1.5二次函数的应用（2）

教学目标

1.会分析实际问题中的数量关系和变化规律，能建立二次函数模型来解决简单的实际问题。

2.能运用二次函数的性质解决最值问题。[来源:

3.经历函数建模的过程，体会函数建模的方法和思想，提高学生的应用意识。

教学重点、难点
重点：从实际问题中抽象出数量关系，确定 二次函数的表达式，运用二次函数的性质解决最值问题。[来源]

难点：从实际问题中抽象出二次函数的模型，理解自变量取值范围的限制对函数 最值的影响。

教学设计

一.预习导学

解析式
开口方向				[来源:学§科§网]
对称轴
顶点坐标

二次函数的图象及其性质

二.探究展示

（一）合作探究

如图所示，用8m长的铝材做成一个日字形窗框。试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积S(m2)最大？最大面积是多少？(假设铝材的宽度不计)

分析：由于做窗框的铝材长度已确定，而窗框的面积S随矩形 一边长的

变化而变化. 因此，设窗框的宽为 m，则高为m，其中

。

这 样窗框的透光面积S可以表示为 的 二次函数。根据二次函数的图象的性质，它的顶点坐标表示的是函数的最大值或者最小值，因此，要求面积的最大值，只要求出抛物线的顶点坐标即可。

解：设窗框的宽为 m，则高为m，

窗框的透光面积为

它 的顶点坐标为 ，此时高为=2（m）

∴当窗框的宽为 m，高为2m时，

窗框的透 光面积最大，最大透光面积为 m²。（此时应考虑 是不是在 的取值范围之内）

（二）展示提升

某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件.根据销售经验， 提高销售单价会导致销售量的下降，即销 售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件.当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？

解：设每件商品的销售单价上涨x元， 一个 月内获取的商品总利润为y 元。

每月减少的销售量为10x（件）， 实际销售量为180-10x（件）， 单 件利润为（30+x-20）元，则y=(10+x）(180-10x），

即y = -10x²+80x+1800（x≤18）

将上式进行配方，y = -10x²+80x+1800

= -10（x-4）² + 1960。

它的顶点坐标为（4，1960）

当x=4 时，即销售单价为34 元时，y取最大值1960。

答：当 销售单价定为34 元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元。

三.知识梳理

求最值，找顶点。

4. 当堂检测

1.小妍想将一根72cm长的彩带剪成 两段，分别围成两个正方形，则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面积和为多少？

这道题要根据两个正方形的周长之 和为72cm，得出每个正方形的边长。从而求得面积之和关于边长的二次函数，找到它的顶点坐标。

2.某工艺厂设计了一款成本为10元/件的产品，并投放市场进行试销，经过调查，发现每天的销售量y（件）与销售单价x(元）存在一次函数关系y=-10x+700。

1. 销售单价定为多少时，该厂每天获取的利润最大？最大利润为多少？

2. 若物价部门规定，该产品的最高销售 单价不得超过35元，那么销售单价如何定位才能获取最大利润？

五.教学反思

本堂课研究的问题不同于上一个栏目，它不需要数形结合地构建函数模型，而是直接分析问题中蕴含的数量关系，并根据面积公式确定函数的表达式，随后，运用配方 法，并利用二次函数的性质求得问题的最大值，要注意提示学生思考求得的x的值在不在自变量x的取值范围之内，上述数学建模体现了实际问题 数学问题 数学结果 实际结果这样一个过程。