期中综合素质评价

一、选择题(每题3分，共36分)

1．[新考向传统文化][2023·湘潭]中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻．观察下列汉字，其中是轴对称图形的是(　　)

A．爱 B．我 C．中 D．华

2．如图，在△ABC中，AB边上的高是(　　)

(第2题)

A．CD B．CE C．BF D．BG

3．[2023·金华]在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是(　　)

A．1cm B．2cmC．13cm D．14cm

4．如果一个三角形三个内角的度数比是2∶3∶4，则它是(　　)

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．钝角或直角三角形

5． 将一张正方形纸片按下列方式对折三次，然后沿虚线裁剪，将裁剪后的纸片完全展开，所看到的图案是(　　)

A B C D

6．[新考向知识情境化][2023·日照东港区月考]如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，使仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在∠PRQ的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是(　　)

(第6题)

A． SSS B． SAS C． ASA D． AAS

7．如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，点E，F分别在AB，AC上，图中与BD相等的线段有(　　)

(第7题)

A．5条B．6条

C．7条D．8条

8．[情景题生活应用]如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过打电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是(　　)

(第8题)

A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B

C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC

9．已知△ABC的三边分别为a，b，c，满足c²＝a²＋b²，c²－2b²＝0，则这个三角形有一个角的度数为(　　)

A．135°B．75°

C．45°D．30°

10．如图，一棵大树在离地面6m，10m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部12m远处，则大树折断前的高度是(　　)

(第10题)

A．14m B．16m

C．18m D．20m

11．[2023·威海期末]如图所示的三角形纸片ABC中，∠B＝∠C，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的点E处，折痕为BD．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF，若AE＝2，△ABC的周长为13，则AF的长为(　　)

(第11题)

A．1．2 B．1．5 C．1．4 D．1

12．[新视角规律探究题]如图所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的边长为4．若按照图①至图③的规律设计图案，则在第n个图中所有等腰直角三角形的面积的和为(　　)

(第12题)

A．4n B．8n C．4ⁿ D．32

二、填空题(每题3分，共18分)

13．如图所示，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做的依据是　　　　．

(第13题)

14．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，△ACE≌△DBF，若AD＝6，BC＝2，则AC＝　　　　．

(第14题)

15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12cm，BD平分∠ABC，交AC于点D，若CD＝4cm，则 ＝　　　　cm²．

16．[新趋势跨学科]如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等(∠1＝∠2)．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙上，然后光线又会反射到平面镜甲上，…．若∠α＝55°，∠γ＝75°，则∠β＝　　　　°．

(第16题)

17．[2023·青岛即墨区期末]如图，在△ABC中，∠B＝60°，BC＝18，点D在边AB上，CA＝CD，BD＝7，则AD的长是　　　　．

(第17题)

18．[新考向数学文化]勾股定理a²＋b²＝c²本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解(a，b，c)通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×(3＋1)，12＝2×(5＋1)，24＝3×(7＋1)，…．分析上面规律，可知第5个勾股数组为　　　　．

三、解答题(共66分)

19．(8分)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：如图，∠α，直线l及l上两点A，B．

求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．

20．(8分)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C均在正方形网格的格点上．

(1)在图中画出△ABC关于直线l成轴对称的△AB'C'；

(2)线段CC'被直线l　　　　；

(3)△ABC的面积为　　　　；

(4)在直线l上找一点P，使PB＋PC的长最短．

21．(8分)如图，大正方形是由边长为1的小正方形拼成的，A，B，C，D四个点都是小正方形的顶点，以其中的三个点为顶点构造三角形．

(1)其中一共有　　　　个直角三角形；

(2)请判断△ABC的形状，并说明理由．

22．(10分)[2023·苏州]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．

(1)试说明：△ADE≌△ADF；

(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．

23．(10分)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且AE＝AB．

(1)若∠BEA＝70°，求∠C的度数；

(2)若△ABC的周长为26cm，AC＝10cm，求DC的长．

24．(10分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．

(1)判断△DEF的形状，并说明理由；

(2)若AD＝12，CE＝8，求CF的长．

25．(12分)[2023·泰安期中新考法建立模型法](1)【模型建立】如图①，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，试说明：△AEC≌△ADB．

(2)【模型应用】如图②，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC

＝∠DAE＝90°，B，D，E三点在一条直线上，AC与BE交于点F，若点F

为AC的中点．

①求∠BEC的度数；

②若CE＝3，求△AEF的面积．

答案

一、1． C　2． B　3． C　4． A　5． C　6． A　7． C　8． C

9． C　【点拨】因为△ABC的三边分别为a，b，c，满足c²＝a²＋b²，

所以△ABC为直角三角形．

因为c²－2b²＝0，所以c²＝2b²，

所以a²＋b²＝2b²，所以a＝b，所以△ABC为等腰直角三角形，所以这个三角形的三个角的度数分别为45°，45°，90°．

10． D　【点拨】如图，作BO⊥DC于点O，

由题意得AD＝BO＝6m，AB＝OD＝10－6＝4(m)．

因为DC＝12m，所以OC＝8m，

所以由勾股定理得BC²＝BO²＋OC²＝6²＋8²＝10²，所以BC＝10m，

所以大树的高度为10＋6＋4＝20(m)．

故选D．

11． B　【点拨】因为三角形纸片ABC中，∠B＝∠C，

所以AB＝AC，

由折叠可知，BC＝BE，CD＝DE＝AE＝2，AF＝DF，

所以AB＝AC＝AF＋DF＋CD＝2AF＋2，

又因为AB＝AE＋BE＝2＋BC，

所以2＋BC＝2AF＋2，所以BC＝2AF．

因为△ABC的周长为13，

所以AB＋AC＋BC＝13，

即2AF＋2＋2AF＋2＋2AF＝13，所以AF＝1．5，

即AF的长为1．5．

12． A　【点拨】设图①中等腰直角三角形的边长为a，图②中等腰直角三角形的边长为b，图③中等腰直角三角形的边长为c，

如图①，因为最大正方形的边长为4，

所以a²＋a²＝4²，

所以第一个等腰直角三角形的面积为 a·a＝ a²＝4．

如图②，易知b²＋b²＝a²，即2b²＝8，

所以图②中三个等腰直角三角形的面积和为 a²＋ b²＋ b²＝4＋2＋2＝8．

如图③，易知c²＋c²＝b²，即2c²＝4，

所以图③中共计7个等腰直角三角形的面积和为 a²＋ b²＋ b²＋ c²＋ c²＋ c²＋ c²＝4＋2＋2＋1＋1＋1＋1＝12．

…

由此推理，第n个图中所有等腰直角三角形的面积和为4n．

故选A．

二、13．三角形具有稳定性　14．4　15．24

16．65　【点拨】如图，由题意知∠1＝∠α＝55°，

∠2＝∠β，

∠3＝∠γ＝75°．

因为∠1＋∠3＋∠4＝180°，

所以∠4＝50°．

又因为∠2＋∠4＋∠β＝180°，所以∠β＝65°．

17．4　【点拨】如图，过点C作CE⊥AD，垂足为E，

所以∠CEB＝90°．

因为∠B＝60°，所以∠BCE＝90°－∠B＝30°．

因为BC＝18，所以BE＝ BC＝9，

又因为BD＝7，所以DE＝BE－BD＝2，

因为CA＝CD，CE⊥AD，

所以AD＝2DE＝4．

18．(11，60，61)　【点拨】根据题意可知第4个勾股数组中间的数为4×(9＋1)＝40，即勾股数组为(9，40，41)；第5个勾股数组中间的数为5×(11＋1)＝60，即勾股数组为(11，60，61)．

三、19．【解】如图所示，△ABC为所求作的直角三角形．

20．【解】(1)△AB'C'如图所示．

(2)垂直平分

(3)3

(4)点P如图所示．

21．【解】(1)2

(2)△ABC是直角三角形．理由：

根据题意可得AC²＝1²＋2²＝5，AB²＝2²＋4²＝20，

BC²＝5²＝25，所以AB²＋AC²＝BC²，

所以△ABC是直角三角形．

22．【解】(1)因为AD是△ABC的角平分线，

所以∠BAD＝∠CAD．

由题意知AE＝AF．

在△ADE和△ADF中，

所以△ADE≌△ADF(SAS)．

(2)因为∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，

所以∠EAD＝ ∠BAC＝40°．

由题意知AE＝AD，

所以∠AED＝∠ADE，

所以∠ADE＝ ×(180°－40°)＝70°．

因为AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，

所以AD⊥BC，即∠ADB＝90°，

所以∠BDE＝90°－∠ADE＝20°．

23．【解】(1)因为EF垂直平分AC，

所以AE＝EC，所以∠C＝∠CAE．

因为∠BEA＝70°，所以∠AEC＝180°－∠BEA＝110°，

所以∠C＝ ×(180°－110°)＝35°．

(2)因为△ABC的周长为26cm，AC＝10cm，

所以AB＋BC＝16cm，

所以AB＋BE＋EC＝16cm．

因为AE＝AB，AD⊥BC，AE＝EC，

所以BD＝DE，AB＝EC．

所以2AB＋2BD＝16cm，所以AB＋BD＝8cm，

所以DC＝EC＋DE＝AB＋BD＝8cm．

24．【解】(1)△DEF是等边三角形．

理由：因为AB＝AD，∠A＝60°，

所以△ABD是等边三角形，

所以∠ABD＝∠ADB＝60°．

因为CE∥AB，

所以∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，

所以∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，

所以△DEF是等边三角形．

(2)连接AC．因为AB＝AD，CB＝CD，

所以AC垂直平分BD，即AC⊥BD．

又因为AB＝AD，∠BAD＝60°，

所以∠BAC＝∠DAC＝30°．

因为CE∥AB，所以∠BAC＝∠ACE＝30°，

所以∠ACE＝∠CAD＝30°，所以AE＝CE＝8．

所以DE＝AD－AE＝12－8＝4．

由(1)可知△DEF是等边三角形，

所以EF＝DE＝4，所以CF＝CE－EF＝8－4＝4．

25．【解】(1)因为∠BAC＝∠DAE，

所以∠BAC－∠EAB＝∠DAE－∠EAB，

所以∠EAC＝∠DAB，

在△AEC和△ADB中，

所以△AEC≌△ADB(SAS)．

(2)①因为∠BAC＝∠DAE，

所以∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，

所以∠DAB＝∠EAC，

在△AEC和△ADB中，

所以△AEC≌△ADB(SAS)，

所以∠ABE＝∠ACE，

所以∠BEC＝180°－∠ACE－∠EAC－∠AEB

＝180°－∠ABE－∠EAC－∠AEB

＝∠BAC

＝90°．

②作AG⊥BE于点G，如图所示，

因为△AEC≌△ADB，所以BD＝EC＝3，

因为点F为AC的中点，所以AF＝CF，

在△AGF和△CEF中，

所以△AGF≌△CEF(AAS)，所以AG＝EC＝3，

所以S_△ACE＝S_△ABD＝ ×3×3＝4．5，

又因为点F为AC中点，

所以S_△AEF＝ S_△ACE＝ ×4．5＝2．25．