第二章 一元二次方程

2.5一元二次方程的应用

基础导练

1.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2 070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( )

A.x(x-1)=2 070 B.x(x+1)=2 070

C.2x(x+1)=2 070 D. =2 070

2.如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩 形 圈 出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22).若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为( )

A.32 B.126 C.135 D.144

3.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，三月份生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为 ，则可列出方程为________________________．

4.矩形的周长为8 ，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．

5.自由下落的物体的高度h(m)与下落的时间t(s)的关系为h=4.9t².现在有个铁球从离地面19.6 m高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要的时间是 s.

6.有一间长20 m，宽15 m的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度是 m.

7.为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2 500万元，预计2013年要投入教育经费3 600万元，已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年该市要投入的教育经费为 万元.

能力提升

8.菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售.

(1)求平均每次下调的百分率.

(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：

方案一：打九折销售；

方案二：不打折，每吨优惠现金200元.

试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由.

9.如图，新城小区计划用铁栅栏围建一个矩形的车棚ABCD，为了方便存车，在CD边上开了一个1 m宽的门，在BC边上开了一个2 m宽的门(门不是用铁栅栏做成的).设AB边长为x(m)，AD边长为y(m)，且AB＜AD.

(1)若用37 m的铁栅栏围建车棚，求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

(2)根据新城小区的规划要求，所围建的矩形车棚面积是91 m²，在满足(1)的条件下，求车棚长和宽.

10.某公司一月份营业额为10万元，第一季度总营业额为33.1万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？

11.如图所示，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动.问：

(1)P、Q两点出发多长时间，四边形PBCQ的面积是33 cm²?

(2)P、Q两点出发多长时间，点P与点Q的距离是10cm?

参考答案

1.A 2.D

3. 4. , 5.2 6.2.5 7.3 000

8.解：(1)设平均每次下调的百分率为x，由题意，得

5(1-x)²=3.2.解得x₁=0.2，x₂=1.8(舍去).

答：平均每次下调的百分率是20%.

(2)小华选择方案一购买更优惠.理由：

方案一所需费用为：3.2×0.9×5 000=14 400(元).

方案二所需费用为：3.2×5 000-200×5=15 000(元).

因为14 400<15 000，所以小华选择方案一购买更优惠.

9.解：(1)依题意，得2x+2y=37+2+1，整理，得y=20-x，

因为x＜y，所以x＜20-x，解得x＜10，由图形可知，x＞1，

所以x的取值范围是1＜x＜10.

(2)依题意，得x(20-x)=91，整理，得x²-20x+91=0.解得x₁=7，x₂=13.

因为1＜x＜10，所以x=7，y=20-7=13，

所以当车棚面积是91 m²时，车棚长为13 m，宽为7 m

10.解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 ，

则二月份的营业额是 ，三月份的营业额是10 ．

依题意得： 33.1

把（1+ ）看成一个整体，配方得： =2.56，即 =2.56,

所以 + =±1.6，即 + =1.6或 + =-1.6.

所以 =0.1=10%， =-3.1

因为因为增长率为正数，所以取 =10%.

答:该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．

11.解：(1)设P、Q两点出发x s时，四边形PBCQ的面积是33cm²，则AP=3x，PB=16-3x，CQ=2x.

由梯形的面积公式，得 =33.解得x=5.

即P、Q两点出发5 s时，四边形PBCQ的面积是33 cm².

(2)设P、Q两点出发y s时，点P与点Q的距离是10 cm(如图1所示)，过点Q作QH⊥AB，交AB于点H.则AP=3y，CQ=2y，PH=16-3y-2y，

根据勾股定理，得(16-3y-2y)²=10²-6²，

整理，得(16-5y)²=64.解得y₁=1.6，y₂=4.8.

当y=4.8时，P、Q的位置如图2所示.

故P、Q两点出发1.6 s或4.8 s时，点P与点Q的距离是10 cm.