2.3确定二次函数的表达式

一、选择题

1.函数y= x²+2x+1写成y=a(x－h)²+k的形式是( )

A.y= (x－1)²+2 B.y= (x－1)²+

C.y= (x－1)²－3 D.y= (x+2)²－1

2.抛物线y=－2x²－x+1的顶点在第_____象限( )

A.一 B.二 C.三 D.四

3.不论m取任何实数，抛物线y=a(x+m)²+m(a≠0)的顶点都( )

A.在y=x直线上 B.在直线y=－x上

C.在x轴上 D.在y轴上

4.任给一些不同的实数n，得到不同的抛物线y=2x²+n，如当n=0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5.二次函数y=x²+px+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中( )

A.(－1，1) B.(1，－1) C.(－1，－1) D.(1，1)

6.下列说法错误的是( )

A.二次函数y=－2x²中，当x=0时，y有最大值是0

B.二次函数y=4x²中，当x>0时，y随x的增大而增大

C.在三条抛物线y=2x²，y=－0.5x²，y=－x²中，y=2x²的图象开口最大，y=－x²的图象开口最小

D.不论a是正数还是负数，抛物线y=ax²(a≠0)的顶点一定是坐标原点

7.已知二次函数y=x²+(2k+1)x+k²－1的最小值是0，则k的值是( )

A. B.－ C. D.－

8.小颖在二次函数y=2x²+4x+5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y₁)，( ，y₂)， (－3 ，y₃)，

则你认为y₁，y₂，y₃的大小关系应为( )

A.y₁>y₂>y₃ B.y₂>y₃>y₁ C.y₃>y₁>y₂ D.y₃>y₂>y₁

二、填空题

9.抛物线y= (x+3)²的顶点坐标是______.

10.将抛物线y=3x²向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.

11.函数y= x－2－3x²有最_____值为_____.

12.已知抛物线y=ax²+bx+c的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______.

13.二次函数y=mx²+2x+m－4m²的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.

三、解答题

14.根据已知条件确定二次函数的表达式

(1)图象的顶点为(2，3)，且经过点(3，6)；

(2)图象经过点(1，0)，(3，0)和(0，9)；

(3)图象经过点(1，0)，(0，-3)，且对称轴是直线x=2.

15.(8分)请写出一个二次函数，此二次函数具备顶点在x轴上，且过点(0，1)两个条件，并说明你的理由.

16.(10分)把抛物线y=－3(x－1)²向上平移k个单位，所得的抛物线与x轴交于点A(x₁，0)，B(x₂，0)，若x₁²+x₂²= ，请你求出k的值.

17.(10分)如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形.小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式.你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式.

18.(12分)有这样一道题：“已知二次函数y=ax²+bx+c图象过P(1，－4)，且有c=－3a，……求证这个二次函数的图象必过定点A(－1，0).”题中“……”部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.

(1)你能根据题中信息求这个二次函数表达式吗？若能，请求出；若不能，请说明理由.

(2)请你根据已有信息，在原题“……”处添上一个适当的条件，把原题补充完整.

参考答案

一、1——8 DBBDD CDD

二、9.(－3，0) ；10.(0，3)；11.大 － ；12.y=2x²+8x+11；13.(－4，－4)；

三、14.解：(1)依题可设二次函数的解析式为y=a(x-2)²+3

又∵图象过点(3，6) ∴6=a(3-2)²+3 ∴a=3 ∴y=3(x-2)²+3

2. 设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，依题有

∴所求二次函数的表达式为y=3x²-12x+9

(3)依题可设二次函数的表达式为y=a(x-2)²+h

∵图象经过点(1，0)，(0，-3)

∴y=-(x-2)²+1

15.y=x²+2x+1(不唯一).

∵ =0,

∴抛物线顶点的纵坐标为0.当x=0，y=1时符合要求.

16.解：把抛物线y=－3(x－1)²向上平移k个单位，所得的抛物线为y=－3(x－1)²+k.

当y=0即－3x²+6x－3+k=0时，

∵x₁+x₂=2，x₁·x₂=

∴x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²－2x₁x₂=4+

解得k= .

17.解：正确.

抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图.(仅举两例)

18.解：(1)依题意，能求出.

∴ y=x²－2x－3.

(2)添加条件：对称轴x=1(不唯一).