第9章学情评估

一、选择题(每题3分，共24分)

1．下列不能单独进行平面镶嵌的多边形是(　　)

A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形

2．下列长度的三条线段能组成三角形的是(　　)

A．3 cm，4 cm，5 cm B．2 cm，2 cm，4 cm

C．1 cm，6 cm，7 cm D．2 cm，6 cm，9 cm

3．若AM，AN，AG分别是△ABC的一条高，一条中线和一条角平分线，则(　　)

A．AM＜AG B．AG＜AN C．AN≤AG D．AM≤AN

4．如图，将一张长方形纸片与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数是(　　)

A．55° B．60° C．65° D．70°

(第4题) (第6题)

5．一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，那么这个多边形是(　　)

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

6．如图，D，E，F分别为BC，AD，BE的中点，若△BFD的面积为6，则△ABC的面积为(　　 )

A．36 B．18 C．48 D．24

7．在△ABC中，∠B＋∠C＝α，按如图进行折叠，使B′D∥C′G∥BC，B′E∥FG，则∠C′FE的度数是(　　)

(第7题)

A. B．90°－ C．α－90° D．2α－180°

8．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝(　　)

A．180° B．360° C．540° D．720°

(第8题)　 (第9题)　 (第10题)

二、填空题(每题3分，共18分)

9．如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有__________．

10．如图，已知直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝60°，则∠3＝________．

11．小林将平放在桌面上的正五边形和正六边形拼在一起(一边重合)，示意图如图所示，则形成的∠ABC的度数是 ________．

(第11题)

12．已知三角形的三边长分别为1，a－1，3，则化简|a－3|＋|a－5|的结果为________；

13．如图，AD，AE分别是△ABC的一条高和一条中线．若S_△ABC＝20，CE＝4，则AD＝________．

(第13题)

14．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．

(第14题)

三、解答题(共78分)

15．(6分)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠A＝68°，∠DBC＝31°.求∠C和∠ADB的度数．

(第15题)

16．(6分)在如图所示的△ABC中按要求作图并计算：

(1)画出△ABC的角平分线AE和边BC上的高AD；

(2)若∠B＝36°，∠ACB＝106°，求∠DAE的度数．

　(第16题)

17．(6分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c.

(1)若a，b，c满足(a－b)²＋(b－c)²＝0，试判断△ABC的形状；

(2)若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC周长的最小值及最大值．

18．(7分)下面是说明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种进行说明．

如图①，已知△ABC，∠A，∠B，∠C为△ABC的三个内角， 试说明：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
方法一：如图②，过点A作DE∥BC.	方法二：如图③，过点C作CD∥AB.

19．(7分)如图，在△ABC中，AE为∠BAC的平分线，CD为边AB上的高，AE与CD交于点F，∠B＝30°，∠ACB＝70°.

(1)∠CAF＝________°；

(2)求∠AFC的度数．

(第19题)

20．(7分)如图，已知∠1＝∠BDE，∠2＋∠3＝180°.

(1)试说明：AD∥EF；

(2)若DA平分∠BDE，FE⊥AF于点F，∠1＝40°，求∠BAC的度数．

(第20题)

21．(8分)在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°.

(1)求这个多边形的边数；

(2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和为多少？

22．(9分)已知AB∥CD，△PMN是直角三角形，且∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F.

(第22题)

(1)当△PMN的位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是____________；

(2)当△PMN的位置如图②所示时，试说明：∠PFD－∠AEM＝90°；

(3)在(2)的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．

23．(10分)在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下空隙，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌)．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形．

(1)请根据下列图形，填写表中空格．

正多边形边数	3	4	5	6	…	a
正多边形每个 内角的度数					…

(2)如果限于用如图所示的其中一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？

(3)从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图)；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？

(第23题)

24．(12分)在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.

(第24题)

(1)如图①，若∠A＝80°，则∠P＝______°；

(2)如图②，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线，交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系；

(3)如图③，在图②的基础上延长BP，QC，交于点E，若△BQE中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．

答案

一、1.C　2.A　3.D　4.A　5.D　6.C　7.D　8.B

二、9.稳定性　10.35°　11.132°

12．2　点拨：由三角形的三边关系可得3－1＜a－1＜3＋1，所以3＜a＜5.所以|a－3|＋|a－5|＝a－3＋5－a＝2.

13．5　点拨：∵AE是△ABC的一条中线，CE＝4，∴BC＝2CE＝8.∵S_△ABC＝·BC·AD＝20，∴AD＝5.

14．360°

三、15.解：∵BD平分∠ABC，∠DBC＝31°，

∴∠ABC＝2∠DBC＝62°.

∵∠A＝68°，∴∠C＝180°－∠A－∠ABC＝50°.

∵∠ADB是△BDC的一个外角，

∴∠ADB＝∠DBC＋∠C＝81°.

(第16题)

16．解：(1)如图，AE和AD即为所求．

(2)∵∠B＝36°，∠ACB＝106°，

∴∠BAC＝180°－36°－106°＝38°.

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠BAC＝19°，

∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝55°.

∵AD为边BC上的高，∴∠ADE＝90°，

∴∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝35°.

17．解：(1)∵(a－b)²＋(b－c)²＝0，

∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，

∴△ABC是等边三角形．

(2)∵a＝5，b＝2，∴5－2＜c＜5＋2，即3＜c＜7.

∵c为整数，∴c＝4，5，6，

∴当c＝4时，△ABC周长的最小值为5＋2＋4＝11；

当c＝6时，△ABC周长的最大值为5＋2＋6＝13.

18．解：选择方法一，∵DE∥BC，

∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC.

∵∠BAD＋∠BAC＋∠EAC＝180°，

∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°.(选择一种方法即可)

19．解：(1)40

(2)∵CD为边AB上的高，∴∠ADC＝90°，

∴∠ACD＝180°－∠ADC－∠BAC＝10°，

∴∠AFC＝180°－∠ACD－∠CAF＝130°.

20．解：(1)∵∠1＝∠BDE，∴AC∥ED，∴∠2＝∠ADE.

∵∠2＋∠3＝180°，∴∠ADE＋∠3＝180°，∴AD∥EF.

(2)∵∠1＝∠BDE，∠1＝40°，∴∠BDE＝40°.

∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝∠BDE＝20°，

∴∠2＝∠ADE＝20°.

∵FE⊥AF，∴∠F＝90°.

∵AD∥EF，∴∠BAD＝∠F＝90°，

∴∠BAC＝∠BAD－∠2＝70°.

21．解：(1)设每一个内角的相邻外角为x，则每一个内角为3x＋20°，∴3x＋20°＋x＝180°，解得x＝40°，∴多边形的外角个数为＝9，∴这个多边形的边数为9.

(2)①若剪去一个角后，多边形的边数减少1条，即变成八边形，则剩下多边形的内角和为(8－2)×180°＝1 080°；

②若剪去一个角后，多边形的边数不变，即还是九边形，

则剩下多边形的内角和为(9－2)×180°＝1 260°；

③若剪去一个角后，多边形的边数增加1条，即变成十边形，则剩下多边形的内角和为(10－2)×180°＝1 440°.

∴将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和为1 080°或1 260°或1 440°.

22．解：(1)∠PFD＋∠AEM＝90°

(2)设PN交AB于点H，

∵AB∥CD，∴∠PFD＝∠PHB.

∵∠PHB－∠PEB＝∠P＝90°，∠PEB＝∠AEM，

∴∠PFD－∠AEM＝90°.

(3)∵∠P＝90°，∠PEB＝30°，

∴∠PHE＝180°－90°－30°＝60°.

∵AB∥CD，∴∠PFC＝∠PHE＝60°.

∵∠N＋∠DON＝∠PFC，

∴∠N＝∠PFC－∠DON＝60°－15°＝45°.

23．解：(1)60°；90°；108°；120°；

(2)设这个正多边形的边数为n，当360°÷ 为正整数时，求出的n的值符合题意．

360°÷＝＝2＋，

要使2＋为正整数，则4为n－2的倍数．

∴n－2＝1或2或4，即n＝3或4或6.

∴正三角形、正方形、正六边形能镶嵌成一个平面图形．

(3)(答案不唯一)选正方形和正八边形，画出平面图形如图所示．

(第23题)

正八边形每个内角的度数为＝135°.

设在一个顶点周围有m个正方形，p个正八边形，

则m，p应是方程90m＋135p＝360，

即2m＋3p＝8的正整数解，

∵此方程的解只有一组，

∴正方形和正八边形共能镶嵌成一种平面图形．

24．解：(1)130

(2)∵∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，

∴∠QBC＝∠MBC，∠QCB＝∠NCB，

∴∠QBC＋∠QCB＝(∠MBC＋∠NCB)．

∵∠ABC＋∠MBC＝180°，∠ACB＋∠NCB＝180°，

∴∠MBC＝180°－∠ABC，∠NCB＝180°－∠ACB，

∴∠MBC＋∠NCB＝360°－∠ABC－∠ACB＝360°－(∠ABC＋∠ACB)＝360°－(180°－∠A)＝180°＋∠A.

∴∠QBC＋∠QCB＝(180°＋∠A)＝90°＋∠A，

∴∠Q＝180°－(∠QBC＋∠QCB)＝180°－(90°＋∠A)＝90°－∠A.

(3)延长BC至F，∵CQ是∠NCB的平分线，

∴易得CE是∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF.

∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC.

∵∠ECF＝∠EBC＋∠E，

∴2∠ECF＝2∠EBC＋2∠E，即∠ACF＝∠ABC＋2∠E.

又∵∠ACF＝∠ABC＋∠A，∴∠A＝2∠E.

∵∠EBQ＝∠EBC＋∠CBQ＝∠ABC＋∠MBC＝(∠ABC＋∠MBC)＝×180°＝90°，

∴△BQE中存在一个内角等于另一个内角的2倍的情况分四种：

①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，

∴∠A＝2∠E＝90°；

②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，易得∠E＝45°，

∴∠A＝2∠E＝90°；

③∠Q＝2∠E，

∵∠Q＋∠E＝180°－90°＝90°，

∴2∠E＋∠E＝90°，

∴∠E＝30°，

∴∠A＝2∠E＝60°；

④∠E＝2∠Q，则∠Q＋∠E＝∠E＋∠E＝90°，

∴∠E＝60°，∴∠A＝2∠E＝120°.

综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°.