第4章　综合素质评价

一、选择题(每小题3分，共24分)

1．下列是一元一次方程的是(　　)

A．x＋3＝ B．x²＋3x＝1

C．x＋y＝5 D．7x＋1＝3

2．[2024南京建邺区期末]下列是根据等式的性质进行的变形，正确的是(　　)

A．若a＝b，则6＋a＝b－6 B．若ax＝ay，则x＝y

C．若a－1＝b＋1，则a＝b D．若 ＝ ，则a＝b

3．方程 ＝1－ 去分母后，正确的是(　　)

A．2(3x－1)＝1－(4x－1) B．2(3x－1)＝6－4x－1

C．2(3x－1)＝6－(4x－1) D．3x－1＝1－4x＋1

4．[2024徐州泉山区月考]若x＝－1是关于x的方程2x＋3a＋1＝0的解，则3a＋1的值为(　　)

A．0 B．－2 C．2 D．3

5．[新考向·数学文化2023·连云港]元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意得(　　)

A． ＝ B． ＝ －12

C．240(x－12)＝150x D．240x＝150(x＋12)

6．[2024苏州姑苏区期末]若关于x的方程 ＝5与kx－1＝15的解相同，则k的值为(　　)

A．8 B．6 C．－2 D．2

7．某商店在某一时间以每个60元的价格卖出两个书包，其中一个盈利20％，另一个亏损20％，则卖出这两个书包总的盈亏情况是(　　)

A．盈利5元 B．亏损5元 C．亏损8元 D．不盈不亏

8．[新考向·程序计算法2024·江阴期中]按如图所示的程序计算：

若输入n＝100，输出结果是501；若输入n＝25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有(　　)

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

二、填空题(每小题3分，共30分)

9．写出一个解为x＝－2的一元一次方程：　　　　．

10．若(a－1)x^｜a｜＋3＝6是关于x的一元一次方程，则a＝　　　　．

11．已知y₁＝x＋3，y₂＝2－x，当x＝　　　　时，y₁比y₂的值的2倍大5．

12．[2024兴化期中]在公式v＝v₀＋at中，已知v＝15，v₀＝5，t＝4，则a＝　　　　．

13．如果 x－ y＝2，那么4x－3y＝　　　　．

14．若a，b互为相反数(a≠0)，则ax＋b＝0的解为　　　　．

15．[母题教材P136复习题T6]若关于x的方程2x＋a＋5b＝0的解是x＝－3，则代数式6－a－5b的值为　　　　．

16．[2024南京雨花台区月考]某商店有大小两种书包，每个小书包比大书包的进价少40元，而它们卖出后利润相等，其中，每个小书包的利润率为30％，每个大书包的利润率为20％，则小书包的进价是　　　　元．

17．[2024重庆期中]若关于x的一元一次方程 ＋3＝x的解为整数，则所有整数k的和为　　　　．

18．[新视角新定义题]定义一种新的运算“ⓧ”，它的运算法则为：当a，b为有理数时，aⓧb＝ a－ b，比如：6ⓧ4＝ ×6－ ×4＝1，则方程xⓧ2＝1ⓧx的解为x＝　　　　．

三、解答题(共66分)

19．(8分)[母题教材P136复习题T1]解方程：

(1)5x－2(x－1)＝3；　　　　　　　　　　(2) ＝1＋ ．

20．(6分)已知关于x的方程 ＝x＋ 与方程 ＝3x－2的解互为倒数，求2m²－4m＋3的值．

21．(8分)已知y₁＝2x＋3，y₂＝4－2x．

(1)当x取何值时，y₁与y₂的值相等？

(2)是否存在这样的x值，使y₁与y₂的值互为相反数．如果存在，求出x的值；如果不存在，说明理由．

22．(8分)[2024泰州姜堰区期末]某课外活动小组女生占全组人数的 ，后来又加入了3名女生，　　　　，求课外活动小组原来的人数．

从下面两个条件中选择其中一个填在横线上，并解答问题．

①此时女生占全组人数的 ；②此时男生比女生少2人．

你的选择是：　　　　(填序号)．

23．(10分)[2024重庆长寿区期中]为全面贯彻党的教育方针，坚持教育与社会实践相结合，充分发挥中小学综合实践活动课程在立德树人中的重要作用，重庆某中学经研究决定组织初一年级535名学生和20名老师赴际华园开展研学旅行活动．经了解，租车公司有A，B两种型号的客车可以租用，已知1辆A型客车可载30名乘客，1辆B型客车可载45名乘客，学校向该租车公司租用A，B型客车共14辆，刚好坐满．

(1)请问此次研学活动租用了A型客车和B型客车各多少辆？

(2)已知1辆A型客车的租金为1200元，1辆B型客车的租金为1800元，则此次研学活动的租车总费用为多少元？

24．(12分)[新视角新定义题]我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b－a，则称该方程是“差解方程”．例如：3x＝4．5的解为x＝1．5＝4．5－3，则方程3x＝4．5是“差解方程”．请根据上述规定解答下列问题：

(1)已知关于x的一元一次方程3x＝m是“差解方程”，则m＝　　　　；

(2)已知关于x的一元一次方程3x＝ab＋a是“差解方程”，则4(ab＋a)＝　　　　；

(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn＋m和－2x＝mn＋n都是“差解方程”．求代数式4(mn＋m)－9(mn＋n)²的值．

25．(14分)[2024徐州云龙区期末]如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数为－20，点B对应的数为120，且数轴上点D到点A，B的距离相等．

(1)点A，B之间的距离AB＝　　　　，点D对应的数为　　　　．

(2)点P从点B出发，以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时点Q从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，当点P，Q重合时对应的数是多少？

(3)在(2)的条件下，当P，Q两点运动多长时间时相距50个单位长度？

参考答案

一、1．D　2．D　3．C　4．C　5．D　6．D　7．B

8．C　点拨：由题意可知，当5n＋1＝656时，n＝131；当5n＋1＝131时，n＝26；当5n＋1＝26时，n＝5；当5n＋1＝5时，n＝0．8．因为n值为正整数，所以n＝0．8不符合题意．所以n的值可取131，26，5，共3种．故选C．

二、9．x＋2＝0(答案不唯一)　10．－1　11．2　12．2．5

13．24　14．x＝1　15．0　16．80　17．8

18． 　点拨：因为xⓧ2＝1ⓧx，所以 x－ ×2＝ ×1－ x，解得x＝ ．

三、19．解：(1)去括号，得5x－2x＋2＝3．

移项，得5x－2x＝3－2．

合并同类项，得3x＝1．

系数化为1，得x＝ ．

(2)去分母，得3x－2＝6＋2(x－1)．

去括号，得3x－2＝6＋2x－2．

移项，得3x－2x＝6－2＋2．

合并同类项，得x＝6．

20．解：解方程 ＝x＋ ，得x＝－ ，

解方程 ＝3x－2，得x＝ ．

由题意得－ × ＝1，

所以m＝－1．

所以2m²－4m＋3＝2＋4＋3＝9．

21．解：(1)因为y₁＝2x＋3，y₂＝4－2x，

所以2x＋3＝4－2x，解得x＝ ．

故当x取 时，y₁与y₂的值相等．

(2)不存在．理由：因为y₁与y₂的值互为相反数，

所以y₁＋y₂＝0，

即(2x＋3)＋(4－2x)＝0，

该方程无解．

故不存在这样的x值，使y₁与y₂的值互为相反数．

22．解：①

设课外活动小组原来的人数为x人，

根据题意，得 x＋3＝ (x＋3)，

解得x＝11．

答：课外活动小组原来的人数为11人．

②

设课外活动小组原来的人数为y人，

根据题意，得 y＋3－2＝ y，

解得y＝11．

答：课外活动小组原来的人数为11人．

23．解：(1)设租用了A型客车x辆，则租用了B型客车(14－x)辆，根据题意，得

30x＋45(14－x)＝535＋20，解得x＝5，

此时14－5＝9．

答：此次研学活动租用了A型客车5辆，B型客车9辆．

(2)1200×5＋1800×9＝22200(元)．

答：此次研学活动的租车总费用为22200元．

24．解：(1)

(2)18　点拨：解方程3x＝ab＋a，得x＝ ．

因为方程3x＝ab＋a是“差解方程”，

所以x＝ab＋a－3．

所以ab＋a－3＝ ，

整理得2(ab＋a)＝9．所以4(ab＋a)＝18．

(3)解方程3x＝mn＋m，得x＝ ．

因为方程3x＝mn＋m是“差解方程”，

所以x＝mn＋m－3．

所以 ＝mn＋m－3，

整理得mn＋m＝ ．

解方程－2x＝mn＋n，得x＝－ ．

因为方程－2x＝mn＋n是“差解方程”，

所以x＝mn＋n－(－2)．

所以－ ＝mn＋n－(－2)，

整理得mn＋n＝－ ．

所以4(mn＋m)－9(mn＋n)²

＝4× －9×

＝18－16

＝2．

25．解：(1)140；50

(2)[120－(－20)]÷(3＋2)＝28(秒)，

－20＋2×28＝36．

故当点P，Q重合时对应的数是36．

(3)设当P，Q两点运动x秒时相距50个单位长度，则分两种情况讨论：

①相遇前，根据题意，得(3＋2)x＝120－(－20)－50，

解得x＝18；

②相遇后，根据题意，得

(3＋2)x＝120－(－20)＋50，解得x＝38．

综上所述，当P，Q两点运动18秒或38秒时相距50个单位长度．