现有射程为20米、15米、10米的三种装置，你认为应选哪种比较合适？安装在什么地方？

答案：选射程为10米的喷灌装置，安装在圆形草坪的中心处．

解答：设圆形草坪的半径为R，

则由题意知，2πR＝62.8，

解得：R≈10m．

所以选射程为10米的喷灌装置，安装在圆形草坪的中心处．

解析：分析：具体应选哪一种装置，取决于圆形草坪的半径，周长为62.8米的圆的半径约是10米．

25.（1）经过凸n边形（n＞3）其中一个顶点的对角线有_______条；

答案：（n－3）．

解答：n边形过每一个顶点的对角线有（n－3）条；

故答案为：（n－3）．

（2）一个凸边形共有20条对角线，它是几边形；

答案：八

解答：根据 ＝20，

解得：n＝8或n＝－5（舍去），

∴它是八边形．

（3）是否存在有18条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．

答案：不存在，

理由： ＝18，

解得： ，

∵n不为正整数，

∴不存在．

解析：分析：（1）根据n边形从一个顶点出发可引出（n－3）条对角线即可求解；

（2）根据任意凸n边形的对角线有 条，即可解答；

（3）不存在，根据 ＝18，解得： ，n不为正整数所以不存在．