第十一章综合素质评价

一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)

1.[2023·邯郸二十三中期末]下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是(　　)

A.x²－16＋16x＝(x＋4)(x－4)＋16x

B.a²－b²－c²＝(a－b)(a＋b)－c²

C. 10x²－5x＝5x(2x－1)

D.a(m＋n)＝am＋an

2.[2023·张家口一中月考]用提公因式法分解因式4m³n－9mn³时，应提取的公因式是(　　)

A.36m³n³ B.m³n³ C.36mn D.mn

3.(母题：教材P143做一做T2)下列四个多项式，能因式分解的是(　　)

A.a－1 B.a²＋1 C.x²－4y D.x²－6x＋9

4.[2023·益阳]下列因式分解正确的是(　　)

A.2a²－4a＋2＝2(a－1)² B.a²＋ab＋a＝a(a＋b)

C.4a²－b²＝(4a＋b)(4a－b) D.a³b－ab³＝ab(a－b)²

5.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(　　)

A.x²＋2x－1 B.x²＋4x＋1 C.x²－1 D.x²－6x＋9

6.因式分解x³－2x²＋x正确的是(　　)

A.(x－1)² B.x(x－1)² C.x(x²－2x＋1) D.x(x＋1)²

7.计算85²－15²的结果是(　　)

A.70 B.700 C.4 900 D.7 000

8. 现在生活中很多地方都需要安全又能记住的密码，但很多人还是直接用生日来设计密码，这存在极大的安全隐患，小明的生日是12月3日，他想用刚学的因式分解来设计家中的电脑密码.若对于多项式x⁴－y⁴，因式分解的结果是(x－y)(x＋y)(x²＋y²)，若x＝10，y＝6，则x－y＝4，x＋y＝16，x²＋y²＝136，于是可将“416136”作为密码，对于多项式9x³－xy²，小明用自己的生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值，则产生的密码不可能是(　　)

A.123933 B.339321 C.333912 D.391233

9.已知a，b，c是三角形的三条边，那么代数式(a－b)²－c²的值(　　)

A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.无法确定

10.若多项式x²＋mx－28可因式分解为(x－4)(x＋7)，则m的值为(　　)

A.－3 B.11 C.－11 D.3

11.已知a＋b＝2，则a²－b²＋4b的值是(　　)

A.2 B.3 C.4 D.6

12.(母题：教材P147习题B组T3)2¹⁴＋2¹³不能被(　　)整除

A.3 B.4 C.5 D.6

13.不论x，y取何值，代数式x²＋y²＋2x－4y＋7的值(　　)

A.总不小于2 B.总不小于7 C.可为任何数 D.可能为负数

14.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分裁成四个相同的等腰梯形，然后把它们拼成一个平行四边形(如图).通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证下列等式成立的是(　　)

A.a²－b²＝(a－b)²

B.(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²

C.(a－b)²＝a²－2ab＋b²

D.a²－b²＝(a＋b)(a－b)

15.(母题：教材P147习题B组T2)如果m²＋m－1＝0，那么代数式m³＋2m²－2 024的值是(　　)

A.2 023 B.－2 023 C.2 024 D.－2 024

16.[2023·衡水三中模拟]若a²(b＋c)＝b²(a＋c)＝2 023，a≠b，则abc的值为(　　)

A.2 023 B.1 011 C.－2 023 D.2 024

二、填空题(17，18题每题3分，19题4分，共10分)

17.[2023·无锡]分解因式：4－4x＋x²＝　　　　.

18.已知x²－2x－1＝0，则3x³－10x²＋5x＋2 027的值等于　　　　.

19.已知一个正方形的面积为4a²＋12ab＋9b²，则它的边长为　　　　；若面积为9(a＋b)²＋12ac＋12bc＋4c²，则它的边长为　　　　　　.

三、解答题(20，26题每题12分，21～23题每题8分，24，25题每题10分，共68分)

20.因式分解：

(1)2x²－8； (2)x³－2x²y＋xy^2.

21.(母题：教材P147习题A组T4)利用因式分解进行简便计算：

(1)3×85²－3×15²； (2)2 024²－4 048×2 025＋2 025^2.

22.已知两个数a，b(a＞b)，若a＋b＝4，a²＋b²＝10，求a²b－ab²的值.

23.甲、乙两名同学在分解因式mx²＋ax＋b时，甲仅看错了a，分解结果为2(x－1)(x－9)；乙仅看错了b，分解结果为2(x－2)(x－4)，求m，a，b的正确值，并将mx²＋ax＋b分解因式.

24.如图，在一个边长为a m的正方形广场的四个角上分别留出一个边长为b m的正方形花坛(a＞2b)，其余的地方种草坪.

(1)求草坪的面积是多少平方米；

(2)当a＝84，b＝8，且种每平方米草坪的成本为5元时，种这块草坪共需投资多少元？

25.嘉淇上小学时得知“一个数的各个数位上的数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除”，她后来做了如下分析：

258＝2×100＋5×10＋8＝2×(99＋1)＋5×(9＋1)＋8

＝2×99＋2＋5×9＋5＋8＝(2×99＋5×9)＋(2＋5＋8)

＝3(2×33＋5×3)＋3×5

∵2×33＋5×3为整数，5为整数，

∴3(2×33＋5×3)能被3整除，3×5能被3整除，∴258能被3整除.

(1)通过计算验证258能被3整除；

(2)用嘉淇的方法说明4 374能被3整除；

(3)设 是一个四位数.a，b，c，d分别为对应数位上的数字，请论证“若a＋b＋c＋d能被3整除，则这个数可以被3整除”.

26. 阅读材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如x²－4y²－2x＋4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：

　x²－4y²－2x＋4y

＝(x²－4y²)－(2x－4y)

＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)

＝(x－2y)(x＋2y－2).

这种分解因式的方法叫分组分解法.

利用这种方法解决下列问题：

(1)分解因式：x²－2xy＋y²－25；

(2)△ABC的三边长a，b，c满足a²－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状.

答案

一、1.C 【点拨】A.最后结果不是整式乘积的形式，故不符合题意；B.最后结果不是整式乘积的形式，故不符合题意；C.应用提取公因式法进行的因式分解，故符合题意；D.最后结果不是整式乘积的形式，故不符合题意.故选C.

2.D　3.D

4.A 【点拨】A、2a²－4a＋2＝2(a²－2a＋1)＝2(a－1)²，故本选项正确，符合题意；

B、a²＋ab＋a＝a(a＋b＋1)，故本选项错误，不符合题意；

C、4a²－b²＝(2a＋b)(2a－b)，故本选项错误，不符合题意；

D、a³b－ab³＝ab(a²－b²)＝ab(a＋b)(a－b)，故本选项错误，不符合题意；

故选A.

5.D　6.B　7.D

8.B 【点拨】先进行因式分解，根据题意得出x＝12，y＝3，从而得出3x－y＝33，3x＋y＝39，即可得出密码组合.

9.C　10.D

11.C 【点拨】a²－b²＋4b＝(a＋b)(a－b)＋4b＝2(a－b)＋4b＝2a＋2b＝2(a＋b)＝4.

12.C　13.A　14.D

15.B 【点拨】由题意，得m²＋m＝1，而m³＋2m²－2 024＝m³＋m²＋m²－2 024＝m(m²＋m)＋m²－2 024＝m＋m²－2 024＝－2 023.

16.C 【点拨】∵a²(b＋c)＝b²(a＋c)＝2 023，∴a²(b＋c)－b²(a＋c)＝0.即a²b＋a²c－ab²－b²c＝0.

整理得ab(a－b)＋c(a＋b)(a－b)＝0，

∴(a－b)(ab＋ac＋bc)＝0.

∵a≠b，

即a－b≠0，

∴ab＋ac＋bc＝0，

即ab＋bc＝－ac.

∵b²(a＋c)＝2 023，

b(ab＋bc)＝2 023，即b(－ac)＝2 023，

∴abc＝－2 023.

二、17.(2－x)²

18.2 023 【点拨】∵x²－2x－1＝0，

∴x²－2x＝1，

∴3x³－10x²＋5x＋2 027

＝3x(x²－2x)－4(x²－2x)－3x＋2 027

＝3x×1－4×1－3x＋2 027

＝3x－4－3x＋2 027

＝2 023.

19.｜2a＋3b｜；｜3a＋3b＋2c｜

【点拨】4a²＋12ab＋9b²＝(2a＋3b)²；9(a＋b)²＋12ac＋12bc＋4c²＝9(a＋b)²＋12c(a＋b)＋4c²＝[3(a＋b)＋2c]²＝(3a＋3b＋2c)².

三、20.【解】(1)原式＝2(x²－4)＝2(x＋2)(x－2).

(2)原式＝x(x²－2xy＋y²)＝x(x－y)².

21.【解】(1)原式＝3×(85²－15²)

＝3×(85＋15)×(85－15)

＝3×100×70

＝21 000.

(2)原式＝2 024²－2×2 024×2 025＋2 025²

＝(2 024－2 025)²

＝1²

＝1.

22.【解】∵a＋b＝4，

∴a²＋2ab＋b²＝16.

∵a²＋b²＝10，

∴2ab＝16－10＝6.

∴ab＝3.

∴(a－b)²＝a²－2ab＋b²＝10－6＝4.

∵a＞b，

∴a－b＝2.

∴a²b－ab²＝ab(a－b)＝3×2＝6.

23.【解】∵2(x－1)(x－9)

＝2(x²－9x－x＋9)

＝2(x²－10x＋9)

＝2x²－20x＋18，

∴m＝2，b＝18.

∵2(x－2)(x－4)

＝2(x²－4x－2x＋8)

＝2(x²－6x＋8)

＝2x²－12x＋16，

∴a＝－12.

∴mx²＋ax＋b

＝2x²－12x＋18

＝2(x²－6x＋9)

＝2(x－3)².

24.【解】(1)草坪的面积是(a²－4b²) m².

(2)当a＝84，b＝8时，草坪的面积是a²－4b²＝(a＋2b)(a－2b)＝(84＋2×8)×(84－2×8)＝100×68＝6 800(m²)，

所以种这块草坪共需投资5×6 800＝34 000(元).

25.【解】(1)∵258÷3＝86，

∴258能被3整除.

(2)4 374＝4×1 000＋3×100＋7×10＋4

＝4×(999＋1)＋3×(99＋1)＋7×(9＋1)＋4

＝4×999＋4＋3×99＋3＋7×9＋7＋4

＝(4×999＋3×99＋7×9)＋(4＋3＋7＋4)

＝3×(4×333＋3×33＋7×3)＋3×6

∵4×333＋3×33＋7×3为整数，6为整数，

∴3×(4×333＋3×33＋7×3)能被3整除，3×6能被3整除，

∴4 374能被3整除.

(3)证明： ＝1 000a＋100b＋10c＋d

＝(999＋1)a＋(99＋1)b＋(9＋1)c＋d

＝(999a＋99b＋9c)＋(a＋b＋c＋d)

＝3(333a＋33b＋3c)＋(a＋b＋c＋d)，

∵3(333a＋33b＋3c)能被3整除，

∴若“a＋b＋c＋d”能被3整除，则 能被3整除.

26.【解】(1)x²－2xy＋y²－25

＝(x－y)²－25

＝(x－y＋5)(x－y－5).

(2)∵a²－ab－ac＋bc＝0，

∴a(a－b)－c(a－b)＝(a－b)(a－c)＝0.

∴a＝b或a＝c.

∴△ABC为等腰三角形.