1.
4二次函数与一元二次方程的联系
教学目标
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.使学生知道二次函数的图象与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程根的三种情况.
2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.[来源:Z+xx+k.Com]
3.运用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题.
教学重点、难点
重点：二次函数与一元二次方程的关系.
难点：运用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题.
教学设计
一.预习导学
学生通过自主预习P24-P27完成下列各题：
1.
填表：二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系
-
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的
交点的个数
ax2+bx+c=0（a≠0）
的根的情况
2
有两个不相等的实数根
1
有两个相等的实数根
0
没有实数根
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的 横坐标 就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的 根 .
设计意图： 通过学生自主预习教材，初步理解掌握二次函数与一元二次方程的关系，培养学生的自学能力.
二.探究展示
(一)合作探究
1.画出二次函数y=x2-2x-3的图象，你能从图象中看出它与x 轴的交点吗？二次函y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系？
如上图所示， 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴的交点坐标分别是 （-1,0）， （3,0） . 由交点坐标可知，当x=-1时， y=0 ， 即x2-2x-3=0，也就是说， x= -1 是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根. 同理，当x=3 时，y=0，即x2-2x-3=0， 也就是说，x= 3 是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根.
由此得出：一般地， 如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x = x1，x = x2.
2.观察二次函数y=x2-6x+
9
，y=x2-2x+2
的图象（如下图），分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和
x2-2x+2=0
的根的情况.
二次函数y= x2-6x+9的图象与x 轴有重合的 两 个交点，其坐标都是 （3,0），而一元二次方程x2-6x+9=0 有两个相等的实根：x1= 3 ，x2= 3 .
二次函数y= x2-2x+2 的图象与x 轴 没有 交点，而一元二次方程x2-2x+2=0 没有 实数根.
由此得出：一般地，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴的位置关系有三种：
有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点，这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和没有实数根. 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x 轴的位置关系.
从
上面的分析可以看出，
二次函数与一元二次方程关系密切.
那么解一元二次方程能不能借助二次函数呢？
求一元二次方程ax2+bx+c=0 的根就是求二次函数y=ax2+bx+c在y= 0 时，自变量x 的值，也就是二次函数图象与 x 轴交点的 横 坐标，因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根. 由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的.
设计意图：通过探究，进一步理解掌握二次函数与一元二次方程的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.培养学生通过合作交流解决问题的能力.
(二)展示提升
1.求一元二次方程x2-2x-1=0的根的近似值(精确到0.1).
分析：
一元二次方程x2-2x-1=0的根就是抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点的横坐标.
因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点
的横坐标.这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
解 设二次函数y =x2-2x-1. 作出函数y =x2-2x-1的图象，如下图所示：
可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1和0之间， 另一个交点在2和3之间. [来源:Zxxk.Com]
通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4，即一元二次方程x2-2x-1=0的实数根为x1≈-0.4或x2≈2.4.
我们还可以借助计算器来分析所求方程的实数根. 将二次函数y = x2-2x-1在-1至0范围内的部分x值所对应的y 值列表如下：
x |
-1 |
-0.9 |
-0.8 |
-0.7 |
-0.6 |
-0.5 |
-0.4 |
-0.3 |
-0.2 |
-0.1[来源:学。科。网] |
0 |
y |
2 |
1.61 |
1.24 |
0.89 |
0.56 |
0.25 |
-0.04 |
-0.31 |
-0.56 |
-0.79 |
-1 |
即 x2-6x+9=0
解得 x1=x2=3
即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.
（3）由抛物线的表达式得：3=-
x2+
x+
[来源:
即 x2-6x+14=0
因为Δ=（-6）2 -4×1×14=-20<0 ，所以方程无实数根.
所以铅球离地面的高度不能达到3m.
从例2可以看出，已知二次函数y=ax2+bx+c的某一个函数值y =M，求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax2+bx+c=M，这样，二次函数与一元二次方程就紧密地联系起来了.
设计意图： 可点名展示，也可分组展示，培养学生分析问题的能力；同时增强学生团结协作的精神。老师在此环节准确引导，及时点拨和追问，总结出解决问题的方法和规律。
三.知识梳理
以“本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.
1.
二次函数与一元二次方程的关系：一般地，二次函数y=ax2+bx+c
的图象与x轴的位置关系有三种：有两个不同的
交点、有两个重合的交点、没有交点，这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0
的根的三
种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和没有实数根.
反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x
轴的位置关系.
2.
求一元二次方程ax2+bx+c=0
的根就是求二次函数
y=ax2+bx+c在y=
0时，自变量
x
的值，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根.
由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的.
四.当堂检测
1.试判断下列抛物线与x轴的交点情况：
（1） y=x2-x-2 （2） y=9x2+12x+4
（3） y=x2-2x+3 （4） y=4x2+12x+5
2．用图象法求一元二次方程x2+x-1=0的根的近似值（精确到0.1）
3.当t取什么值时，抛物线y=5x2+4tx+t2-1与x轴有一个交点？
3.
某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程.
如图，已知y=
x2-2x刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月份）之间的关系.
试根据图象提供的信息，回答下列问题：
（1） 该公司亏损期是几个月？几月末开始赢利？
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？
（3）该公司第8个月末所获利润是多少？
五.教学反思
本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系.教
材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题
，并结合一个具体的实例讨论了一元二次
方程的实根与二次函数图象
之间的联系，然后介绍了用图象法求一元二次方程近似解的过程.这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容.
在教学过程中，我始终遵循着“有效的数学学习活动不能单独地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式”这一《新课程标准》的精神.