3.1 圆的对称性（1）—— 垂径定理

学习目标：

1、了解圆的轴对称性；

2、探索证明“垂径定理”，会利用“垂径定理”进行相关的计算；

3、培养猜想，论证，逻辑推理能力，以及数形结合分析问题、解决问题的能力。

学习重、难点：垂径定理及其应用

温故知新：

1、连结圆上任意两点的线段叫圆的 ，两条直径的交点是 ，圆上两点间的部分叫做 ，大于半圆的弧叫做 ，小于半圆的弧叫做 。

2、动手实践，发现新知

（1）同学们能不能找到纸圆的圆心？动手试一试。

（2）问题①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆 ，

②实验说明圆是________图形，它的对称轴是 ，有 条对称轴 。

教学过程：合作探究：

环节1：合作交流：

拿出前面确定了圆心的圆形纸片，任意画一条直径AB，再画一条垂直于AB的弦CD，交点为P（如图1）。沿着直径将圆对折（如图2），你发现图中有哪些等量关系？说出你的结论，能说明理由吗？与同学交流。

垂径定理： 。

环 节2：探究发现：

讨 论: 如图,在下列五个条件中:

1. A B是直径, ② AB⊥CD, ③ CP=DP, ④ AC=AD, ⑤ BC=BD.

如果具备其中两个条件,能否推出其余三个结论成立？（知二推三）

例如：1、已知①③，求证②④⑤

推论1:平分弦（不是直径）的直径

2、已知②③，求证①④⑤

推论2：弦的垂直平分线

仿照以上推论，你还能得出哪些结论？小组讨论。

巩 固练习：

1.如图，在⊙O中，

（1）若AB为直径，弦CD⊥AB,则 、 、 。

（2）若AB为直径，弦CD交AB于点E，CE＝DE，则有 、 、 。

（3）若AB⊥CD，且CE＝DE，则 、 、 。

（ 4）若AB为直径，且AC＝AD，则 、 、 。

二、精讲点拨：

﹝一﹞ 自主学习例1

小结：圆中常用辅助线的做法：当遇到弦时常

巩 固练习： 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB

交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。

﹝二﹞例2：1400多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）约为37.02m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高）约为7.23m，求桥拱的半径。

巩固练习：

1.下列命题中，正确的是（ ）

A．平分一条弦的直径必垂直于这条弦

B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心

D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心

2 . 如图，CD是⊙O的弦，AB是过CD的中点E的直径，在下列结论中，不一定成立的是（ ）

A 、∠COE = ∠DOE B、CD⊥OB C、BC = BD D、OE = BE

3.如图，在半径为5的⊙O中，若弦AB=8，则△AOB的面积是（ ）

A、24 B、16 C、12 D、8

4 .如图是一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽为1.6，则这条管道中此时最深为 米。

第2题 第3题 第4题

四、归纳提升：

1.我学到了什么？ 2.我的感触是什么？

五、课堂达标：

（一）填空题：

（1）、在半径为6cm的圆中，垂直平分半径的弦长为 cm．

（2）、如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB⊥AC，且AB=8，AC=6，求⊙O的半径等于_____。

（3）、如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。

第2题 第3题

（二）解答题

如图：已知AB为圆O的直径，BC、AC为弦，∠C=90⁰,OD∥BC交AC于D，OD= ，求BC的长。

选做题

已知：如图， 是⊙O的直径， 是⊙O上一点，CD⊥AB，垂足为点 ， 是弧 的中点， 与 相交于点 ， 8 cm， cm.

求AO及CD的长；