【332267】1.3.1 正方形的性质

正方形的性质

一、判断题

1．四边相等的四边形是正方形．（ ）

2．四个内角相等的四边形是正方形．（ ）

3．邻边相等的平行四边形是正方形．（ ）

4．有一个角为直角的平行四边形是正方形．（ ）

5．对角线相等的平行四边形是正方形．（ ）

6．正方形既是菱形又是矩形．（ ）

7．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形．（ ）

8．正方形具有平行四边形的一切性质．（ ）

二、选择题

9．满足条件（ ）的四边形是正方形．

A．对角线互相平分且一个角为直角

B．对角线相等且一组邻角相等

C．四个角相等且邻边相等

D．三个内角相等且对角线互相垂直

10．矩形的各角平分线若相交围成的四边形是（ ）．

A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形

11．正方形一边上任一点到这个正方形两条对角线的距离之和等于对角线长的（ ）．

A． B． C． D．2倍

12．过正方形ABCD的顶点A作BD的平行线交CD延长线于E，以AE为边向形外作等边△AEF，则∠AFC等于（ ）．

A．15° B．30° C．22．5° D．45°

13．E为正方形ABCD的BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于F，则∠ACE=（ ）．

A．132.5° B．125° C．135° D．150°

14．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）．

A．对角线互相垂直平分 B．四个内角为四个直角

C．对角线相等 D．一对角线平分一组对角

15．正方形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）．

A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条

16．边长为a的正方形面积与对角线为b的正方形面积相等，则a，b的大小关系是（ ）．

A．a>b B．a=b C．a<b D．a≥b

17．对角线互相垂直且相等的四边形一定是（ ）．

A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．以上都不确定

18．一个四边形两组对角分别相等，且两条对角线相等，这个四边形是（ ）．

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形

19．四边形ABCD的AC交BD于O，能判定它是正方形的是（ ）．

A．AO=BO=CO=DO B．AO=CO，BO=DO

C．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD D．AC⊥BD，AO=BO=CO=DO

20．下列说法不正确的是（ ）．

A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形

C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D．一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

三、填空题

21．已知正方形ABCD中，AC=10，P是AB上一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F， 则PE+ PF=_________．

22．以正方形ABCD的边DC向形外作等边△DCE，则∠AEB=_______．

23．正方形的一边和对角线的夹角为________．

24．如果一个四边形既是菱形又是矩形，那么它一定是_______．

25．已知正方形的面积为9cm²，它的周长为_______．

26．正方形ABCD中，M为AD上一点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F，若ME+MF= 8cm，则AC=_____．

27．已知正方形ABCD中，E、F分别为CD和AD的中点，则S_△BEF=_______．

28．正方形的边长为a，当边长增加1时，其面积增加了_______．

四、解答题

29．如图所示，正方形ABCD的边CB，是正方形CEBF的对角线，试说明：正方形ABCD的面积等于正方形CEBF面积的两倍．

30．如图所示，已知正方形ABCD中，E、F分别在BC和DC上，且BE=DF， 试说明：（1）EF∥BD；（2）EF⊥AC．

31．如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥DC于E，PF⊥BC于F，试说明：AP=EF．

32．正方形的纸片，周长为8cm，沿两条对角线裁剪为四个小三角形， 每个三角形的周长为多少cm？

33．已知：如图所示，线段a．求作：正方形ABCD，使AC=a．

34．如图所示，正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD上点，且AE=AF，试说明：CE=CF．

35．已知两个正方形的对角线分别等于5cm和3cm，求面积等于这两个正方形面积之差的正方形的对角线长．

36．E为正方形ABCD内一点，且△BEC为等边三角形，求∠EAD的度数．

37．已知正方形的面积为18，求它的对角线的长．

38．如图所示，在正方形ABCD的对角线AC上，截取CE=CD，作EF⊥AC交AD于F，试说明：AE=EF=FD．

39．如图所示，过正方形ABCD的顶点A作对角线BD的平行线， 在这条直线上取一点E，使BD=ED，且DE与AB交于点F．试说明：BE=BF．

40．如图 所示，正方形ABCD中，M为AB中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE．试说明：MD=MN．

参考答案

一、1．× 2．× 3．× 4．× 5．× 6．∨ 7．× 8．∨

二、9．C 10．D 11．B 12．A 13．A 14．C 15．C

16．C 17．D 18．A 19． D 20．C

三、21．5 22．30° 23．45° 24．正方形 25．12cm

26．16cm 27． S_{正方形ABCD} 28．（2a+1）

四、29．设正方形ABCD的边长为a，

则S_{正方形ABCD}=a²，S_{正方形CEBF}= a²，则S_{正方形ABCD}=2S_{正方形CEBF}

30．由于BE=DF，又BC=CD，得CE=CF，因为∠DCB=90°，得∠1=45°，

又∠2=45°，所以∠1=∠2，那么EF∥BD，由于∠3=∠4，

根据等腰三角形顶角平分线是底边上的高的道理，所以EF⊥AC．

31．连PC．由于PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，

易得PECF为矩形，得PC=EF，四边形BAPC 是以BD为轴的轴对称图形，

所以AP=PC，那么AP=EF．

32．2+2

33．步骤1：作AC=a；步骤2：作AC的垂直平分线MN，垂足为O；步骤3：在OM上取OB= a，在ON上取OD= a，连接A，B，C，D即可．

34．连AC．由于AE=AF，AC平分∠BAD，故AC是EF的的垂直平分线，所以CE=CF．

35．设大正方形的面积为S₁，小正方形面积为S₂，则S₁-S₂= =8（cm²），

所以面积等于这两正方形面积之差的正方形面积为8cm²，

那么它的对角线长m=4（cm）．

36．15° 37．6

38．由于CD⊥AD于D，CE⊥EF于E，且CD=CE，

所以∠1=∠2，即∠3=∠4，得EF=FD， 又∠5=45°，故AE=EF，即AE=EF=FD．

39．作AM⊥BD于M，EN⊥BD于N，由于AE∥BD，

所以AM=EN，又△ABD是等腰直角三角形，AM是斜边BD上的高，也是BD上的中线，即AM= BD，又BD=DE，即EN= ED，那么∠1=30°，

所以∠2=75°，即可推得∠4=75°，那么∠2=∠4，所以BE=BF．

40．取N关于AE的对称点N′，即BN′=BN，MN′=MN，∠N′BE=∠NBE=45°，

连DB交MN于P，得∠DBC=45°，即∠DBN′=180°，

所以D，B，N′共线，∠DBN=∠DMN=90°， ∠DPM=∠NPB，

那么∠MDB=∠MNB=∠MN′B，故MD=MN′=MN