第一章检测题
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2022·临沂)计算a(a＋1)－a的结果是( B )
A．1 B．a2 C．a2＋2a D．a2－a＋1
2．(2022·沈阳)下列计算结果正确的是( D )
A．(a3)3＝a6 B．a6÷a3＝a2
C．(ab4)2＝ab8 D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
3．(2022·荆门)纳米(nm)是非常小的长度单位，1 nm＝0.000000001 m，将数据0.000000001用科学记数法表示为( B )
A．10－10 B．10－9 C．10－8 D．10－7
4．已知xa＝3，xb＝5，则x3a－2b＝( A )
A． B． C． D．52
5．如果(2x＋m)(x－5)展开后的结果中不含x的一次项，那么m等于( D )
A．5 B．－10 C．－5 D．10
6．计算(π－3.14)0＋(－0.125)1000×81000的结果是( D )
A．π－3.14 B．0 C．1 D．2
7．我们约定a⊗b＝10a×10b，如2⊗3＝102×103＝105，那么4⊗8为( C )
A．32 B．1032 C．1012 D．1210
8．若a＋b＝0，ab＝－11，则a2－ab＋b2的值是( D )
A．－11 B．11 C．－33 D．33
9．如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示小长方形的两边长(x>y)，请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是( D )
A.x＋y＝7
B．x－y＝2
C．4xy＋4＝49
D．x2＋y2＝25
10．已知P＝m－1，Q＝m2－m(m为任意实数)，则P，Q的大小关系为( C )
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．不能确定
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．若(2x＋1)0＝1，则x的取值范围是__x≠－__．
12．若a为正整数，且x2a＝6，则(2x5a)2÷4x6a的值为__36__．
13．已知一个长方形的周长为6a－4b，其中一边长为a－b，则这个长方形的面积为__2a2－3ab＋b2__.
14．当x＝－2时，代数式ax3＋bx＋1的值是2023，那么当x＝2时，代数式ax3＋bx＋1的值是__－2021__．
15．如图，从直径是x＋2y的圆中挖去一个直径为x的圆和两个直径为y的圆，则剩余部分的面积是__πxy＋πy2__．
三、解答题(共75分)
16．(10分)计算：
(1)(－1)2024＋(π－3.14)0－()－1；
解：原式＝1＋1－3＝－1
(2)(a＋1)2－a2.
解：原式＝(a＋1＋a)(a＋1－a)＝2a＋1
17．(9分)已知A，B为多项式，B＝2x＋1，计算A＋B时，某同学把A＋B看成A÷B，结果得4x2－2x＋1，请你求出A＋B的正确答案，并求当x＝－1时，A＋B的值.
解：由题意可得：A＝(2x＋1)(4x2－2x＋1)＝8x3＋4x2－4x2－2x＋2x＋1＝8x3＋1，
∴A＋B＝(8x3＋1)＋(2x＋1)＝8x3＋2x＋2，
∴当x＝－1时，A＋B＝8×(－1)3＋2×(－1)＋2＝－8
18．(9分)如图所示，长方形ABCD是“阳光小区”内一块空地，已知AB＝2a，BC＝3b，且E为AB边的中点，CF＝BC，现打算在阴影部分种植一片草坪，求这片草坪的面积．
解：S阴影＝×3b×2a－a×2b＝2ab
19．(9分)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
×(－xy)＝3x2y－xy2＋xy
(1)求所捂的多项式；
(2)若x＝，y＝，求所捂多项式的值．
解：(1)设所捂的多项式为A，则A＝(3x2y－xy2＋xy)÷(－xy)＝－6x＋2y－1
(2)∵x＝，y＝，
∴原式＝－6×＋2×－1＝－4＋1－1＝－4
20．(9分)(1)正方形的边长增大5 cm，面积增大75 cm2，求原正方形的边长及面积；
(2)正方形的一边增加4 cm，邻边减少4 cm，所得长方形的面积与这个正方形的边长减少2 cm所得的正方形的面积相等，求原正方形的边长．
解：(1)设原正方形的边长为x cm，
由题意得(x＋5)2－x2＝75，
解得x＝5，
则原正方形的边长为5 cm，面积为25 cm2
(2)设原正方形的边长为y cm，
由题意得(y＋4)(y－4)＝(y－2)2，
解得y＝5，
则原正方形的边长为5 cm
21．(9分)先化简，再求值：
(1)(2＋a)(2－a)＋a(a－3b)＋2a5b3＋(－a2b)2，其中a＝，b＝－2；
解：原式＝4－a2＋a2－3ab＋2a5b3＋a4b2＝4－3ab＋2a5b3＋a4b2，
当a＝，b＝－2时，原式＝4－3××(－2)＋2×()5×(－2)3＋()4×(－2)2＝4＋3＋2××(－8)＋×4＝4＋3－＋＝6
(2)(2a＋3b)2＋(a－3b)(4a＋3b)－8a2，其中a＋b＝6，a2＋b2＝28.
解：(2a＋3b)2＋(a－3b)(4a＋3b)－8a2＝4a2＋12ab＋9b2＋4a2＋3ab－12ab－9b2－8a2＝3ab，
∵a＋b＝6，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝28，
∴62－2ab＝28，
∴ab＝4，
当ab＝4时，原式＝3×4＝12
22．(10分)在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2023年5月份的日历．
日 |
一 |
二 |
三 |
四 |
五 |
六 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
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如图所选择的两组四个数，分别将每组数中相对的两数相乘，再相减，例如：
7×9－1×15＝__48__，
18×20－12×26＝__48__，
不难发现，结果都是__48__；
(1)请将上面三个空补充完整；
(2)我们发现选择其他类似的部分规律也相同，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
解：(2)设四个数围起来的中间的数为x，
则四个数依次为x－7，x－1，x＋1，x＋7，
则(x－1)(x＋1)－(x－7)(x＋7)＝48(设其他的数也可)
23．(10分)如图①所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形．
(1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：__a2－b2__，__(a＋b)(a－b)__；
(2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式？__(a＋b)(a－b)＝a2－b2__．
(3)试利用这个公式计算：
①(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)；
②(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1).
解：(1)图①中阴影部分的面积为a2－b2，图②阴影部分是长为(a＋b)，宽为(a－b)的长方形，因此面积为(a＋b)(a－b)，故答案为：a2－b2，(a＋b)(a－b)
(2)由图①，图②中阴影部分的面积相等可得，(a＋b)(a－b)＝a2－b2，故答案为：a2－b2＝(a＋b)(a－b)
(3)①原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＝(28－1)(28＋1)＝216－1
②原式＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝[(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)]＝[(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)]＝……＝×(316－1)＝