第一章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共36分)
1．如图，工人师傅在砌门时，通常会用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的数学依据是( )
(第1题)
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．同角的余角相等 D．三角形具有稳定性
2．[2023·临沂月考]在下列四个图形中，属于全等图形的是( )
A．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④
3．[2024·泰安期末]一个木工师傅现有两根木条，它们的长度分别为30cm和80cm，现在要做一个三角形的木架，则第三根木条的长度可以是( )
A．10cm B．80cm C．130cm D．40cm
4．三角形的重心是三角形的( )
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高线的交点 D．三角形一条高线与两条中线的交点
5．为测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两钳脚的交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳的开口AB，则此工件的外径必是CD之长，其中的依据是全等三角形的判定条件( )
(第5题)
A． SSS B． SAS C． ASA D． AAS
6．[2023·淄博期中]如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝4，△ACD的周长为10，则△ABD的周长为( )
(第6题)
A．8 B．9 C．10 D．11
7．已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝9cm，△ABC的面积为18cm2，则EF边上的高是( )
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
8．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能判定△ABF≌△DCE的是( )
(第8题)
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC
C．AB＝DC D．AF＝DE
9．如图，在△ABC中，∠A＝55°，则∠DBC＋∠ACE等于( )
(第9题)
A．180° B．250° C．270° D．235°
10．[2023·济南槐荫区期末]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是( )
(第10题)
A．∠1＋∠2＝90° B．∠1＝30°
C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3
11．如图，已知AO平分∠DAE，AD＝AE，AB＝AC，则图中全等的三角形有( )
(第11题)
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
12．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为( )
(第12题)
A．3 B．5
C．6 D．7
二、填空题(每题3分，共18分)
13．[2023·烟台莱州市期中]如图，△ABC中，AC边上的高是线段 ．
(第13题)
14．如图是由6个相同的小正方形拼成的网格，∠2－∠1＝ °．
(第14题)
15．[2023·泰安期中]如图，若∠α＝31°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为 ．
(第15题)
16．如图，AD是△ABC的中线，点E，F分别为AD，CE的中点，且△ABC的面积是12，则△BEF的面积是 ．
(第16题)
17．一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，AC与DF交于点G，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝ ．
(第17题)
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．若点Q的运动速度为vcm/s，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为 ．
(第18题)
三、解答题(共66分)
19．(8分)[2023·长沙改编]如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．试说明：△ABE≌△ACD．
20．(8分)已知a，b，c是三角形的三边长．
(1)化简：｜a－b－c｜＋｜b－c－a｜＋｜c－a－b｜；
(2)若a＝10，b＝8，c＝6，求(1)中式子的值．
21．(8分)[2023·聊城东昌府区月考]如图，已知△ABE≌△ACD，点B，D，E，C在同一条直线上．
(1)如果BE＝6，DE＝2，求BC的长；
(2)如果∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，求∠DAE的度数．
22．(10分)[母题教材P15习题T3]如图，小明在作业本上画的△ABC被墨迹污染了一部分，他想画一个与△ABC完全一样的△A'B'C'，请帮助小明想办法用尺规作图法画出△A'B'C'，并说明你的理由．
23．(10分)[2023·威海文登区期末]如图，在四边形ABCD中，点E在BD上，AE＝CE，AB＝BC．
试说明：AD＝CD．
24．(10分)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且∠CAB＝∠DCB．
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，试说明：∠CFE＝∠CEF．
25．(12分)[新考向身边的数学]如图，小明站在河边的点A处，观察河对面(正北方向)点B处的电线塔，他想知道自己距离电线塔有多远，可身边没有测量的工具，于是他运用本学期学到的数学知识设计了如下方案：他先向正西方向走了30步到达电线杆C处，接着继续向正西方向走了30步到达D处，然后再向正南方向行走，当看到电线杆C，电线塔B与自己现在所处的位置E在同一条直线上时停止，从点A出发到点E停止，小明共走了100步(每一步所走的距离都相同)．
(1)根据题意，画出测量方案的示意图；
(2)如果小明的一步大约为0．5m，请计算小明在点A处时与电线塔的距离．
答案
一、1． D 2． D
3． B 【点拨】根据三角形的三边关系，得第三边应大于两边之差，即80－30＝50(cm)，而小于两边之和，即30＋80＝110(cm)，
所以只有80cm符合条件．故选B．
4． B 5． B 6． D 7． B 8． D
9． D 【点拨】因为∠A＝55°，
所以∠ABC＋∠ACB＝180°－55°＝125°．
因为∠DBC＋∠ABC＝180°，∠ACE＋∠ACB＝180°，
所以∠DBC＋∠ABC＋∠ACE＋∠ACB＝360°，
所以∠DBC＋∠ACE＝360°－(∠ABC＋∠ACB)＝360°－125°＝235°．
10． B 【点拨】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
所以∠1＋∠2＝180°－∠ACB＝180°－90°＝90°．
因为CD⊥AB，
所以∠ADC＝∠BDC＝90°，
所以∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°．
又因为∠1＋∠2＝90°，
所以∠1＝∠4，∠2＝∠3．
所以不一定成立的是∠1＝30°．
11． D 【点拨】如图，因为AO平分∠DAE，
所以∠1＝∠2，
在△AOD和△AOE中，
所以△AOD≌△AOE(SAS)，
所以∠D＝∠E，OD＝OE，
在△AOC和△AOB中，
所以△AOC≌△AOB(SAS)，
在△COD和△BOE中，
所以△COD≌△BOE(ASA)，
在△DAB和△EAC中，
所以△DAB≌△EAC(SAS)．
由上可得，图中全等的三角形有4对，故选D．
12． B 【点拨】因为AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
所以∠AFB＝∠CED＝90°，∠A＋∠D＝90°，
所以∠C＋∠D＝90°，所以∠A＝∠C．
又因为AB＝CD，所以△ABF≌△CDE(AAS)．
所以AF＝CE＝4，BF＝DE＝3．
又因为EF＝2，所以AD＝AF＋DF＝4＋(3－2)＝5．
二、13．BH
14．90 【点拨】如图，易知AC＝DE，BC＝CE，
∠ACB＝∠DEC＝90°，所以△ABC≌△EDC，
所以∠3＝∠1，所以∠2－∠1＝∠2－∠3＝90°．
15．62°
16．3 【点拨】因为点D是BC的中点，
所以S△ABD＝S△ACD＝
S△ABC＝
×12＝6．
又因为点E是AD的中点，
所以S△BDE＝
S△ABD＝
×6＝3，
S△CDE＝
S△ACD＝
×6＝3．
所以S△BCE＝S△BDE＋S△CDE＝3＋3＝6．
又因为点F是CE的中点，
所以S△BEF＝
S△BCE＝
×6＝3．
17．100° 【点拨】由题意得∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，∠EAB＝35°，
所以∠CAD＝180°－∠EAB－∠BAC＝85°．
所以∠AGD＝180°－∠D－∠CAD＝50°．
所以∠CGF＝∠AGD＝50°．
所以∠DFC＝180°－∠C－∠CGF＝100°．
18．2或3 【点拨】当BD＝PC，BP＝CQ时，
易得△BPD≌△CQP．
因为点D为AB的中点，所以BD＝
AB＝6cm．
又因为BD＝PC，所以BP＝BC－PC＝8－6＝2(cm)．
因为点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，所以运动时间为1s．
又因为BP＝CQ＝2cm，所以v＝2÷1＝2．
当BD＝CQ，PB＝PC时，易得△BPD≌△CQP．
因为BD＝6cm，所以CQ＝6cm．
因为BC＝8cm，PB＝PC，所以BP＝4cm，
所以运动时间为4÷2＝2(s)，
所以v＝6÷2＝3．
综上所述，v的值为2或3．
三、19．【解】因为CD⊥AB，BE⊥AC，
所以∠ADC＝∠AEB＝90°．
在△ABE和△ACD中，
所以△ABE≌△ACD(AAS)．
20．【解】(1)因为a，b，c是三角形的三边长，
所以b＋c＞a，c＋a＞b，a＋b＞c，
所以a－b－c＜0，b－c－a＜0，c－a－b＜0，
所以｜a－b－c｜＋｜b－c－a｜＋｜c－a－b｜＝
b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c＝a＋b＋c．
(2)把a＝10，b＝8，c＝6代入(1)中的式子，
得原式＝10＋8＋6＝24．
21．【解】(1)因为△ABE≌△ACD，所以BE＝CD，
又因为BE＝6，DE＝2，
所以EC＝DC－DE＝BE－DE＝4．
所以BC＝BE＋EC＝10．
(2)因为∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，
所以∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝45°．
又因为△ABE≌△ACD，所以∠BAE＝∠CAD＝45°．
所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝15°．
22．【解】如图所示，△A'B'C'即为所求．
理由：在△ABC和△A'B'C'中，
所以△ABC≌△A'B'C'(ASA)．
23．【解】在△ABE和△CBE中，
所以△ABE≌△CBE(SSS)，
所以∠ABE＝∠CBE，
在△ABD和△CBD中，
所以△ABD≌△CBD(SAS)，
所以AD＝CD．
24．【解】(1)△ABC是直角三角形．
理由如下：因为在△ABC中，CD是AB边上的高，
所以∠CDA＝90°，所以∠CAB＋∠ACD＝90°，
又因为∠CAB＝∠DCB，
所以∠DCB＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°，
所以△ABC是直角三角形．
(2)因为AE是△ABC的角平分线，
所以∠DAF＝∠CAE．
因为∠CDA＝90°，
所以∠DAF＋∠AFD＝90°．
由(1)知∠ACB＝90°，
所以∠CAE＋∠CEF＝90°，所以∠AFD＝∠CEF．
又因为∠AFD＝∠CFE，所以∠CFE＝∠CEF．
25．【解】(1)示意图如图所示．
(2)由题意知∠BAC＝∠D＝90°，
AC＝CD＝30×0．5＝15(m)，
所以DE＝(100－30－30)×0．5＝20(m)．
在△ABC和△DEC中，
所以△ABC≌△DEC(ASA)，
所以AB＝DE＝20m．