专题01平行线的判定与性质压轴题四种模型全攻略

【类型一平行线的判定与性质问题】

例1．（云南峨山·七年级期末）如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．

（1）BF与DE平行吗？请说明理由；

（2）若DE垂直于AC，∠AFG =60°，求∠2的度数．

【答案】（1）平行，见解析；（2）150°．

【解析】

【分析】

（1）根据同位角相等两直线平行，得到GF//BC，再利用两直线平行，内错角相等，解得∠1＝∠FBC，最后根据同旁内角互补，两直线平行解题即可；

（2）由BF//DE，DE垂直于AC，可证得∠AFB＝90°，结合题意，可解得∠1的度数，再由∠1＝∠FBC，两直线平行，同旁内角互补，即可解得∠2的度数．

【详解】

(1)解：平行．

理由：

∴∠AGF＝∠ABC

∴GF//BC，

∴∠1＝∠FBC

∵∠1+∠2＝180°

∴∠2+∠FBC＝180°，

∴BF//DE；

(2)∵DE垂直于AC

∴∠AED=90°，

由（1）知BF//DE

∴∠AFB＝90°

∵∠AFG＝60°，

∴∠1＝30°，

由（1）知∠1＝∠FBC

∴∠FBC=30°

∵BF//DE

∴∠2=180°－∠FBC＝180°－30°＝150°.

【点睛】

本题考查平行线的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

【变式训练1】（广东揭西·八年级期末）如图，已知AC∥FE，∠1＋∠2＝180°

(1)求证：∠FAB＝∠BDC；

(2)若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．

【答案】(1)见解析

(2)50°

【解析】

【分析】

（1）由已知可证得∠2=∠FAC，根据平行线的判定得到FA∥CD，根据平行线的性质即可得到∠FAB=∠BDC；

（2）根据角平分线的定义得到∠FAD=2∠FAC，即∠FAD=2∠2，由平行线的性质可求得∠2，再平行线的判定和性质定理求出∠ACB，继而求出∠BCD．

(1)

证明：∵AC∥EF，

∴∠1+∠FAC=180°，

又∵∠1+∠2=180°，

∴∠FAC=∠2，

∴FA∥CD，

∴∠FAB=∠BDC；

(2)

解：∵AC平分∠FAD，

∴∠FAC=∠CAD，∠FAD=2∠FAC，

由（1）知∠FAC=∠2，

∴∠FAD=2∠2，

∴∠2= ∠FAD，

∵∠FAD=80°，

∴∠2= ×80°=40°，

∵EF⊥BE，AC∥EF，

∴AC⊥BE，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCD=90° ∠2=50°．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义求出∠2是解题的关键．

【变式训练2】（湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期末）如图，已知EF AB，∠DEF=∠A．

(1)求证：DE AC；

(2)若CD平分∠ACB，∠BED=60°，求∠ACD的度数．

【答案】(1)见解析

(2)30°

【解析】

【分析】

（1）根据EF AB，可得∠BDE=∠DEF，又∠DEF=∠A等量代换可得∠BDE=∠A，进而可得DE AC；

（2）根据（1）的结论可得 ，根据角平分线的定义即可求得∠ACD的度数．

(1)

∵EF AB，

∴∠BDE=∠DEF，

又∠DEF=∠A

∴∠BDE=∠A，

∴DE AC；

(2)

DE AC，∠BED=60°，

CD平分∠ACB，

【点睛】

本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的意义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．

【变式训练3】（山东潍坊·八年级期中）如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1=∠2=60°，DC是∠NDE的平分线

（1）AB与DE平行吗？请说明理由；

（2）试说明∠ABC=∠C；

（3）试说明BD是∠ABC的平分线．

【答案】（1）AB∥DE，理由见解析，（2）见解析，（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）首先根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等即可证得∠ABC＝∠1＝60°，进而证明∠ABC＝∠2，根据同位角相等，两直线平行，即可证得；

（2）根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补求得∠NDE的度数，然后根据角平分线的定义，以及平行线的性质即可求得∠C的度数，从而判断；

（3）先求得∠ADB的度数，根据平行求出∠DBC的度数，然后求得∠ABD的度数，即可证得．

【详解】

解：（1）AB∥DE，理由如下：

∵MN∥BC，（已知）

∴∠ABC＝∠1＝60°．（两直线平行，内错角相等）

又∵∠1＝∠2，（已知）

∴∠ABC＝∠2．（等量代换）

∴AB∥DE．（同位角相等，两直线平行）；

（2）∵MN∥BC，

∴∠NDE+∠2＝180°，

∴∠NDE＝180°﹣∠2＝180°﹣60°＝120°．

∵DC是∠NDE的平分线，

∴∠EDC＝∠NDC＝ ∠NDE＝60°．

∵MN∥BC，

∴∠C＝∠NDC＝60°．

∴∠ABC＝∠C．

（3）∠ADC＝180°﹣∠NDC＝180°﹣60°＝120°，

∵BD⊥DC，

∴∠BDC＝90°．

∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝120°﹣90°＝30°．

∵MN∥BC，

∴∠DBC＝∠ADB＝30°．

∵∠ABC＝∠C＝60°．

∴∠ABD＝30°

∴∠ABD＝∠DBC＝ ∠ABC．

∴BD是∠ABC的平分线．

【点睛】

本题考查了平行线的性质和判定定理，垂线的性质，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定进行推理证明和计算．

【类型二含一个拐点模型】

例2．如图1，已知AB∥CD，直线AB、CD把平面分成①、②、③三个区域（直线AB、CD不属于①、②、③中任何一个区域）．点P是直线AB、CD、AC外一点，联结PA、PC，可得∠PAB、∠PCD、∠APC．

(1)如图2，当点P位于第①区域一位置时，请填写∠APC＝∠PAB+∠PCD的理由．

解：过点P作PE//AB，

因为AB//CD，PE//AB，

所以PE//CD（　　）．

因为PE//AB，

所以∠APE＝∠PAB（　　）．

同理∠CPE＝∠PCD．

因此∠APE+∠CPE＝∠PAB+∠PCD．

即∠APC＝∠PAB+∠PCD．

(2)在第（1）小题中改变点P的位置，如图3所示，求∠APC+∠PAB+∠PCD等于多少度？为什么？

(3)当点P在第②区域时，∠PAB、∠PCD、∠APC有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出相应的结论．

【答案】(1)平行的传递性；两直线平行，内错角相等；

(2)360°，理由见解析；

(3)∠PCD =∠PAB+∠APC，见解析．

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的性质解题；

（2）过点P作PE//AB，由两直线平行，同旁内角相等解得∠APE+∠PAB=180°，∠EPC+∠PCD=180°，再根据∠APC+∠PAB+∠PCD=∠APE+∠EPC+∠PAB+∠PCD解题；

（3）根据题意，画出图形，再由两直线平行，内错角相等得到∠APE=∠PAB，∠PCD=∠CPE，结合∠CPE=∠APE+∠APC解题．

(1)

解：因为AB//CD，PE//AB，

所以PE//CD(平行的传递性)

因为PE//AB，

所以∠APE＝∠PAB（两直线平行，内错角相等）．

故答案为：平行的传递性；两直线平行，内错角相等；

(2)

∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，

见解析：

过点P作PE//AB，

所以∠APE+∠PAB=180°，

因为PE//CD，

所以∠EPC+∠PCD=180°，

所以∠APC+∠PAB+∠PCD=∠APE+∠EPC+∠PAB+∠PCD=180°+180°=360°；

(3)

∠PCD =∠PAB+∠APC，理由如下，

当点P在第②区域时，如图，

过点P作PE//AB，

所以∠APE=∠PAB，

因为PE//CD，

所以∠PCD=∠CPE

因为∠CPE=∠APE+∠APC

所以∠PCD =∠PAB+∠APC．

【点睛】

本题考查平行线的拐角问题、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

【变式训练1】如图所示，AB∥CD，分别写出下面四个图形中∠A与∠P，∠C的数量关系，请你从所得到的关系中任选一图的结论加以说明．

【答案】（1）∠A+∠C＝∠P；（2）∠A+∠P+∠C＝360°；（3）∠A＝∠P+∠C；（4）∠C＝∠P+∠A，证明见解析

【解析】

【分析】

（1）作PE∥AB，利用两直线平行内错角相等证明即可；

（2）作PE∥AB，利用两直线平行同旁内角互补证明即可；

（3）作PH∥AB，利用两直线平行同旁内角互补证明即可；

（4）作PE∥AB，利用两直线平行内错角相等证明即可；

【详解】

解：（1）∠A+∠C＝∠P；证明如下：

如图所示，作PE∥AB，则PE∥CD，

∴∠A=∠1，∠C=∠2，

∵∠APC=∠1+∠2，

∴∠APC=∠A+∠C，

即：∠A+∠C＝∠P；

（2）∠A+∠P+∠C＝360°；证明如下：

如图所示，作PE∥AB，则PE∥CD，

∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，

∴∠A+∠C+∠1+∠2=360°，

∵∠APC=∠1+∠2，

∴∠A+∠C+∠APC=360°，

即：∠A+∠P+∠C＝360°；

（3）∠A＝∠P+∠C；证明如下：

如图所示，作PH∥AB，则PH∥CD，

∴∠HPA＋∠A＝180°，

∴∠HPA＝180°－∠A，

∵∠HPA＋∠APC＋∠C＝180°，

∴180°－∠A＋∠P＋∠C＝180°，

即：∠A＝∠P+∠C；

（4）∠C＝∠P+∠A；证明如下：

如图所示，作PE∥AB，则PE∥CD，

∴∠EPC=∠C，∠EPA=∠A，

∵∠APC=∠EPC－∠EPA，

∴∠APC=∠C－∠A，

即：∠C＝∠P+∠A．

【点睛】

本题考查平行线的性质运用，理解并熟练运用平行线的性质，灵活构造辅助线是解题关键．

【变式训练2】感知与填空：如图①，直线AB∥CD．求证：∠B+∠D=∠BED．

证明：过点E作直线EF∥CD，

∠2=______，（）

AB∥CD(已知），EF∥CD

_____∥EF，（）

∠B=∠1，（）

∠1+∠2=∠BED，

∠B+∠D=∠BED，（）

方法与实践：如图②，直线AB∥CD．若∠D=53°，∠B=22°，则∠E=______度．

【答案】∠D；两直线平行，内错角相等；AB；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；31．

【解析】

【分析】

过点E作直线EF//CD，由两直线平行，内错角相等得出∠2=∠D；由两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行得出AB//EF；由两直线平行，内错角相等得出∠B=∠1；由∠1+∠2=∠BED，等量代换得出∠B+∠D=∠BED；方法与实践：如图②，由平行的性质可得∠BOD=∠D=53°，然后再根据三角形外角的性质解答即可

【详解】

解：过点E作直线EF∥CD，

∠2=∠D，（两直线平行，内错角相等）

AB∥CD(已知），EF∥CD

AB//EF，（两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

∠B=∠1，（两直线平行，内错角相等）

∠1+∠2=∠BED，

∠B+∠D=∠BED，（等量代换）

方法与实践：如图②，

∵直线AB∥CD

∴∠BOD=∠D=53°

∵∠BOD=∠E+∠B

∴∠E=∠BOD-∠B=53°- 22°=31°．

故答案依次为：∠D；两直线平行，内错角相等；AB；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；31．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理等知识点；熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．

【变式训练3】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．

（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；

（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为　　．

（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+ ∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．

【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．

【解析】

【分析】

（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；

（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；

（3）先证明∠NOD= ∠PAB，∠ODN= ∠PDC，利用（2）的结论即可求解．

【详解】

解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，

过点P作PQ∥AB，

∴∠A=∠APQ=50°，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，

∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；

（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，

如图，作PQ∥AB，

∴∠PAB=∠APQ，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，

∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，

∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；

∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；

(3)设PD交AN于O，如图，

∵AP⊥PD，

∴∠APO=90°，

由题知∠PAN+ ∠PAB=∠APD，即∠PAN+ ∠PAB=90°，

又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，

∴∠POA= ∠PAB，

∵∠POA=∠NOD，

∴∠NOD= ∠PAB，

∵DN平分∠PDC，

∴∠ODN= ∠PDC，

∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°- (∠PAB+∠PDC)，

由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，

∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，

∴∠AND=180°- (∠PAB+∠PDC)

=180°- (180°+∠APD)

=180°- (180°+90°)

=45°，

即∠AND=45°．

【点睛】

本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

【类型三含两个或多个拐点模型】

例3．如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（）

A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E

C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°

【答案】C

【解析】

【分析】

如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据平行线的性质可得∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，根据AB∥EF可得CG∥DH，根据平行线的性质可得∠CDH＝∠DCG，进而根据角的和差关系即可得答案．

【详解】

如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，

∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，

∵AB∥EF，

∴CG∥DH，

∴∠CDH＝∠DCG，

∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E），

∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°．

故选：C．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．

【变式训练1】如图，AB CD，∠ABE＝ ∠EBF，∠DCE＝ ∠ECF，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（　　）

A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360°

C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°

【答案】A

【解析】

【分析】

过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，根据已知条件得出∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，求出AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，求出α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，再求出答案即可．

【详解】

解：过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，

∵∠ABE＝ ∠EBF，∠DCE＝ ∠ECF，∠ABE＝α，

∴∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，

∵AB∥CD，

∴AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，

∴∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，

∴∠ABE+∠ECD＝∠BEN+∠CEN＝∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF＝180°+180°＝360°，

即α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，

∴∠ECD＝β﹣α，

∴3α+γ+4（β﹣α）＝360°，

即4β﹣α+γ＝360°，

故选A．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．

【变式训练2】综合与探究

问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：

如图1， ， ， ，求 的度数．

小康的解法如下：

解：如图1，过点P作 ．

∵ ，

∴ （根据1）．

∵ ，

∴ （根据2）．

……

(1)①小康的解法中的根据1是指_______________；②根据2是指______________．

(2)按照上面小康的解题思路，完成小康剩余的解题过程．

(3)聪明的小明在图1的基础上，将图1变为图2，其中 ， ， ， ，求 的度数．

【答案】(1)①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；②两直线平行，同旁内角互补

(2)

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的性质和判定即可的得出答案；

（2）过点P作 得 ，根据 ，得 ，即知 ，从而得出答案；

（3）过点P作 ，过点 作 ，从而得出 ，再根据平行线的性质即可得出答案；

(1)

解：①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．

②两直线平行，同旁内角互补．

(2)

解：∵ ，∴ ．

∵ ， ，

∴ ．

(3)

解：如图，过点P作 ，过点 作 ．

∵ ，

∴ ，

∴ ， ， ．

∵ ， ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

【点睛】

本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是作平行线，利用平行线的性质转化角．

【变式训练3】如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．

(1)若∠1=135°，∠2=155°，试猜想∠P=______．

(2)在图①中探究∠1，∠P，∠2之间的数量关系，并证明你的结论．

(3)将图①变为图②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．

【答案】(1)70°；

(2)∠EPF+(∠1+∠2) =360°，理由见解析；

(3)∠PGF的度数为140°．

【解析】

【分析】

（1）过点P作PQ∥AB，由平行线的性质得到∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，进一步计算即可求得∠EPF的度数；

（2）同（1）法即可求得∠EPF+(∠1+∠2) =360°；

（3）过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，由平行线的性质即可求解．

(1)

解：过点P作PQ∥AB，

∴∠1+∠EPQ=180°，

∵∠1=135°，

∴∠EPQ=180°-∠1=45°，

∵AB∥CD，

∴PQ∥AB∥CD，

∴∠2+∠FPQ=180°，

∵∠2=155°，

∴∠FPQ=180°-∠2=25°，

∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=70°；

故答案为：70°；

(2)

解：∠EPF+(∠1+∠2) =360°，理由如下：

过点P作PQ∥AB，

∵AB∥CD，

∴PQ∥AB∥CD，

∴∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，

即∠EPQ=180°-∠1，∠FPQ=180°-∠2，

∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=360°-(∠1+∠2)；

即∠EPF+(∠1+∠2) =360°；

(3)

解：过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，

∵AB∥CD，

∴PQ∥AB∥GH∥CD，

∴∠1+∠3=180°，∠4+∠5=180°，∠6+∠2=180°，

∴∠1+∠3+∠4+∠5+∠6+∠2=540°，

∵∠EPG=75°，

∴∠3+∠4=75°，

∵∠1+∠2=325°，

∴∠5+∠6=540°-(∠1+∠2)-(∠3+∠4)= 540°-325°-75°=140°．

∴∠PGF的度数为140°．

．

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．

【类型四生活中应用模型】

例4.潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，如图1，光线经过镜子反射时， ， ，那么 和 有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？先画几何图形，如图2，再写已知未知．

如图， ，

（1）猜想 和 有什么关系，并进行证明；

（2）求证： ．

【答案】（1） ，证明见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据两面镜子是互相平行放置的可知 ，再根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可直接证明 ．

（2）结合题意可证明 ，再由 ， ，即可证明 ，最后由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行），即可证明 ．

【详解】

解：（1）根据题意可知 ，

∴ （两直线平行，内错角相等）.

（2）∵ ，

∴ ；

∵ ， ，

∴ ，

∴ （内错角相等，两直线平行）．

【点睛】

本题考查平行线的判定与性质在生活中的应用．掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键．

【变式训练1】（1）若组成 和 的两条边互相平行，且 是 的2倍小 ，求 的度数．

（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁 始终平行于 与上拉杆 形成的 ，主柱 垂直于地面，通过调整 和后拉杆 的位置来调整篮筐的高度．当 时，点H，D，B在同一直线上，求 的度数．

【答案】（1）15°或115°；（2）120°

【解析】

【分析】

（1）根据∠1，∠2的两边分别平行，所以∠1，∠2相等或互补列出方程求解则得到答案．

（2）过D点作DI∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI=35°，根据平角的定义可求∠ADB=30°，根据直角三角形的性质可求∠ABH=60°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H．

【详解】

解：（1）①当∠1=∠2时，

∵∠1=2∠2-15°，

∴∠1=2∠1-15°，

解得∠1=15°；

②当∠1+∠2=180°时，

∵∠1=2∠2-15°，

∴∠2+2∠2-15°=180°，

解得∠2=65°，

∴∠1=180°-∠2=115°；

（2）过D点作DI∥EF，

∵∠F=145°，

∴∠FDI=35°，

∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°，

∴∠ABH=90°-30°=60°．

∵GH∥AB，

∴∠H=180°-60°=120°．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补； 两直线平行，内错角相等．

【变式训练2】如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E．

（1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数；

（2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系．

【答案】（1）画图见解析，135°；（2）∠DMN-∠CDM=45°

【解析】

【分析】

（1）补全DE∥AB即可，过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，则l∥m，由平行线性质可得到∠CDH=45°，又∠HDE=90°，从而可得∠CDE的度数；

（2）设∠DMN=x，∠CDM=y，由于DE∥FN，所以∠EDM=180°-x．∠CDM=y=135°-（180°-x）=x-45°，则x-y=45°，从而得∠DMN-∠CDM=45°．

【详解】

解：（1）补全施工路线如图1所示．过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，

则l∥m，

根据平行线的性质可得：∠BCG=25°，∠CDH=∠GCD=70°-∠BCG=70°-25°=45°，

又∠HDE=90°，

∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=45°+90°=135°．

（2）如图所示，

设∠DMN=x，∠CDM=y，

由于DE∥FN，

∴∠EDM=180°-∠DMN=180°-x，

又∠CDM=y=∠CDE-∠EDM=135°-（180°-x）=x-45°，

则x-y=45°，

即∠DMN-∠CDM=45°．

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，作出正确的辅助线以及得到∠CDF=135°是解题的关键．

【变式训练3】实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．

（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=38°，则∠2=　　°，∠3=　　°．

（2）在（1）中，若∠1=55°，则∠3=　　°；若∠1=40°，则∠3=　　°．

（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=　　°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．你能说明理由吗？

【答案】（1）76°，90°；（2）90°，90°（3）90°．

【解析】

【分析】

（1）根据平面镜反射光线的规律，可得∠1=∠5，∠7=∠6，根据平角的定义可得∠4=104°，根据m∥n，所以∠2=76°，∠5=38°，根据三角形内角和为180°，即可求出答案；

（2）结合题（1）可得∠3的度数都是90°；

（3）证明m∥n，由∠3=90°，证得∠2与∠4互补即可．

【详解】

（1）由平面镜反射光线的规律可得：∠1=∠5，∠7=∠6．

又∵∠1=38°，∴∠5=38°，∴∠4=180°﹣∠1﹣∠5=104°．

∵m∥n，∴∠2=180°﹣∠4=76°，∴∠6=（180°﹣76°）÷2=52°，∴∠3=180°﹣∠6﹣∠5=90°；

（2）同（1）可得当∠1=55°和∠1=40°时，∠3的度数都是90°；

（3）∵∠3=90°，∴∠6+∠5=90°，又由题意知∠1=∠5，∠7=∠6，∴∠2+∠4=180°﹣（∠7+∠6）+180°﹣（∠1+∠5）=360°﹣2∠5﹣2∠6=360°﹣2（∠5+∠6）=180°．

由同旁内角互补，两直线平行，可知：m∥n．

故答案为76°，90°，90°，90°90°．

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，本题是数学知识与物理知识的有机结合，充分体现了各学科之间的渗透性．

【课后训练】

1．（福建·泉州五中七年级期末）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法不正确的是（）

A． 1与 5是同位角 B． 3与 6是同旁内角

C． 2与 4是对顶角 D． 5与 2是内错角

【答案】D

【解析】

【分析】

根据同位角、对顶角、同旁内角以及内错角的定义对各选项作出判断即可．

【详解】

解：A、∠1与∠5是同位角，故本选项不符合题意；

B、∠3与∠6是同旁内角，故本选项不符合题意．

C、∠2与∠4是对顶角，故本选项不符合题意；

D、∠5与 2不是内错角，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了同位角、对顶角、同旁内角、内错角的定义，解答此题的关键是确定三线八角，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．

2．（江苏·开明中学九年级期末）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝52°，则∠2的度数是（　　）

A．38° B．42° C．48° D．52°

【答案】A

【解析】

【分析】

利用直角三角形的性质先求出∠B，再利用平行线的性质求出∠2．

【详解】

解：∵AB⊥AC，∠1＝52°，

∴∠B＝90°﹣∠1

＝90°﹣52°

＝38°

∵a∥b，

∴∠2＝∠B＝38°．

故选：A．

【点睛】

本题考查平行线的性质、两直线平行同位角相等，直角三角形两个锐角互余等知识，在基础考点，掌握相关知识是解题关键．

3．（福建·晋江市季延中学七年级期末）如图， 和 分别为直线 与直线 和 相交所成角．如果 ，那么添加下列哪个条件后，可判定 ．（）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

通过同位角相等两直线平行进行判定即可.

【详解】

A.∵ ，∴∠3=180 º-∠2=62 º=∠1，∴能判定 ，此选项正确；

B.∵ ，∴∠3=180 º-∠4=52 º≠∠1，∴不能判定 ，此选项错误；

C.∵ ，∴∠3≠∠1，∴不能判定 ，此选项错误；

D.∵ ，∴∠3=∠28º≠∠1，∴不能判定 ，此选项错误；

故选：A

【点睛】

此题考查平行线的判定，掌握同位角相等两直线平行是解答此题的关键.

4．（湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期末）如图，给出下列条件，①∠1=∠2，②∠3=∠4，③AD BE，且∠D=∠B，④AD BE，且∠DCE=∠D，其中能推出AB DC的条件为（）

A．①② B．②③ C．③④ D．②③④

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行线的判定逐个判断即可．

【详解】

① ∠1=∠2，

② ∠3=∠4，

③ AD BE，

∠D=∠B，

④ ∠DCE=∠D，

能推出AB DC的条件为②③

故选B

【点睛】

本题考查了平行线的性质与判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．

二、填空题

5．（全国·七年级专题练习）如图所示，直线a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，则直线a与b的位置关系是________．

【答案】平行

【解析】

【分析】

根据∠2:∠3＝1:5，求出 的度数，然后根据同位角相等两直线平行进行解答即可．

【详解】

解：∵∠2:∠3＝1:5，

∴∠2＝30°，

∴∠1＝∠2，

∴a∥b，

故答案为：平行．

【点睛】

本题考查了角的和差倍分求角度以及平行的判定，根据题意求出∠2＝30°是解本题的关键．

6．（上海浦东新·七年级期中）如图，已知AB∥CD，∠ABC＝120°，∠1＝27°，则直线CB和CE的夹角是_____°．

【答案】93

【解析】

【分析】

AB∥CD，∠DCB＝∠ABC＝120°，将角度代入∠BCE＝∠DCB -∠1求解即可．

【详解】

解：∵AB∥CD

∴∠DCB＝∠ABC＝120°

又∵∠1＝27°

∴∠BCE＝∠DCB -∠1=93°

故答案为93．

【点睛】

本题考查了平行线中关于内错角的性质．解题的关键在于熟练使用两直线平行，内错角相等的性质．

7．（山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）如图，已知 的面积为16， ．现将 沿直线 向右平移 个单位到 的位置．当 所扫过的面积为32时，那么 的值为__________．

【答案】4

【解析】

【分析】

作AH⊥BC于H，根据△ABC的面积为16，BC=8，可先求出AH的长，△ABC所扫过的面积为32，即可求出a的值.

【详解】

解：如图，连接AD，过点A作AH⊥BC交BC于H.

∵SΔABC=16, BC=8,

即 BC⋅AH= ×8×AH=16,

∴AH=4,

∴S_梯形 ABFD=

∴a=4,

故答案为4.

【点睛】

本题考查了图形的平移，灵活运用图形面积间的关系是解题的关键.

8．（北京市海淀区清华附中稻香湖学校七年级期末）一副直角三角板叠放如图所示，现将含30°角的三角板ABC固定不动，把含45°角的三角板ADE绕顶点A顺时针转动，若0°＜∠BAD＜180°，要使两块三角板至少有一组互相平行，则符合要求的∠BAD的值为________．

【答案】45°或90°或120°

【解析】

【分析】

分三种情况根据平行线的性质解答即可．

【详解】

解：如图1，当AE//BC时，则∠BAE+∠ABC=180°，

∴∠BAE=180°-90°=90°,

∴∠BAD＝90°-45°=45°；

如图2，当DE//AB时，∠BAD＝∠D=90°；

如图3，当DE//AC时，则∠CAD=∠D=90°，

∴∠BAD＝30°+90°=120°；

综上所述，满足条件的∠BAD的值为45°或90°或120°．

故答案为：45°或90°或120°．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角．

三、解答题

9．（上海奉贤·七年级期末）如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，试判断AD与BC是否平行．

解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），

∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝　　（　　）．

又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，

∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD

＝2（∠1+∠2）

＝　　°（等式性质）．

又∵∠B＝64°（已知），

∴∠BAD+∠B＝　　°．

∴　　 　　（　　）．

【答案】2∠2；角平分线的定义；116；180；AD；BC；同旁内角互补，两直线平行

【解析】

【分析】

由AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，利用角平分线的定义可得出∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2，结合∠EAF＝∠1+∠2＝58°可得出∠BAD＝116°，由∠B＝64°，∠BAD＝116°，可得出∠BAD+∠B＝180°，再利用“同旁内角互补，两直线平行”即可得出AD∥BC．

【详解】

解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），

∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线的定义）．

又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，

∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD

＝2（∠1+∠2）

＝116°（等式性质）．

又∵∠B＝64°（已知），

∴∠BAD+∠B＝180°．

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．

故答案为：2∠2；角平分线的定义；116；180；AD；BC；同旁内角互补，两直线平行．

【点睛】

此题考查了角平分线的定义，角的计算，平行线的判定．正确掌握线段、角、相交线与平行线的知识是解题的关键，还需掌握推理能力．

10．（广东阳山·八年级期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．

（1）试说明：AD∥EF；

（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．

【答案】（1）见解析；（2）∠B＝38°．

【解析】

【分析】

（1）由AB∥DG，得到∠BAD＝∠1，再由∠1+∠2＝180°，得到∠BAD+∠2＝180°，由此即可证明；

（2）先求出∠1＝38°，由DG是∠ADC的平分线，得到∠CDG＝∠1＝38°，再由AB∥DG，即可得到∠B＝∠CDG＝38°．

【详解】

（1）∵AB∥DG，

∴∠BAD＝∠1，

∵∠1+∠2＝180°，

∴∠BAD+∠2＝180°.

∵AD∥EF .

（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°，

∴∠1＝38°，

∵DG是∠ADC的平分线，

∴∠CDG＝∠1＝38°，

∵AB∥DG，

∴∠B＝∠CDG＝38°．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．

11．问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．

（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．

如图2，过点P作PE∥AB，

因为AB∥CD，所以PE∥CD．（）

所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）

因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，

∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．

问题迁移：

（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．

（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．

【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行（或平行公理推论），两直线平行，同旁内角互补；（2） ，理由见解析；（3） 或

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的判定与性质填写即可；

（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

（3）画出图形（分两种情况①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．

【详解】

解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，

因为AB∥CD，所以PE∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）

所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（两直线平行同旁内角互补）

因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，

所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，

∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．

故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；

（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：

如图3所示，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；

（3）当P在BA延长线时，如图4所示：

过P作PE∥AD交CD于E，

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠β-∠α；

当P在AB延长线时，如图5所示：

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠α-∠β．

综上所述，∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系为：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．

【点睛】

本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出辅助线是解答此题的关键．

12．已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．

【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A＋∠D．（完成图中的填空部分）．

证明：过点G作直线MN∥AB，

又∵AB∥CD，

∴MN∥CD（　　）

∵MN∥AB，

∴∠A＝（　　）（　　）

∵MN∥CD，

∴∠D＝　　（　　）

∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．

【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，直接写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系．

【应用拓展】如图3，AH平分∠GAB，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数．

【答案】基础问题：平行于同一条直线的两条直线平行；∠AGM；两直线平行，内错角相等；∠DGM，两直线平行，内错角相等；类比探究：∠AGD＝∠A-∠D；应用拓展：42°．

【解析】

【分析】

基础问题：由MN∥AB，可得∠A＝∠AGM，由MN∥CD，可得∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D；

类比探究：如图所示，过点G作直线MN∥AB，同理可得∠A＝∠AGM，∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM-∠DGM＝∠A-∠D．

应用拓展：如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，由MN∥AB，PQ∥AB，得到∠BAG＝∠AGM，∠BAH=∠AHP，由MN∥CD，PQ∥CD，得到∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，再由∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，可得∠GDH=44°，∠DHP=22°，则∠CDG=66°，∠AHP=54°，∠DGM=66°，∠BAH=54°，再由AH平分∠BAG，即可得到∠AGM=108°，则∠AGD=∠AGM-∠DGM=42°．

【详解】

解：基础问题：过点G作直线MN∥AB，

又∵AB∥CD，

∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），

∵MN∥AB，

∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等），

∵MN∥CD，

∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等），

∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．

故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；∠AGM；两直线平行，内错角相等；∠DGM，两直线平行，内错角相等；

类比探究：如图所示，过点G作直线MN∥AB，

又∵AB∥CD，

∴MN∥CD，

∵MN∥AB，

∴∠A＝∠AGM，

∵MN∥CD，

∴∠D＝∠DGM，

∴∠AGD＝∠AGM-∠DGM＝∠A-∠D．

应用拓展：如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，

又∵AB∥CD，

∴MN∥CD，PQ∥CD

∵MN∥AB，PQ∥AB，

∴∠BAG＝∠AGM，∠BAH=∠AHP，

∵MN∥CD，PQ∥CD，

∴∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，

∵∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，

∴∠GDH=44°，∠DHP=22°，

∴∠CDG=66°，∠AHP=54°，

∴∠DGM=66°，∠BAH=54°，

∵AH平分∠BAG，

∴∠BAG=2∠BAH=108°，

∴∠AGM=108°，

∴∠AGD=∠AGM-∠DGM=42°．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．

13．如图， ，点E为两直线之间的一点

(1)如图1，若 ， ，则 ____________；

(2)如图2，试说明， ；

(3)①如图3，若 的平分线与 的平分线相交于点F，判断 与 的数量关系，并说明理由；

②如图4，若设 ， ， ，请直接用含 、 的代数式表示 的度数．

【答案】(1)

(2)见解析

(3)① ，理由见解析；②

【解析】

【分析】

（1）如图①，过点E作EF AB．利用平行线的性质即可解决问题；

（2）如图②中，作EG AB，利用平行线的性质即可解决问题；

（3）结合（1）、（2）的结论，进行等量代换即可求解．

(1)

解：过E点作EF AB，

∵AB CD，

∴EF CD，

∵AB CD，

∴∠BAE＝∠1，

∵EF CD，

∴∠2＝∠DCE，

∴∠BAE＋∠DCE＝∠AEC．

∵ ， ，

∴

(2)

过E点作AB EG．

∵AB CD，

∴EG CD，

∵AB CD，

∴∠BAE＋∠AEG＝180°，

∵EG CD，

∴∠CEG＋∠DCE＝180°，

∴∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°．

(3)

①由（1）知 ，

∵FA为∠BAE平分线，CF为 平分线，

∴ ，

∴ ，

即 ，

由（2）知∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°，

∴ ，

②由①知 ，

∵ ， ， ，

∴ 即 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ．

【点睛】

本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．

14．如图，AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，且满足0°＜∠EPF＜180°，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD．在探究∠EPF与∠EQF之间的数量关系时，我们需要对点P的位置进行分类讨论：

（1）如图1，当P点在EF的右侧时，若∠EPF＝110°，则∠EQF＝　　；猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，请直接写出结果；

（2）如图2，当P点在EF的左侧时，探究∠EPF与∠EQF的数量关系，请说明理由；

（3）若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q₁，∠BEQ₁与∠DFQ₁的角平分线交于点Q₂，∠BEQ₂与∠DFQ₂的角平分线交于点Q₃；…以此类推，则∠EPF与∠EQ₂₀₂₁F满足怎样的数量关系？

【答案】（1）55°；∠EPF＝2∠EQF；（2）2∠EQF+∠EPF＝360°，理由见解析；（3）∠EPF+2²⁰²²•∠EQ₂₀₂₁F＝360°或∠EPF＝2²⁰²²∠EQ₂₀₂₁F

【解析】

【分析】

（1）过P作PM//AB，过Q作QN//AB，根据平行线的性质和角平分线的定义便可解决问题；

（2）如图2，过P作PM//AB，过Q作QN//AB，根据平行线的性质和角平分线的定义便可2∠EQF+∠EPF＝360°；

（3）分两种情况讨论，根据（1）中的解题方法得∠Q₁＝ （∠BEP+∠DFP），∠Q₂＝ （∠BEP+∠DFP），∠（α+β）…由此得出规律∠Qn＝（ ）n（∠BEP+∠DFP），再由（2）的结论2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝∠EQF，便可计算出∠EPF+2n⁺¹•∠EQnF的结果，从而得出结论．

【详解】

解：（1）过P作PM//AB，过Q作QN//AB，

∵AB//CD，

∴AB//CD//PM，AB//CD//QN，

∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，

∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF＝110°，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，

∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，

∴∠BEQ+∠DFQ＝ （∠BEP+∠DFP）＝ ×110°＝55°；

猜想：∠EPF与∠EQF的数量关系为∠EPF＝2∠EQF．理由如下：

∵AB//CD，

∴AB//CD//PM，AB//CD//QN，

∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，

∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，

∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，

∴2（∠BEQ+∠DFQ）＝∠BEP+∠DFP＝∠EPF，

即∠EPF＝2∠EQF；

故答案为：55°；

（2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由如下：

如图2，过P作PM//AB，过Q作QN//AB，

∵AB//CD，

∴AB//CD//PM，AB//CD//QN，

∴∠BEP+∠MPE＝180°，∠DFP+∠MPF＝180°，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，

∴∠BEP+∠DFP+∠MPE+∠MPF＝360°，即∠BEP+∠DFP+∠EPF＝360°，∠EQF∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，

∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，

∴∠BEQ+∠DFQ＝ （∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，即∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，

∴2∠EQF+∠EPF＝360°；

（3）当点P在EF的左侧，

根据（1）的方法可得∠Q₁＝ （∠BEP+∠DFP）＝ ∠EQF，

∠Q₂＝ （∠BEP+∠DFP）＝ ∠EQF，

…

则∠Qn＝（ ）n（∠BEP+∠DFP）＝（ ）n∠EQF，

∵2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，

∴∠EPF+2n⁺¹•∠EQnF＝360°．

当点P在EF的右侧，同理可求∠EPF＝2n⁺¹∠EQnF．

综上，∠EPF+2²⁰²²•∠EQ₂₀₂₁F＝360°或∠EPF＝2²⁰²²∠EQ₂₀₂₁F．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

15．如图，已知AB∥CD．

（1）如图1所示，∠1+∠2＝　　；

（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　　；并写出求解过程．

（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　　；

（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　　．

【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°

【解析】

【分析】

（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；

（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；

（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；

（4）由（2）（3）类比可得答案．

【详解】

解：（1）如图1，∵AB∥CD，

∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．

故答案为：180°；

（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF，CD∥EF，

∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，

∴∠1+∠2+∠3=360°；

（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，

类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，

故答案为：540°；

（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，

故答案为：（n-1）×180°．

【点睛】

此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．

16．图1展示了光线反射定律：EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角 ．

（1）在图1中，证明：∠1＝∠2．

（2）图2中，AB，BC是平面镜，入射光线m经过两次反射后得到反射光线n，已知 ， ，判断直线m与直线n的位置关系，并说明理由．

（3）图3是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜．请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？

【答案】（1）见解析；（2）m∥n，理由见解析；（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据EF⊥AB，可以得到∠AFE＝∠BFE＝90°，由 ，即可得到∠1＝∠2；

（2）只需要证明∠MDE＋∠DEN＝180°即可；

（3）只需要证明∠5＝∠6即可．

【详解】

解：（1）∵EF⊥AB，

∴∠AFE＝∠BFE＝90°，

∴

∵ ，

∴∠1＝∠2；

（2）m//n，理由如下：

∵∠1＝30°，∠4＝60°，

∴∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°，

∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180°，

∵∠1＋∠2＋∠MDE＋∠3＋∠4＋∠DEN＝180°＋180°＝360°，

∴∠MDE＋∠DEN＝180°．

∴m//n；

（3）证明：∵AB//CD，

∴∠2＝∠3，

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4．

∴180°—∠1—∠2＝180°—∠3—∠4，即∠5＝∠6，

∴m//n．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

17．在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中 ， ， ）

（1）将三角尺如图1所示叠放在一起．

① 与 大小关系是_____，依据是_____．

② 与 的数量关系是_____．

（2）小亮固定其中一块三角尺 不变，绕点 顺时针转动另一块三角尺，从图2的 与 重合开始，到图3的 与 在一条直线上时结束．探索 的一边与 的一边平行的情况．

①求当 时，如图4所示， 的大小．

②直接写出 的其余所有可能值．

【答案】（1）①相等，同角的余角相等；② ；（2）①75°；②30°或45°或120°或135°

【解析】

【分析】

（1）①利用同角的余角相等，即可得到答案；

②根据∠DOC+∠AOC=90°，∠BOC+∠AOC=90°，即可得到∠DOC+∠AOC=180°；

（2）①过点O作 则AB∥CD∥OE，即可得到 30°， 45°即可得到答案；

②分当AB∥OC时，当OA∥CD时，当AB∥OD时，当OB∥CD时讨论求解即可得到答案.

【详解】

解：（1）①相等，同角的余角相等．

∵∠AOD+∠AOC=90°，∠BOC+∠AOC=90°

∴∠AOD=∠BOC

② ∵∠DOC+∠AOC=90°，∠BOC+∠AOC=90°，∠BOD=∠COD+∠COB

∴ 180°

（2）①过点O作OE∥AB

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥OE．

30°， 45°

75°．

②当AB∥OC时， =30°；

当OA∥CD时， 45°；

当AB∥OD时， 360°-180°-∠BOD

∠BOD=∠ABO=60°

∴ 120°；

当OB∥CD时， 360°-180°-∠BOD

∠BOD=∠ODC=45°

∴ 135°；

∴综上所述 的度数为30°或45°或120°或135°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质.

18．如图，钱塘江入海口某处河道两岸所在直线（PQ，MN）夹角为20°，在河道两岸安装探照灯B和A，若灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．设灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒．已知∠BAN＝50°．

（1）当b＝2时，问灯B转动几秒后，射出的光束第一次经过灯A？

（2）当a＝3，b＝6时，若两灯同时转动，在1分钟内（包括1分钟），问A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

（3）若A、B两灯同时转动（a＞b），在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次，求a，b的值．

【答案】（1）15秒；（2） 秒；（3） ， ．

【解析】

【分析】

（1）根据B灯转动30度时第一次经过灯A，列出方程即可得解；

（2）根据内错角相等，两灯的光线平行，构建方程求解可得结果；

（3）分两种情形，根据平行线的判定，构建方程解决问题即可．

【详解】

解：（1）设灯B转动t秒后，射出的光束第一次经过灯A．

由题意得：2t＝30，

解得：t＝15，

答：灯B转动15秒后，射出的光束第一次经过灯A．

（2）设A灯转动x秒，两灯的光束互相平行．

根据题意得：180﹣50﹣3x＝6x﹣30时，两灯的光束互相平行，

解得：x＝ ，

答：A灯转动 秒，两灯的光束互相平行．

（3）在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次

45秒时第一次平行，由题意得：45a﹣130＝30﹣45b，

90秒时第二次平行，由题意得：90a﹣180﹣50＝90b﹣30，

解得：a＝ ，b＝

答：a，b的值分别为 ， ．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：内错角相等，两直线平行．