七年级数学下学期期末精选易错60题（基础版）
一．选择题（共19小题）
1．（永嘉县校级期末）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ）
A．a3•a5＝a15 B．（﹣a3）2＝a6 C．（2y）3＝6y3 D．a6÷a3＝a2
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a3•a5＝a8，故本选项不合题意；
B、（﹣a3）2＝a6，故本选项符合题意；
C、（2y）3＝8y3，故本选项不合题意；
D、a6÷a3＝a3，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
2．（青山区期末）在下列运算中，计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．x3+x3＝x6 C．3x2•2x＝6x3 D．（2x）3＝6x3
【分析】根据同底数幂的乘法的运算方法，幂的乘方和积的乘方的运算方法，以及合并同类项的方法，逐项判断即可．
【解答】解：A、x2•x3＝x5，故计算错误；
B、x3+x3不是同类项，不能合并，故错误；
C、3x2•2x＝6x3，计算正确；
D、（2x）3＝8x3，计算不正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法的运算方法，幂的乘方和积的乘方的运算方法，以及合并同类项的方法，要熟练掌握．
3．（北仑区期末）若a2+ab＝7+m，b2+ab＝9﹣m．则a+b的值为（ ）
A．±4 B．4 C．±2 D．2
【分析】将两个等式相加即可．
【解答】解：∵a2+ab＝7+m，b2+ab＝9﹣m．
两式相加得：
∴a2+2ab+b2＝16．
∴（a+b）2＝16．
∴a+b＝±4．
故选：A．
【点评】本题考查求代数式的值，构造使用完全平方公式的条件是求解本题的关键．
4．（奉化区校级期末）若a、b、c是正数，下列各式，从左到右的变形不能用如图验证的是（ ）
A．（b+c）2＝b2+2bc+c2
B．a（b+c）＝ab+ac
C．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
D．a2+2ab＝a（a+2b）
【分析】通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式或其它等式做出几何解释即可．
【解答】解：依据①②③④四部分的面积可得，（b+c）2＝b2+2bc+c2，故A能验证；
依据⑤⑥两部分的面积可得，a（b+c）＝ab+ac，故B能验证；
依据整个图形的面积可得，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故C能验证；
图中不存在长为a+2b，宽为a的长方形，故D选项不能验证；
故选：D．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系，即可得到完全平方公式．
5．（越城区期末）下列多项式的乘法可以运用平方差公式计算的是（ ）
A．（2x+3y）（2y﹣3x） B．（﹣2x﹣3y）（2x+3y）
C．（﹣2x+3y）（2x﹣3y） D．（2x﹣3y）（﹣2x﹣3y）
【分析】能利用平方差公式的条件：这是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
【解答】解：能利用平方差公式计算的多项式的特点是：两个两项式相乘，有一项相同，另一项互为相反数．
A、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式．平方差公式的特征：（1）两个二项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构特征是解题的关键．
6．（衢江区校级期末）下面从左到右的变形中，因式分解正确的是（ ）
A．﹣2x2﹣4xy＝﹣2x（x+2y） B．x2+9＝（x+3）2
C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2 D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
【分析】（1）用提取公因式法分解因式；
（2）不能分解因式；
（3）不能分解因式；
（4）是整式的运算．
【解答】解：A、原式＝﹣2x（x+2y），∴符合题意；
B、原式＝x2+9，不能分解因式，∴不符合题意；
C、原式＝x2﹣2x﹣1，不能分解因式，∴不符合题意；
D、原式＝x2﹣4，是整式的运算，∴不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了公式法分解因式，掌握因式分解与整式运算的区别是解题关键．
7．（拱墅区期末）要使分式
有意义，则（ ）
A．x＝±1 B．x≠±1 C．x≠1 D．x≠﹣1
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：要使分式
有意义，
则x+1≠0，
解得，x≠﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
8．（临海市期末）如果把分式
中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．缩小为原来的3倍 B．不变
C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的9倍
【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
＝
，
∴如果把分式
中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值不变，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
9．（宁波期末）下列从左到右的变形正确的是（ ）
A．（﹣a﹣b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．
＝
C．2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2） D．4m2﹣6mn+9n2＝（2m﹣3n）2
【分析】根据平方差公式、分式的基本性质、十字相乘法、完全平方公式分别对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、（﹣a﹣b）（a﹣b）＝﹣a2+b2，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、
＝
，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2），原变形正确，故此选项符合题意；
D、4m2﹣12mn+9n2＝（2m﹣3n）2，4m2﹣6mn+9n2不能在实数范围内因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式、分式的基本性质、十字相乘法、完全平方公式．熟练掌握平方差公式、分式的基本性质、十字相乘法、完全平方公式是解答此题的关键．
10．（奉化区校级期末）下列方程：①x+y＝1；②
；③x2+y2＝1；④5（x+y）＝7（x﹣y）；⑤x2＝1；⑥x+
＝4，其中是二元一次方程的是（ ）
A．① B．①③ C．①②④ D．①②④⑥
【分析】二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
【解答】解：①x+y＝1；②
；④5（x+y）＝7（x﹣y），符合二元一次方程的定义．
③x2+y2＝1属于二元二次方程，故不符合题意；
⑤x2＝1属于一元二次方程，故不符合题意；
⑥x+
＝4属于一元一次方程，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的定义是含有两个未知数且含未知数项的最高次数都为1．
11．（衢江区校级期末）下列各组x，y的值中，是方程2x+y＝4的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】将四个选项分别代入方程，能使方程成立的即是方程的解．反之，则不是方程的解．
【解答】解：A．2×2+1＝5，故选项A不符合题意；
B．1×2+2＝4，故选项B符合题意；
C．﹣1×2+2＝0，故选项C不符合题意；
D．2×2﹣1＝3，故选项D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，根据方程的解的定义，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，若不满足，则不是方程的解．
12．（浦江县期末）已知二元一次方程4x﹣7y＝3．用x的代数式表示y，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】将x看作已知数，y看作未知数，求出y即可．
【解答】解：4x﹣7y＝3，
7y＝4x﹣3，
y＝
．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数，y看作未知数．
13．（诸暨市期末）若方程组
的解也是方程kx+2y＝18的解，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先解方程组，求出x、y的值，把x、y的值代入方程kx+2y＝18中，求出k即可．
【解答】解：
，
①+②，得4x＝20．
∴x＝5．
①﹣②×3，得﹣8y＝﹣32，
∴y＝4．
∵方程组
的解也是方程kx+2y＝18的解，
∴5k+2×4＝18．
∴k＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，题目难度不大，掌握解二元一次方程组的方法是解决本题的关键．
14．（奉化区校级期末）两位同学在解方程组时，甲同学由
正确地解出
，乙同学因把c写错了解得
，则a+b+c的值为（ ）
A．3 B．0 C．1 D．7
【分析】把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求．
【解答】解：把
代入方程组得：由
，
把
代入ax+by＝2得：﹣2a+2b＝2，即﹣a+b＝1，
联立得：
，
解得：
，
由3c+2＝﹣4，得到c＝﹣2，
则a+b+c＝4+5﹣2＝7．
故选：D．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
15．（奉化区校级期末）下列叙述，其中不正确的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同角（或等角）的余角相等
C．同位角相等
D．两点之间的所有连线中，线段最短
【分析】依据直线的性质、线段的性质以及余角、同位角的概念进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A．两点确定一条直线，说法正确；
B．同角（或等角）的余角相等，说法正确；
C．同位角不一定相等，故本选项说法错误；
D．两点之间的所有连线中，线段最短，说法正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了据直线的性质、线段的性质以及余角、同位角的概念，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
16．（萧山区期末）如图，∠B的同位角是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．
【解答】解：∠B与∠3是DE、BC被AB所截而成的同位角，
故选：C．
【点评】本题主要考查了同位角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．同位角的边构成F形，内错角的边构成Z形，同旁内角的边构成U形．
17．（奉化区校级期末）如图，小敏在作业中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小敏的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．其依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．同旁内角互补，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同位角相等，两直线平行
【分析】根据两直线平行，同位角相等求解．
【解答】解：根据两直线平行，同位角相等得到直线a和直线b的夹角与直线b和直线PC的夹角相等．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行．两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
18．（奉化区校级期末）某件事件发生的频率不可能是（ ）
A．1.5 B．1 C．0.99 D．0
【分析】依据频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值，即可得到0≤频率≤1，进而得出结论．
【解答】解：∵频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值，
∴0≤频率≤1，
∴某件事件发生的频率不可能是1.5．
故选：A．
【点评】本题主要考查了频率，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率＝频数÷总数．
19．（婺城区校级期末）小欢为一组数据制作频数分布表，他了解到这组数据的最大值是40，最小值是16，准备分组时取组距为4．为了使数据不落在边界上，他应将这组数据分成（ ）
A．6组 B．7组 C．8组 D．9组
【分析】根据极差与组距的关系可知这组数据的组数．
【解答】解：∵这组数据的最大值是40，最小值是16，分组时取组距为4．
∴极差＝40﹣16＝24．
∵24÷4＝6，
又∵数据不落在边界上，
∴这组数据的组数＝6+1＝7组．
故选：B．
【点评】本题中注意要考虑数据不落在边界上，因而不要错误的认为是分为6组．
二．填空题（共24小题）
20．（上虞区期末）三位先生A、B、C带着他们的妻子a、b、c到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A比b多买9件商品，先生B比a多买7件商品．则先生A的妻子是 c ．
【分析】设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品，列出关于x、y的二元二次方程，再根据x、y都是正整数，且x+y与x﹣y有相同的奇偶性，即可得出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值，再找出符合x﹣y＝9和x﹣y＝7的情况即可进行解答．
【解答】解：设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品．
则有x2﹣y2＝48，即（x十y）（x﹣y）＝48．
∵x、y都是正整数，且x+y与x﹣y有相同的奇偶性，
又∵x+y＞x﹣y，48＝24×2＝12×4＝8×6，
∴
或
或
．
解得x＝13，y＝11或x＝8，y＝4或x＝7，y＝1．
符合x﹣y＝9的只有一种，可见A买了13件商品，b买了4件．
同时符合x﹣y＝7的也只有一种，可知B买了8件，a买了1件．
∴C买了7件，c买了11件．
由此可知三对夫妻的组合是：A、c；B、b；C、a．
故答案为：c．
【点评】本题考查的是非一次不定方程的解及数的奇偶性，根据题意列出关于x、y的不定方程是解答此题的关键．
21．（奉化区校级期末）若2x+y﹣2＝0．则52x•5y＝ 25 ．
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】解：∵2x+y﹣2＝0，
∴52x•5y＝52x+y＝52＝25．
故答案为：25．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
22．（兰考县期末）若4x＝a，8y＝b，则22x﹣3y可表示为 
．（用含a、b的代数式表示）
【分析】逆向运算同底数幂的除法法则，结合幂的乘方运算法则计算即可．同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【解答】解：∵4x＝22x＝a，8y＝23y＝b，
∴22x﹣3y＝22x÷23y＝
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
23．（拱墅区期末）已知3ab•A＝6a2b﹣9ab2，则A＝ 2a﹣3b ．
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．
【解答】解：因为3ab•A＝6a2b﹣9ab2，
所以A＝（6a2b﹣9ab2）÷3ab
＝2a﹣3b．
故答案为：2a﹣3b．
【点评】此题主要考查了整式的运算，正确运用多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
24．（西湖区期末）若x+y＝3，且xy＝1，则代数式（5﹣x）（5﹣y）＝ 11 ．
【分析】利用多项式乘多项式法则，先计算（5﹣x）（5﹣y），再代入求值．
【解答】解：（5﹣x）（5﹣y）
＝25﹣5y﹣5x+xy
＝25﹣5（x+y）+xy
∵x+y＝3，xy＝1，
∴原式＝25﹣5×3+1
＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
25．（奉化区校级期末）下列有四个结论：
①若（1﹣x）x+1＝1，则x＝0；
②若a2+b2＝3，a﹣b＝1，则（2﹣a）（2﹣b）的值为5﹣2
；
③若（x+1）（x2﹣ax+1）的运算结果中不含x项，则a＝1；
④若4x＝a，8y＝b，则24x﹣3y可表示为
其中正确的是（填序号）是： ③④ ．
【分析】根据多项式乘法的法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的除法，零指数进行计算即可得到结论．
【解答】解：①若（1﹣x）x+1＝1，则x可以为﹣1，此时20＝1，故①选项错误；
②∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3﹣2ab＝1，
∴ab＝1，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+4＝5，
∴a+b＝±
，
∴（2﹣a）（2﹣b）＝4﹣2（a+b）+ab＝5±2
，故②选项错误；
③∵（x+1）（x2﹣ax+1）＝x3﹣（1﹣a）x2﹣（a﹣1）x+1，
∵（x+1）（x2﹣ax+1）的运算结果中不含x项，
∴a﹣1＝0，
∴a＝1，故③选项正确；
④∵4x＝a，8y＝b，
∴a＝22x，b＝23y，
∴24x﹣3y＝
，故④选项正确．
故答案为：③④．
【点评】本题综合考查了零次幂、多项式乘法、完全平方公式等基本内容，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．
26．（越城区期末）已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，则ab的值是 3 ．
【分析】直接利用完全平方公式将原式变形得出答案．
【解答】解：∵a+b＝5，（a﹣b）2＝13，
∴a2+b2+2ab＝25①，a2+b2﹣2ab＝13②，
则①﹣②可得：4ab＝12，
所以ab＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确将原式变形是解题的关键．
27．（奉化区校级期末）计算：20202﹣4040×2019+20192＝ 1 ．
【分析】根据完全平方公式，可得答案．
【解答】解：20202﹣4040×2019+20192
＝20202﹣2×2020×2019+20192
＝（2020﹣2019）2
＝12
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了完全平方公式．解题的关键是掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
28．（奉化区校级期末）如图，把三张边长相等的小正方形甲、乙、丙纸片按先后顺序放在一个大正方形ABCD内，丙纸片最后放在最上面．已知小正方形的边长为a，如果斜线阴影部分的面积之和为b，空白部分的面积和为4，那么
的值为 2 ．
【分析】先将乙这个正方形平移至AB边，然后设大正方形边长为x，从而表示出斜线阴影面积为2a（x﹣a）＝b和空白面积为（x﹣a）2＝4，再代入计算即可．
【解答】解：将乙正方形平移至AB边，如图所示：
设AB＝x，
∴乙的宽＝（x﹣a）；甲的宽＝（x﹣a）；
又∵斜线阴影部分的面积之和为b，
∴2a（x﹣a）＝b，
空白部分的面积和为4，
∴（x﹣a）2＝4，
∴x﹣a＝2，
即2a•2＝b，
∴
＝2．
【点评】本题主要考查完全平方式的几何背景，解题关键在于找出甲、乙、丙各自的边长长度．
29．（江干区期末）若多项式4x2+nx+1是完全平方式，则常数n的值为 ±4 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出n的值．
【解答】解：∵4x2+nx+1是完全平方式，
∴4x2+nx+1＝（2x±1）2，
∴nx＝±2•2x•1，
解得n＝±4，
故答案为：±4．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
30．（永嘉县校级期末）已知正方形的面积是9a2+6a+1（a＞0），则该正方形的边长是 3a+1 ．
【分析】正方形面积利用完全平方公式变形，开方即可求出边长．
【解答】解：∵正方形的面积是9a2+6a+1＝（3a+1）2，
∴正方形的边长是3a+1．
故答案为：3a+1．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
31．（永嘉县校级期末）若关于x的多项式x2﹣ax﹣6含有因式x﹣1，则实数a＝ ﹣5 ．
【分析】掌握多项式乘法的基本性质，x﹣1中﹣1与6相乘可得到﹣6，则可知：x2﹣ax﹣6含有因式x﹣1和x+6．
【解答】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6＝x2﹣ax﹣6，
所以a的数值是﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，注意因式分解与整式的运算的综合运用．
32．（奉化区校级期末）已知多项式：①x2+4y2；②﹣
+
；③﹣
﹣
；④3x2﹣4y；其中能运用平方差公式分解因式的是 ② ．（填序号即可）
【分析】利用平方差公式的特点判断即可得到结果．
【解答】解：①x2+4y2不能运用平方差公式分解因式；
②﹣
+
能运用平方差公式分解因式；
③﹣
﹣
不能运用平方差公式分解因式；
④3x2﹣4y不能运用平方差公式分解因式，
则能用平方差公式分解的是②．
故答案为：②．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
33．（绥化）若代数式
的值等于0，则x＝ 2 ．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：由分式的值为零的条件得x2﹣5x+6＝0，2x﹣6≠0，
由x2﹣5x+6＝0，得x＝2或x＝3，
由2x﹣6≠0，得x≠3，
∴x＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查了分式值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
34．（拱墅区期末）计算：（﹣7）0＝ 1 ，8﹣1＝ 
．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则解答即可．
【解答】解：（﹣7）0＝1，
8﹣1＝
．
故答案为：1，
．
【点评】本题考查了零指数幂、负整数指数幂．熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
35．（奉化区校级期末）若
＝0，则x+y的值为 2 ．
【分析】先根据非负数的性质列出关于x、y的二元一次方程组，两个方程相加可解答．
【解答】解：∵
＝0，
∴
，
①+②得：3x+3y﹣6＝0，
∴x+y＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是非负数的性质，解二元一次方程组，利用整体思想是解答此题的关键．
36．（镇海区期末）若关于x的方程
+
＝
无解，则m＝ 3或﹣3或9 ．
【分析】根据分式方程无解，得分母为0或x的系数为0即可求解．
【解答】解：分式方程化简，得
3（x﹣1）+6x＝m（x+1）
整理，得
（9﹣m）x＝3+m
当x＝0时，m＝﹣3；
当x＝1时，m＝3；
当9﹣m＝0时，m＝9．
故答案为：3或﹣3或9．
【点评】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是分式方程化为整式方程后x的系数为0时，原分式方程也无解．
37．（奉化区校级期末）（多选）下列说法中，错误的有 BCE ．
A．两点确定一条直线
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．相等的两个角是对顶角
D．平面内的一条直线和两条平行线中的一条垂直，则它与另一条也垂直
E．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离
【分析】依据直线的性质、对顶角的性质、平行线的性质以及点到直线的距离的概念，即可得出结论．
【解答】解：A．两点确定一条直线，故本选项正确；
B．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项错误；
C．相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误；
D．平面内的一条直线和两条平行线中的一条垂直，则它与另一条也垂直，故本选项正确；
E．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项错误；
故答案为：BCE．
【点评】本题主要考查了直线的性质、对顶角的性质、平行线的性质以及点到直线的距离的概念，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
38．（奉化区校级期末）如图，当∠1＝70°，∠2＝80°时，b至少转 30 度时，b∥a．b至少转 60 度时，b⊥a．
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行，得到需要的度数，然后再计算至少还需要转多少度；计算出目前b与a的垂线的夹角的度数即为至少需要转的度数．
【解答】解：因为∠1＝70°，
所以它的对顶角也等于70°．
当同旁内角互补的时候，b∥a，
因为∠2＝80°，
所以180﹣80＝100（度），
所以至少还需要转100﹣70＝30（度）；
将b顺时针旋转，与a垂直．
90﹣80＝10（度），
所以至少还需要转70﹣10＝60（度）．
故答案为：30，60．
【点评】这道题主要考查平行线的判定定理，垂直的定义，在角度计算这一类题中，要注意运用周角，平角，直角，对顶角的度数．
39．（嵊州市期末）如图，AB∥CD，∠BOC＝100°，BE，CF分别平分∠ABO，∠OCD，则∠2﹣∠1＝ 40° ．
【分析】延长BO，交CD于点M，根据平行线的性质得∠ABM＝∠BMC，然后根据三角形外角性质及平角定义可得∠BOC＝∠ABM+180°﹣∠OCD，再由角平分线定义可得答案．
【解答】解：延长BO，交CD于点M，
∵AB∥CD，
∴∠ABM＝∠BMC，
∵∠BOC＝∠BMC+∠OCM，∠OCM＝180°﹣∠OCD，
∴∠BOC＝∠ABM+180°﹣∠OCD，
∵∠BOC＝100°，BE，CF分别平分∠ABO，∠OCD，
∴∠ABM＝2∠1，∠OCD＝2∠2，
∴100°＝2∠1+180°﹣2∠2，
∴∠2﹣∠1＝40°．
故答案为：40°．
【点评】此题考查的是平行线的性质，利用三角形外角性质得到角的和差关系是解决此题关键．
40．（奉化区校级期末）已知∠A与∠B（0°＜∠A＜180，0°＜∠B＜180°）的两边一边平行，另一边互相垂直，且2∠A﹣∠B＝18°，则∠A的度数为 36或96 °．
【分析】由平行线的性质，垂直的定义和角的和差分别求出∠A为锐角时为36°，钝角时为96°．
【解答】解：若∠DAC是锐角时，过点C
作FC∥AD，如图1所示：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠1+∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝90°，
又∵FC∥AD，
∴∠A＝∠1，
又∵AD∥BE，
∴FC∥BE，
∴∠2＝∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
又∵2∠A﹣∠B＝18°，
∴∠A＝36°；
若∠DAC是钝角时．过点C
作FC∥AD，如图2所示：
同理可得：∠1+∠2＝90°，
∵CF∥AD，
∴∠A+∠1＝180°，
又∵AD∥BE，
∴CF∥BE，
∴∠2+∠B＝180°，
∴∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，
∴∠A+∠B＝270°，
又∵2∠A﹣∠B＝18°，
∴∠A＝96°；
当∠DBC为钝角时，如图3，
同理可得，∠B﹣∠A＝90°，
而2∠A﹣∠B＝18°，
解得∠A＝108°（舍去不符合题意），
综合所述：∠A的度数为36°或96°，
故答案为36或96．
【点评】本题综合考查了平行线的性质，垂直的定义，角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是分类求角的大小和作辅助线．
41．（奉化区校级期末）如图，线段AB＝CD，AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是 AC+BD≥AB ．
【分析】根据三角形的三边关系，及平移的基本性质可得．
【解答】解：由平移的性质知，AB与CE平行且相等，
∴四边形ACEB是平行四边形，BE＝AC，
当B、D、E不共线时，
∵AB∥CE，∠DCE＝∠AOC＝60°，
∴AB＝CE，AB＝CD，
∴CE＝CD，
∴△CED是等边三角形，
∴DE＝AB，
根据三角形的三边关系知：BE+BD＝AC+BD＞DE＝AB，
即AC+BD＞AB．
当D、B、E共线时，AC+BD＝AB．
故答案为：AC+BD≥AB．
【点评】本题考查了三角形的三边关系；平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
42．（奉化区校级期末）如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为 30 ．
【分析】由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．
【解答】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，
故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB＝30．
故答案为：30．
【点评】主要考查了平移的性质，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．
43．（成武县期末）某班级有45名学生在期中考试学情分析中，分数段在70～79分的频率为0.4，则该班级在这个分数段内的学生有 18 人．
【分析】根据频率公式：频率＝
即可求解．
【解答】解：45×0.4＝18（人），
所以该班级在这个分数段内的学生有18人．
故答案为：18．
【点评】本题考查了频率的计算公式，理解公式是解题的关键．
三．解答题（共17小题）
44．（奉化区校级期末）（1）已知a+4＝﹣3b，求3a×27b的值；
（2）已知3m＝6，9n＝2，求32m﹣4n的值．
【分析】（1）由a+4＝﹣3b可得a+3b＝﹣4，再根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可；
（2）根据同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：（1）因为a+4＝﹣3b，
所以a+3b＝﹣4，
所以3a×27b＝3a×33b＝3a+3b＝3﹣4＝
；
（2）因为3m＝6，9n＝2，
所以32n＝2，
所以32m﹣4n＝（3m）2÷（32n）2＝62÷22＝36÷4＝9．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
45．（鄞州区校级期末）已知（n﹣2020）2+（2021﹣n）2＝3，求（n﹣2020）（2021﹣n）的值．
【分析】利用完全平方公式和整体代入，用多项式乘多项式法则求解即可．
【解答】解：令n﹣2020＝a，2021﹣n＝b，
根据题意得：
a2+b2＝3，a+b＝1，
∴原式＝ab
＝
＝
＝﹣1．
【点评】这道题考查的是完全平方公式和多项式乘多项式，熟记完全平方公式和多项式乘多项式法则是解题的基础．
46．（奉化区校级期末）计算：
（1）﹣12+（﹣
）﹣2+（
﹣π）0；
（2）20192﹣2018×2022．
【分析】（1）根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的计算法则计算即可求解；
（2）利用平方差公式进行解答．
【解答】解：（1）﹣12+（﹣
）﹣2+（
﹣π）0
＝﹣1+4+1
＝4；
（2）20192﹣2018×2022
＝20192﹣（2020﹣2）×（2020+2）
＝20192﹣20202+4
＝（2019﹣2020）（2019+2020）+4
＝﹣4039+4
＝﹣4035．
【点评】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂和平方差公式．解题的关键是掌握有理数的乘方的运算方法，负整数指数幂、零指数幂的意义，平方差公式的运用．
47．（奉化区校级期末）（1）
；
（2）x2•x6﹣（﹣2x4）2+5x13÷x5
（3）（a﹣b）2•（b﹣a）5÷[﹣（a﹣b）3]；
（4）（2m﹣4n）（4m+2n）．
【分析】（1）先算乘方，再算加减．
（2）先算乘方，再算乘积，最后算加减．
（3）先化同底，再计算．
（4）先算乘积，再算加减．
【解答】解：（1）原式＝﹣4+4﹣1
＝﹣1
（2）原式＝x8﹣4x8+5x8
＝（1﹣4+5）x8
＝2x8．
（3）原式＝﹣（a﹣b）2（a﹣b）5÷[﹣（a﹣b）3]
＝（a﹣b）4．
（4）原式＝8m2+4mn﹣16mn﹣8n2
＝8m2﹣12mn﹣8n2．
【点评】本题考查实数和整式的混合计算，理清运算顺序是求解本题的关键．
48．（奉化区校级期末）因为（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，所以（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3，这说明x2+x﹣6能被x﹣2整除，同时也说明x2+x﹣6有一个因式是x﹣2时，因式x﹣2为0，那么多项式x2+x﹣6的值也为0，利用上面的结果求解：
（1）多项式A能被x+4整除，商为2x﹣1，求多项式A；
（2）已知x﹣2能整除x2+kx﹣14，求k的值．
【分析】（1）根据被除式、除式、商的关系，可得算式（x+4）（2x﹣1），然后计算即可得到答案；
（2）根据上面得出的结论，当x＝2时，x2+kx﹣14＝0，再求出k的值即可．
【解答】解：（1）由题意，得，
A＝（x+4）（2x﹣1）＝2x2﹣x+8x﹣4＝2x2+7x﹣4；
（2）∵x﹣2能整除x2+kx﹣14，
∴当x﹣2＝0时，x2+kx﹣14＝0，
当x＝2时，x2+kx﹣14＝4+2k﹣14＝0，
解得：k＝5．
【点评】此题考查了因式分解的应用，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键．
49．（奉化区校级期末）（1）分解因式：（m﹣1）3﹣2（m﹣1）2+（m﹣1）；
（2）利用分解因式计算：13（1﹣52）（54+1）（58+1）（516+1）．
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方差公式分解因式即可；
（2）把13化为
26＝
（1+52），然后再依次运用平方差公式即可．
【解答】解：（1）（m﹣1）3﹣2（m﹣1）2+（m﹣1）＝（m﹣1）[（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+1]＝（m﹣1）（m﹣1+1）2＝（m﹣1）（m﹣2）2；
（2）13（1﹣52）（54+1）（58+1）（516+1）＝
（1+52）（1﹣52）（54+1）（58+1）（516+1）＝﹣
（52﹣1）（54+1）（58+1）（516+1）＝﹣
（516﹣1）（516+1）＝﹣
（532﹣1）．
【点评】此题考查的是因式分解的应用，掌握提公因式法和公式法进行计算是解决此题的关键．
50．（奉化区校级期末）（1）分解因式：3x2y﹣6xy+3y；
（2）化简：
．
【分析】（1）先题公因式，再用公式分解．
（2）先算括号内，再算括号外．
【解答】解：（1）原式＝3y（x2﹣2x+1）
＝3y（x﹣1）2．
（2）原式＝（
+
）×
＝
×
＝
．
【点评】本题考查因式分解和分式混合运算，根据整式特征选择因式分解的方法，搞清混合运算的顺序是求解本题的关键．
51．（奉化区校级期末）计算：
（1）（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）．
（2）（
﹣a﹣3）÷
+
．
【分析】（1）先算乘方，再算乘积，最后算加减．
（2）先算括号内，再算括号外．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2．
＝2x2﹣4xy．
（2）原式＝（
﹣
）÷
+
．
＝
×
+
＝
×
+
＝﹣
+
＝﹣
【点评】本题考查整式和分式的混合计算，分清计算顺序是求解本题的关键．
52．（沙坪坝区校级模拟）计算：
（1）2m（m+n）+（m﹣n）（m+n）；
（2）
÷（x﹣2﹣
）．
【分析】（1）去括号，合并同类项即可．
（2）先算括号内，再算括号外．
【解答】解：（1）原式＝2m2+2mn+m2﹣n2
＝3m2+2mn﹣n2．
（2）原式＝
÷（
﹣
）
＝
÷
＝
×
＝
．
【点评】本题考查整式和分式的混合运算，搞清运算顺序是求解本题的关键．
53．（习水县模拟）先化简，再求值：（a﹣1﹣
）÷
，请在﹣
＜a＜
的范围内选择一个合适的整数代入求值．
【分析】先计算括号内的，把（a﹣1）当作一个整体，分母为1，与
进行通分运算，并把运算的结果进行因式分解，
的分子进行因式分解，化为
，与括号内的运算结果，先约分，再进行运算，最后找到
与
的整数部分，对两个无理数进行估算，可以确定能够代值的整数有﹣1，0，1，2四个，但是分母不能为0，所以a只能取0或1，任意选择一个进行代值运算．
【解答】解：原式＝
＝
＝
，
∵
，且a为整数，
∴a＝﹣1，0，1，2，
又∵分母不能为0，
∴a＝0或1，
当a＝0时，原式＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的运算，有三个难点，一个难点是整式与分式加减，需把整式当作分母为1，第二个难点就是估算无理数的大小，尤其是
的范围，关键是找到各个无理数的整数部分，第三个难点就是设置了分母不能为0的这个陷阱，题目只能代入0或1．
54．（奉化区校级期末）已知关于x，y的方程组
的解满足4x+y＝3，求m的值．
【分析】根据等式的性质，二元一次方程组的解法即可得到答案．
【解答】解：由题意可得
，
解得
，
将
代入mx+（m﹣1）y＝3，得
m+
（m﹣1）＝3，
解得
．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，能够正确利用等式的性质解二元一次方程组是解题的关键．
55．（奉化区校级期末）解方程组：
（1）
；
（2）
．
【分析】（1）先化简，再加减消元求解．
（2）先化简，再加减消元化简．
【解答】解：（1）原方程组去分母，去括号得：
．
①×3﹣②×2得：9x+6y﹣8x﹣6y＝﹣60﹣14．
∴x＝﹣74．
代入①得：y＝101．
∴原方程组的解为：
．
（2）原方程组去分母，去括号得：
．
①×2+②得：﹣2x+14y+2x+y＝8+3．
∴y＝
．
代入②得：x＝
．
∴原方程组的解为：
．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，正确去分母，去括号化简方程是求解本题的关键．
56．（奉化区校级期末）解答下列各题：
（1）解方程：
+1＝
．
（2）已知x﹣3y＝0，求分式
的值．
【分析】（1）先把方程两边乘以（x﹣1）（x+1）得到整式方程，然后解整式方程后进行检验确定原方程的解；
（2）把x＝3y代入分式，然后计算分子、分母后约分即可．
【解答】解：（1）去分母得﹣2（x+1）+（x﹣1）（x+1）＝x（x﹣1），
解得x＝﹣3，
经检验，原方程的解为x＝﹣3；
（2）∵x﹣3y＝0，
∴x＝3y，
∴原式＝
＝
．
【点评】本题考查了解分式方程：掌握解分式方程的步骤（去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论）．也考查了解二元一次方程组．
57．（长兴县模拟）解方程
﹣2．
【分析】观察可得最简公分母是（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘（x﹣3），得：2﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3），
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，（x﹣3）＝0，
∴x＝3是原分式方程的增根，原分式方程无解．
【点评】此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
58．（马山县模拟）解方程：
．
【分析】此方程的分式中的分母互为相反数，还有一常数﹣1，去分母时不要漏乘．
【解答】解：方程两边都乘以（2x﹣1），得x﹣（2x﹣1）＝﹣3，
解得x＝4．
检验：当x＝4时，2x﹣1＝7≠0，
x＝4是原方程的解．
【点评】此题难度适中，其中的方法和转化思想，有利于学生巩固基础知识．
59．（奉化区校级期末）用如图所示的甲，乙，丙三块木板做一个长，宽，高分别为3a（cm），2a（cm）和20cm的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板锯成两块刚好能做箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计）．
（1）用含a的代数式分别表示甲，乙，丙三块木板的面积（代数式要求化简）；
（2）如果购买一块长12a（cm），宽120cm的长方形木板做这个箱子，那么只需用去这块木板的几分之几（用含a的代数式表示）？如果a＝20呢？
【分析】（1）根据长方体的面积＝长×宽，代入计算即可求解；
（2）求出长12a厘米，宽120厘米的长方形木板的面积，进一步求得用去这块木板的几分之几；代入当a＝20时求出这个数值．
【解答】解：（1）由题意得：
甲木板的面积：3a×2a+3a×20＝（6a2+60a）（cm2），
乙木板的面积：3a×20+2a×20＝100a（cm2），
丙木板的面积：3a×2a+2a×20＝（6a2+40a）（cm2）；
（2）长12acm，宽120cm的长方形木板的面积：12a×120＝1440a，
＝
，
当a＝20时，
＝
＝
．
答：需用去这块木板的
，当a＝20时，用去这块木板的
．
【点评】此题考查了列代数式，以及代数式求值，掌握长方体的表面积计算公式是解决问题的关键．
60．（奉化区校级期末）如图，∠A+∠ABC＝180°，BD⊥CD于点D，EF⊥CD于点F．
（1）请说明AD∥BC的理由；
（2）若∠ADB＝45°，求∠FEC的度数．
【分析】（1）由∠由旁内角A+∠ABC＝180°判定两直线AD∥BC；
（2）根据平行线的判定与性质，等量代换求得∠FEC＝45°．
【解答】解：如图所示：
（1）AD∥BC的理由如下：
∵∠A+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
又∵∠ADB＝45°，
∴∠DBC＝45°，
又∵BD⊥CD．EF⊥CD，
∴BD∥EF，
∴∠DBC＝∠FEC，
∴∠FEC＝45°．
【点评】本题综合考查了平行线判定与性质，垂直的定义，等量代换相关知识，重点掌握平行线判定与性质，难点利用平行线判定与性质，三角形的内角和定理，一题多解求角度的大小．