第一章学情评估

一、选择题(本大题共10个小题，每小题3 分，共 30 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1．计算a·a²的正确结果是(　　)

A．2a² B．3a C．a² D．a³

2．计算：³＝(　　)

A．－2x⁶y³ B.x⁶y³ C．－x⁶y³ D．－x⁵y⁴

3．“中国天眼”是世界最大的单口径射电望远镜，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为0.005 19秒，数据0.005 19用科学记数法可以表示为(　　)

A．5.19×10^－3 B．5.19×10^－4 C．0.519×10^－2 D．5.19×10^－5

4．下列运算正确的是(　　)

A．(a＋b)(a－2b)＝a²－2b² B.＝a²－

C．－2(3a－1)＝－6a＋1 D．(a＋3)(a－3)＝a²－9

5．已知x²＋2(m－1)x＋9可以写成一个多项式的平方的形式，则m的值为(　　)

A．4 B．4或－2 C．±4 D．－2

6．已知a＝－3²，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b

7．某同学在计算－2x²乘一个多项式时，错看成了加法，得到的答案是2x²＋3x＋1，则正确的计算结果是(　　)

A．4x²＋3x＋1 B．2x²＋3x＋1

C．－8x⁴－6x³－2x² D．无法确定

8．若M，N分别是关于x的二次多项式和三次多项式，则M·N的最高次数是(　　)

A．5 B．6

C．小于或等于5 D．小于或等于6

9．现规定一种运算：a*b＝ab＋a－b，则(a＋b)*(b－a)－(b－a)*(a＋b)等于(　　)

A．0 B．4a C．2b²－2a² D．2b－2a

10．现有甲、乙两张正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图①，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙放到甲的内部得到图②，已知甲、乙两张正方形纸片的边长之和为8，图②中阴影部分的面积为6，则图①中阴影部分的面积为(　　)

A．3 B．19 C．21 D．28

(第10题)

二、填空题(本大题共5个小题，每小题3 分，共15 分)

11．若(2x－1)⁰＝1，则x的取值范围是________．

12．某班墙上的“学习园地”是一个长方形，它的面积为6a²－9ab＋3a，若这个“学习园地”的一边长为3a，则其邻边长为____________．

13．若(x²＋6x－3)(ax－1)的计算结果中不含x的一次项，则a＝________．

14．如图，若输入的m值为3，则输出的结果是________．

(第14题)

15．已知2^a＝3，2^b＝6，2^c＝12，则a＋c－2b＝________．

三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明或演算步骤)

16．(12分)计算：

(1)－1²＋(π－3.14)⁰－＋(－2)³；　　(2)2x³·(－x)²－(－x²)²·(－3x)；

(3)(x＋2)²－(x＋1)(x－1); (4)(3a－b)(a＋b)＋6a⁴÷(－2a²)．

17．(6分)先化简，再求值：÷8x，其中x＝－1，y＝.

18．(7分)阅读下面这名同学的解答过程，并完成任务．

先化简，再求值：[(2x＋y)(2x－y)－(2x－3y)²]÷(－2y)，其中x＝1，y＝－2.

解：原式＝[4x²－y²－(4x²－9y²)]÷(－2y)…第一步

＝(4x²－y²－4x²＋9y²)÷(－2y)…第二步

＝8y²÷(－2y)…第三步

＝－4y.…第四步

当x＝1，y＝－2时，原式＝－4×(－2)＝8.…第五步

任务：

(1)第一步运算用到的乘法公式用字母表示为______________(只写一个即可)；

(2)以上步骤中，第________步开始出现错误，原因是_________________________________________________________________；

(3)请写出正确的解答过程．

19．(7分)在一次数学课上，李老师对大家说：“你们心里任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我可以直接说出运算的最后结果．”

操作步骤如下：

第一步：这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；

第二步：把第一步得到的数乘25；

第三步：把第二步得到的数除以这个数．

(1)若小明同学心里想的数是9，请你帮他计算出最后结果；

(2)李老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等．”小红同学想验证这个结论，于是设心里想的数是a(a≠0)．请你帮小红同学完成这个验证过程．

20．(9分)如图，某中学校园内有一块长为(3a＋2b)m，宽为(2a＋b)m的长方形空地，学校计划在中间留一块长为(2a－b)m、宽为2b m的小长方形修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．

(1)求长方形空地的面积；(用含a，b的代数式表示)

(2)求修建雕像的小长方形空地的面积；(用含a，b的代数式表示)

(3)当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积．

(第20题)

21．(9分)【阅读理解】

如果将两个两位数ab，cd(其中a，c分别代表这两个两位数的十位上的数字，b，d分别代表这两个两位数的个位上的数字)各自的十位数字和个位数字交换位置后可以得到两个完全不同的新数ba，dc(其中a，c分别代表这两个两位数的个位上的数字，b，d分别代表这两个两位数的十位上的数字)，且这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“有缘数对”．

例如：46×96＝64×69＝4 416，所以46和96是一对“有缘数对”．

根据以上材料，解决下列问题：

(1)请任写一对“有缘数对”：________和________；

(2)探究“有缘数对”ab和cd中a，b，c，d之间满足怎样的等量关系，并说明理由．

22．(12分)综合与实践：

【问题情境】

我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．小明用如图①所示的不同大小的正方形与长方形纸片拼成了一个如图②所示的正方形．

【数学思考】

用不同的代数式表示图②中阴影部分的面积和，写出你能得到的等式，并用乘法公式说明这个等式成立；

【解决问题】

小明想到利用(1)中得到的等式可以完成下面这道题目：

如果x满足(6－x)(x－2)＝3，求(6－x)²＋(x－2)²的值．

小明想：如果设6－x＝m，x－2＝n，那么要求的式子就可以写成m²＋n²了，请你按照小明的思路完成这道题目；

【拓展延伸】

如图③，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F是BC，CD上的点，且BE＝DF＝y，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为40，求阴影部分的面积和．

(第22题)

23．(13分)综合与探究：如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．

(1)请你分别表示出图①、图②阴影部分的面积：________，____________；

(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：________________(用字母表示)．

【应用】

请应用这个公式完成下列各题：

①已知4m²－n²＝12，2m＋n＝4，则2m－n的值为________；

②计算：(2a＋b－c)(2a－b＋c)．

【拓展】

(2＋1)×(2²＋1)×(2⁴＋1)×(2⁸＋1)×(2¹⁶＋1)×(2³²＋1)＋1结果的个位数字为__________________________________________________________．

(第23题)

答案

一、1.D　2.C　3.A　4.D

5．B　点拨：由题意得2(m－1)＝±6，解得m＝4或m＝－2，故选B.

6．B　7.C　8.A　9.B　10.B

二、11.x≠　12.2a－3b＋1　13.－2　14.63

15．0　点拨：因为2^a＋c－2^b＝2^a×2^c÷2^2b＝3×12÷6²＝36÷36＝1，所以a＋c－2b＝0.

三、16.解：(1)原式＝－1＋1－9－8＝－17.

(2)原式＝2x³·x²－x⁴·(－3x)＝2x⁵＋3x⁵＝5x⁵.

(3)原式＝x²＋4x＋4－(x²－1)＝x²＋4x＋4－x²＋1

＝4x＋5.

(4)原式＝3a²＋3ab－ab－b²－3a²＝2ab－b².

17．解：原式＝(4x²－4xy＋y²－y²＋4xy－8xy)÷8x

＝(4x²－8xy)÷8x ＝x－y.

当x＝－1，y＝时，

原式＝×(－1)－＝－1.

18．解：(1)(a＋b)(a－b)＝a²－b²(答案不唯一)

(2)一；完全平方公式运算错误

(3)[(2x＋y)(2x－y)－(2x－3y)²]÷(－2y)

＝[4x²－y²－(4x²－12xy＋9y²)]÷(－2y)

＝(4x²－y²－4x²＋12xy－9y²)÷(－2y)

＝(－10y²＋12xy)÷(－2y)＝5y－6x，

当x＝1，y＝－2时，

原式＝5×(－2)－6×1＝－10－6＝－16.

19．解：(1)[(9＋1)²－(9－1)²]×25÷9＝36×25÷9＝100.

(2)[(a＋1)²－(a－1)²]×25÷a＝(a²＋1＋2a－a²－1＋2a)×25÷a＝4a×25÷a＝100.

20．解：(1)长方形空地的面积为(3a＋2b)(2a＋b)

＝6a²＋3ab＋4ab＋2b²＝6a²＋7ab＋2b²(m²)．

(2)修建雕像的小长方形空地的面积为

2b(2a－b)＝4ab－2b²(m²)．

(3)绿化部分的面积为6a²＋7ab＋2b²－(4ab－2b²)＝6a²＋3ab＋4b²(m²)，当a＝3，b＝1时，

原式＝6×3²＋3×3×1＋4×1²＝6×9＋9＋4＝67(m²)．

答：绿化部分的面积为67 m².

21．解：(1)(答案不唯一)43；68　(2)ac＝bd.

理由：由题意，得(10a＋b)(10c＋d)＝(10b＋a)(10d＋c)，

即100ac＋10bc＋10ad＋bd＝100bd＋10bc＋10ad＋ac，

所以99ac＝99bd，所以ac＝bd.

22．解：【数学思考】题图②中阴影部分的面积和为两个正方形的面积和，即a²＋b²，

也可以看作大正方形的面积与两个长方形的面积差，即(a＋b)²－2ab，

可得等式a²＋b²＝(a＋b)²－2ab.

理由：(a＋b)²－2ab＝a²＋2ab＋b²－2ab＝a²＋b².

【解决问题】因为6－x＝m，x－2＝n，所以(6－x)(x－2)＝mn＝3，m＋n＝6－x＋x－2＝4，

所以m²＋n²＝(m＋n)²－2mn＝4²－2×3＝10，

即(6－x)²＋(x－2)²＝10.

【拓展延伸】因为AB＝10，BC＝6，BE＝DF＝y，

所以FC＝AB－DF＝10－y，EC＝BC－BE＝6－y，

所以阴影部分的面积和是(10－y)²＋(6－y)².

因为长方形CEPF的面积为40，

所以(10－y)(6－y)＝40.

设10－y＝p，6－y＝q，

则pq＝40，p－q＝(10－y)－(6－y)＝4，

所以(p－q)²＝p²－2pq＋q²＝16，

所以p²＋q²＝16＋2pq＝16＋2×40＝96，

即阴影部分的面积和是96.

23．解：(1)a²－b²；(a＋b)(a－b)

(2)(a＋b)(a－b)＝a²－b²

【应用】①3

②(2a＋b－c)(2a－b＋c)＝[2a＋(b－c)][2a－(b－c)]

＝4a²－(b－c)²＝4a²－b²＋2bc－c².

【拓展】6