3.1 圆的对称性

一、填空题:

1.圆既是轴对称图形,又是_________对称图形,它的对称轴是_______, 对称中心是____.

2.已知⊙O的半径为R,弦AB的长也是R,则∠AOB的度数是_________.

3.圆的一条弦把圆分为5∶1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm.

4.已知⊙O中,OC⊥弦AB于C,AB=8,OC=3,则⊙O的半径长等于________.

5.如图1,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是_____.

（1） （2） （3）

6.已知:如图2,有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是____m.

7.如图3,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD= CE, 则 与 弧长的大小关系是_________.

8.如图4,在⊙O中,AB、AC是互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则⊙O的半径为_____cm.

（4） （5） （6） （7）

二、选择题:

9.如图5,在半径为2cm的⊙O中有长为2 cm的弦AB,则弦AB所对的圆心角的度数为（ ）

A.60° B.90° C.120° D.150°

10.如图6,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有（ ）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

11.如图7,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有（ ）

A.0条 B.1条 C.2条 D.4条

三、解答题:

12.如图,AB是⊙O的弦（非直径）,C、D是AB上两点,并且AC=BD.试判断OC与OD 的数量关系并说明理由.

13.如图,⊙O表示一圆形工件,AB=15cm,OM=8cm,并且MB∶MA=1∶4, 求工件半径的长.

14.已知:如图,在⊙O中,弦AB的长是半径OA的 倍,C为 的中点,AB、OC 相交于点M.试判断四边形OACB的形状,并说明理由.

15.如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB=DPB, ,试比较线段PC、PD的大小关系.

16.半径为5cm的⊙O中,两条平行弦的长度分别为6cm和8cm.则这两条弦的距离为多少?

17.在半径为5cm的⊙O中,弦AB的长等于6cm,若弦AB的两个端点A、B在⊙O上滑动（滑动过程中AB的长度不变）,请说明弦AB的中点C在滑运过程中所经过的路线是什么图形.

18.如图,点A是半圆上的三等分点,B是 的中点,P是直径MN上一动点.⊙O的半径为1,问P在直线MN上什么位置时,AP+BP的值最小?并求出AP+BP的最小值.

参考答案

1.中心 过圆心的任一条直线 圆心 2.60° 3.2cm 4.5 5.3≤OP≤5 6.10

7.相等 8. 9.C 10.B 11.A

12.过O作OM⊥AB于M,则AM=BM.又AC=BD,故AM-AC=BM-BD,即CM=DM,又OM⊥CD, 故△OCD是等腰三角形.即OC=OD.（还可连接OA、OB.证明△AOC≌△BOD）.

13.过O作OC⊥AB于C,则BC= cm.由BM:AM=1:4,得BM= ×5=3 ,故CM= -3=4.5 .

在Rt△OCM中, OC²= .连接OA,

则OA= ,即工件的半径长为10cm.

14.是菱形,理由如下:由 ,得∠BOC=∠AOC.

故OM⊥AB,从而AM=BM.

在Rt △AOM中,sin∠AOM= ,

故∠AOM=60°,

所以∠BOM=60°.由于OA=OB=OC,

故△BOC 与△AOC都是等边三角形,

故OA=AC=BC=BO=OC,

所以四边形OACB是菱形.

15.PC=PD.连接OC、OD,则∵ ,∴∠BOC=∠BOD,

又OP=OP,∴△OPC≌△OPD,∴PC=PD.

16.可求出长为6cm的弦的弦心距为4cm,长为8cm的弦的弦心距为3cm.

若点O 在两平行弦之间,则它们的距离为4+3=7cm,

若点O在两平行弦的外部,则它们的距离为4- 3=1cm,

即这两条弦之间的距离为7cm或1cm.

17.可求得OC=4cm,故点C在以O为圆心,4cm长为半径的圆上,即点C 经过的路线是O为圆心,4cm长为半径的圆.

18.作点B关于直线MN的对称点B′,则B′必在⊙O上,且 .

由已知得∠AON=60°,

故∠B′ON=∠BON= ∠AON=30°,∠AOB′=90°

连接AB′交MN于点P′,则P′即为所求的点.

此时AP′+BP′=AP′+P′B′= ,

即AP+BP的最小值为 .