第三章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共36分)

1.[2024·石家庄二十八中模拟]下列各式中，符合代数式书写格式规范的是(　　)

A. a÷3 B.2 x C. a×3 D.

2.有游客m人，到龙门石窟游玩，需要住宿，如果每n个人住一间房，结果还有一个人无房住，则客房的间数是(　　)

A. B. －1 C. D. ＋1

3.下列各式中，代数式的个数是(　　)

① ；②26＋38；③ab＝ba；④ ；⑤2a－1；⑥a；⑦ (a²－b²)；⑧5n＋2.

A.5 B.6 C.7 D.8

4.下列语句中，不正确的是(　　)

A.0是代数式

B. a是代数式

C. x的3倍与y的 的差表示为3x－ y

D. S＝πr²是代数式

5.[母题教材P105例1]下列对代数式a²－5b²的描述中，正确的是(　　)

A. a与5b的平方差

B. a的平方减5后乘b的平方

C. a的平方与b的平方的5倍的差

D. a与5b的差的平方

6.根据流程图中的运算程序，当输入数据x＝－5时，输出结果y＝(　　)

A.1 B.9 C.25 D.81

7.观察下列数： ， ， ， ，…根据规律推算，第8个数应为(　　)

A. B. C. D.

8.[情境题生活应用]某停车场24小时营业，其收费方式如表所示，已知王爱国某日10：00进场停车，停了x小时后离场，x为整数.若王爱国离场时间介于当日的20：00～24：00之间，则他此次停车的费用为(　　)

停车时间	收费方式
08：00～20：00	3元/小时，该时段最多收18元
20：00～08：00	1元/小时，该时段最多收10元
若进场时间与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费

A.(x＋8)元 B.(x＋10)元 C.(x＋18)元 D.(x＋28)元

9.当x的值分别取3和－3时，代数式－x⁴＋2x²－3的值(　　)

A.互为相反数 B.互为倒数

C.相等 D.以上都不对

10.已知m²＋m－1＝0，那么代数式2 023－2m²－2m的值是(　　)

A.2 021 B.－2 021 C.2 025 D.－2 025

11.当x＝－1时，代数式｜5x＋2｜和代数式1－3x的值分别是M，N，则M，N之间的关系为(　　)

A. M＞N B. M＝N

C. M＜N D.以上三种情况都有可能

12.如图是用黑色棋子摆成的美丽图形，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图形需要黑色棋子的个数为(　　)

A.148 B.152

C.174 D.202

二、填空题(每题3分，共12分)

13.[2024·保定十七中模拟]某地海拔高度h(km)与温度T(℃)的关系可用T＝20－6h来表示，则该地区某海拔高度为2 000 m的山顶上的温度为　　　　.

14.对于两个非零数x，y，定义一种新的运算：x*y＝ax＋by，若1*(－1)＝2，则(－3)*3的值为　　　　.

15. [新考向传承数学文化]古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物，用点排成的图形如下：

其中，图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1＋2＝3，第三个三角形数是1＋2＋3＝6，…

图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1＋3＝4，第三个正方形数是1＋3＋5＝9，…

…

由此类推，图④中第五个正六边形数是　　　　.

16.观察等式：2＋2²＝2³－2，2＋2²＋2³＝2⁴－2，2＋2²＋2³＋2⁴＝2⁵－2，…已知按一定规律排列的一组数：2¹⁰⁰，2¹⁰¹，2¹⁰²，…，2¹⁹⁹，若2¹⁰⁰＝m，用含m的代数式表示这组数的和是　　　　.

三、解答题(第17，18题每题6分，第19～21题每题8分，第22～24题每题12分，共72分)

17.[母题教材P119例1]求下列代数式的值.

(1)(a＋2)(a－2)＋a(1－a)，其中a＝5；

(2)(m－n)²－2m＋2n，其中m－n＝－1.

18.已知四个整数之积为9.

(1)构成这四个整数共有　　　　组；

(2)若这四个整数各不相同，记为a，b，c，d，求(a＋b)－(c＋d)的值.

19.[情境题·2024·张家口宣化区期末·生活应用]某加密记忆芯片的形状如图中的阴影部分(长度单位：纳米).

(1)求出该加密记忆芯片的面积(用含有a的代数式表示)；

(2)若a＝7，试求加密记忆芯片的面积.

20.如图所示的是一个数值转换机的示意图，请你用含x，y的式子表示输出结果，并求当输入x的值为 ，y的值为－2时的输出结果.

21.观察下列各图形中点的个数，根据其中蕴含的规律回答下列问题.

(1)图①中有　　　　个点；图②中有　　　　个点；图③中有　　　　个点；

(2)请用代数式表示出图 中点的个数，并求图⑩中共有多少个点.

22.[2024·保定十七中月考]某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆形，下半部分是长方形.

(1)请你求出制造窗框所需材料的总长(图中所有黑线的长度和)；

(2)当x＝1.2，y＝1.8时，求所需材料的总长(π≈3.14，结果保留一位小数).

23.[2024·秦皇岛部分学校联考]甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价为30元，乒乓球每盒定价为10元.现两家商店搞促销活动，甲商店的优惠方案：每买一副乒乓球拍赠一盒乒乓球；乙商店的优惠方案：按定价的9折出售.某班需购买乒乓球拍6副，乒乓球若干盒(不少于6盒).

(1)用代数式表示(所填式子需化简)：当购买乒乓球拍6副，乒乓球x(x≥6，且x为整数)盒时，在甲商店购买共需付款　　　　元，在乙商店购买共需付款　　　　元.

(2)当购买乒乓球拍6副，乒乓球15盒时，到哪家商店购买比较省钱？说出你的理由.

(3)当购买乒乓球拍6副，乒乓球15盒时，你能给出一种更省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付款多少元.

24.(1)当a＝2，b＝3时，分别求代数式a²－2ab＋b²，(a－b)²的值.

(2)当a＝－5，b＝－3时，分别求代数式a²－2ab＋b²，(a－b)²的值.

(3)观察(1)(2)中代数式的值，探究a²－2ab＋b²与(a－b)²有何关系？

(4)利用(3)中你发现的关系，求12.57²－2×12.57×2.57＋2.57²的值.

答案

一、1. D　2. A　3. C　4. D

5. C　【点拨】排除法，A选项表示为a²－ ，B选项表示为 b²，D选项表示为 ，故选C.

6. C　【点拨】当x＝－5时，y＝(－5＋4)²＝1＜5，

当x＝1时，y＝(1＋4)²＝25＞5，故选C.

7. D　【点拨】根据规律可知，第n个数是 ，所以第8个数是 ，即 .

8. A　【点拨】因为王爱国离场时间介于当日的20：00～24：00之间，所以王爱国此次的停车费用为18＋(x－10)＝(x＋8)元.故选A.

9. C

10. A　【点拨】依题意，得m²＋m＝1，则2 023－2m²－2m＝2 023－2(m²＋m)＝2 023－2×1＝2 021.

11. C

12. C　【点拨】根据题图知，第1个图形有2×(1＋2＋3)＝12(个)黑色棋子，第2个图形有2×(1＋2＋3＋4)＋2×1＝22(个)黑色棋子，第3个图形有2×(1＋2＋3＋4＋5)＋2×2＝34(个)黑色棋子，…，第n个图形有2×[1＋2＋3＋…＋(n＋1)＋(n＋2)]＋2(n－1)＝(n²＋7n＋4)(个)黑色棋子，故第10个这样的图形需要黑色棋子的个数为10²＋7×10＋4＝100＋70＋4＝174.

二、13.8 ℃　【点拨】因为2 000 m＝2 km，

所以把h＝2 km代入T＝20－6h，得

T＝20－6×2＝20－12＝8(℃).

14.－6　【点拨】因为1*(－1)＝2，

所以a×1＋b×(－1)＝2，即a－b＝2.

所以(－3)*3＝a×(－3)＋b×3＝－3a＋3b＝－3(a－b)＝－3×2＝－6.

15.45　【点拨】由此类推，题图④中第一个正六边形数是1，第二个正六边形数是1＋5＝6，第三个正六边形数是1＋5＋9＝15，第四个正六边形数是1＋5＋9＋13＝28，第五个正六边形数是1＋5＋9＋13＋17＝45.

16. m²－m　【点拨】依题意，得 2¹⁰⁰＋2¹⁰¹＋2¹⁰²＋…＋2¹⁹⁹＝2¹⁰⁰＋2¹⁰⁰×(2＋2²＋2³＋…＋2⁹⁹)＝2¹⁰⁰＋2¹⁰⁰×(2¹⁰⁰－2)＝m＋m(m－2)＝m²－m.

三、17.【解】(1)当a＝5时，原式＝(5＋2)×(5－2)＋5×(1－5)＝7×3＋5×(－4)＝21－20＝1.

(2)当m－n＝－1时，原式＝(m－n)²－2(m－n)＝(－1)²－2×(－1)＝1＋2＝3.

18.【解】(1)9

(2)当四个整数各不相同时，四个数分别为1，－1，3，－3.

当a＋b＝0时，则c＋d＝0，

所以(a＋b)－(c＋d)＝0；

当a＋b＝4时，则c＋d＝－4，

所以(a＋b)－(c＋d)＝4－(－4)＝8；

当a＋b＝2时，则c＋d＝－2，

所以(a＋b)－(c＋d)＝2－(－2)＝4；

当a＋b＝－4时，则c＋d＝4，

所以(a＋b)－(c＋d)＝－4－4＝－8；

当a＋b＝－2时，则c＋d＝2，

所以(a＋b)－(c＋d)＝－2－2＝－4.

综上，(a＋b)－(c＋d)的值为0或8或－8或4或－4.

19.【解】(1)由题意可得，加密记忆芯片的面积为

3.5(a＋3×2a＋3a)＋10.5(a＋2a＋3a)

＝3.5×10a＋10.5×6a

＝35a＋63a

＝98a，

所以该加密记忆芯片的面积是98a平方纳米.

(2)当a＝7时，98a＝98×7＝686，

所以加密记忆芯片的面积是686平方纳米.

20.【解】由数值转换机的示意图可得输出结果为 (2x＋y²).

当x＝ ，y＝－2时，

(2x＋y²)＝ ×［2× ＋(－2)²］＝ .

21.【解】(1)5；9；13

(2)因为题图①中有1＋4×1＝5(个)点，题图②中有1＋4×2＝9(个)点，题图③中有1＋4×3＝13(个)点……

所以图 中点的个数为(1＋4n)个.

当n＝10时，1＋4n＝1＋4×10＝41，

即图⑩中共有41个点.

22.【解】(1)制造窗框所需材料的总长为4y＋2x＋2x＋3x＋πx＝(4y＋7x＋πx)(m).

(2)当x＝1.2，y＝1.8时，4y＋7x＋πx≈4×1.8＋7×1.2＋3.14×1.2≈19.4.

所以所需材料的总长约为19.4 m.

正确列出代数式是解题的关键，本题运用了数形结合思想，从图形的特征入手，列出代数式.

23.【解】(1)(10x＋120)；(9x＋162)

(2)到甲商店购买比较省钱.理由：当x＝15时，在甲商店购买需付款为10×15＋120＝270(元)，

在乙商店购买需付款为9×15＋162＝297(元).

因为270＜297，

所以到甲商店购买比较省钱.

(3)购买方案：先到甲商店购买6副乒乓球拍，获赠6盒乒乓球，再到乙商店购买9盒乒乓球，需付款261元.先到甲商店购买6副乒乓球拍，获赠6盒球，再到乙商店购买9盒乒乓球，需付款30×6＋10×90％×9＝261(元).

24.【解】(1)当a＝2，b＝3时，a²－2ab＋b²＝2²－2×2×3＋3²＝1，(a－b)²＝(2－3)²＝1.

(2)当a＝－5，b＝－3时，a²－2ab＋b²＝(－5)²－2×(－5)×(－3)＋(－3)²＝4，(a－b)²＝[－5－(－3)]²＝4.

(3)由(1)(2)可得a²－2ab＋b²＝(a－b)².

(4)由(3)中的关系，可得12.57²－2×12.57×2.57＋2.57²＝(12.57－2.57)²＝100.